Luật mệnh số lớn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
————————–o0o————————–

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tên đề tài
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CỦA TỔNG
CÓ TRỌNG SỐ CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành
Mã số
Học viên
Giảng viên hướng dẫn

:
:
:
:

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
60.46.01.06
Vũ Thị Kiều Ánh
TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI - 2016


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn "Luật
mạnh số lớn của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên", tôi đã

nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ và động viên của nhiều cá nhân và tập
thể, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các cá nhân và tập thể đã
tạo điều kiện giúp đỡ tôi.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy trong tổ Lí thuyết xác suất và thống
kê toán học-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã mang đến cho tôi những
kiến thức bổ ích trong những năm học vừa qua và trong công việc sắp tới.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Hùng - Người thầy
đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn ở bên
tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đề tài nghiên
cứu của mình.
Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô, bạn
bè và những người quan tâm để luận văn được hoàn thiện và phát triển
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội,5 tháng 6 năm 2017
Vũ Thị Kiều Ánh

1


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn
Hùng, luận văn chuyên ngành Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán
Học với đề tài:"Luật mạnh số lớn của tổng có trọng số các biến
ngẫu nhiên" được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa

những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, 5 tháng 6 năm 2017
Tác giả

Vũ Thị Kiều Ánh

2


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . .
1.2 Một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật số lớn
1.3 Martingale và các định lí giới hạn . . . . . . . . .
1.4 Các khái niệm và kết quả liên quan đến luận văn. .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

2 Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại
lượng ngẫu nhiên
2.1 Tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân
phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tổng có trọng số của martingale hiệu trong Lp - bị chặn . .
2.3 Tổng có trọng số của các dãy martingale bị chặn đều . . . .
2.4 Tính nhất quán mạnh trong hồi quy tuyến tính với các biến
ngẫu nhiên của nhiễu độc lập có cùng phân phối . . . . . .

3

1
2
4
7

7
9
10
13

15
15
26
32
47


MỤC LỤC

Lời nói đầu
Trong nghiên cứu năm 1945 của Hill [20] sự hội tụ hầu khắp nơi của tính
khả tổng đều áp dụng cho dãy số không và một. Nếu {wn } là một dãy số
∞

n

dương với tổng riêng Wn :=

wk tiến ra vô cùng, sao cho
k=1

k=1

wk
Wk

2

< ∞,

thì mọi dãy Rademacher {εn } thoản mãn

1
Wn

n

wk ε k → 0

(1)

k=1

Kết quả này là một hệ quả của Định lý Khintchine-Kolmogorow, nó đưa
ra những câu hỏi về điều kiện của một chuỗi dương {wn } là đủ cho (1). Từ
wn εn
(1) dẫn đến
→ 0 hầu chắc chắn, điều kiện cần là Wεnn → 0. Kết quả
Wn
này đã được ghi nhận bởi Maruyama và Tsuchikura (xem tài liệu tham
khảo trong [34]). Tsuchikura đã chứng minh (1) đúng, nếu {wn } là tăng
và thỏa mãn

wn log log Wn
=0

n→∞
Wn
lim

(2)

Salem và Zygmund [30] đã chứng minh kết quả khác của Tsuchikura, giả
định Wn → ∞ thay vì tính đơn điệu của {wn }. Chú ý rằng mọi dãy bị
chặn {wn } với tổng phân kỳ thỏa mãn (2).
Theo Định lý Khintchine-Kolmogorow, giả thiết của Hill chỉ ra rằng

1
Wn

n

wk Xk → 0 hầu chắc chắn

(3)

k=1

khi dãy {Xn } là dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập với supn E|Xn |2 < ∞
, nghiên cứu của Tsuchikura nêu ra một số câu hỏi, tóm tắt như sau:
Tìm điều kiện của một chuỗi các trọng số dương {wn } ( với tổng phân
kỳ) trong đó đảm bảo rằng luật mạnh số lớn của trọng số (3) đúng cho
mọi dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập trong một lớp nhất định,cho
mọi dãy bị chặn đều {Xn }, cho các dãy quy tâm độc lập cùng phân phối,
dãy với các biến hữu hạn, v..v
Jamison, Orey và Pruitt [21] đã đưa ra điều kiện cần và đủ cho dãy

trung bình có trọng số {wn } với tổng phân kỳ cho (3) đúng vơi mọi dãy
{Xn } độc lập, cùng phân phối với E |X1 | < ∞ và EX1 = 0 . Họ giới
4


