TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 (4 điểm). Cho phương trình

x 2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0

(1)

(x là ẩn số, m là tham số).
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tìm m để

Câu 2 (4 điểm). Cho biểu thức: P =

x1 − x 2 = 17

.

x2 - x
2x + x
2(x - 1)
+

x+ x +1
x
x -1

(x > 0, x ≠ 1).

1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị của x để P = 3.
Câu 3 (4 điểm).

1. Giải hệ phương trình:
2. Giải phương trình:

 x + y + xy = 7
 3
3
2
2
 x + y + 3(x + y ) + 3(x + y) = 70

( x + 5 - x + 2)(1 + x 2 + 7x + 10) = 3

.

Câu 4 (5 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay
đổi luôn tạo với nhau góc 60 0, nằm về hai phía của AB, cắt đường tròn (O) lần lượt tại
M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm
của đoạn thẳng EF.

1. Chứng minh rằng

EF
= 3
AB

.

2. Chứng minh OMKN là tứ giác nội tiếp.
1

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


3. Khi tam giác AMN đều, gọi C là điểm di động trên cung nhỏ AN
(C ≠ A, C ≠ N).

Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí
của điểm C để diện tích tam giác MCD là lớn nhất.
Câu 5 (3 điểm).

1. Cho các số thực m, n, p thoả mãn: n 2 + np + p2 = 1 và nhỏ nhất của biểu thức S = m + n + p.

3m 2
2

. Tìm giá trị lớn nhất

2. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
a
b

c
1
+
+
≥
2
2
2
(ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1)
a+b+c

.

Đẳng thức xảy ra khi nào?
-----HẾT-----

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo
danh .............................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị
1:.......................................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị
2:.......................................................................................................
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
Năm học 2012 – 2013
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu

Đáp án
2

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

Điểm


1. (2.0 điểm)
0.5

∆ = (4m + 1) 2 − 8(m − 4)
= 16m 2 + 8m + 1 − 8m + 32 = 16m 2 + 33

0.5
∆ = 16m 2 + 33 > 0 ∀m ∈ ¡

Vì
biệt với mọi m.

nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân

1.0

2. (2.0 điểm)

1

(4.0 điểm) Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với

theo định lý Vi-ét ta có
Theo ycbt:

∀m

nên

 x1 + x 2 = −(4m + 1)

 x1.x 2 = 2(m − 4)

x1 − x2 = 17 ⇔ ( x1 − x2 ) 2 = 289 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 289

⇔ (4m + 1) 2 − 8(m − 4) = 289 ⇔ 16m2 + 33 = 289 ⇔ 16m2 = 256 ⇔ m = ±4

Vậy

m = ±4

là giá trị cần tìm.

0.5

0.5
0.75
0.25

1. (2.0 điểm)
x ( x 3 − 1)

−
x + x +1

P=

2
(4.0 điểm)

=
=

x (2 x + 1) 2( x − 1)( x + 1)
+
x
x −1

x ( x − 1)( x + x + 1)
− 2 x − 1 + 2( x + 1)
x + x +1

x − x +1

0.75

0.75

0.5

2. (2.0 điểm)
P=3

3

⇔ x − x +1

=3

⇔ x− x −2=0

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.5


Đặt

x

= t,

t ≥0

ta được pt

Với t = 2 ta được

x

=2

⇔

t = −1 ( L)
t2 − t − 2 = 0 ⇔ 
t = 2 (TM )

0.25

x = 4 (thỏa mãn ĐK).

Vậy x = 4 thì P = 3.
3

1.0

0.25

1. (2.0 điểm)

(4,0 điểm)
HPT

⇔

 xy + y + x + 1 = 8

3
3
( x + 1) + ( y + 1) = 72

⇔

( x + 1)( y + 1) = 8

3
3
( x + 1) + ( y + 1) = 72

⇔

( x + 1)3 ( y + 1)3 = 512

3
3
( x + 1) + ( y + 1) = 72

 ab = 512

 a + b = 72

Đặt (x+1)3 = a và (y +1)3 = b ta có hệ

0.75

0.25

Giải hệ (2) ta được : (a;b) = (64;8) hoặc (a;b) = (8;64)

