đo lường cấu trúc phụ thuộc giữa các tài sản tài chính và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐO LƯỜNG CẤU TRÚC PHỤ THUỘC
GIỮA CÁC TÀI SẢN TÀI CHÍNH
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành
Mã số
Học viên
Giảng viên hướng dẫn

:
:
:
:

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
60.46.01.06
Nguyễn Thị Thanh Loan
PGS. TS. Trần Trọng Nguyên

HÀ NỘI - 2017


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Trọng Nguyên,
người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có

thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau Đại Học, các thầy
cô giáo giảng dạy chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Và Thống kê Toán
học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ
vũ động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Loan

I


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Trần
Trọng Nguyên, luận văn chuyên ngành Lý thuyết Xác suất Và Thống kê
Toán học với đề tài:"Đo lường cấu trúc phụ thuộc giữa các tài sản
tài chính và ứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu
của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Loan

II


Mục lục

Lời cảm ơn

I

Lời cam đoan

II

Mở đầu

1

1

3

Kiến thức cơ bản
1.1

Một số kiến thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Các mô hình chuỗi thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Chuỗi thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Mô hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Mô hình GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Một số kiến thức về tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4

Giới thiệu về copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5

1.4.1

Khái niệm copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2

Copula t đa biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3

Chuẩn đoán mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Lý thuyết đồ thị cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
III


2

Mô hình sự phụ thuộc với copula
2.1

2.2

3

21

Cấu trúc phụ thuộc giữa hai chuỗi thời gian . . . . . . . . 21
2.1.1

Độ đo sự phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.2

Copula hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Cấu trúc phụ thuộc giữa nhiều chuỗi thời gian . . . . . . . 29
2.2.1

Copula cặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2

Khái niệm copula vine . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Cấu trúc phụ thuộc của một số chỉ số tài chính

46

3.1

Cơ sở dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2

Lựa chọn một copula cặp thích hợp . . . . . . . . . . . . . 48

3.3

So sánh với copula Student bốn chiều

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . 54

57


Danh sách bảng

3.1

Ước lượng số bậc tự do của copula Student hai biến cho các
cặp biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2

Ước lượng tham số cho khai triển copula cặp bốn chiều . . . 52

3.3

Ước lượng số bậc tự do của copula Student hai biến cho các
cặp biến ngẫu nhiên được mô phỏng . . . . . . . . . . . . . 53

3.4

Ước lượng tham số cho copula Student bốn chiều . . . . . . 54

3.5

Hệ số phụ thuộc đuôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


Danh sách hình vẽ

2.1

Dãy copula vine thường trong ví dụ 2.2.1 . . . . . . . . . . 34

2.2

Dãy copula vine thường trong ví dụ 2.2.1 khi được rút gọn.

2.3

Dãy copula vine thường trong trường hợp năm chiều. . . . . 35

2.4

Biểu diễn thu gọn copula vine thường. . . . . . . . . . . . . 38

2.5

Các bước tiếp theo của trình tự thu gọn copula vine thường

34

từ ma trận trong ví dụ 2.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6

Cấu trúc cây điển hình của C-Vine trong trường hợp năm
chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7

Cấu trúc cây điển hình của D-Vine trong trường hợp năm
chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1

Log-lợi suất của các cặp tài sản trong khoảng thời gian từ
ngày 04.01.1999 đến ngày 08.07.2003. . . . . . . . . . . . . 47

3.2

Cấu trúc D-Vine cho dữ liệu đang xét . . . . . . . . . . . . 50


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong thời đại kinh tế phát triển, vấn đề nghiên cứu sự phụ thuộc giữa
các tài sản tài chính có ý nghĩa rất lớn trong việc phân tích rủi ro và phòng
hộ rủi ro khi đầu tư vào các tài sản đó. Hiện nay, hầu hết các hệ thống
quản lí rủi ro vẫn còn nhiều hạn chế, làm tăng nguy cơ thua lỗ cho các
nhà đầu tư. Điều này cho thấy sự cần thiết ra đời các công cụ quản lí rủi
ro mới để đo lường rủi ro chính xác hơn.
Trong nghiên cứu các vấn đề liên quan đến rủi ro danh mục đầu tư tài

