Chuyên đề số phức 2017 DTHT THÀNH đạt

SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
TÀI LIỆU DO CÁC THẦY GIÁO: NGUYỄN TIẾN
TUẤN, NGUYỄN THANH DŨNG VÀ HOÀNG
MINH GIANG VIẾT DÀNH TẶNG CHO CÁC EM
HỌC SINH LỚP 12 CỦA LẠNG SƠN.
chúc các em ôn tập tốt

Địa chỉ: Số 18, Ngô Gia Tự,
TP Lạng Sơn.
Điện thoại:
0913.299.363
0941.299.363
0253.866.686

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
2017

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

1

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC
A-Tóm tắt lý
thuyết:
1, Khái niệm số phức:
*Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng a  bi , trong đó a, b là các số thực và
số i thoả mãn i 2  1 .
Kí hiệu số phức đó là z và viết z  a  bi .
- i được gọi là đơn vị ảo,
- a được gọi là phần thực của số phức z  a  bi .
- b được gọi là phần ảo của số phức z  a  bi .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là

.

*Chú ý:
+ Nếu b  0  z  a , khi đó số phức z là số thực.
+ Nếu a  0  z  bi , khi đó Số phức z được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
+ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
*Định nghĩa 2: Hai số phức z  a  bi ( a, b  ) và z '  a ' b ' i ( a ', b '  ) được gọi là bằng
nhau nếu : a  a ' và b  b ' . Khi đó, ta viết: z  z ' .
a  a 
Hay : z  z   
.
b  b 

2, Biểu diễn hình học số phức:
- Mỗi số phức z  a  bi ( a, b  ) được biểu diễn bởi một điểm M (a; b) trên mặt phẳng toạ
độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm M (a; b) biểu diễn một số phức z  a  bi
- Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức. Trục Ox gọi là trục

thực, trục Oy gọi là trục ảo.
3, Các phép toán trong tập số phức:
a) Tổng, hiệu của hai số phức
Cho hai số phức z1  a1  b1i , z2  a2  b2i ( a1 , b1 , a2 , b2  ). Khi đó:
* z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i .
* z1  z2   a1  a2   b1  b2  i
*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Mỗi số phức z  a  bi ( a, b  ) được biểu diễn bởi M (a; b) cũng có nghĩa là véc tơ OM .
Khi đó nếu u1 , u2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì:
+ u1  u2 biểu diễn số phức z1  z2
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

2

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

+ u1  u2 biểu diễn số phức z1  z2
b) Phép nhân số phức:
Cho hai số phức z1  a1  b1i , z2  a2  b2i ( a1 , b1 , a2 , b2  )
Tích của hai số phức trên là: z1.z2  a1a2  b1b2  (a1b2  a2b1 )i .
*Nhận xét:
+ Với mọi số thực k và mọi số phức z  a  bi ( a, b  ), ta có:
kz  k (a  bi )  ka  kbi

+ 0.z  z.0  0 với mọi z  .

+ Lũy thừa của i :

i 0  1; i1  i; i 2  1; i3  i

Ta có:

i 4  1; i5  i; i 6  1; i 7  i
Từ đó, ta có một số kết quả sau:
1. i 4 n  1; i 4 n1  i; i 4 n 2  1; i 4 n3  i .
2. i 4 n  i 4 n 1  i 4 n  2  i 4 n 3  0 .
3. i 4n  i 4m 2  0; i 4n1  i 4m3  0
+ Một số hằng đẳng thức cơ bản của số phức:
1. 1  i   2i
2

2. 1  i   2i
2

4, Số phức liên hợp và mô đun của số phức:
*Định nghĩa 3: Số phức liên hợp của số phức z  a  bi ( a, b  ) là a  bi và được kí hiệu
là z .
Như vậy, ta có: z  a  bi  a  bi
*Nhận xét:
+ Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z  z . Do đó ta còn nói z và z là hai số
phức liên hợp với nhau.
+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng
đối xứng nhau qua trục Ox.
*Tính chất:
i, Với mọi z1 , z2 

ta có:

 z1  z2  z1  z2 ;

 z1  z2  z1  z2

 z1.z2  z1.z2

z  z
  1  1
 z2  z2

2, Vì z  a  bi  z  a  bi , ta luôn có: z  z  2a; z  z  2bi
Từ đó, ta có:
 Số phức z là số thực khi và chỉ khi z  z .

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

3

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

 Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z  z  0
*Định nghĩa 4: Mô đun của số phức z  a  bi ( a, b  ) là số thực không âm

a2  b2 và

được kí hiệu z :

z  z.z  a2  b2 .
*Nhận xét:
+ z  0 khi và chỉ khi z  0 .
+ za z  a;

z  bi  z  b

+ z  , z  a  bi ( a, b  ), số z.z luôn là một số thực và

z.z  a 2  b2  z

2

+ z  z .
5, Phép chia cho số phức khác 0:
*Định nghĩa 5:
- Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là z 1 

z
z

2

.

z'

của phép chia số phức z ' cho số phức z khác 0 là tích của z ' với số phức
z
z'
nghịch đảo của z , tức là
 z '.z 1 .
z

- Thương

Như vậy, nếu z  0 thì

*Chú ý: Có thể viết

z ' z '.z
 2
z
z

z ' z '.z z '.z
z'
nên để tính
ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu số với z
 2 
z
z
z.z
z

. Để ý rằng z.z  z .
2

*Nhận xét: + Với z  0 , ta có:

1
 1.z 1  z 1 .
z

+ Cho z , z là hai số phức, ta có:


z'
z'
;

z
z

 z1 z2  z1 . z2 ;
 z1  z2  z1  z2

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

4

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Dạng 1: Tính toán và Chứng minh
A – BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1, z  (3  5i )  (7  3i)

2, z  (4  3i )(4  5i)

3, z  5  2i  7(2  i)  3i

4, z  (1  i)14

5, z  (3  2i)(3  2i)  5(1  2i)  2i 5

6, z  (3  i)16 (1  2i)16

7, z  (1  i)8

8, z  (3  i)3

9, z  (1  i)3  (1  i)2

10, z 

2i
1 i

11, z 

(1  2i)(2i)2

1  3i

12, z 

(2  3i)(3  i) 2
6  17i

Bài 2: Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun của mỗi số phức sau:
1, z  (i  3)2  3(2i  3)(i  1)

2, z  (2  i)3  (3  i)3

3, z 

1  7 1
 i  7 
2i 
i

4, z 

5, z 

2i  1
 4i 3  3i  2
i2

6, z 

3 i

2 i

1 i
i
(3i  1)(2  i ) 3
 i (1  4i )
1 i

(1  9i)18 (4  5i)18
7, z 
(1  i)20

8, z  

(1  3i)15
1

9, z 
 3  i9  9 
12

i 
( 3  i)