0.25

3

( x + 1) = 64

3

( y + 1) = 8

0.25

Với (a;b) = (64;8) ⇒

⇔

( x + 1)3 = 8

3
( y + 1) = 64

x +1 = 4

 y +1 = 2

⇔

x = 1

y = 3

0.25

Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là: (3;1); (1;3)

0.25

Với (a;b) = (8;64) ⇒

⇔

x +1 = 2

 y +1 = 4

x = 3

y =1

⇔

2. (2.0 điểm)
ĐKXĐ của phương trình là: x ≥ - 2
Đặt

x + 5 = u ≥ 0,

x+2 =v≥0

Thay vào phương trình ta được:

4

0.25
ta có:

uv = x 2 + 7 x + 10, u 2 − v 2 = 3

(u − v)(1 + uv) = u 2 − v 2

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.25
0.5


u = v
u = 1

⇒ (u − v)(1 + uv ) = (u − v)(u + v ) ⇔ (u − v)(1 − u )(1 − v) = 0 ⇔ v = 1
x+5 = x+2 ⇒

* Với u = v ta có

x + 5 = 1 ⇔ x = −4

* Với u = 1 ta có

PT vô nghiệm

* Với v = 1 ta có

0.25
0.25

(loại)

x + 2 = 1 ⇔ x = −1

0.25

0.25
(TM)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1
4
(5.0 điểm)

1. (2.0 điểm)
·AMB = ·ANB = 900

⇒

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

B là trực tâm của tam giác AEF

·
⇒ ·NEF = NAB

⇒ ∆

(cùng phụ với góc

vuông NEF

∆

AB

·
NFE

⊥

EF

)

vuông NAB (g.g)

EF NE
·
=
= tg NAE
⇒ AB NA

5

⇒

0.5

0.5
0.5
0.5

= tg600 =

3

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


2. (2.0 điểm)
·
MON

là góc ở tâm cùng chắn cung MN

·
·
EMF
= ENF
= 900 ⇒

·
·
⇒ MON
= 2 MAN
= 1200

tứ giác MNFE nội tiếp đường tròn đường kính EF

0.5

0.5

tâm K
·
·
⇒ MKN
= 2MEN
= 2.300 = 600

0.5

·
·
⇒ MON
+ MKN
= 1800 ⇒

0.5

OMKN là tứ giác nội tiếp

3. (1.0 điểm)

Gọi I là giao điểm của AC và MD.
Ta có:

⇒

·
·
MCA
= NCM
= 600 ⇒ ·ACD = 600

tam giác MCD có CI vừa là đường cao vừa là phân giác

⇒ ∆MCD

6

cân tại C

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.25


⇒

SMCD = 2.SMCI =

1
2. .MI.CI
MI .CI
2

=

·
·
( MC sin MCI
)( MCcos MCI
)

=

=

⇒

SMCD lớn nhất

⇔

( MC sin 600 )( MCcos600 )

MC lớn nhất

⇔

=

MC 2 3
4

0.5

0.25

MC là đường kính của (O)

1. (1.5 điểm)

n + np + p = 1 2

⇔

S=

⇒
5

2

3m 2
2

(1)

⇔

(m + n + p)2 = 2 - (m - p)2 - (n - m)2
2 ⇔

m=n=p=

maxS =

2

2
3

0.5

(m + n + p) + (m - p ) + (n - m) = 2
2

;S=-

khi m = n = p =

2

2
≤2⇒ S ≤2⇔− 2 ≤S ≤ 2

2 ⇔
2
3

2

m=n=p=-

; minS =

− 2

2
3

khi m = n = p = -

0.5

0.25
2
3

0.25

2. (1.5 điểm)

(3.0 điểm)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:
2
2
2

 
 
 
a
b

c
 ( a ) + ( b ) + ( c )  


  ab + a + 1 ÷ +  bc + b + 1 ÷ +  ca + c + 1 ÷ 
 
 
 

2

2

2



a
b
c
≥
+
+

 ( ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1) 

