Đề thi HSG lớp 11 không chuyên năm 0809

Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc. Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 11 THPT năm học 2008-2009
Đề thi môn :Toán.
Dành cho học sinh các trường không chuyên
Thời gian làm bài : 180 phút(Không kể thời gian giao đề);
Bài 1.Tìm các giá trị của a để phương trình sau (ẩn x)chỉ có 1 nghiệm:

;
)13)((
)1)(12(535
1
+−−
−+
=
−
−
+
axax
aa
ax
a
Bài 2.Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm :

;02
32
cos.
2
3
cos)(cos2)(cos
2
=+







++−−−
πππ
ππ
a
x
a
x
xaxa
Bài 3.Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR :
;
4
23
coscos
≤+
CA
Bài 4. Cho tứ giác lồi ABCD nôih tiếp trong đường tròn O.
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
CMR : nếu trung điểm của AD;BC;OE thẳng hàng thì AB=CD hoặc góc
o
AEB 90
=
.
Bài 5. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: x+y+z=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

;
111
+
+
+
+
+
=
zx
z
yz
y
xy
x
P