1
 1 i 
10, z  
 (1  i )10  (2  3i )(2  3i) 

 1 i 

i

 1 i 
 1 i 
11, z  


 1 i 
 1  i 

12, z  1  (1  i)  (1  i)2  ...  (1  i)99

16

3  2i 3 3  2i 3

2  3i
2  3i
33

8

Bài 3: Tìm z và tính z biết rằng:
1, z  2  i 3

2, z  2  2i

3, z  2013

4, z  2014i

5, z  2  3  (2  3)i

6, z  (1  i )(3  2i ) 

Bài 4: Cho số phức z 





2
1
3
1

i . Tính: z ; z ; ; z 3 ; z ; z 2  z  1 ; 1  z 6
2 2
z

Bài 5: Cho số phức z  (1  2i)(2  i)2 . Tính: z ;

z;

z z;



1
3 i

2013

z. z

Bài 6: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1, 3x  y  5 xi  2 y  1  ( x  y )i

2, x(3  5i)  y(1  2i)3  9  14i

3, 3x  yi  2 y  1  (2  x)i

4, 2 x  y  1  ( x  2 y  5)i

3
5, ( x  2 yi )(2 x  yi )  2  i
2

6, x 2  (1  i) y 2  (4  3i) xy  1  4i

Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1, x(2  3i)2  (2 y  1)(1  i)3  5(7  10i)

2, (2 x  i)(3  i)2  ( x  2 y)(i  2)3  18  76i

3, (2 x  1)(2  i)3  y(3  2i)(2  3i)  6  85i

 1 i 
4, (3 x  y ) 
 ( y  2)( x  i) 2  19  23i

 1  i 
7

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

5

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Bài 8: Chứng minh rằng các số phức sau là số thực:

(1  3i)3 (4  3i) 2
1, z 
(2  i)2 (3  80i  i 3 )
3, z  (2  i 5)  (2  i 5)
7

(3  2i ) 2 ( 2  i ) 19
2, z 

3i
(1  2i ) 2
 19  7i 
4, z  
 9  i 

7

2013

 20  5i 

 7  6i 

2013

Bài 9: Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo:
1, z  (1  3i)9  i 5 (512i  3)

2, z  (5i  1)2 (1  3i )  (8i  10) 2

5  2i
5  2i

2 3  10i 2 3  10i

3, z 

52  2013i
52  2013i

(3  1)(79  7i) 10(23  10i)

4, z 

Bài 10: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1, z 

3  2i
(1  i)(2  3i)

2, z 

3, z 

1  5i
 (2  i )3
1 i

4, z  (2  i ) 2  (1  i ) 4 

(1  i)(2  i) (1  i)(2  i)

2i
2i
7i
2i

Bài 11: Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo:
1,  

i 2013  i 2
z  z
z 1



2

2,  

2
z3  z
 z z
z 1

2, B 

(1  2i)2  (1  i)2
(3  2i)2  (2  i)2



Bài 12: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
3

 1 i 3  1 i 3
1, A    

2   2
2 
 2
3, C 

(2  i)3  (2  i)3

(2  i)3  (2  i)3

 1 i 
4, D  
 1  i 

2013

 (1  i )10  (2  3i)(2  3i) 

1
i

Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn:
1, iz  z  i  0
4,

zi
1 i  3  i
1 i

7, ( 2  i 3) z  3  i 2

2, (3  2i ) z  1  i  4 z
5,

3, (1  5i ) z  10  2i  1  5i

2  3i
 1  3i  2 z  1

1 i

8, ( z  1)(1  i)  2  2i 

6,

2i
1  3i
z
1 i
2i

z  2i
1 i

Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn:
1, (4  3i) z  (2  i)(3  5i)
4,

2  i  z 2z  1

(3  i)2 10  5i

5,

3, ( z  2)i  (3i  z )(1  3i)

7i
3 i


3
(2i  1)
2z  1

6, 2 z  3i 



10, 4 z  z (2  i)  7 z  3i  7

11, (1  i ) z  5  5i 

1 i z  2  i

1 i
1 i



8, z  2 z  2  4i

7, z  z 2



2, 2z  3iz  4 11i



9, z.z  3 z  z  13  18i

2iz  2i
1 i

Bài 15: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z  5 và z  z

2, z  2 z  3 và z   z

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

6

3, 2 z.z  z  5 và z  z
2

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT



4, z 2  z

2

z 1
1

z 3

 0 và

5, z  2  i  z  1  2i và

1
10

10
z

6, z  5 và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó.
Bài 16: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z 2  z  z
4, z 

2, z 

2

( 2  i )3
1  2i

5i 3
1  0
z

5, ( z  1)(1  i) 





3,

z 1
2
 z
1 i

1  i (2  3i ) z

 2i
2
z
z





6, z.z  z 2  z  2 z  10  3i

7, z  1  5 và 17 z  z  5z.z  0

8, z  1  2i  5 và z.z  34

9, z  (2  i)  10 và z.z  25

10, z  3i  1  iz và z 

9
là số thuần ảo
z

Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z  2  4i  z  2i và z  1  2i nhỏ nhất.
2, z  1  i  iz  2 và (2 z  3  2i)( z  i) là số thuần ảo.





3, z nhỏ nhất và ( z  1) z  2i là số thực.
4, z nhỏ nhất và iz  3  z  2  i





5, z lớn nhất và 2  z (1  z ) là số thuần ảo.
Bài 18: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z  2  i  52 và z  4  2i nhỏ nhất.
2, z  1  2i  z  3  4i và

z  2i
là số thuần ảo.
zi

3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:



z  1 và z 2  z

2

 3

Bài 19: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z  1  2i  z  3  4i và z  z  1  i  10

2,

z 1
z  3i
1
 1 và
zi
z i

3,

z2
5
z 5
và

1

z 1
z  3i 3 2

4,

z 1
z  2i
 1 và
2
z 3
zi

5,

zi
 1 và ( z  3)( z  3i)  9
z 1

6,

z  3i
 1 và ( z  2)(iz  5  2i)  6
z i

8,

z2
 1 và ( z  1) z  i  5
z  2i



7, z 2  z

2

 0 và

z 1
1
z 3

 

Bài 20: 1, Tìm số phức z sao cho w  z (2  3i)(2  i)(3  2i) là 1 số thực.
2, Cho số phức z thoả mãn: z  2z  3  i . Tính z12 .

