Tìm hiểu về phép tịnh tiến ở chương trình phổ thông

A. Mở đầu
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn đòi hỏi
học sinh phải tư duy trừu tượng, lập luận một cách chặt chẽ và logic.
Trong chương trình hình học lớp 11, chương “Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt
phẳng” chiếm một vị trí hết sức quan trọng vì nó là một công cụ hữu ích đối với các bài
toán hình học phẳng và hình học không gian.
Trong chương trình môn Toán phổ thông ở nước ta hiện nay, vai trò và tầm quan trọng của
phép biến hình ngày càng được thể hiện rõ ràng và sâu sắc không chỉ trong lý thuyết mà cả
trong thực hành giải bài tập. Các phép biến hình là công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu lực
trong việc giải các bài toán hình học.
Phép tịnh tiến là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết các
bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán chứng minh tích chất hình học,... Tuy nhiên,
việc vận dụng phép tịnh tiến để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong không
gian không phải là việc dễ dàng

1


B, Nội dung
I. Nhắc lại kiến thức.
1. Phép biến hình.
1.1. Định nghĩa: Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi
là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Ví dụ 1:

M

Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M nằm ngoài đường
thẳng d, ta xác định M’ là hình chiếu (vuông góc) của
M trên d (h.1) thì ta được một phép biến hình.

Phép biến hình này gọi là phép chiếu (vuông góc) của
M lên đường thẳng d.
Ví dụ 2:
Cho vectơ
tắc

r
u

uuuuur r
MM ' = u

d

M'

, với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ theo quy
(h.2).

M'

M

Như vậy ta cũng có một phép biến hình. Phép biến hình đó
gọi là phép tịnh tiến theo vectơ

r
u

.

Ví dụ 3:
Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M thì ta cũng được một phép biến hình.
Phép biến hình đó gọi là phép đồng nhất.
1.2. Kí hiệu và thuật ngữ.
Nếu ta kí hiệu một phép biến hình nào đó là F và điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép
biến hình F thì ta viết M’=F(M) hoặc F(M)=M’. Khi đó, ta còn nói phép biến hình F biến
điểm M thành điểm M’.
∈

Với mỗi hình H, ta gọi hình H’ gồm các điểm M’=F(M), trong đó M H, là ảnh của H
qua phép biến hình F, và viết H’ =F(H).
2. Phép tịnh tiến
2.1. Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vectơ
thành M’ sao cho

uuuuur r
MM ' = u

.

2

r
u

là một phép biến hình biến điểm M


r

u

r
u

Tur

Phép tịnh tiến theo vectơ thường được kí hiệu là T hoặc
. Vectơ được gọi là vectơ
tịnh tiến.
2.2. Các tính chất của phép tịnh tiến
Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M và N’ thì
M’N’=MN.
Người ta diễn tả tính chất trên của phép tịnh tiến là: Phép tịnh tiến không làm thay đổi
khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Chứng minh
Giả sử phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A’, B’, C’. Theo định lí 1, ta có
A’B’=AB, B’C’=BC và A’C’=AC.
Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C thì AB+BC=AC. Do đó ta cũng có
W

A’B’+B’C’=A’C’, tức là A’, B’, C’ thẳng hàng, trong đó B’ nằm giữa A’ và C’. ( )
Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, tam giác
thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc
thành góc bằng nó.
=> Phép tịnh tiến là một phép dời hình.
2.3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
r

Trong mặt phẳngr với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ
Biết tọa độ của

u

là (a;b). Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm

M

u

.

'

(x’,y’) (h.3).

Khi đó ta có

r
u ( a; b )

Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ

II, Một số b của phài toán về tịnh tiến

HÌNH HỌC
1. Các bài toán tọa độ.
1.1. Xác định ảnh (d’) của đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ
Phương pháp 1:

r
 Chọn điểm M(x0;y0) cụ thể thuộc đường thẳng d và vectơ pháp tuyến

n ( A; B )

thẳng d
’
0

’

 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x ; y0 ) là ảnh của M qua phép tịnh tiến

3

Tvr

r
v ( a; b)

của đường


 Đường thẳng d’ là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến

r
n ( A; B)

=>(d’): A(x - x0’)

+B(y - y0’)=0
Phương pháp 2:
 Chọn hai điểm M(x0;y0), N(x1;y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d)
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’; y0’) và N’(x1’; y1’) là ảnh của M và N qua phép tịnh
r
v

tiến T
 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’
=> (d’):

x − x1'
y − y1'
= '
x0' − x1'
y0 − y1'

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x−3y+3=0, đường
thẳng d1 có phương trình: 2x−3y−5=0. Tìm tọa độ của vectơ
đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ

r
v

r
v

có giá vuông góc với

Phân tích bài toán:

Đường thẳng d1 là ảnh của d qua



Vectơ



d. Hay


r
v

r
v

Tvr

nên d//d1

có giá vuông góc với đường thẳng d nên

r
v

chính là 1 vectơ pháp tuyến của

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 vuông góc với đường thẳng d.