2

a.bc
b

c.b


=
+
+
 ab.bc + abc + bc bc + b + 1 cab + bc + b 

2

2

1
b
bc 

=
+
+
=1
 b + 1 + bc bc + b + 1 1 + bc + b 

7

0.5

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.5

⇒

a
b
c
1
+
+
≥
2
2
2
(ab + a + 1) (bc + b + 1) (ca + c + 1)
a+b+c

0.25

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

0.25

Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với
thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với
thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn
sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết----------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HÀ TĨNH

LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Ngày thi: 17 / 03 / 2011

x3 −
Bài 1. Cho phương trình:

1
1
−
(m
+
1)(x
−
)+ m −3= 0
x3
x

.

a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 2. a) Cho a, b, c là những số nguyên thỏa mãn điều kiện:

8

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


2

1 1 1
1 1 1
 + + ÷ = 2 + 2 + 2.
b c
a b c a

Chứng minh rằng

a 3 + b 3 + c3

b) Giải phương trình:
và

1+ 2

chia hết cho 3.

x 3 + ax 2 + bx + 1 = 0

, biết rằng a, b là các số hữu tỉ

là một nghiệm của phương trình.

Bài 3. Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn:

x + y = 2011

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P =

.

x(x 2 + y) + y(y 2 + x)

Bài 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R
di chuyển trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng song song với ON
cắt đường thẳng AB tai E. Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường
thẵng AB tại F.
a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng .
b) Gọi K là giao điểm của EN và FM. Hãy xác định vị trí của dây MN để
tam giác MKN có chu vi lớn nhất.
Bài 5. Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn:

abc = 1

a3
b3
c3
3
+
≥
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) 4

. Chứng minh :

.

_________ Hết ________
9

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


Họ và tên thí sinh: ...................................................... Số báo danh: .....................

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I (2,0 điểm).
A=
Cho biểu thức:

x+2
x +1
1
+

+
x x −1 x + x +1 1− x

với

x ≥ 0, x ≠ 1

1) Rút gọn A
A<
2) Chứng tỏ rằng:

1
3

Câu II (2,0 điểm).
1) Giải phương trình:
2) Tìm x, y sao cho:

x − x − 15 = 17

5x − 2 x ( 2 + y ) + y 2 + 1 = 0

Câu III (2,0 điểm).

10

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


1) Tìm số nguyên x, sao cho :

2) Tìm m để hàm số bậc nhất

x2 + x − p = 0

với p là số nguyên tố.

m 2 − 2013m + 2012
y=
x − 2011
m 2 − 2 2m + 3

là hàm số nghịch

biến.
Câu IV (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao
BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I
là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết
2) Cho

·
BAC
= 600

, tính độ dài dây BC theo R.

µ = 900 )

∆ABC(A

r. Chứng minh rằng:

, BC = a. Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp

r
2 −1
≤
a
2

.

Câu V (1,0 điểm).
Cho

x + 3y ≥ 1

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

C = x 2 + y2

–––––––– Hết ––––––––

11

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

∆ABC

là


HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Câu

Phần

A=

A=
1
(1,0 đ)

A=

A=

Câu I
(2,0 điểm)

x+2

(

)(

+

)

x −1 x + x +1

Nội dung

Điểm

x +1
1
−
x + x +1
x −1

0.25
0.25

x + 2 + x −1− x − x −1

(

)(

)

x −1 x + x +1
x− x

(

)(

0.25

)

x −1 x + x +1

x

(

(

)(

)

x −1

)

x −1 x + x +1

0.25

=

x

x + x +1

(

x ≥ 0, x ≠ 1
, với

)

2

x −1
1
1
x
−A = −
=
3
3 x + x + 1 3(x + x + 1)

0.50

Xét

x ≥ 0, x ≠ 1

2
(1,0 đ)

0.25

Do

⇒

(

)

2

1 3

x − 1 > 0 và x + x + 1 =  x + ÷ + > 0
2 4

2

0.25

1
1
⇒ −A>0⇔ A<
3
3

x ≥ 15

Câu II
(2,0 điểm)

ĐKXĐ:

0.25

x − x − 15 = 17 ⇔ x − 15 − x − 15 − 2 = 0

0.25

t = x − 15 (t ≥ 0) ⇒ t 2 − t − 2 = 0
1
(1,0 đ)