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

7

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

3, Cho số phức z thoả mãn: z  1 

z7
z  2i
. Tính
.
z2
z i

4, Cho số phức z thoả mãn: z  1 

z  18
z  4i
. Tính
.
z2
z  2i

5, Cho số phức z thoả mãn: z  2 z  3(1  2i) . Tính w  z  z  z .
2

6, Cho số phức z thoả mãn: z 
7, Cho số phức z thoả mãn:

3

4
 i . Tính A  1  (1  i) z .
z 1

z  2i
là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

z2

T  z 1  z  i .

Bài 21: 1, Cho hàm số: f ( z )  z 3  2 z 2  7 z  3 . Chứng minh rằng:
w  f (1  i)  f (1  i) là một số thực.

2, Cho số phức z  x  yi ( x, y  ) thoả mãn: z 3  18  26i .
Tính giá trị của biểu thức: A  ( z  2)2013  (4  z )2013 .
3, Cho số phức w 

z 1
. a, Xác định phần thực của w biết rằng z  1 và z  1.
z 1

b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì z  1 .
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
3
Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn: z  3z   2  i   2  i  . Tìm phần ảo của số phức z .
15
A. 10 .
B.
.
C. 10 .
D. 10i .
4
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn (2 z  1)(1  i )  ( z  1)(1  i )  2  2i . Tìm phần thực và phần
ảo của z.
1
1

1
1
A. phần thực  và phần ảo .
B. phần thực
và phần ảo  i .
3
3
3
3
1
1
1
1
C. phần thực
và phần ảo .
D. phần thực
và phần ảo  .
3
3
3
3
Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn: z 
A. 4 2



2 i

B. 4 3 .

 1  2i
3

C. 5 .

. Tìm phần thực của số phức z .
D. 5i .

3

 1 i 3 
Câu 4. Cho số phức z  
 . Tìm phần thực và phần ảo của z .
 1 i 
A. phần thực 2 và phần ảo 2 .
B. phần thực 2 và phần ảo 2
C. phần thực 2 và phần ảo 2 .
D. phần thực 2 và phần ảo 2i .
1  mi
Câu 5. Cho số phức z 
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để số phức z là số
1  2i
phần thực.
3
A. m 
B. m  2
C. m  4
D. m  1
2
Câu 6. Số phức z  (3  2i) z  (2  i)2 được rút gọn có dạng z  a  bi . Tính giá trị của a  b .

A. 1
B. 0
C. 4
D.6
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

8

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

i 2008  i 2009  i 2010  i 2011  i 2012
là;
i 2013  i 2014  i 2015  i 2016  i 2017
A. 0; -1
B. 1; 0
C. -1; 0
D. 0; 1
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   2  i z  3  5i . Phần thực và phần ảo của
z

Câu 7. Tìm phần thực và phần ảo của

z là:

A. 2 và -3

B. 2 và 3
C. -2 và 3
Câu 9. Cho số phức z  a  bi . Tìm mệnh đề đúng:
A. z  z  2bi

B. z  z  2a

D. -3 và 2.

C. z.z  a2  b2

D. z 2  z

2

Câu 10. Cho số phức z  a  bi . Số phức z 2 có phần thực là:
A. a  b
B. a  b
C. a 2  b 2
D. a 2  b 2
Câu 11. Cho số phức u  a  bi và v  a ' b ' i . Số phức u.v có phần thực là:
A. a  a '
B. a.a '
C. a.a ' b.b '
D. 2b.b '
2
Câu 12. Phần ảo của số phức z  ( 2  i ) (1  2i) bằng:
B. 2
C. 2
D. 3

A.  2
Câu 13. Phần thực của số phức z thỏa mãn (1  i)2 (2  i) z  8  i  (1  2i) z là:
A.-6
B. -3
C. 2
D. -1
3  2i
Câu 14. Phần ảo của số phức
là?
2i
7
4
7
7
A.
B.
C. i
D.
5
5
5
3
Câu 15.
Cho z  2  3i , nghịch đảo của số phức z là:
2 3
A. 2  3i
B. 3  2i
C.
D. 3  2i
 i

13 13
Câu 16. Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các
kết luận sau, kết luận nào là đúng?
A. z 
B. z  1
D. z  1

C. z là một số thuần ảo

Câu 17. Cho số phức z  0. Biết rằng số phức nghịch đảo của z bằng số phức liên hợp
của nó. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
A. z là số thực.
B. z là một số thuần ảo
C. z  1
D. z  2
Câu 18. Số phức nghịch đảo của số phức z  1  i là
1
1 1
1 1
A. 1  i
B.
C.  i
D.  i
1 i
2 2
2 2
Câu 19. Cho số phức z  2  3i . Nghịch đảo của số phức z là
1 2 3
1 2 3
1

2 3
1 2 3
 i
A. 
B.   i
C.    i
D.   i
z 13 13
z 13 13
z
13 13
z 13 13
1
Câu 20. Dạng z  a  bi; a, b  R của số phức
là số phức nào dưới đây?
3  2i
3 2
3 2
3 2
3 2
 i
 i
A.
B.
C.   i
D.   i
13 13
13 13
13 13
13 13

Câu 21. Số phức liên hợp của z  3  2i là:
A. z  3  2i
B. z  3  2i
C. z  2  3i
D. z  2  3i
2
2
1
Câu 22. Cho số phức z  a  bi; a, b  R, a  b  0 .Số phức z có phần ảo là
a
b
A. a 2  b 2
B. a 2  b 2
C. 2
D. 2
2
a b
a  b2
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

9

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Câu 23. Phần thực của số phức z 

1  4i
là
3  2i

10
11
B.
C. 4
13
13
Câu 24. Cho số phức z  a  bi; a, b  R, b  0 . Số z  z luôn là:
A. số thực
B. số ảo
C. số 0
Câu 25. Số nào trong các số sau là số thuần ảo:

A.

A.



 

3  2i 

3  2i



B.  3  3i 

2

C.



3  2i



3  2i

D. 6

D.số i



D.