chính, chúng ta thường giả thiết lợi suất của các tài sản độc lập và cùng
phân phối. Tuy nhiên, trong thực tế, các dữ liệu thường không thỏa mãn
giả thiết này. Để giải quyết vấn đề này, luận văn này sẽ nghiên cứu về
phương pháp tiếp cận mới dựa trên cơ sở copula để mô tả cấu trúc phụ
thuộc giữa các tài sản trong một danh mục đầu tư tài chính. Phương pháp
này đặc biệt hữu hiệu khi nghiên cứu sự phụ thuộc cực trị và sự phụ thuộc
phi tuyến của các tài sản. Copula là phân phối đồng thời hay hàm phân
phối đa biến từ các hàm phân phối biên duyên của các biến ngẫu nhiên
một chiều. Từ đó, phương pháp tiếp cận dựa trên copula cũng cho phép
xây dựng những mô hình cấu trúc riêng biệt. Phương pháp này cũng giúp
cung cấp các thông tin chi tiết và quan trọng về cấu trúc phụ thuộc giữa
các chuỗi lợi suất để đa dạng hóa danh mục đầu tư phù hợp. Cụ thể là
dựa trên kết quả thực nghiệm, nhà đầu tư nên chọn các cổ phiếu có mức
độ phụ thuộc thấp vào cùng một danh mục đầu tư.
Chính vì những lý do trên, tôi đã chọn đề tài "Đo lường cấu trúc
phụ thuộc giữa các tài sản tài chính và ứng dụng" để phục vụ cho
nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu

• Sử dụng copula để mô hình hóa sự phụ thuộc giữa lợi suất của một
số tài sản tài chính.
• Đề xuất cách tiếp cận mới dựa trên phương pháp copula để mô tả
1


sự phụ thuộc thống kê trong một danh mục đầu tư: mô hình copula
vine.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Cấu trúc phụ thuộc giữa các chuỗi lợi suất tài sản tài chính.

• Ứng dụng các mô hình trên vào danh mục đầu tư gồm các cổ phiếu,
trái phiếu trên thị trường chứng khoán Na Uy và thế giới.
4. Phương pháp nghiên cứu

• Tổng hợp tài liệu.
• Phân tích và xử lý số liệu dựa trên sự trợ giúp của phần mềm Matlab.
5. Nội dung
Luận văn được chia làm ba chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản: Tổng hợp các lý thuyết cơ bản về
xác suất, tài chính, chuỗi thời gian đồng thời giới thiệu về copula và lý
thuyết đồ thị cơ bản.
Chương 2: Mô hình sự phụ thuộc với copula: Đi sâu nghiên
cứu các cấu trúc phụ thuộc giữa hai hay nhiều chuỗi thời gian dựa trên
mô hình copula.
Chương 3: Cấu trúc phụ thuộc của một số chỉ số tài chính:
Ứng dụng mô hình sự phụ thuộc với copula vào thị trường chứng khoán
Na Uy và thế giới.
6. Đóng góp mới
Đi sâu nghiên cứu mô hình sự phụ thuộc với copula để đo lường cấu
trúc phụ thuộc giữa các tài sản tài chính, đặc biệt là mô hình copula vine.

2


Chương 1
Kiến thức cơ bản

1.1

Một số kiến thức xác suất

Cho không gian xác suất (Ω, F, P).
Định nghĩa 1.1.1. Cho ánh xạ X : Ω → R = (−∞, ∞) và B(R) là σ -đại
số các tập Borel của R. Khi đó, X được gọi là một biến ngẫu nhiên nếu

X −1 (B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ F
với mỗi B ∈ B(R).
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P)
và nhận giá trị trên R. Khi đó, hàm số FX (x) = P (X < x) với mọi x ∈ R
được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X .
Định nghĩa 1.1.3. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn
với các tham số µ, σ 2 (σ > 0) nếu hàm mật độ của nó có dạng

1
f (x) = √
σ 2π
3

(x − µ)2
−
2σ 2
.e


với mọi x ∈ R.
Xét không gian xác suất (Ω, F, P) với X = (X1 , ..., Xn ) là một
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên Rn và x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . Ta có một
số định nghĩa sau
Định nghĩa 1.1.4. Hàm F được gọi là hàm phân phối đồng thời của các
biến ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) nếu F được xác định bởi

n

F (x) = P (X1 < x1 , ..., Xn < xn ) = P

(Xi < xi ) ,
i=1

với mọi x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.1.5. Hàm Fi được gọi là hàm phân phối biên của biến ngẫu
nhiên X = (X1 , ..., Xn ) nếu Fi được xác định bởi