Viết phương trình đường thẳng d2bằng cách: đi qua 1 điểm M thuộc d và nhận
VTPT của d làm VTCP
Tìm giao của d2 với d1 tại điểm N. Khi đó



r
v

=

uuuu
r
MN

Giải:
Vì đường thẳng d1 là ảnh của d qua
r
v

Tvr

nên d//d1. Mặt khác vectơ

đường thẳng d nên chính là 1 vectơ pháp tuyến của d. Hay
của đường thẳng d2 vuông góc với đường thẳng d.
Viết phương trình đường thẳng d2:

4

r
v

r
v

có giá vuông góc với

là một vectơ chỉ phương




uu
r
nd

Vectơ pháp tuyến của dường thẳng d:
đường thẳng d2

=(2;−3) ⇒

uu
r
nd

là vectơ chỉ phương của

Lấy điểm M(3;3) thuộc d.



Phương trình đường thẳng d2 đi qua M nhận

uu
r
nd

làm VTCP:

 x = 3 + 2t

 y = 3 − 3t

(t ∈R)

Giao điểm của d2 với d1 là điểm N:

Thỏa mãn hệ phương trình:
N(

Ta có tọa độ của N là:

8

t = 13
 x = 3 + 2t

55



⇔ x =
 y = 3 − 3t
13
2 x − 3 y − 5 = 0


15

 y = 13


55 15
; )
13 13

Tọa độ của vectơ MN là:

uuuu
r 16 −24
MN = ( ;
)
13 13

1.2. Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo
vectơ

r
v ( a; b)

 Xác định tâm O(x0;y0) và bán kính R của đường tròn (C)
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x0’; y0’) của tâm O qua phép tịnh tiến
 Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính R:
( x − xo' ) 2 + ( y − yo' ) 2 = R 2

Tvr

=>(C’):

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình:
Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và R=3

5

r
v(−2;5)

x2 + y 2 − 2x + 4 y − 4 = 0

.


r
v

Gọi I’= T (I)=(-1;3) và (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ
tâm I’ bán kính R’=3 có phương trình: (x+1)2+(y-3)2=9

r
v

thì (C’) có

1.3. Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ

r
v ( a; b)

 Gọi M(x;y) là điểm tùy ý trên đường (H): f(x,y)=0

r
v

 x = x '− a
=> M ( x '− a; y '− b)

 y = y '− b

 Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến T =>
 M ∈ (H) => f(x’- a; y’-b)=0
r
v
 (H’) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến T =>(H’) là tập hợp tất cả các điểm M’ =>(H’):

f(x-a;y-b)=0
Ví dụ: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép
tịnh tiến theo vectơ
thành A.

uuur
AG

. Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ

uuur
AG

biến D

Giải.
Xác định ảnh của tam giác ABC :
uur
TuAG

(A) = A’ ta có :

uuur uuur
AA ' = AG

Hay A’ trùng G.
uur
TuAG

uur
TuAG

(B) = B’ ta có :
(C) = C’ ta có :

Vậy :
uur
TuAG

uur
TuAG

uuur uuur
BB ' = AG
uuuu
r uuur
CC ' = AG

(ABC) = A’B’C’

(D) = A ta có :

A

G

C

B

uuur uuur
DA = AG
B'

Hay A là trung điểm của DG.
* Bài tập tổng hợp:

6

C'


Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (Oxy) cho
trong trường hợp sau:

r
u (1; −2)