2  3i
2  3i

2
. Số phức liên hợp của z là
1 i 3
1 i 3

1 i 3
1
3
1
3
A.  i
B. 
C. 
D.  i
4
4
4
4
2
2
2
2
Câu 27. Cho số phức z  a  bi . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
2
A. z + z = 2bi.
B. z  z  2a .
C. z. z = a2  b2.
D. z.z  z .
Câu 26. Cho z 

Câu 28. Cho các số phức: z1  3i : z2  1  3i ; z3  2  3i . Số phức liên hợp của số phức
có mô đun lớn nhất trong 3 số phức đã cho là
A. 2  3i
B. 3  2i
C. 2  3i

D. 3i
Câu 29. Số phức liên hợp của số phức: z  1  3i là số phức:
A. z  3  i
B. z  1  3i
C. z  1  3i
D. z  1  3i .
Câu 30. Số phức liên hợp của số phức: z  1  2i là số phức:
A. z  2  i
B. z  2  i
C. z  1  2i
D. z  1  2i .
Câu 31. Tìm z biết số phức z   2  i 3
2 i 3
A. 2  i 3
B.  2  i 3
C.
D. 3  i 2
Câu 32. Cho số phức z  5  12i . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số phức liên hợp của z là z  5  12i B. Phần thực của z là -5.
C. Phần ảo của z là -12.
D. z  13
Câu 33. Cho số phức z  6  7i . Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn
A. (6;7)
B. (6; 7)
C. ( 6; 7)
D. (6; 7) )
15
Câu 34. Tính i
A.  i
B. i

C. 1
D. 1
2
4
 2  i  2i là:
Câu 35. Kết quả của phép tính:
1 i
A. 7  i
B. 56  8i
C. 7  i
D. 56  8i
Câu 36. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
A. i1977  1
B. i 2345  i
C. i 2005  1
D. i 2006  i
Câu 37. Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?
A. 1  i   16
1
Câu 38. Số
bằng
1 i
8

B. 1  i  16i

C. 1  i   16

8

8

D. 1  i   16i
8

1
C. 1  i
D. i
1  i 
2
Câu 39. Gọi là hai nghiệm của phương trình z 2  2 z  10  0 . Giá trị của biểu thức

A. 1  i

2

z1  z2

2

A. 20

B.

bằng:
B. 30

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

C. 25

10

D. 35
Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

1
( z  z ) được kết quả :
2i
A. 6i
B. 3i
C. 0
D. 3
Câu 41. Thu gọn z  (2  3i)(2  3i) ta được:
A. z  4
B. z  13
C. z  9i
D. z  9  4i
4
Câu 42. Số phức z  (1  i) bằng:
A. 2i
B. 4i
C. -4
D. 4
3
Câu 43. Số phức z  (1  i) bằng:

A. 2  2i
B. 4  4i
C. 3  2i
D. 4  3i
3  2i 1  i
Câu 44. Thu gọn số phức z =
ta được:

1  i 3  2i
21 61
23 63
15 55
2 6
A. z =
B. z =
C. z =
D. z =
 i
 i
 i
 i
26 26
26 26
26 26
13 13
zi
Câu 45. Có bao nhiêu số phức thoả mãn:
1
z i
A.0

B. 1
C.2
D. Vô số
2
1
3
Câu 46. Cho số phức z   
i . Số phức z bằng
2 2
1 3
1
3
1
3
A.  
B.  
C.1
D.  i
i
i
4 4
2 2
2 2
1
Câu 47. Cho số phức z  a  bi . Khi đó số
z  z là
2
A. a
B. bi
C. 2bi

D. 2a
Câu 48. Cho số phức z  5  12i , khẳng định nào sai?
12  5i
A. Số phức liên hợp của z là z  5  12i B. z 
i
5
12

i
C. Mô đun z bằng 13
D. z 1  
169 169
1
z  z là:
Câu 49. Cho số phức z  a  bi . Khi đó số
2i
A. Một số thực
B. 0
C. Một số thuần ảo D. 0
6
Câu 50. Trên tập hợp số phức, giá trị i bằng
A. 1.
B. 1.
C. i.
D. –i.
Câu 51. Gọi A và B lần lượt là điểm biểu diễn của z = 3+2i và z'=2+3i. Tìm mệnh đề
đúng:
A. Điểm A và B đối xúng nhau qua gốc tọa độ O.
B. Điểm A và B đối xúng nhau qua trục tung.
C. Điểm A và B đối xúng nhau qua trục hoành.

D. Điểm A và B đối xúng nhau qua đường thẳng có phương trình y = x.
Câu 52. Cho số phức z  (2  i)5 . Viết số phức dưới dạng z  a  bi ?
A. z  38  41i .
B. z  38  41i .
C. z  38  41i .
D. z  38  41i .
3  4i
Câu 53. Số phức z =
bằng:
4i
16 13
16 11
9 4
9 23
 i
 i
 i
A.
B.
C.  i
D.
17 17
15 15
5 5
25 25
1  i 2017
Câu 54. Tính z 
.
2i

Câu 40. Cho z  5  3i . Tính









Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

11



Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

1 3
3 1
D.
 i
 i
5 5
5 5

5  3i
Câu 55. Số phức z thỏa mãn điều kiện z 
 1 là:
z
A. 1  3i và 2  3i
B. 1  3i và 2  3i

A.

3 1
 i
5 5

B.

1 3
 i
5 5

C.

C. 1  3i và 2  3i
D. 1  3i và 2  3i
3  4i
Câu 56. Số phức z 
bằng:
4i
16 13
16 11
9 4

9 13
A.
B.
C.  i
D.
 i
 i
 i
17 17
15 15
5 5
25 25
1
3
Câu 57. Cho số phức z   
i . Số phức 1  z  z 2 bằng
2 2
1
3
i.
A.  
B. 1  3i
C. 1  3i
D. 0
2 2
Câu 58. Số phức z  2  i phần ảo của số phức w  2z  z là:
A. 2
B. -2
C. 3
D. -3

Câu 59. Đẳng thức nào sau đây là đúng:
A. 1  i  =-16

C. 1  i  =16
3  4i
Câu 60. Thực hiện phép tính sau: P 
(1  4i )(2  3i)
3  4i
62  41i
62  41i
A.
B.
C.
14  5i
221
221
Câu 61. Tìm các số thực x, y biết:  x  y    x  y  i  5  3i
8

B. 1  i =16i
8

8

D. 1  i  =-16i
8

D.