0.25

Đặt

 t = 2 ( TM§K )
⇔ ( t − 2 ) ( t + 1) = 0 ⇔ 
 t = −1 ( lo¹i )

0.25

t = 2 ⇒ x − 15 = 2 ⇔ x − 15 = 4 ⇔ x = 19
Với
2
(1,0 đ)

x≥0

(TMĐK)

ĐKXĐ:

5x − 2 x ( 2 + y ) + y 2 + 1 = 0 ⇔

0.25
0.25
0.25

12

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


4x − 4 x + 1 + x − 2y x + y 2 = 0

(

) (

)

2

⇔ 2 x −1 +

(2
Vì

)

(

2

x − 1 ≥ 0,

(

2

x −y =0

) (

)

2

x − y ≥ 0 ∀x ≥ 0, y

)

2

⇒ 2 x −1 +

0.25
(1)

2

x −y ≥0
.

1

x
=
 2 x − 1 = 0 
4 (TM)
⇔

y = 1
 x − y = 0

2
Để (1) xẩy ra thì

p = x 2 + x = x ( x + 1)

Theo bài ra:
1
(1,0 đ)

mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp

x ( x + 1)

0.25
0.25

⇒

nên
là số chẵn
p là số chẵn.
Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2

0.50

2
⇒ x + x − 2 = 0 ⇔ ( x + 2 ) ( x − 1) = 0 ⇔

x = 1 hoặc x = - 2
(TM)

m 2 − 2013m + 2012
y=
x − 2011
m 2 − 2 2m + 3
Để hàm số

nghịch biến thì

m − 2013m + 2012
<0
m 2 − 2 2m + 3
2

Câu III
(2,0 điểm)

(

m 2 − 2 2m + 3 = m − 2
2
(1,0 đ)

0.25

)

(1).
2

+ 1 > 0 ∀m

⇔ m 2 − 2013m + 2012 < 0 ⇔ ( m − 1) ( m − 2012 ) < 0
(1)

 m − 1 > 0
m > 1


m − 2012 < 0
 m < 2012

⇔

⇔
 m − 1 < 0
 m < 1


 m − 2012 > 0
  m > 2012
⇒ 1 < m < 2012

13

0.25

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.25
0.25


Câu IV
(3,0 điểm)
0.25

0.25

0.25
0.25

1a
(1,0 đ)

1b
(1,0 đ)

·
·
⇒ OAC
= OCA

OA = OC ⇒ ∆OAC
·
·
·
KOC
= OAC
+ OCA

cân tại O
0.25
(T/c góc ngoài của tam giác)

·
·
⇒ KOC
= 2.OAC

0.25
0.25

·

·
KOB
= 2.OAB
Chứng minh tương tự:

(

)

·
·
·
·
·
·
⇒ KOC
+ KOB
= 2 OAC
+ OAB
⇒ BOC
= 2.BAC
= 120 0

OB = OC ⇒ ∆OBC
cân

·
⇒ OCI
= ( 1800 − 1200 ) : 2 = 300

tại

O

⇒ OI ⊥ BC
Vì I là trung điểm của BC (gt)

(

∆OIC $I = 900
Trong

IC = OC.cos300 = R.

14

)
:

3
⇒ BC = R 3
2

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0.25


0.25
0.25

0.25
2
⇔ AB2 + 2AB.AC + AC2 ≤ 2AB2 + 2AC
0.25

⇔ ( AB − AC ) ≥ 0 ( 1)
2

2
(1,0 đ)

BĐT (1) đúng
r
2 −1
≤
a
2

, dấu “=”

xảy ra khi
v/cân tại A.
x + 3y ≥ 1
Do

x + 3y = 1 + a
, đặt

⇒

∆ABC

a≥0 ⇒
với

x = 1 + a – 3y, thay

0.25

⇒ C = 10y 2 − 6ay − 6y + a 2 + 2a + 1
0.50

vào biểu thức C:
2

3
1
1
1


C = 10  y − ( a + 1)  + ( a 2 + 2a ) + ≥
10 10
 10
 10
Câu V
(1,0 điểm)

(1,0 đ)

.