.Viết phương trình ảnh của mỗi đường

a. Đường thẳng a có phương trình: 3x-5y+1=0

Đường thẳng a có phương trình: 2x+y+100=0
b. Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn (C ):
x2 y 2
+
=1
9
4
c. Viết phương trình đường (E’) ảnh của (E):
x2 y 2
−
=1
16 9

d. Viết phương trình ảnh của (H):

x2 + y 2 − 4 x + y − 1 = 0

Giải
a. Gọi ∀ M(x;y) ∈ a. Xét tịnh tiến

Tvr : M ( x; y ) → M '( x '; y ')
a

a

Theo biểu thức tọa độ ta có:

a’

x ' = 1+ x
 x = x '− 1
⇔
⇒ M ( x '− 1; y '+ 2)

 y ' = −2 + y
 y = y '+ 2

Ta có: M(x’-1;y’+2)∈ a  3(x’-1)-5(y’+2)+1=0
 3x’-5y’-7=0 => M’∈ a’:3x-5y-7=0
r
v

Vậy T (a)=a’ thì a’: 3x-5y-7=0

Tương tự ta có: M(x’-1;y’-2) ∈ b 2(x’-1)+(y’+2)+100=0  2x’+y’+100=0
( x '− 1) 2 + ( y '+ 2) 2 − 4( x '− 1) + y '+ 2 − 1 = 0
b.

( x '− 1) ( y '+ 2)
( x − 1) ( y + 2) 2
+
= 1 ⇒ ( E ') :
+
=1
9
4
9
4
2

c.

d.

hay (c’):

x 2 + y 2 − 6 x + 5 y + 10 = 0

2

2

( x '− 1) 2 ( y '+ 2)2
( x − 1)2 ( y + 2) 2

−
= 1 ⇒ ( H ') :
−
=1
16
9
16
9

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v⃗=(−1;2), hai điểm A(3;5) và
B(-1;1) và đường thẳng d có phương trình: x−2y+3=0

7


a. Tìm tọa độ của các điểm A'; B' theo thứ tự là ảnh của A; B qua phép tịnh tiến theo
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo

r
v

r
v

c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo

r
v

Giải

a. Gọi tọa độ của điểm A'(x';y'), ta có:
 x′ = x + a
 x′ = 3 − 1
 x′ = 2
Tvr (A) = A' ⇒ 
⇔
⇔
 y′ = y + b
 y′ = 5 + 2
 y′ = 7

Vậy tọa độ của điểm A' là A'(2;7)
Gọi tọa độ của điểm B'(x';y'), ta có:
 x′ = x + a
 x′ = −1 − 1  x′ = −2
Tvr (B) = B' ⇒ 
⇔
⇔
 y′ = y + b
 y′ = 1 + 2
 y′ = 3

Vậy tọa độ của điểm B' là B'(-2;3)
b. Tìm tọa độ của điểm C
Điểm C ở đây chính là điểm vật, tọa độ của A(3;5) là tọa độ của điểm ảnh hay
A(3;5)=A(x';y').
Gọi tọa độ của điểm C(x;y), áp dụng biểu thức tọa độ ta có:
 x′ = x + a
3 = x − 1
x = 4

Tvr (C) = A ⇒ 
⇔
⇔
 y′ = y + b
5 = y + 2
y = 3

Vậy tọa độ của điểm C là C(4;3)
c. Tìm phương trình của đường thẳng d’
Cách 1: Tìm phương trình của đường thẳng d’ theo biểu thức tọa độ
Gọi M(x;y) là điểm thuộc đường thẳng d và M'(x';y') là điểm thuộc đường thẳng d'. Ta có:

Tv⃗ (M)=M′⇔

x ' = x + a
x ' = x −1
 x = x '+ 1
⇔
⇔

y' = y +b
y' = y + 2
 y = y '− 2

Vì điểm M∈ d nên ta có tọa độ của M thỏa mãn phương trình đường thẳng d:
8


Ta có: (x′+1)−2(y′−2)+3=0⇔x′−2y′+8=0
Như vậy điểm M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là: x−2y+8=0

Cách 2:
Vì đường thẳng d' cần tìm là ảnh của đường thẳng d nên đường thẳng d' sẽ song song hoặc
trùng với đường thẳng d. Khi đó đường thẳng d' sẽ có phương trình là: x−3y+c=0
Lấy 1 điểm D(−3;0) ∈ d. Gọi D′(x′;y′)∈d′ là ảnh của điểm D qua phép tịnh tiến theo
vectơ

r
v

Ta có: Tv⃗ (D)=D′⇔

x ' = x + a
 x ' = −3 − 1  x ' = −4
⇔
⇔

y' = y +b
y' = 0+ 2
y' = 2

Vậy tọa độ của điểm D' là: D′(−4;2)
Vì điểm D' thuộc đường thẳng d' nên tọa độ của D' thỏa mãn phương trình d', tức
là: −4−2.2+c=0⇔c=8
Từ đó ta có phương trình đường thẳng d' là: x−2y+8=0
Cách 3:


Lấy 2 điểm M; N thuộc đường thẳng d



Tìm ảnh của 2 điểm M; N qua phép tịnh tiến theo vectơ v⃗



Đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d sẽ đi qua M'; N'