62  41i

221

x  4
x  2
x  1
x  3
A. 
B. 
C. 
D. 
y 1
y  3
y  4
y  2
Câu 62. Nếu ta có  x  2   2 y  1 i   y  1   x  2 i thì hai số thực x, y bằng:
x  2
x  5
x  1
x  4
A. 
B. 
C. 
D. 
y 1
y  3
y  4
y  5
Câu 63. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z   2  3i 1  2i  :

A. 8;1

C. 8; 1

B. 1;8

D. 4; 1

Câu 64. Số phức z   3  2i  có phần thực và phần ảo lần lượt bằng:
2

A. 13;12

B. 13; 6

C. 12;6

D. 5;12

Câu 65. Số phức z thỏa mãn: z  (1  i ) z  11i là:
A. z  3  2i, z  2  3i
B. z  3  2i, z  2  3i
C. z  3  2i, z  2  3i
D. z  3  2i, z  3  2i
Câu 66. Cho số phức z = 1+2i. Phần thực và phần ảo của số phức w = 2z+𝑧̅
lần lượt
là:
A. 3 và 2
B. 3 và -2
C. -3 và 2
D. -3 và -2

Câu 67. Cho số phức (1-i)z – 1+5i. Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là:
A. 3 và 2
B. 3 và -2
C. -3 và 2
D. -3 và -2
1
3
i . Số phức ( z ) 2 bằng:
Câu 68. Cho số phức z   
2 2
1
3
1
3
i
i
A.  
B.  
C. 1  3i
D. 3  i
2 2
2 2
2

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

12

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686

SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Câu 69. Cho số phức z  a  bi . Khi đó số
A. Số thực

B. 0

Câu 70. Tìm số phức z biết z  4  2i 
A.

21 7
 i
5 5

B.

1 i
2i

21 7
 i
5 5





1
z  z là:
2i
C. Số thuần ảo.

C. 

Câu 71. Tìm z biết z  1  2i1  i ?

21 7
 i
5 5

D. i

D. 

21 7
 i
5 5

2

A. 2 5

B. 2 3
C. 5 2
3  4i
Câu 72. Số phức z =
bằng:

4i
16 13
16 11
9 4
A.
B.
C.  i
 i
 i
17 17
15 15
5 5
1
3
i . Số phức ( z )2 bằng:
Câu 73. Cho số phức z =  
2 2
1
3
1
3
i
i
A.  
B.  
C. 1  3i
2 2
2 2
1
Câu 74. Cho số phức z  a  bi . Khi đó số

z  z là:
2
A. a
B. b
C. 2bi
Câu 75. Tìm x; y thỏa mãn đẳng thức (3  x)  (1  y) i  1  3i ?
 x  2
x  2
 x  2
A. 
.
B. 
.
C. 
.
 y2
 y2
y  2



D. 20

D.

9 23
 i
25 25

D.

3i



D. i
x  2
D. 
.
y  2

Câu 76. Cho số phức z  5  3i . Số phức w  z.z  (3  4i) là
A. w  13  4i .
B. w  13  41i .
C. w  31  4i .
D. w  31  4i
Câu 77. Cho số phức z1  3  2m  i, z2  5  i . Giá trị của tham số thực để là
A. 5
B. 1
C.−1
D.3
Câu 78. Cho số phức z1  2 x  y  ( x  3 y)i, z2  1  x  7i . Giá trị nào của x, y để ?
A.
B.
C.
D.
2
Câu 79. Gọi là hai số thực thỏa x(3  5i)  y(2  i)  21  31i . Khi đó giá trị của x, y lần
lượt là
 x  3

x  3
 x  4
 x  21
A. 
B. 
C. 
D. 
 y  31
y  4
 y  4
y  3
Câu 80. Gọi x, y là hai số thực thỏa x  3  5i   y  2  i   4  2i . Khi đó 2x  y bằng
2

A. 2
B. 0
C. 1
D. -2
Câu 81. Nghiệm của phương trình (4  7i) z  (5  2i)  6iz là:
18 13
18 13
18 13
18 13
 i
 i
 i
 i
A.
B.
C.

D.
7 7
17 17
7 17
17 17
1
1
1
Câu 82. Tìm số phức z biết rằng


z 1  2i (1  2i )2
10 35
8 14
8 14
10 14
 i
 i
A. z   i
B. z 
C. z 
D. z   i
13 26
25 25
25 25
13 25
3
(1  3i )
Câu 83. Cho số phức z thỏa mãn: z 
. Tìm môđun của z  iz .

1 i
A. 8 2
B. 4 2
C. 8
D. 4
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

13

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Câu 84. Với giá trị nào của x,y để 2 số phức sau bằng nhau: x  2i  3  yi
A. x  2; y  3
B. x  2; y  3
C. x  3; y  2
D. x  3; y  2
Câu 85. Với giá trị nào của x,y để 2 số phức sau bằng nhau:  x  y    2 x  y  i  3  6i
A. x  1; y  4

B. x  1; y  4

C. x  4; y  1

D. x  4; y  1

Câu 86. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z  iz  2  5i . Số phức z cần tìm là:
A. z  3  4i
B. z  3  4i
C. z  4  3i
D. z  4  3i .
Câu 87. Cho x, y là các số thực. Hai số phức z  3  i và z  ( x  2 y )  y i bằng nhau khi:
A. x  5, y  1
B. x  1, y  1
C. x  3, y  0
D. x  2, y  1
Câu 88. Cho x, y là các số thực. Số phức: z  1  xi  y  2i bằng 0 khi:
A. x  2, y  1
B. x  2, y  1
C. x  0, y  0
D. x  1, y  2
Câu 89. Cho x số thực. Số phức: z  x(2  i ) có mô đun bằng

5 khi:

1
2
Câu 90. Cho hai số phức z  (2 x  3)  (3 y  1)i , z '  3x  ( y  1)i . Ta có z  z ' khi :

A. x  0

B. x  2

C. x  1

D. x  

5

x  
3
A. 
 y  0

5

 x   3
B. 
y  4

3

x  3
C.  y  1


x  1
D.  y  3


Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

14

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686

SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức và bài toán liên quan

Loại1
Trong mặt phẳng tọa độ

hãy tìm tập hợp điểm

biểu diễn các số phức

thỏa mãn điều kiện cho trước ?
A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bước 1. Gọi M( x; y) là điểm biểu diễn số phức: z x yi , ( x, y
).
Bước 2. Biến đổi điều kiện K để tìm mối liên hệ giữa x, y và kết luận.
Mối liên hệ giữa x và y
Kết luận tập hợp điểm M( x; y)
Ax

By

C

0.

(x

a) 2

(y

b)2

2

2

x

y

2ax

Là đường thẳng d : Ax By C

(x

a) 2

(y

b)2

x2

y2

2ax

R12

(x

a)2

(y

y

ax2

bx

c , (a

y2
b

1 với

x2
a

y2
b

1 với

MA

c

0

a2 b2 c .
bán kính R
Là hình tròn (C ) có tâm I ( a; b) và bán

0

a2 b2 c .
kính R
Là những điểm thuộc miền có hình
vành khăn tạo bởi hai đường tròn
đồng tâm I ( a; b) và bán kính lần lượt
R1 và R2 .