MỤC LỤC

thiệu hàm đếm được N (t) = card {n ≥ 1 : Wn /wn ≤ t} là hữu hạn khi
đó wn /Wn → 0, và họ đã chứng minh [21, định lí 2] rằng nếu {Xn } là
một dãy biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lâp, cùng phân phối trong
(Ω, F, P) sao cho:
E |X1 |2
khi đó trung bình có trọng số

N (t)dt
<∞
t3
t≥|X1 |
1
Wn

(4)

n

wn Xk hội tụ tới 0 hầu chắc chắn.
k=1

Kết quả đó đã được sử dụng để chứng minh rằng điều kiện

lim sup N (t)/t → ∞ là cần và đủ để trung bình có trọng số
t→∞

1
Wn

n

w n Xk →
k=1

0 hầu chắc chắn, với mọi dãy biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lập
cùng phân phối {Xn }.
Azuma [5] đã chứng minh rằng điều kiện (2) dẫn đến luât mạnh số lớn
cho trọng số (3) đúng cho mọi dãy martingale hiệu bị chặn đều, đặc biệt
cho dãy biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập bị chặn đều.
Các vấn đề của việc tìm kiếm điều kiện đủ để giữ cho luật mạnh số lớn
cho trọng số (3) đúng cho mọi biến quy tâm độc lập cùng phân phối, với
E|X1 |p < ∞ (p > 1 cố định) mới được Lin và Weber [24] nghiên cứu.
Trong luận văn này chúng ta xét điều kiện đặt trên một dãy phức {bn }
với |bn | → ∞, để thu được hầu chắc chắn của chuỗi n Xbnn khi {Xn } thuộc
vào lớp hàm khả tích. Đặc biệt là các trường hợp trung bình có trọng số,
khi {Xn } là một dãy các số dương có tổng phân kỳ và bn = nk=1 wk /wn ,
sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi trên suy ra luật mạnh số lớn của trung
bình có trọng số. Hơn nữa trường hợp dãy {cn } là dãy có
|cn |2 = ∞ và
ta lấy bn = nk=1 |cn |2 /cn , sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi suy ra luật
mạnh số lớn của ước lượng bình phương bé nhất trong mô hình hồi quy
tuyến tính. Nội dung của luận văn này là tổng quát hóa các kết quả cổ
điển theo hai hướng:

1. Mở rộng áp lên dãy chỉ số {bn }
2. Mở rộng các kết quả cho dãy {Xn } là một martingale hiệu.
Luật văn được chia làm hai chương
Chương I: Kiến thức chuẩn bị, nội dung chương này là những kiến
thức chuẩn bị của luận văn, một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật
số lớn, về martingale và các định lí giới hạn
5


MỤC LỤC

Chương II: Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các
đại lượng ngẫu nhiên, chương này trình bày có hệ thống và làm sáng
tỏ một số kết quả của luật mạnh số lớn đối với các tổng có trọng số của
các đại lượng ngẫu nhiên.
2.1 Nghiên cứu về tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối.
2.2 Nghiên cứu về tổng có trọng số của martingale hiệu trong Lp - bị
chặn.
2.3 Nghiên cứu về tổng có trọng số của các dãy martingale bị chặn đều.
2.4 Nghiên cứu về tính nhất quán mạnh trong hồi quy tuyến tính với
các biến ngẫu nhiên của nhiễu độc lập có cùng phân phối.

6


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số khái niệm và kết quả cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một tập khác rỗng. Một họ F những tập
con của Ω được gọi là một σ - đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện:
(i) Ω ∈ F ;
(ii) Nếu A ∈ F thì Ω \ A ∈ F ;
(iii) Nếu An ∈ F, n ≥ 1 thì

∞
i=1 An

∈ F.