Viết phương trình đường thẳng M'N'
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ

a. Tìm ảnh của A(2;1) qua phép tịnh tiến

r
u (1; −2)

Tur

b. Tìm ảnh của đường thẳng d1: x-3y+4=0 qua phép tịnh tiến

Tur

c. Tìm đường thẳng ∆ là ảnh của đường thẳng d: 2x+y+3=0 qua phép tịnh tiến
2

2

d. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x-2) +(y+3) =4 qua phép tịnh tiến

Giải
9

Tur

Tur


a, Gọi

Tur

(A)=A’, A’(x’,y’)
x ' = x + a
x ' = 2 +1 = 3
⇔
⇒ A '(3; −1)

y' = y +b
 y ' = 1 − 2 = −1

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
b. Cách 1
Chọn điểm M(-1;1)∈ d1: x-3y+4=0

Đường thẳng d1 đi qua M(-1;1) và có vectơ pháp tuyến
Gọi

Tur

(M)=M’, M’(x’;y’)

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi

r
n(1; −3)

Tur ( d1 ) = (d1 ')

x ' = x + a
 x ' = −1 + 1 = 0
Tur : 
⇔
⇒ M '(0; −1)
y' = y +b
 y ' = 1 − 2 = −1

. Đường thẳng d1’ đi qua M’(0;-1) và có vectơ pháp tuyến

=> d1’: x - 3y - 3 = 0
Cách 2:
Gọi

Tur

( d1)= d1’

Gọi M(x;y)∈ d1 , M’(x’;y’) ∈ d1’ sao cho

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tur

(M)=M’

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 1
⇔
⇒

Tur  y ' = y + b
 y = y '− b  y = y '+ 2

:

M(x’-1;y’+2)∈ d1: x-3y+4=0=> (x’-1)-3(y’+2)+4=0 => x’-3y’-3=0
Vậy d1’: x-3y-3=0
c, Cách 1
Chọn điểm M(-1;-1)∈ d: 2x+y+3=0
Đường thẳng d đi qua M(-1;-1) và có vectơ pháp tuyến
Gọi

Tur

(M)=M’, M’(x’;y’)
10

r
n(2;1)

r
n = (1; −3)


Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Theo đề bài

Tur

x ' = x + a
 x ' = −1 + 1 = 0
⇔
⇒ M '(0; −3)

Tur  y ' = y + b
 y ' = 1 − 2 = −3

:

(d)=∆

Đường thẳng ∆ đi qua M’(0;-3) và có vectơ pháp tuyến

r
n(2;1)

=> ∆: 2(x-0)+(y+3)=0 => 2x+y+3=0

Cách 2
Theo đề bài

Tur

(d)=∆

Gọi M(x;y)∈ d , M’(x’;y’) ∈ ∆ sao cho

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tur

(M)=M’

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 1
⇔
⇒

Tur  y ' = y + b
 y = y '− b  y = y '+ 2

:

M(x’-1;y’+2)∈ d1: 2x+y+3=0=>2(x’-1)+(y’+2)+3=0=>2x’+y’+3=0
Thay x=x’-1 và y=y’+2 vào phương trình d, ta có
2x+y+3=0=>2(x’-1)+(y’+2)+3=0=>2x’+y’+3=0
Vậy ∆: 2x+y+3=0

d, Đường tròn (C): (x-2)2+(y+3)2=4 có tâm I(2;-3) và bán kính R=2
Gọi

Tur

(I)=I’, I’(x’;y’)

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Gọi

Tur

x ' = x + a
x ' = 2 +1 = 3
⇔
⇒ I '(3; −5)

T y' = y +b
 y ' = −3 − 2 = − 5
r
u

:

(C)=(C’)

Đường tròn (C’) có tâm I’(3;-5) và bán kính R=2
=>(C’): (x-3)2+(y+5)2=4

11

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy,cho điểm M(1;-2), đường thẳng d: 2x-y+4=0, đường tròn
(C): (x-2)2+(y+2)2=0 và vectơ

r
u (2; −3)

a. Gọi d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến
r
v(1;3)

Tur

, tìm d” là ảnh của d’ qua phép tịnh tiến theo

vectơ

b. Viết phương trình (C”) là ảnh của đường tròn (C) khi thưc hiện liên tiếp có thứ tự hai phép
r
Tur
Tvr
v(1;3)

tịnh tiến

và

với

Giải
a. Theo đề bài

Tur

(d)=d’