R2

2by

x2
a

Là đường tròn (C ) có tâm I ( a; b) và

R2

2by

0.

c

b)2

R22 .

0).

b
;
2a 4a

Là một parabol ( P) có đỉnh S

MF1

MF2

F1 F2

2c

MF1

MF2

F1 F2

2c

Là một elíp có trục lớn 2a, trục bé 2b

2a
2a

và tiêu cự là 2c

2 a2

b2 , (a

b

0).

Là một hyperbol có trục thực là 2a,

2a
2a

trục ảo là 2b và tiêu cự 2c 2 a2 b2
với a, b 0 .
Là đường trung trực của đoạn thẳng
AB .

MB .

Nhóm 1: Tìm trực tiếp quỹ tích
BT 1.

Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z 2i

5 và điểm biểu diễn của z thuộc đường

thẳng d : 3x y 1 0 ?
BT 2.

ĐS: z 1 4i , z

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 2i)z
phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy ?

BT 3.

i
i

(3

1
i.
5

i)z. Tìm tọa độ biểu diễn số

ĐS: M

1 7
;
10 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện: z

BT 4.

2
1

2
5

z

2

3i ?

ĐS: d : 4x 6 y 13 0.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện: z 3 4i 2 ?
ĐS: (C) : (x 3)2 ( y 4)2 4.

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

15

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

BT 5.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện: z i
ĐS: (C) : x2 y2 2y 1 0.
1 i z ?

BT 6.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa
z

mãn điều kiện:

z

3 ?

i

ĐS: (C) : x

2

9
8

y

2

9
64

BT 7.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa
mãn điều kiện: z 2.
ĐS: x2 y2 4.

BT 8.

Tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 1

BT 9.

ĐS: 1 (x 1)2 y2 4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa

z

1

2 ?

i
là số thuần ảo ?
ĐS: x2 y2 1, (x 0).
i
BT 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa

mãn điều kiện:

z
z

mãn điều kiện: z 1

z

4?

1

ĐS:

E :

y2

3

x2
4

1.

BT 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa

mãn điều kiện: 2 z i

z

z

2i ?

ĐS:

P :y

x2
4

BT 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa

mãn điều kiện: z2 ( z)2

4 ?

ĐS:

H :y

1
x

BT 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa

mãn điều kiện: (1 i)z (1 i)z

2z

1 ?

ĐS:

H :y

2x 1
, (x
2x

0).

BT 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa

mãn điều kiện: z z
BT 15. Cho số phức z

m

(z

(m

z)i

3)i , (m

2z ?

ĐS: y

x, x

0 .

).

a) Tìm tham số m để biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác thứ hai y

x

2
?
x

b) Tìm tham số m để biểu diễn số phức nằm trên đường hypebol H : y

c) Tìm tham số m để khoảng của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ là nhỏ nhất
BT 16. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn lần lượt các số

phức: z1

4i
i

1

, z2

(1 i)(1

2i) và z3

2 6i
3 i

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông ?
b) Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông ?

Nhóm 2: Tìm gián tiếp quỹ tích
BT 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức

điều kiện:

(1 2i)z

3, biết z là số phức thỏa: z

5 ?

2

ĐS: (C) : ( x 1)2 ( y 4)2 125.
BT 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
điều kiện:

(1

i 3)z

2, biết z là số phức thỏa: z

1

16

thỏa

2 ?

ĐS: (C ) : ( x 3)2
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

thỏa

(y

3)2

16.

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

BT 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức

điều kiện:

1 i , biết z là số phức thỏa: z 1

z

thỏa

3 ?

2i

ĐS: (C) : (x 2)2 ( y 1)2 9.
BT 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
thỏa
điều kiện:
2z i , biết z là số phức thỏa: z 1 2 ? ĐS: (C) : ( x 2)2 ( y 1)2 16.

BT 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức

thỏa

3

điều kiện:

iz

z

2, biết z là số phức z

(1
3i )
? ĐS: (C) : x2
16(1 i )5

y2

4.

BT 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức

điều kiện:

(1

2i)z

1, biết z là số phức thỏa: z

1

2

zz
?
2

ĐS: (C) : ( x 1)2 ( y 4)2 10.
BT 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
điều kiện:

(1

i 3)z

2, biết z là số phức thỏa: z

1

ĐS: ( x 2)2 ( y 1)2 2.
BT 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
a) 3z i

2

b) 2 z i

2

3z.z

thỏa

thỏa

1 i , với số phức z thỏa mãn:

z
z.z

thỏa

2 ?

3)2 16.
ĐS: ( x 3)2 ( y
BT 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức
điều kiện:
(1 i)z 1, biết z là số phức thỏa: z 1 1 ?

điều kiện:

thỏa

9.

1.

ĐS: x2

y2

2x

5
y
4

ĐS: x2

y2

2x

2y

1
4

2

0.

0.

Loại 2

Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất thỏa mãn tính chất K cho trước ?

A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Bước 1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z để được mối liên hệ giữa x và
y.

Bước 2. Dựa vào mối liên hệ giữa x và y ở bước 1, để tìm z min , z max ?
 Lưu ý
Thơng thường với loại này, người ra đề hay cho tập hợp biểu diễn số phức z là một
đường thẳng hoặc đường tròn. Khi đó, ta có hai hướng xử lý: một là sử dụng phương
pháp hình học, hai là sử dụng phương pháp đại số (bất đẳng thức).
B – BÀI TẬP TỰ LUẬN
BT 26. Trong mặt phẳng phức, hãy tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất ? Biết rằng số phức
z thỏa mãn điều kiện:
a) z 2 4i z 2i .
ĐS: z min 2 2 khi z 2 2i.
b) z i

z

ĐS: z min

2 3i .

Địa chỉ: Số 18 – Ngơ Gia Tự, TP Lạng Sơn

17

3 5
khi z

5

3
5

6
i.
5

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

c) iz 3

z

2

d) ( z 1)( z 2i) là số thực.
e)

z

1 5i

z

3

1.

i

5
5

ĐS: z min

i.

1
5

khi z

2
i.
5

ĐS: z min

2 5
khi z
5

4

5

2
i.
5

ĐS: z min

40
khi z
5

2
5

6
i.
5

BT 27. Trong mặt phẳng phức, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất (nếu có)

? Biết rằng số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z 2 4i
b)

(1 i)z
1 i

3

e) z 1

ĐS:

1.

ĐS:

2 2.

ĐS:

2

c) z 2 2i
d) log 1

5.

z

3

4i

2z

3

4i

z

f) z 1 2i

z
2

1

ĐS:

1.