Fi (xi ) = P [(X1 < +∞) (X2 < +∞) ... (Xi < xi ) ... (Xn < +∞)]
= xlim
F (x1 , ..., xn ) = P (Xi < xi ) .
→∞
j
j=i

với mọi x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn .
Định nghĩa 1.1.6. Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj với

i, j = 1, ..., n là độ đo sự biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên
này, được tính bởi công thức
Cov[Xi , Xj ] = E [(Xi − E[Xi ])(Xj − E[Xj ])] .
Từ đó, vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) có ma trận hiệp phương
hay Cov[X] được xác định bởi


Cov(X1 , X1 ) ... Cov(X1 , Xn )



..
..
...
Cov[X] = Cov[Xi , Xj ] = 
.
.

Cov(Xn , X1 ) ... Cov(Xn , Xn )

sai, ký hiệu là

4

(1.1)


Định nghĩa 1.1.7. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj
với i, j = 1, ..., n được tính bằng công thức

ρ(Xi , Xj ) = ρXi Xj =

Cov[Xi , Xj ]
σXi σXj

Khi đó, vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , ..., Xn ) có ma trận hệ số tương
quan, ký hiệu là ρ[X], được xác định bởi


ρ(X1 , X1 ) ... ρ(X1 , Xn )



..
..
...
ρ[X] = ρ[Xi , Xj ] = 
.
.

ρ(Xn , X1 ) ... ρ(Xn , Xn )

(1.2)

Tính chất 1.1.1. Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên có một số
tính chất sau
i) ρXi Xj ≤ 1.
ii) Hệ số tương quan có tính chất đối xứng. Nghĩa là

ρ(Xi , Xj ) = ρ(Xj , Xj ).
iii) Nếu ρ(Xi , Xj ) = ±1 thì biến ngẫu nhiên này biểu diễn tuyến tính
được qua biến ngẫu nhiên kia, cụ thể là tồn tại hai số thực a, b và a
cùng dấu với ρ(Xi , Xj ) sao cho Xj = aXi + b.
Ta nói rằng, Xi và Xj không tương quan nếu ρ(Xi , Xj ) = 0. Trái lại,
chúng tương quan với nhau.

5


1.2

Các mô hình chuỗi thời gian

1.2.1

Chuỗi thời gian

Định nghĩa 1.2.1. Họ (Xt )t∈T các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên Rn
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T và không gian trạng
thái Rn . Khi tập T là tập các số nguyên dương thì (Xt )t∈T được goi là quá
trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, còn khi T là một tập liên tục thì

(Xt )t∈T được goi là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
Với mỗi t ∈ T cố định, Xt (ω) là hàm đo được theo ω , với mọi ω ∈ Ω
và được ký hiệu là (xt )t∈T .
Một chuỗi thời gian là một quá trình ngẫu nhiên (Xt )t∈T . Mỗi số hạng
trong chuỗi là một hàm đo được (xt )t∈T0 , T0 ⊆ T , tức là một tập hợp các
quan sát với (xt1 , ..., xtn ), trong đó n ∈ N, t1 < ... < tn , t1 , ..., tn ∈ T .
Khi đó, T được gọi là một miền thời gian.
Định nghĩa 1.2.2. Cho (Xt )t∈T là một chuỗi thời gian.
Nếu Var(Xt ) < ∞ với mọi t ∈ T thì hàm hiệp phương sai còn gọi là
hàm tự hiệp phương sai của (Xt )t∈T và có biểu thức là

γX (r, s) := Cov(Xr , Xs ) = E [(Xr − E[Xr ]) (Xs − E[Xs ])] , r, s ∈ T.
Tương tự, hàm tương quan còn gọi là hàm tự tương quan của (Xt )t∈T
và có biểu thức là
Cov(Xr , Xs )

ρX (r, s) := Corr(Xr , Xs ) =

Var(Xr )Var(Xs )

6

, r, s ∈ T.