Gọi M(x;y)∈ d , M’(x’;y’) ∈ d’ sao cho

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tur

(M)=M’

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 2
⇔
⇒

T y' = y +b
 y = y '− b  y = y '+ 3
r
u

:

M(x’-2;y’+3)∈ d: 2x-y+4=0=>2(x’-2)-(y’+3)+4=0 => 2x’-y’-3=0
=> d’: 2x-y-3=0

Tvr

Tiếp theo ta có (d’) = d”
Gọi N(x;y) ∈ d’, N’(x’;y’) ∈ d” sao cho

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tvr

(N)=N’

x ' = x + a
 x = x '− a
 x = x '− 1
⇔
⇒

T y' = y +b
 y = y '− b  y = y '− 3
r
v

:

N(x’-1;y’-3)∈ d’: 2x-y-3=0=>2(x’-1)-(y’-3)-3=0=>2x’-y’-2=0
Vậy d”: 2x-y-2=0
b. Gọi

Tur

((C))=(C’)

Đường tròn (C): (x-2)2+(y+2)2=9 có tâm I(2;-2) và bán kính R=3

12


Gọi I’(x’;y’) là ảnh của I(2;-2) qua phép tịnh tiến

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Tur Tur

(I)=(I’)

x ' = x + a = 2 + 2 = 4
=> I '(4; −5)

T  y ' = y + b = −2 − 3 = − 5
r
u

:

Gọi I”(x”;y”) là ảnh của I’(4;-5) qua phép tịnh tiến

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

:

Tvr Tvr

:

(I’)=(I”)

x ' = x + a = 4 + 2 = 5
=> I "(5; −2)
Tvr  y ' = y + b = −5 + 3 = −2

:

Đường tròn (C”) có tâm I”(5;-2) và bán kính R=3
=> (C”): (x-5)2+(y+2)2=9

2. Các bài toán hình học cổ điển
2.1. Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học.




Từ giả thuyết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định.
Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được. (Tức là dựng
một hình bình hành phù hợp, sao cho một cạnh chứa hai điểm ở bước trên).
Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến để chứng minh các yếu tố
trong hình hoặc xác định tính chất của hình.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm B’ sao cho tia BB’ cắt cạnh AC. Phía ngooài tam giác
ABC dựng các hình bình hành BB’A’A, BB’C’C và AA’’C’’C sao cho A là trung điểm
của đoạn thằng A’’A. Chứng minh rằng:

SAA’’C’’C = SBB’A’A + SBB’C’C (Với S(H) là diện tích của hình (H))
Giải
Ta có: BB’A’A, BB’C’C và AA’’C’’C là hình bình hành
uuuur uuuur uuuur uuuur
⇒ B ' B = A ' A, B ' B = C ' C

và

uuuu
r uuuur
AA '' = CC ''

Lại có A là trung điểm của A’A’’
Do đó:

⇒

A’A=AA’’
B'

uuuur uuuu
r uuuur uuuur
A ' A = AA '' = CC '' = B ' B

B

A'

C

A

13

C'

A''

C''


Theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

TuBuu' uBr

: A’
B’
C’
C
A

a

A

a

B

a

C

a

C’’

a

A’’

A ' B ' C ' CA → ABCC '' A ''

Mà

TuBuu' uBr

là phép dời hình nên ta có:

A’B’C’CA và ABCC’’A’’ là các ngũ giác bằng nhau

Lại có:

 S BB ' A ' A + S BB 'C 'C = S A ' B 'C 'CA − S ABC

⇒ S ACC '' A '' = S BB ' A ' A + S BB 'C 'C
 S ACC '' A '' = S ABCC '' A ' − S ABC
AB = 6 3

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABC có

Tính độ dài các cạnh BC và DA.

cm,

Xét phép tịnh tiến:
Khi đó ta có:

uur : A a M
TuBC

uuuu
r uuur
AM = BC

và AB=MC=6

3

Do đó ABCM là hình bình hành
·
⇒ BCM
= 180o − ·ABC = 30o

(Vì

·ABC = 150o

)

· DC = 360o − ( µA + B

µ +D
µ ) = 60o ⇒ MC
· D = 30o
B

Theo định lí Cosin cho tam giác MDC ta có:
·
MD 2 = CM 2 + CD 2 − 2CM .CD.Cos MCD
= 36 ⇒ MD = 6cm

14

(đpcm)

· D = 60o, ·ABC = 150o, ·ADC = 90o
CD = 12cm, BA

Giải:

Lại có:

⇒ S A ' B 'C ' CA = S ABCC '' A ''

.