8

5 khi z

z max

3 5 khi z

z min

1 khi z

i

z max

3 khi z

3i

z min

0 khi z

0,

z max

4 2 khi z

z min

0 khi z

z max

10 khi z

ĐS: z min

3.

1

2i
3

6i

4

4i

0

2 khi z

6

8i

2.

z min

6

2 5 khi z

z max

6

2 5 khi z

1

với

z

z

1 ?

mãn điều kiện: z i

5

2

5

ĐS:

1.

BT 28. Hãy tìm số phức

z min

5

1

5

2

5

1
2

ĐS:

có môđun nhỏ nhất ?

2 5
5

i

ĐS: z

1
i.
2

1, tìm số phức z sao cho số phức z

2

2

1

2

5. Tìm số phức

có môđun lớn

z 1 i ?
nhất, biết rằng
ĐS: w 4 2i.
BT 31. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: 2z 1 z z 3 sao cho số phức

ĐS: z 7 4i.
) thay đổi thỏa mãn z

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

x

y ? ĐS: Pmin

ĐS:

5
và Pmax
2

z
z

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức
A. x  2
B. x  2
C. x  1
Câu 2. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức
A. x  3
B. y  3
C. y  3
18

z

8 có

1. Hãy tìm giá trị lớn nhất và

BT 33. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho z 1 2i

số phức z thỏa ( ) để phần ảo của z bằng 4 ?

i

i.

2

BT 30. Cho các số phức z thỏa mãn điều kiện: z 1 2i

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

i

2i) có môđun nhỏ nhất, trong đó số phức z thỏa

(3

BT 29. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn z 1

môđun nhỏ nhất ?
BT 32. Cho số phức z x 2 yi , (x; y

2 5

2 2 , ( ). Từ đó hãy tìm

1
3

5
2

4i
4i

z có phần thực là 2 là:
D. x  1
z có phần ảo bằng 3 là:
D. x  2

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Câu 3. Trong mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn z  1  i  3
A. Đường thẳng y = 3
B. Đường thẳng x = -3
C. Đường thẳng y  x  3
D. Hình tròn tâm I(-1;1), R = 3
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

z  8  9i   3 là đường tròn có tọa độ tâm I và bán kính R lần lượt là:

A. I(8;-9), R = 3
B. I(8;9) , R = 3
C. I(8;9), R = 3
D. I(-8;-9), R = 3
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

2 z  i  z  z  2i là một đường thẳng có phương trình:
1
4

A. y  x 2

1
4

1
2

B. y   x 2

1
2

C. y  x 2

D. y   x 2

Câu 6. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn
thẳng có phương trình:
A. 3x  y  1  0
B. 3x  y  1  0

z  2  3i
 1 là một đường
z4i

C. x  y  1  0

Câu 7. Tập nghiệm biểu diễn số phức z thỏa

D. x  3y  1  0

z i
 1 là:

zi

A. Đường tròn
B. Điểm
C. Elip
Câu 8. Số phức z  2  3i có điểm biểu diễn là:
A. (2; 3)
B. (-2; -3)
C. (2; -3)

D. Đường thẳng
D. (-2; 3)

1
Câu 9. Điểm biểu diễn của số phức z 
là:
2  3i
 2 3
B.  ; 
C.  3;  2 
D.  4;  1
 13 13 
Câu 10. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
điều kiện số phức zi  (2  i)  2 là :

A.  2;  3

B. ( x  1)2  ( y  2)2  9

A. 3x  4 y  2  0

C. ( x  1)2  ( y  2)2  4
D. x  2 y  1  0
Câu 11. Cho số phức z  0. Biết rằng số phức nghịch đảo của z bằng số phức liên hợp
của nó. Trong các kết luận nào đúng:
A. z  R
B. z là một số thuần ảo
C. z  1
D. z  2
Câu 12. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số
phức z1 = -1 + 3i, z2 = 1 + 5i, z3 = 4 + i. Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác
ABCD là một hình bình hành là:
A. 2 + 3i
B. 2 - i
C. 2 + 3i
D. 3 + 5i
Câu 13. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2. Khi đó đọ dài
của véctơ AB bằng:
A. z1  z2

B. z1  z2

C. z1  z2

D. z1  z2

Câu 14. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết 3 zi  4 

2 là

A. Điểm
B. Đường thẳng
C. Đường tròn
D. Elip
Câu 15.
Biết z  i  1  i  z , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trình?
A. x 2  y 2  2 y  1  0

B. x 2  y 2  2 y  1  0

C. x 2  y 2  2 y  1  0

D. x 2  y 2  2 y  1  0

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

19

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Câu 16. Số phức z = 2 - 3i có điểm biểu diễn là:
A. (2; 3)
B. (-2; -3)
C. (2; -3)
D. (-2; 3)

Câu 17. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tư là các điểm biểu diễn
4i
2  6i
; 1  i 1  2i  ;
các số phức
. Tam giác ABC
i 1
3i
A. Vuông
B. Vuông cân
C. Đều
D. Cân
1
Câu 18. Điểm biểu diễn của số phức z =
là:
2  3i
 2 3
A.  2;  3
B.  ; 
C.  3;  2 
D.  4;  1
 13 13 
Câu 19. Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2. Khi đó độ dài
của véctơ AB bằng:
A. z1  z 2
B. z1  z 2
C. z2  z1
D. z2  z1
Câu 20. Trong mặt phẳng phức cho ΔABC . Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số
phức z1  2  2i ; z2  2  4i . Khi đó, điểm C biểu diễn số phức nào sau đây để ΔABC

vuông tại C ?
A. z  2  4i
B. z  2  2i
C. z  2  4i
D. z  2  2i
Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
điều kiện zi  (2  i)  2 là
A. z

1i

B. ( x  1)2  ( y  2)2  9

4

D. x  2 y  1  0

C. ( x  1)2  ( y  2)2  4

Câu 22. Biết z  i  (1  i) z , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trình?
A. x2  y 2  2 y  1  0

B. x2  y 2  2 y  1  0

C. x2  y 2  2 y  1  0
D. x 2  y 2  2 y  1  0
Câu 23. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số
phức z1 = 1+3i, z2 = 1 + 5i, z3 = 4 + i. Số phức với điểm biểu diễn D sao cho tứ giác
ABCD là một hình bình hành là:
A. 1  2i

B. 2  i
C. 1 + 2i
D. 2 + i
Câu 24. Trên mặt phẳng tọa độ, cho số phức z x yi x , y
các điểm biểu diễn z và

z đối xứng nhau qua
A. trục Ox.
B. trục Oy.
C. gốc tọa độ O.
D. đường thẳng y = x.
Câu 25. Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là
A. (6; 7).
B. (6; 7).
C. (6; 7).
D. (6; 7).
Câu 26. Cho số phức z thoả mãn: z  1  i  z  1  2i . Số phức z có mô đun nhỏ nhất là:
A.