1
⇒ min C =
10

0.25
khi:

3

3
3
3
y=




y
−
a
+
1
=
0
y
=
y

=
(
)




10
⇔
10 ⇔ 
10 ⇔ 
 10
a = 0
a = 0
 x + 3y = 1  x = 1

10

* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
15

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2013

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


( Đề thi gồm có 01 trang )

Câu 1 (2,0 điểm):
A=
a) Rút gọn biểu thức:
b) Cho

x+ 3=2

(

x − 50 − x + 50

)

x + x 2 − 50
với

x ≥ 50

. Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018

Câu 2 (2,0 điểm):
4x
x − 5x + 6
2

a)

Giải phương trình

b) Giải hệ phương trình sau:

+

3x
x − 7x + 6
2

=6

 x + y + 4 xy = 16

 x + y = 10

Câu 3 (2,0 điểm):
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu
a4 − b4

4a 2 + 3ab − 11b 2

chia hết cho 5 thì

chia hết cho 5.

ax 2 +bx+1= 0

b) Cho phương trình
là nghiệm của phương trình.

x=
với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết

5− 3
5+ 3

Câu 4 (3,0 điểm):
Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ
đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng
d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm
của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC
cắt MN tại K.
a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
16

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng
MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5 (1,0 điểm):
An =
Cho

1
(2n +1) 2n − 1

với n

∈¥ *

.

A1 + A 2 + A 3 + ... + A n < 1

Chứng minh rằng:

.

------------- HẾT ------------

Họ và tên thí sinh: ……………………………… ….. Số báo danh …………….
Chữ kí giám thị 1 …………………..
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

Chữ kí giám thị 2 …………………..

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013

Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Điểm bài thi làm tròn đến
0,25 điểm
CÂU
Câu 1
2,0

điểm

PHẦN

NỘI DUNG
Ta có :

A2 =

(

) (x+
2

x - 50 - x + 50

(
= ( 2x - 2

x 2 - 50

)(

)

A 2 = x - 50 + x + 50 - 2 x 2 - 50 x + x 2 - 50
A2
a)
1,0 điểm

)(

x 2 - 50 x + x 2 - 50

(

A 2 = 2 x 2 - x 2 + 50

)

)

ĐIỂM
0,25

)

0,25
0,25

A 2 = 100

0,25đ

A=

(

x - 50 - x + 50

)

x + x 2 - 50

Nhưng do theo giả thiết ta thấy

⇒ A= -10

b)
1,0
điểm

x − 2 = − 3 ⇒ ( x − 2) 2 = 3

x+ 3=2
=>

⇒ x2 − 4x + 1 = 0
17

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

<0

0,25
0,25
0,25
0,25

B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2018
B = (x5 – 4x4 + x3 ) + ( x4 – 4x3 + x2 ) + 5( x2 – 4x + 1) + 2013
B = x3( x2 – 4x + 1) +x2( x2 – 4x + 1) +5(x2 – 4x + 1) + 2013
B = 2013
Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình

4

Với

x≠0

, phương trình đã cho tương đương với:

6
x −5+
x

3

+

6
x−7+
x

6
x

t = x −7+

Đặt

0,25
phương trình trở thành

4 3
+ =6 ( 1) ( t ≠ 0; t ≠ −2 )
t+2 t
( 1) ⇔ 4t + 3t + 6 = 6t 2 + 12t ⇔ 6t 2 + 5t − 6 = 0

0,25

0,25

−3
2
t1 = ; t 2 =
2
3
Giải phương trình ta được
Câu 2
2,0
điểm

t1 =

a)
1.0 điểm

−3

2

Với

( thỏa mãn )

x−7+

6 −3
=
⇔ 2 x 2 − 11x + 12 = 0
x 2

ta có

0,25

3
x1 = ; x 2 = 4
2
Giải phương trình ta được

t2 =
Với

2
3

( thỏa mãn )

x−7+

6 2
= ⇔ 3x 2 − 23 x + 18 = 0
x 3

ta có

x3 =

23 + 313
23 − 313
; x4 =
6
6

Giải phương trình ta được

(thỏa mãn)