Ta có:

MC 2 + MD 2 = 144 = DC 2 ⇒VMDC

⇒VDMA

cân tại A (Vì

vuông tại M

· D = 60o − MAB
·
MA
= 30o

· DC = 60o ⇒ M
· DA = 30o
⇒M

)

 BC = MA = MD = 6cm
 BC = 6cm

⇒  AD
⇔
DM
DM .Sin AMD 6.Sin120o
=
⇔
=
=6 3
 AD = 6 3cm


Sin MAD
Sin 30o
 Sin AMD Sin MAD

2.2. Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm
Phương pháp:
 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho

uuuu
r r
EM = v

không đổi (tức là phải tìm ra một
hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố định).
 Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E.
r
 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ

v

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định ( BC không phải là đường kính ) trên đường
tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm
tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Giải
A
D

O

H

B

M

C

Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn
(O) tại D. Ta có

∠BCD = 900

nên DC // AD, AH // CH suy ra tứ giác ADCH là hình bình
15


uuur uuur
uuuu
r
⇒ AH = DC = 2OM

uuuu
r
OM

uuuur ( A) = H
T2OM

hành
. Vì
không đổi suy ra

. Vậy khi A di chuyển trên
đường tròn (O) thì H di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo
uuuu
r
2OM

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi. Biết AB = a và
CD = b (với a, b không đổi). Tìm quỹ tích điểm C trong các trường hợp sau
∠ADB = 900

a.
b. DA = DB

Giải:
D

a. Gọi I là trung điểm AB suy ra I cố

C

định.
Giả thiết suy ra
⇒ ID = IA = IB =

∆ADB
AB a
=
2
2

vuông tại D

A

A'

I'

I

B

.

Do đó điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm
R=

I và bán kính
( (C) cố đinh ).

a
2

bỏ đi hai điểm A và B
AA ' b
= ⇒
AB a

Gọi A’ thuộc canh AB sao cho
AA’CD là hình bình hành

cố định. Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

uuur uuur
⇒ DC = AA '

với

uuur
AA '

uuu
r :D a C
TuAA
'

I a I'
(C ) a (C ')

Mà điểm D chạy trên đường tròn (C) nên điểm C sẽ chạy trên đường tròn (C’). Vậy tập
hợp tất cả các điểm C là đường tròn (C’) tâm
điểm của (C’)và đường thẳng AB.

uuur ( I )
I ' = TuAA
'

R=

và bán kính

a
2

bỏ đi hai giao

b. Gọi d là trung trực của AB suy ra D cố định (vì A, B cố định), theo giả thiết ta có

DA = DB.
16


⇒D

chạy trên d (bỏ qua trung điểm AB)

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:
⇒ AA ' CD

AA ' b
=
AB a

là hình bình hành

A

d

d'

D

C

A'

B

suy ra DC = AA’ (với AA’ cố định). Từ đó theo
định nghĩa phép tịnh tiến ta có:
uuu
r :D a C
TuAA
'

d →d'

Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’.
Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng

uuu
r (d )
d ' = TuAA
'

, bỏ giao điểm của d’ và đường thẳng AB.

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Gọi d là đường thẳng
thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O), (O’) lần lượt tại M và N. Lấy điểm P trên tia AM,
AP = AQ =

điểm Q trên tia AN sao cho

1
AM
2

.

a. Tìm tập hợp tất cả các điểm P.
b. Tìm tập hợp tất cả các điểm Q.

Giải:
Gọi H, H’ lần lượt là các hình chiếu
của O, O’ lên đường thẳng d.
Gọi I’ là hình chiếu của O lên
O’H’, I là hình chiếu của O’ lên OH,
K là trung điểm của OO’. Khi đó ta
có:
∠OIO ' = 900 ⇒ I '

M
P

A

H

H'

O

K

I
B

chạy trên đường

chạy trên đường

tròn (K)
Với (K) là đường tròn cố định (vì (K) có đường kính OO’ cố định).
17

I'
O'

tròn (K)
∠OIO ' = 900 ⇒ I

N
Q

d


⇒ OI ' = HH ' =

a. Ta có OI’H’H là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

AQ =

thiết ta lại có

1
MN ⇒ AQ = OI ' ⇔ AOI ' Q
2

hai điểm O và A cố định nên

uuu
r
OA

uuur : I ' → Q
TOA

là hình bình hành

1
MN
2

mà theo giả

⇔ I ' Q = OA.

