Đề thi HSG hay và khó

PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC - NGHE AN
ĐỀ THI HỌC SINH GIOI
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (4,5 điểm)
a) Tìm n ∈ N để A là số nguyên tố biết A = n3 - n2 - n - 2
M

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m, n thì mn(m2 – n2) 6
3 x −1
x −2
−
−
x + 2 3 x −1

Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức
a) Rút gọn P.

P=

b) Tìm các giá trị của x để P =

(

5x + 4 x + 2

)(

)

x + 2 3 x −1

3
4

Bài 3: (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình :

 3 + 2 x + 3 − 2 y = x + 4

 3 + 2 x − 3 − 2 y = x
3

b) Giải phương trình:

x − 2 + x +1 = 3

Bài 4: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

F=

8 x − 2 18 x − 6
+
2x + 1
3x + 1

Bài 5: (6,5 điểm)
Cho điểm M thuộc đường tròn (O) đường kính AB (M ≠ A; M ≠ B) và
MA < MB. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở C. Qua C vẽ đường thẳng vuông
góc với AB cắt các đường thẳng AM và BM lần lượt tại D và H.
a) Chứng minh hai đường thẳng AH và BD cắt nhau tại điểm N nằm trên đường

tròn (O).
b) Chứng minh CA = CH.
c) Gọi E là hình chiếu của H trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), F là hình
chiếu của D trên tiếp tuyến tại B của đường tròn (O).


Chng minh 3 im E; M; F thng hng.
d) Gi S1; S2 l din tớch cỏc t giỏc ACHE v BCDF. Chng minh CM < .
đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010
Môn : Toán Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: Chứng minh rằng : A = 2130 + 3921 chia hết cho 45.
Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a, + =5
x 2 + y 2 = 2

2010
2010
x - y = ( y - x )(x + y )
b,
a 2 + b 2 + c 2 = 1
3
3
3
a + b + c = 1
Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:
Bài 4: Cho x2+y2 =1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC, đờng cao AH .
Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và
AC lần lợt tại M và N .

a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC.
b, Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K , so
sánh IK và BC.
c, Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm.

PHềNG GD & T THANH CHNG

THI HC SINH GII CP HUYN V


CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP

ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm 1 trang)

TỈNH.

NĂM HỌC: 2010 – 2011. Môn thi: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. Giải phương trình
a.
b.

x 2 − 10 x + 27 = 6 − x + x − 4

2011 − x 2 − 2006 − x 2 = 2
y=

Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình:

≠2

2(1 − m)
2
.x +
m−2
m−2

, với

m

tham số

m

.
a. Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.

b. Xác định giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng
(d) là lớn nhất.
Câu 3.

a. Cho B =

11...1122...225
123 1 2 3
n
n+1

; B là một số gồm n chữ số 1, n + 1 chữ số 2 và

một chữ số 5. Chứng minh B là số chính phương.
b. Cho

thì:

p

là số nguyên tố;

2 p2 + 1

p≥5

. Chứng minh rằng nếu

2 p +1

là số nguyên tố

là hợp số.

c. Chứng minh không tồn tại cặp giá trị nguyên
x 2 − 2 − 2 y 2 = 2011

( x; y)

thỏa mãn:

d. Cho

x; y ; z > 0

và

x + y + z ≥1

, chứng minh:

x3 y 3 z 3
+ + ≥1
y2 z 2 x2

Câu 4. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến PA,
PB với đường tròn (O), (A, B là các tiếp điểm); OP cắt AB tại M. Qua M kẻ dây cung
CD của đường tròn (O), (CD khác AB và CD không đi qua O). Hai tiếp tuyến của (O)
tại C và D cắt nhau ở Q. Chứng minh:
a) AB < CD ;

b) PQ vuông góc với PO tại P.

Câu 5. Cho đường thẳng xy; đường tròn (O) và một điểm A nằm trên đừơng tròn (O),
xy không cắt (O). Dựng đường tròn tâm K tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc với đường
thẳng xy.

PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN
GIỎI TỈNH

ĐỀ THI CHỌN DỰ TUYỂN HỌC SINH
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN ( Thời gian làm bài

150 phút )
Bài 1 : ( 4 điểm )
a,

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì

b,

Giải phương trình : x2 + x + 12

x +1

n5 - n

M

10

= 36

Bài 2 : ( 6 điểm )
1 1 9

x + y + x + y = 2



 xy + 1 = 5

xy 2


a, Giải hệ phương trình :
b, Cho 3 số không âm x , y , z thỏa mãn x + y + z = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :


A=

x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2

Bài 3 : ( 5 điểm )
a , Tìm một nghiệm của đa thức Q ( x ) = x 3 + a x2 + b x + c .
1
2

Biết rằng đa thức có nghiệm và a + 2b + 4c = b, Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
4a
9b
16c
+
+
≥ 26
b+c −a c + a −b a +b−c

P=
Bài 4 : ( 5 điểm )

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính
R = 2 cm
∠

Có BAC = 600 , đường cao AH = 3 cm .
a, Tính diện tích tam giác ABC .
b, Gọi P là điểm tùy ý trên cung nhỏ BC và M , N lần lượt là
điểm đối xứng
của P qua các đường thẳng AB và AC . Xác định vị trí của
điểm P sao cho
độ dài MN đạt giá trị lớn nhất . Tính độ dài lớn nhất đó .

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 26/02/2013
(Đề thi này gồm 01 trang)

 x −2
x + 2  x2 − 2x + 1
−

÷
÷.

2
 x −1 x + 2 x +1 

Câu 1: (3 điểm) Cho A =
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Câu 2: (6 điểm)


2 x 2 8 x 3 x 2 4 x 8 = 18

a) Gii phng trỡnh:
b) Gii bt phng trỡnh: |2x-7| < x2 + 2x + 2

c) Gii h phng trỡnh:
Cõu 3 : (4 im)
a) Cho

a+b+c = 0

( x + y )( x 2 y 2 ) = 45

( x y )( x 2 + y 2 ) = 85

, tớnh giỏ tr ca biu thc:

1
1
1

P= 2
+ 2
+ 2
2
2
2
2
b +c a
a +c b
a + b2 c2
A = n2 + n + 6

b) Tỡm s t nhiờn n sao cho
l s chớnh phng.
Cõu 4 : (5 im)

a) T mt im A nm ngoi (O;R) k hai tip tuyn AM, AN (M,N
(O;R)). Trờn cung nh MN ly im P khỏc M v N. Tip tuyn ti P ct AM ti B,
ct AN ti C. Cho A c nh v AO = a. Chng minh chu vi tam giỏc ABC khụng
i khi P di ng trờn cung nh MN. Tớnh giỏ tr khụng i y theo a v R.
b) Cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 36 (n v din tớch). Trờn cnh BC
v cnh CA ln lt ly im D v E sao cho DC = 3DB v EA = 2EC; AD ct BE
ti I. Tớnh din tớch tam giỏc BID.
Cõu 5: (2 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
1 x 10 y 10 1 16
Q = 2 + 2 + ( x + y 16 ) (1 + x 2 y 2 ) 2
2 y
x 4

Ht

phòng giáo dục - đào tạo
huyện trực ninh
đề chính thức

Đề thi chọn học sinh giỏi huyện
Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - lớp 9

Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2009
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
1 2x + x 1 2x x + x x
1
A=

+
ữ
ữ:
x 1 x
1+ x x
1 x

Cho biểu thức

x > 0; x

a) Rút gọn biểu thức A.

Với

1
; x 1
4


x = 17 12 2
b) Tính giá trị của A khi
A
c) So sánh A với
.
Bài 2: (3,5 điểm) Chứng minh rằng:
1
2 a b <
<2 b c
b
a)
Biết a; b; c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện:
a = b + 1 = c + 2 ; c >0.

(

)

(

)

20082 2008

B = 1 + 2008 +
+
20092 2009
2

b) Biểu thức
Bài 3: (3,0 điểm) Giải phơng trình
a)

có giá trị là một số tự nhiên.

x 2 3x + 2 + x + 3 = x 2 + x 2 + 2x 3

4x + 1 3x 2 =

x+3
5

b)
.
Bài 4.(8,0 điểm)
Cho AB là đờng kính của đờng tròn (O;R). C là một điểm thay đổi trên đờng tròn
(C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp
tuyến tại A của đờng tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cùng thuộc một đờng tròn.
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R).
c) Chứng minh K là trung điểm của CH.
d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn
nhất đó theo R.

M=

(

3+ 2

)

2008

Bài 5: (1,5 điểm) Cho
a) Chứng minh rằng M có giá trị nguyên.
b) Tìm chữ số tận cùng của M.

+

(

3 2

)

2008