3
x1 = ; x 2 = 4
2
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm là :

x3 =

18

=6

;

23 + 313
23 − 313
; x4 =
6
6

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


 x + y + 4 xy = 16

 x + y = 10

x; y ≥ 0
(I) (

x+ y
Đặt S=

)

S ≥ 0;P ≥ 0

xy
;P=

(

) hệ (I) có dạng

S + 4P = 16
 2
S - 2P = 10

0,25
0,25
0,25

( II)

b)
1,0 ®iÓm

S = 4

P = 3

0,25

Giải hệ ( II) và đối chiếu điều kiện ta được

x; y
Khi đó
là 2 nghiệm của phương trình t2 – 4t + 3 =0
Giải phương trình ta được t1 = 3; t2 = 1

Từ đó suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

x = 9 x = 1
;

y = 1 y = 9

4a 2 + 3ab − 11b 2 M5 ⇒ ( 5a 2 + 5ab − 10b 2 ) − ( 4a 2 + 3ab − 11b 2 ) M5

Câu 3
2,0
điểm

⇒ a 2 + 2ab + b 2 M5
⇒ ( a + b ) M5
2

a)
1.0 điểm

⇒ a + bM5

(

⇒a −b = a +b
4

b)
1,0 ®iÓm

x=

4

5− 3
5+ 3

2

(

(

2

0.25

0,25
0,25
0,25

( Vì 5 là số nguyên tố)

) ( a + b ) ( a − b ) M5

5− 3

5+ 3

)(

)

2

5− 3

)

= 4 − 15

0,25

=

x=

5− 3
5+ 3
là nghiệm của phương trình nên ta có

(
) (
)
a ( 31 − 8 15 ) + b ( 4 − 15 ) +1= 0
2

a 4 − 15 + b 4 − 15 +1= 0

⇔ − 15(8a + b) + 31a + 4b + 1 = 0
a, b ∈ Q

Vì

19

(8a + b), (31a + 4b + 1) ∈ Q
nên

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0,25
0,25đ
0,25


8a + b ≠ 0
Do đó nếu

15

=

31a + 4b + 1
∈Q
8a + b

thì

(Vô lí)

8a + b = 0

a = 1
⇔

31a + 4b + 1 = 0
b = − 8
Suy ra
Câu 4
3,0
điểm

M

Q

P
A

B

O D

H
K
I

d

C

N

E

·
⇒ OI ⊥ BC ⇒ OIA
= 900
I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O )
a)
1,0 ®iÓm

·AMO = 900

Ta có

·ANO = 900

( do AM là hai tiếp tuyến (O) )

( do AN là hai tiếp tuyến (O) )
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b)
1,0 ®iÓm

·
MON

AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác
O nên

mà ∆OMN cân tại

OA ⊥ MN

0,25

1
·
·
ANB=ACN=
2
∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( vì

0,25
0,25
0,25
0.25

·
CAN

»
NB
sđ

và

chung ) suy ra

0,25

AB AN
=
⇒ AB.AC=AN 2
AN AC
∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2
Suy ra AB.AC = AH.AO
0
·
·
AHK=AIO=90

∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì

và

0,25

·
OAI
chung )

AH AK
=
⇒ AI.AK=AH.AO
AI AO
⇒ AI.AK=AB.AC
⇒

20

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0,25


⇒ AK=

AB.AC
AI

Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và
dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định
0
·
PMQ=90

Ta có

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

·
·
MEH=DMQ

Xét ∆MHE và ∆QDM có

c)
1,0 ®iÓm

( cùng phụ với

·
·
·
EMH=MQD
DMP
),

0,25
( cùng

ME MH
⇒
=
·
MQ DQ
MPO

0,25

phụ với
)
∆PMH đồng dạng với ∆MQH

0,25

MP MH MH
⇒
=
=

MQ HQ 2 DQ
MP 1 ME
⇒
=
MQ 2 MQ

0,25

 ME = 2 MP  P là trung điểm ME.