Định nghĩa 1.2.3. Cho (Xt )t∈T là một chuỗi thời gian. Chuỗi thời gian
này được gọi là cótính dừng nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn
i) E |Xt |2 < ∞ ∀t ∈ Z;
ii) E[Xt ] = m ∀ t ∈ Z;
iii) γX (r, s) = γX (r + t, s + t) ∀ r, s, t ∈ Z.
Cố định γX (r, s) = γX (r − s, 0) ∀ r, s ∈ Z theo định nghĩa. Chúng
ta sẽ định nghĩa lại giá trị của hàm tự hiệp phương sai như sau

γX (h) := γX (h, 0) = Cov (Xt+h , Xt ) ∀ t, h ∈ Z.
Tương tự, giá trị của hàm tự tương quan được cho bởi

ρX (h) :=

γX (h)
= Corr (Xt+h , Xt ) ∀ t, h ∈ Z.
γX (0)

Đối với hàm tự hiệp phương sai, một số tính chất quan trọng sau cho
phép dễ dàng tính toán hơn
i) γ(0) ≥ 0;
ii) |γ(h)| ≤ γ(0);
iii) γ(h) = γ(−h).
Để nhận thông tin liên quan đến cấu trúc phụ thuộc của chuỗi thời gian

(Xt )t∈Z trong thực tế, ta cần đánh giá hàm tự hiệp phương sai và hàm tự

tương quan từ các biến ngẫu nhiên (x1 , ..., xn ). Muốn làm được điều đó,
ta sử dụng các hàm tự hiệp phương sai mẫu và hàm tự tương quan mẫu.
Định nghĩa 1.2.4. Cho (x1 , ..., xn ) := (xt1 , ..., xtn ) là các giá trị thực
của chuỗi thời gian (Xt )t∈Z . Khi đó, hàm tự hiệp phương sai mẫu được cho
7


bởi biểu thức

1
γ(h) :=
n
1
với x
¯=
n

n−h

(xi+h − x¯)(xi − x¯), |h| < n,
i=1

n

xi . Tương tự, hàm tự hiệp phương sai mẫu được cho bởi
i=1

ρ(h) :=

γ(h)

.
γ(0)

Tiếp theo, ta đi tìm hiểu về quá trình nhiễu trắng. Đây là một quá
trình rất quan trọng, nó cung cấp cơ sở cho việc xây dựng mô hình chuỗi
thời gian.
Định nghĩa 1.2.5. Cho (Zt )t∈Z là một quá trình ngẫu nhiên. Khi đó,

(Zt )t∈Z được gọi là quá trình nhiễu trắng với trung bình không và phương
sai σ 2 > 0 nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây
i) E [Zt ] = 0;
ii) γ(h) = σ 2 .
Nếu (Zt )t∈Z ∼ N (0, σ 2 ) thì quá trình ngẫu nhiên được gọi là quá trình
nhiễu trắng Gauss.

1.2.2

Mô hình ARMA

Mô hình chuỗi thời gian cụ thể đầu tiên mà luận văn muốn giới thiệu
là mô hình trung bình tự hồi quy (mô hình ARMA). Mô hình này giả sử
rằng có một sự phụ thuộc tuyến tính của các giá trị hiện tại của một chuỗi
8


thời gian trên các giá trị quá khứ bao gồm các sai số nhiễu trắng. Trong
các mô hình chuỗi thời gian, mô hình ARMA rất phổ biến. Định nghĩa của
một quá trình ARMA được cho dưới đây:
Định nghĩa 1.2.6. Cho (Xt )t∈Z là một chuỗi thời gian. Nếu

Xt − Φ1 Xt−1 − ... − Φp Xt−p =

t

+ η1

t−1

+ ... + ηq

t−q

trong đó, cố định t ∈ Z, p, q ∈ N0 , Φ1 , ..., Φp , η1 , ..., ηq ∈ R đồng thời

( t )t∈Z ∼ N (0, σ 2 ) thì (Xt )t∈Z được gọi là một quá trình ARM A(p, q).
Quá trình này được gọi là một quá trình ARM A(p, q) với trung bình

µ, nếu quá trình (Xt − µ)t∈Z là một quá trình ARM A(p, q).
Ở đây, p, q biểu thị thứ tự của các tự hồi quy (AR) và các quá trình
trung bình hồi quy tương ứng. Do đó, một quá trình AR(p) là một quá
trình ARM A(p, 0) và tương tự, một quá trình M A(q) là một quá trình

ARM A(0, q).
Chúng ta cũng có thể biểu thị mô hình ARM A(p, q) theo cấu trúc sau
µt = µ + Φ1 Xt−1 + Φ2 Xt−2 + ... + Φp Xt−p + η1

1.2.3

t−1

+ η2

t−2

+ ... + ηq

t−q .