3 3
 i
5 10

B.

3 3
 i
5 10

3 3

C.  i
5 10

3 3
D.  i
5 10

Câu 27. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: z 

1
 2 là:
z

 x2  y 2  2 y 1  0
A.  2
2
 x  y  2 y 1  0

 x2  y 2  2 y  1  0
B.  2
2
x  y  2 y 1  0

 x2  y 2  2 y  2  0
C.  2
2
x  y  2y  2  0

 x2  y 2  2 y 1  0
D.  2

2
x  y  2y  2  0

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

20

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Câu 28. Cho các số phức: z1  3i : z 2  1  3i ; z 3  2  3i . Gọi A1 , A2 , A3 lần lượt là các
điểm biểu diễn tương ứng của 3 số phức đã cho trên mặt phẳng Oxy . Khi đó


 

Max  OA1 , OA2 , OA3  là



A.

5
B. 13
C. 10
D. 3

Câu 29. Cho các số phức: z1  1  3i : z 2  2  2i ; z3  2  3i . Điểm biểu diễn tương
ứng của ba số phức trong mặt phẳng Oxy gần gốc tọa độ nhất có tọa độ là





 







A. 1; 3
B. 3;1
C.  2; 3
D. 1; 3
Câu 30. Biết điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng Oxy thuộc Elip:



16 x 2  25 y 2  400 . Giá trị lớn nhất của mô đun số phức z là
391
391
B. 5
C. 25
D.
16

4
2
Câu 31. Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z  2z  10  0 . Gọi M, N, P lần lượt

A.

là các điểm biểu diễn của z1 , z2 và số phức k  x  iy trên mặt phẳng phức. Để tam giác
MNP đều thì số phức k là:
A. k  1  27 hay k  1  27

B. k  1  27i hay k  1  27i

C. k  27  i hay k  27  i
D. Một đáp số khác.
Câu 32. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức 5 + 8i và B là điểm biểu diễn của số phức
5 + 8i. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
Câu 33. Dựa vào hình vẽ trên, hãy cho biết điểm nào là điểm biểu diễn của số thuần ảo
?

A .M
B .N
C .P
D. Q
Câu 34. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số
phức z’ = -2 + 5i
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x
Câu 35. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  1  i  z  3  2i
là:
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

21

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

A. Đường thẳng
B. Elip
C. Đoạn thẳng
D. Đường
tròn
Câu 36. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và B là điểm biểu diễn của số
phức z '  2  3i . Tìm mệnh đề đúng của các mệnh đề sau:
A. Hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
B. Hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A, B đối xứng nhau qua trục hoành.
D. Hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.

Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

22

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

Dạng 3: Phương trình bậc hai và bậc cao trong tập số phức
A – PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Xét phương trình bậc hai az2 bz c 0, ( ) với a 0 có biệt số:

b2

4ac. Khi đó:

b
2a
thì phương trình ( ) có hai nghiệm phân biệt

Nếu

0 thì phương trình ( ) có nghiệm kép: z1

Nếu

0 và gọi

là căn bậc hai

z2

là:
z1

b
2a

hoặc z2

b
2a

 Lưu ý
Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức
Căn bậc hai của số phức z
+ Bước 1. Đặt
+ Bước 2. Biến đổi:

z
2

x

: z1

b
và z1 z2

a

z2

yi là một số phức

x

yi

a

x

yi

(a

bi với x, y , a, b
bi)

( a2

b2 )

c
a

và tìm như sau:
.

2abi

x

yi 2

a2
2ab

b2
y

x

x
y

+ Bước 3. Kết luận các căn bậc hai của số phức z là
z a bi.
Ta có thể làm tương tự đối với trường hợp căn bậc ba, căn bậc bốn. Ngoài cách tìm
căn bậc hai của số phức như trên, ta có thể tách ghép đưa về số chính phương dựa
vào hằng đẳng thức.
B– BÀI TẬP MẪU
BT 34. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
5 12i.
a) z
ĐS:
z
2 3i.

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
b) z 8 6i.
ĐS:
z
3 i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
z
2 i.
c) z 3 4i.
ĐS:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
z
7 4i.
d) z 33 56i.
ĐS:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
z
3 i 5.

e) z 4 6 5.i.
ĐS:
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

23

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
f) z
ĐS:
z
2 i 3.
1 2 6.i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
BT 35. Tìm căn bậc ba của các số phức sau:
i.
27.
a) z

b) z
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
c) z 2 2i.
d) z 18 6i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
BT 36. Giải các phương trình sau trên trường số phức :
a) 2x2

5x

4

ĐS: x1,2

0

5
4

7
.i.
4

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
b) x2 4x 7 0
ĐS: x1,2 2 i 3.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
c) x2 2x 2 0
ĐS: x1,2 1 i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
d) 8z2

4z

1

ĐS: x1,2

0

1
4

1
i.

4

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
e) 2z2

iz

1

ĐS: z1

0.

i , x2

1
i.
2

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

24

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686


SỐ PHỨC - 2017

CƠ SỞ DẠY THÊM – HỌC THÊM THÀNH ĐẠT

f) ( z i)2

4

ĐS: z1

0.

3i ; z2

i.

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
g) z4 7 z2 10 0.
ĐS: z1,2
i 2 , z3,4
i 5.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................
h) z4 z2 6 0.
ĐS: z1,2
2 , z3,4
i 3.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
1
z ( 2
3)i.
i) (z i)4 4z2 0.
ĐS: z
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
BT 37. Giải các phương trình sau trên trường số phức :
a)

4z

3
z

7i
i

z

ĐS: z1

2i

3

i , z2

1 2i.

.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
b) z2 (1 i)z 6 3i 0.
ĐS: z1 1 2i ; z2 3i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
c) z2 3(1 i)z 5i 0
ĐS: z1
1 2i , z2
2 i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
d) z2 (1 i)z 2 i 0.

ĐS: z1 1 ; z2
2 i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
e) z2 8(1 i)z 63 16i 0.
ĐS: z1 5 12i , z2 3 4i.
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
.....................................................................................................................
Địa chỉ: Số 18 – Ngô Gia Tự, TP Lạng Sơn

25

Điện thoại: 0913.299.363 – 0253.866.686