1
2n − 1
A =
=
n (2n + 1) 2n − 1 (2n + 1) ( 2n − 1)

A =
n

Vì

0,25

2n − 1  1
1 
2n − 1  1
1  1
1 
−
+

−

÷=

÷
÷
2  2 n − 1 2n + 1 
2  2n − 1
2 n + 1   2n − 1
2n + 1 

1
1
−
>0
2n − 1
2n + 1

Câu 5
1,0
điểm

0,25

1
1
2
+
<
2n − 1

2n + 1
2n − 1
và

A <
n
nên

1
1
−
(∀n ∈ ¥ *)
2n − 1
2n + 1
A1 + A2 + A3 + ... + An < 1 −

1
1
1
1
1
+
−
+ ×××+
−
3
3
5
2n − 1
2n + 1

Do đó:

A1 + A2 + A3 + ... + An < 1 −

1
<1
2n + 1

Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH
21

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê

0,25

0,25


ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2013- 2014
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 15/3/2014
(Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang

Câu 1 (6,0 điểm):
2

a)

b)

Rút gọn biểu thức:

Giải phương trình:

2 ab
1 a
b
M=
1+ 
−
÷
a+b
4 b
a
x2 1 5  x 1 
+ =  − ÷
9 x2 3  3 x 

Giải hệ phương trình:
Câu 2 (3,0 điểm):
c)










1
1
+ 2− = 2
y
x
1
1
+ 2− = 2
x
y

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 2 và
y=

−x2
4

parabol (P) có phương trình
. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường
thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm các giá trị của m để đoạn
AB có độ dài nhỏ nhất
Câu 3 (2,0 điểm):
22

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn

Chứng minh rằng:

0 ≤ a; b; c ≤ 2

1
1
1
9
+
+
≥
2
2
2
( a − b ) ( b − c ) (c − a )
4

Câu 4 (6,0 điểm):
Cho đường tròn tâm O có đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại
điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK
cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên
các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng
AC.HF = AD.CF
F là trung điểm EH

Hai đường thẳng DC và DI đối xúng với nhau qua đường thẳng DN
Câu 5 (3,0 điểm):
a)
b)
c)

Cho n và k là các số tự nhiên,

A = n 4 + 4 2k+1

a) Tìm k, n để A là số nguyên tố
b) Chứng minh rằng:
+ Nếu n không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5
+ Với p là ước nguyên tố lẻ của A ta luôn có p -1 chia hết cho 4
----------------------------- HẾT -----------------------------

UBND tỉnh Thái Nguyên
Sở Giáo dục & Đào tạo

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
MôN: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức

23

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


Bài 1. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính
phương.
Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a,
3

b,

2− x

+

x −1

=1

 xy + z 2 = 2

2
 yz + x = 2
 xz + y 2 = 2


Bài 3. Cho

∆

ABC có 3 góc đều nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

∆

ABC; R, r

theo thứ tự là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

∆

ABC; M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, BC và AC.
a, Chứng minh: BN . OM + BM . ON = BO . MN
b, Đặt ON = d1 ;

OM = d2 ;

OP = d3 .

Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ?
Bài 4. Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược
lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng
tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó. Tìm số tự nhiên ấy?
-------------- Hết --------------Họ tờn thớ sinh:..........................................................Số bỏo danh:.........................

áp án Đ1
UBND tỉnh Thái Nguyên
Sở Giáo dục & Đào tạo
24

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê


KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
hớng dẫn chấm toán 9
Bài 1: 3,5 điểm
C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc
bỡnh phương của 5 số đó là 5(n2 + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên
không thể là số chính phương.
C2: Xét tính chẵn lẻ của 5 số nguyên liên tiếp đó.
Bài 2:

a. 3,5 điểm
Đặt a =

2−x

3

b=

Ta có :

x −1 ≥ 0

a 3 + b 2 = 1


a + b = 1

( I)

a3 + a2 - 2a = 0

⇒
⇔

a ( a2 + a -2) = 0

⇔ a = 0

a 2 + a − 2 = 0

Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( 0 ; 1) ; ( 1 ; 0) ; ( -2 ; 3)
nên phương trình đã cho có nghiệm : 2 ; 1 ; 10
b,

25

3,5 điểm

CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9| 123doc.org – Angela Lê