Mô hình GARCH

Mô hình chuỗi thời gian cụ thể thứ hai là mô hình tự hồi quy tổng quát
có điều kiện (mô hình GARCH). Mô hình này được công bố bởi Bollerslev
[5] để mô hình hóa các chuỗi thời gian tài chính. Định nghĩa được đưa ra
dưới đây
Định nghĩa 1.2.7. Cho ( t )t∈Z là một quá trình ngẫu nhiên và (Zt )t∈Z là
một dãy đồng nhất các biến ngẫu nhiên với trung bình không và phương
9


sai đơn vị. Khi đó, ( t )t∈Z được gọi là một quá trình GARCH(p, q) nếu
t

= σ t Zt ,
q

Var ( t \ Ft−1 ) =: σt2 = ω +

p

αi

2
t−i

2
βj σt−j

+

i=1

j=1

cố định t ∈ Z với p ≥ 0, q > 0, α1 , ..., αq , β1 , ..., βp ≥ 0, ω > 0 và

E[ t |Ft−1 ] = 0 và σt2 = σ 2 với mọi t ∈ Z.
Mô hình GARCH(p, q) giả sử rằng sự bất ổn là không đổi theo thời
gian nhưng tập chung, nghĩa là, biến điều kiện σt2 phụ thuộc vào độ lệch p
và giá trị bình phương q cho trước của quá trình này. Trong luận văn này,
chúng ta chỉ xem xét mô hình GARCH(1, 1) .
Định nghĩa 1.2.8. Quá trình ( t )t∈Z được gọi là mô hình GARCH(1, 1)
nếu ( t )t∈Z thỏa mãn
t

= σ t Zt ;

σt2 = ω + α

2
t−1

2
+ βσt−1
.

với α, β ≥ 0, ω > 0 và (Zt )t∈Z là dãy độc lập, tương tự phân phối của
biến ngẫu nhiên với trung bình không và phương sai đơn vị.
Quá trình

t

chỉ dừng khi và chỉ khi α + β < 1.

Trong trường hợp này, phương sai không điều kiện của quá trình này
được cho bởi
Var( t ) =: σ 2 =

10

ω
.
1−α−β


Định nghĩa 1.2.9. Quá trình ( t )t∈Z được gọi là mô hình ARMA (p, q)GARCH (1, 1) nếu ( t )t∈Z thỏa mãn

Xt = µ + Φ1 Xt−1 + ... + Φp Xt−p + η1
t

t−1

+ ... + ηq

t−q

+ ;

= σ t Zt ;

σt2 = ω + α

2
t−1

2
+ βσt−1
;

với Φ1 , ..., Φp , η1 , ..., ηq ∈ R, α, β ≥ 0 và ω > 0.
Mô hình này giả sử rằng một quá trình được mô hình như một
quá trình ARMA với các sai số GARCH. Để xác định một mô hình

ARM A(p, q) − GARCH(1, 1), các tham số phải được ước lượng và lựa
chọn một phân phối thích hợp. Sau đó, tính toán các phần dư chuẩn
ˆt
Zˆt = , trong đó
σˆt
ˆ t−1 − ... − Φ
ˆ p Xt−p − ηˆ1 σ
ˆt−q Zˆt−q .

ˆt = Xt − µ
ˆ − ΦX
ˆt−1 Zˆt−1 − ... − ηˆq σ
Mũ trên đầu của mỗi tham số biểu thị rằng đây là ước lượng của tham
số tương ứng.

1.3

Một số kiến thức về tài chính

Định nghĩa 1.3.1. Chứng khoán là các loại công cụ tài chính dài hạn,
bao gồm các loại cổ phiếu và trái phiếu.