Lại có

cố định. Do đó ta có phép tịnh tiến sau:

( K ) → ( K ')

Lại có I’ chạy trên đường tròn (K) nên điểm Q chạy trên đường tròn
Vậy quỹ tích Q là đường tròn
thức

uuuur uuu
r
KK ' = OA

uuur [( K )],
( K ') = TOA

R=

và bán kính

uuur [( K )].
( K ') = TOA

với tâm K’ được xác định bởi công

OO '
2

b. Hoàn toàn tương tự câu a ta có quỹ tích của P là đường tròn tâm

KK '' = O ' A

( K '') = TOuuu'uAr [( K )],
R=

với

OO '
2

tâm K’’ được xác định bởi công thức
và có bán kính
.
Ví dụ 4: Cho hai điểm B, C cố định nằm trên (O,R) và một điểm A thay đổi trên đường
tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố
định.
Giải:
Kẻ đường kính BB’. Ta có:
 AB ' ⊥ AB

CH ⊥ AB

=> AB’//CH
Tương
tự ta có: B’C//AH => AHCB’// là hình bình hành <=> AH=BC’
uuuur
Mà

B 'C

là vectơ cố định, nên theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:
TuBuu'Cur : A a H

O a O'
(O, R ) a (O ', R)

Lại có A chạy trên đường tròn (O,R) nên H chạy trên (O’,R)
Vậy quỹ tích của điểm H là đường tròn tâm O’ và bán kinh R.
Kinh nghiệm:
Thông qua các bài toán trên ta thấy: với bài toán quỹ tích trong phép tịnh tiến thì quan
trọng nhất là ta phải dựng được một hình bình hành có một cạnh cố định và hai
điểm thay đổi (trong đó có một điểm cần tìm quỹ tích và một điểm cho trước quỹ tích
18
hoặc có tìm cũng rất đơn giản)


Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi bằng 2 và
A, B, D nằm trên một đường tròn cố đinh (O,R). Tìm quỹ tích của đỉnh C.
Giải:
Gọi H là trực tâm của tam giác ABD
I là trung điểm của BD
A’ đối xứng A qua tâm O
Khi đó ta có:

 BH ⊥ AD
⇒ BH / / A ' D

 A ' D ⊥ AD
 DH ⊥ AB
⇒ DH / / A ' B

A
'

B
⊥
AB


Suy ra BHDA’ là hình bình hành => I là trung điểm của HA’
=> OI là đường trung bình của tam giác AHA’
uuur
uur
⇒ AH = 2OI

(1)

⇒ AH = 2OI = 2 R 2 − 1

=> Quỹ tích của điểm H là đường tròn (C) tâm A và bán kính
Vì ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của AC nên OI là đường trung bình của
tam giác ACA’ và A’C = 2OI (2)
Từ (1) và (2) ta có =
Lại có là vectơ cố định vì A, O cố định do đó ta có:
a

A’
A

a

C

19

(A, 2 )

a

(A’, 2 )

Lại có H chạy trên (A, 2 ) nên C sẽ chạy trên (A’, 2 )
Vậy quỹ tích của điểm C là đường tròn tâm A’ ( đối xứng A qua O ) và bán kính 2 .
Ví dụ 6: Cho đường tròn(O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi.
Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm
các tam giác MPQ và NPQ
Giải:
Xét tam giác MPQ có

QA ⊥ MB

.

Ta kẻ MM’ vuông góc với PQ thì MM’ cắt QA tại trực tâm H của tam giác MPQ.
Vì OA là đường trung bình của tam giác NMH nên
Do đó có

uu
r :M a H
TuBA

uuuur
uuu

r uuu
r
MH = 2OA = BA

.

với M không trùng với A hoặc B

Suy ra quỹ tích H là ảnh của đường tròn (O) ( không kể hai điểm A và B ) qua phép tịnh
đó.
Làm tương tự đối với trực tâm H’ của tam giác NPQ

Trong chương trình học 11 , chương phép dời hình và đồng dạng trong mặt phẳng chiếm
một vị trí hết sức quan trọng, hơn nữa các phép dời dình và đồng dạng được ứng dụng
rộng rãi trong thực tế. Chẳng hạn như phép tịnh tiến đã được áp dụng vào bài toán thực
tiễn sau:
Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cáh nhau một con sông (xem rằng hai bờ sông là hai
đường thẳng song song) (h.5). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông (cố
nhiên cầu phải vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường thẳng từ A đến M và từ B
đến N. Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao
cho AM+BN ngắn nhất.
A
A

Giải
Trường hợp 1: Coi con sông rất hẹp, bài tooán
trở thành cho hai điểm A, B nằm khác phía
với đường thẳng a. Tìm vị trí điểm M trên a
sao cho AM+BM nhỏ nhất. Khi đó M là giao
điểm của AB với a.