• Cổ phiếu là bằng chứng xác nhận quyền và lợi ích hợp pháp của nhà
đầu tư đối với một phần vốn chủ sở hữu của công ty cổ phần.
11


• Trái phiếu là một loại chứng khoán quy định nghĩa vụ của người phát
hành (người đi vay) phải trả cho người đứng tên sở hữu chứng khoán
(người cho vay) một khoản tiền nhất định bao gồm cả gốc lẫn lãi
trong những khoảng thời gian nhất định.
Định nghĩa 1.3.2. Chỉ số chứng khoán nói chung và chỉ số trái phiếu nói
riêng được dùng để thể hiện sự phát triển của thị trường và các thành
phần của nó. Các chỉ số này thường được thông báo trên các phương tiện
thông tin đại chúng và các tờ nhật báo lớn ở các nước. Chỉ số chứng khoán
phản ánh tình hình hoạt động của các công ty trên thị trường. Nếu các
công ty làm ăn có lãi, giá chứng khoán của các công ty đó sẽ tăng và làm
tăng theo chỉ số chứng khoán. Ngược lại, chỉ số chứng khoán sẽ giảm. Dựa
vào chỉ số chứng khoán, các nhà đầu tư có thể xác định được hiệu quả của

một cổ phiếu hoặc một danh mục các chứng khoán để đầu tư vào.
Định nghĩa 1.3.3. Cho (Xt )t∈T là giá trị của tài sản tại thời điểm t. Khi
đó, quá trình lợi suất được cho bởi

Rt =

Xt
− 1 ∀t ∈ Z.
Xt−1

Trong thực hành, người ta thường dùng quá trình log-lợi suất (rt )t∈Z
như sau

rt = ln(Xt ) − ln(Xt−1 ) ∀t ∈ R.
Một mô hình chuỗi thời gian mô tả sự phát triển của một chuỗi thời
12


gian. Cấu trúc của một mô hình chuỗi thời gian trong tài chính được đưa
ra trong định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.3.4. Cho (rt )t∈Z là một quá trình log-lợi suất và quá trình
nhiễu trắng (Zt )t∈Z ∼ N (0, 1). Khi đó, cấu trúc của một mô hình chuỗi
thời gian được cho bởi phương trình lợi suất

rt = µt + εt .
Và số hạng nhiễu là εt = σt Zt .
Trong đó, µt là trung bình điều kiện, σt2 được gọi là phương sai điều
kiện được cho bởi biểu thức

µt = E [rt |Ft−1 ] ;

σt2 = E (rt − µt )2 |Ft−1 .
Với Ft là các thông tin thiết lập có sẵn tại thời điểm t.

1.4

Giới thiệu về copula

1.4.1

Khái niệm copula

Các copula d-chiều là các hàm phân phối tích lũy trên Id với biên độ
đồng đều. Do đó một copula miêu tả cấu trúc phụ thuộc giữa các phần tử
của một vectơ ngẫu nhiên d-chiều. Ở đây, Id biểu thị hình siêu lập phương
đơn vị d- chiều, nghĩa là Id = [0, 1]d .
Định nghĩa 1.4.1. Hàm số C : Id → I được gọi là một copula d-chiều
nếu C thỏa mãn các điều kiện sau
13


i) ∀ u ∈ I : C (1, ..., 1, u, 1, ..., 1) = u;
ii) ∀ u ∈ I : C (0, ...0, 0, u, 0, ..., 0) = 0;
iii) ∀ u, v ∈ Id , với u ≤ v , ta có

dC(u1 , ..., ud ) ≥ 0.
[u,v]

Hàm mật độ xác suất (pdf) của một copula có thể có được nhờ phép
lấy đạo hàm riêng và được kí hiệu là c, nghĩa là

c(u1 , ..., ud ) =

∂ d C(u1 , ..., ud )
∀u = (u1 , ..., ud ) ∈ Id .
∂u1 ...∂ud

Mỗi d-copula được liên kết với một vectơ ngẫu nhiên U = (U1 , ..., Ud )
sao cho Ui ∼ U(I) với mỗi i ∈ {1, ..., d} và U ∼ C .
Ngược lại, bất kì vectơ ngẫu nhiên nào mà thành phần của nó được
phân phối đồng thời trên I thì cũng được phân phối theo một số copula
nào đó. Lớp các d-copula được ký hiệu là Cd .
Ví dụ 1.4.1. Copula độc lập:

d (u)

= u1 .u2 ...ud , liên kết với một vectơ

ngẫu nhiên U = (U1 , ..., Ud ) mà các thành phần của nó độc lập và có phân
phối đều trên I.
Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu các copula được cung cấp bởi định lý
Sklar. Định lý này cho phép liên kết các hàm phân phối biên duyên và
phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên bằng định nghĩa của một
copula d-chiều.
Định lý 1.4.1. Cho X = (X1 , ..., Xd ) là một vectơ ngẫu nhiên với các
phân phối biên duyên FX1 , ..., FXd và cho F là hàm phân phối đồng thời
của chúng. Khi đó tồn tại một copula C sao cho

F (x1 , ..., xd ) = C(FX1 , (x1 ), ..., FXd (xd )),
14

(1.3)


trong đó, x = (x1 , ..., xd ) ∈ Rd ).
Copula C là duy nhất nếu FX1 , ..., FXd là liên tục.
Ngược lại, hàm F là hàm phân phối đồng thời với các biên duyên

FX1 , ..., FXd nếu FX1 , ..., FXd là các hàm phân phối và C là một copula.
Chứng minh chi tiết xem thêm trong [13].
Phương trình đảo của (1.3) là

C(u) = C(u1 , ..., ud ) = F (F −1 (u1 ), ..., F −d (ud )).
Do đó, mật độ của copula có thể có được nhờ phép đạo hàm riêng

∂ d C(F1 (x1 ), ..., Fd (xd ))
f (x) =
∂x1 ...∂xd
d
∂ C(F1 (x1 ), ..., (Fd (xd ))
=
.f1 (x1 )...fd (xd )
∂F1 (x1 )...∂Fd (xd )
f (x)
.
⇔ c(F1 (x1 ), ..., Fd (xd )) =
f1 (x1 )...fd (xd )
1.4.2

Copula t đa biến

Các copula t đa biến dựa trên phân phối Student t đa biến (chi tiết xem
tại [5]). Một vectơ ngẫu nhiên d-chiều X là một phân phối đa biến với

ν > 0 bậc tự do, trung bình µ ∈ Rd và ma trận tham số tỉ lệ
nếu mật độ của nó là
Γ
ft x; ν, µ,

=
ν
Γ
2

(νπ)d

∈ Rd×d ,

ν+d
2

1+

−1

(x − µ)T

Chúng ta kí hiệu điều này bởi X ∼ td (ν, µ,

(x − µ)

ν+d
2

ν

) . Giá trị kỳ vọng, ma
trận hiệp phương sai được cho bởi các phương trình sau
ν
.
E[X] = µ; Cov (X) =
ν−2
15


Chúng ta chỉ xem xét phân phối student t, nghĩa là µ = 0 . Khi đó, ta
viết X ∼ td (ν, ). Ma trận tham số
= (ρi,j )i,j=1,...,d xác định dương
và đối xứng, với pi,i = 1 ∀ i = 1, ..., d và ρi,j = Corr(Xi , Xj ) ∀ i, j =
1, ..., d, i = j .
Để đại diện cho cấu trúc phụ thuộc trong một phân phối student t đa
biến, chúng ta sử dụng một copula t đa biến. Do đó, cho P là một ma trận
tương quan được suy ra bởi ma trận phương sai - hiệp phương sai
đó, copula t hai biến được cho bởi
t−1
υ (u1 )
t
Cν,P
=

t−1

υ (ud )

ν+d
2

Γ

...
∞

Γ

∞

d

ν
2

(νπ) |P | 1 +

ν+d
2

xT P x
ν

. Khi

.