A'

M
aa

M

B

b

N

B

20


Trường hợp 2: a//b
Nhận xét: a, b cố định

uuuu
r
⇒ MN

cố định.

uuur ( A) = A
TuMN

⇒ A' N = AM
'

Ta có

AM + BN = A' N + NB = A' B

Cách dựng: Dựng

uuur ( A)
A' = TuMN

. Nối

A'

với B cắt b tại N.

Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.

2.3. Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình.
Phương pháp:
r
v

 Để dựng điểm M ta làm như sau: Tìm một hình (H) cố định và vectơ
r
v

trước sao cho khi thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ

với (C) cố định tại điểm M cần dựng.r

 Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ

v

không đổi cho

ta có được ảnh là hình (H’) giao

để tìm các điểm còn lại từ đó có hình cần dung.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A(-1; -1), B(3; 1), C(2; 3). Tìm tọa độ D
sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
Giả sử điểm D(x;y). Ta có

Do đó :

uu
r ( D) = C
TuBA

x = 2 − 4
 x = −2
⇔

y = 3− 2
y =1

, mà

uuu
r
BA = (−4; −2)

Vậy D = (-2; 1)

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’)
với

R ≠ R'

và đường thẳng

∆
K

∆

Hãy dựng đường thẳng d và song song với
và chắn đường tròn (O), (O’) những dây cung
bằng nhau.

O'
O
I

Phân tích:

A

21

H

B

A'

H'

B'


Giả sử dựng được đường thẳng d //

uuur uuuuu
r uuur uuur uuuur uur
AB = A ' B ' ⇒ AA ' = BB ' = HH ' = OI .

∆

, cắt (O) và (O’) tại A, B và A’, B’. Khi đó ta có:

Do đó ta có:

uuuu
r : Aa A
TuHH

'

B a B'
(O, R) → ( I , R).

Mà A, B thuộc (O, R) nên A’, B’ thuộc (I, R).
Cách dựng:
Dựng tia
Gọi

Ox ⊥ O ' K

I = Ox ∩ O ' K

với K là hình chiếu của O’ lên

∆

.

.

Dựng đường tròn tâm I bán kính bằng R. Gọi

{A ', B '} = (O ', R ') ∩ ( I , R)

Dựng đường thẳng d đi qua hai điểm A’ và B’.
Chứng minh: Vì

{A ', B '} = (O ', R ') ∩ ( I , R) ⇒ A ' B ' ⊥ O ' I ⇒ d ⊥ O ' K ⇒ d / / ∆.

TuIOur : A ' a A

Xét phép tịnh tiến

Do đó ta có:

B' a B
( I ; R) → (O; R )

 A, B ∈ (O, R)
 A, B ∈ (O, R)


⇔  A ' B ' = AB
 A ' B ' = AB
 uuur uuuur uur

 A, B ∈ D
 AA ' = B ' B = IO

(vì IO//d)

Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi và chỉ khi hai đường tròn (I, R) và (O’, R’) cắt
nhau. Khi đó bài toán chỉ có một nghiệm hình
Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O), (O’) và hai điểm A, B. Tìm điểm M trên (O) và điểm M’
trên (O’) sao cho

uuuuur uuu
r

MM ' = AB

22


Giải:

B

Phân tích : Nếu

uuuuur uuu
r
MM ' = AB

thì M’ là ảnh của M qua phép tinh tiến

tròn (O1) là ảnh của đường tròn (O) qua phép tịnh tiến
giao điểm của (O1) và (O’)

uur
TuAB

uur
TuAB

nên M’ thuộc đường

. Vì M’ thuộc (O’) nên M’ là

Cách dựng:
- Dưng đường tròn (O1) là ảnh của (O) qua

uur
TuAB

- Gọi M’ là một giao điểm của (O1) và (O’)
Dựng vectơ
thỏa mãn

uuuuuu
r uuu
r
M ' M = BA

uuuuur uuu
r
MM ' = AB

, khi đó M thuộc (O). Hai điểm M, M’ lần lượt nằm trên (O), (O’)

Biện luận: Bài toán có số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O1) và (O’).
TH1 Vô nghiệm

23


B

TH2 Một nghiệm

A

TH3 Hai nghiệm

24


B

TH4 Vô số nghiệm

ĐẠI SỐ
1, Một số kiến thức liên quan.

25