Với t−1
ν biểu thị hàm điểm vi phân của phân phối student t đơn biến. Sử
dụng phương trình trên, ta có thể tính được mật độ của t-copula đa biến

ctν,P (u)

=

−1
ft t−1
ν (u1 ), ..., tν (ud ); ν, P
d
i=1

1.4.3

; u ∈ Id .

ft (t−1
ν (ui ); ν)

Chuẩn đoán mô hình

Trong thực tế, khi ước lượng các tham số copula cho một mẫu dữ liệu
nhất định u(j) , j = 1, ..., N , ta thực hiện thông qua ước lượng hợp lý cực
đại (ML).
Các tham số được ước lượng là các tham số của bậc tự do νi , i = 1, ..., n
n(n + 1)
tham số phải được ước lượng,

và các hệ số tương quan. Toàn bộ
2
vectơ của các tham số này sẽ được biểu thị bằng θ.
Hàm log-likelihood trong trường hợp này được cho bởi
N
(1)

(N )

l θ|u , ..., u

cθ u(j)

= ln
j=1
N

=

ln
j=1

(j)

1

φ
0

16

(j)

x1
xn
, ...,
ω1 (j)
ωn (j)

n

i=1

1
ds
ωi (s)


N

+
j=1 i=1
n

+N
i=1

(j) 2
xi






n

1

(νi + 1) ln 1 +
2

νi



Γ 21 νi
1
ln(νi π) + ln
2
Γ 12 (νi + 1)

.

θ tối đa hóa hàm log-likelihood này được gọi là ước lượng cực đại (MLE)
θˆ. Để có được các tham số tối ưu thích hợp cho copula, ta phải tối đa hóa
l (θ, .) với ràng buộc rằng ma trận tương quan
là xác định dương. Để
thỏa mãn điều này, chúng ta xem xét ma trận tam giác dưới Choleski
A = (ai,j )i,j ,

= AAT . Các phần tử của A phải thỏa mãn
i

a2i,j > 0, i = 1, ..., n.
j=1

Điều này dễ dàng kiểm tra hơn tính xác định dương. Để giảm số lượng
các tham số và do đó đẩy nhanh quá trình tìm ra tập tham số tối ưu, lưu
i−1

ý rằng a1,1 = 1. Ta cho

a2i,i

a2i,j , i = 2, ..., n. Do đó, chúng ta chỉ

= 1−
j=1

phải xem xét điều kiện
i−1

a2i,j < 1, i = 2, ..., n.
j=1

Khi xác định được hai hay nhiều mô hình copula cho một bộ dữ liệu
nhất định của quan sát u, ta đi so sánh các mô hình này với nhau. Trong
phần này, luận văn đưa ra hai tiêu chí thông tin được sử dụng phổ biến
để so sánh mô hình.
Trước tiên, ta kí hiệu log-likelihood bởi công thức

n

li (θ; ui ) ,

l (θ; u) :=
i=1

trong đó, li (θ; ui ) := log (f (ui |θ)) và θ biểu thị sự đóng góp theo loglikelihood của quan sát ui và vectơ tham số tương ứng. So sánh các mô
17


hình không chỉ dựa trên giá trị log-likelihood của chúng mà còn xem xét
số lượng các tham số cần phải được ước lượng, trong thống kê thường sử
dụng tiêu chí thông tin Akaike (AIC) được đưa ra bởi Akaike [4] và tiêu
chuẩn thông tin Bayesian (BIC)[4]. Hình thức chung của chúng được đưa
ra trong các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.4.2. Cho n là kích thước của một mẫu dữ liệu u và k là số
lượng các tham số mô hình, nghĩa là chiều dài của θ. Khi đó các tiêu chí
thông tin AIC và BIC được xác định bởi
n

li (θ; ui ) + 2k

AIC := −2
i=1
n

li (θ; ui ) + log(n)k.

BIC := −2

i=1

1.5

Lý thuyết đồ thị cơ bản

Định nghĩa 1.5.1. Cho N và E biểu diễn tập hợp các nút và các cạnh
biên tương ứng. Trong đó, E là tập con của của N , ví dụ:

E ⊆ {{ni , nj } , ni , nj ∈ N }
Khi đó, cặp G = (N, E) được gọi là đồ thị.
Các nút hiển thị đồ họa được biểu diễn bởi các điểm có đánh dấu và
cạnh nối hai nút được biểu diễn bởi một đường nối các điểm tương ứng.
Nếu một đồ thị có chứa tất cả các cạnh có thể, nghĩa là mỗi nút được
kết nối với bất kỳ nút nào khác thì đồ thị được gọi là đồ thị đóng.
Một dãy các nút {n1 , ..., nk } ∈ N được gọi là

18