Định nghĩa 1.1.2. . Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ - đại số
các tập con của Ω. Hàm tập P xác định trên F được gọi là một độ đo xác
suất nếu thỏa mãn ba điều kiện
(i) P (A) ≥ 0, ∀A ∈ F ;
(ii) P(Ω) = 1;
(iii) Nếu {An }n≥1 là dãy các tập con đôi một rời nhau thuộc F thì
∞

∞

An

P

=

i=1

P (An ).
i=1

Định nghĩa 1.1.3. Cho Ω là một tập khác rỗng và F là một σ - đại
số các tập con của Ω và P là một độ đo xác suất trên F . Khi đó bộ ba
(Ω, F, P) được gọi là không gian xác suất tổng quát. Nếu với A ∈ F thỏa
mãn P(A) = 0 mà ta có B ∈ F, ∀B ⊂ A thì F được gọi là σ - đại số đầy
đủ và P được gọi là độ đo xác suất đầy đủ. Khi đó, không gian (Ω, F, P)
được gọi là không gian xác suất đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.4. Ký hiệu R là tập hợp tất cả các số thực và B(R) là
σ - đại số nhỏ nhất chứa các khoảng mở dạng (a, b), (a, b ∈ R). Khi đó
7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

B(R) được gọi là σ - đại số Borel trong R. Mỗi phần tử của B(R) được gọi
là một tập Borel.
Định nghĩa 1.1.5. Hàm thực X : Ω → R được gọi là hàm F - đo được
hoặc biến ngẫu nhiên nếu {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F, ∀B ∈
B(R).
Định nghĩa 1.1.6. Hàm số FX (x) = {ω ∈ Ω : X(ω) < x}, x ∈ R được
gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X .
Định nghĩa 1.1.7. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên thì họ

σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B
được gọi là σ - đại số sinh bởi X.
Định nghĩa 1.1.8. Cho dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ... có các hàm

phân phối tương ứng là FX1 , FX2 , ... Các biến ngẫu nhiên trên được gọi là
cùng phân phối nếu

FX1 (x) = FX2 (x) = ...∀x ∈ R.
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất.
(i) Họ hữu hạn các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu

Ai

P
i∈I

P (Ai ), ∀Ai ∈ F, i ∈ I.

=
i∈I

(ii) Họ vô hạn các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu mỗi họ con
của nó độc lập.
(iii) Họ các biến ngẫu nhiên {Xi }i∈I được gọi là độc lập nếu họ các σ -đại
số sinh bởi chúng độc lập.
(iv) Họ các biến cố {Ai }i∈I ⊂ F được gọi là độc lập nếu các biến ngẫu
nhiên {IA i }i∈I độc lập.
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B) là đại lượng ngẫu
nhiên. Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được
gọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là E (X). Vậy:

EX =

XdP.

Ω

8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.11. Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp (Ω, F, P) là tập hợp
cácbiến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P) sao cho E|X|p < ∞.
Định nghĩa 1.1.12. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 được gọi là bị
chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < ∞ sao
cho
P [|Xn | > t] ≤ DP [|DX| > t] , ∀t ≥ 0, n ≥ 1.
Nhận xét 1.1.13. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 cùng phân phối
thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X1 .

1.2

Một số định nghĩa và kết quả cổ điển về luật số lớn

Định nghĩa 1.2.1.
(i) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ theo
xác suất về biến ngẫu nhiên X nếu với mọi ε > 0 bất kỳ, ta có:

lim P {|Xn − X| > ε} = 0.

n→∞

Khi đó ta ký hiệu
P

Xn → X (n → ∞).
(ii) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ hầu
chắc chắn về biến ngẫu nhiên X nếu:
P

lim Xn → X

n→∞

=1

Khi đó ta ký hiệu
h.c.c

Xn → X (n → ∞).
(iii) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ theo
trung bình bậc p, p > 0 về biến ngẫu nhiên X nếu:
E|Xn |p < ∞ v
Khi đó ta ký hiệu

lim E|Xn − X|p = 0

n→∞

Lp

Xn → X (n → ∞).
Khi p = 1, ta nói Xn hội tụ theo trung bình tới X .

9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(iv) Cho dãy các biến ngẫu nhiên {Xn }n≥1 . Ta nói dãy {Xn }n≥1 hội tụ
yếu hay hội tụ theo phân phối về biến ngẫu nhiên X nếu: Với mọi hàm
f : R → R liên tục và bị chặn, ta có:

lim E(f (Xn )) = E(f (X))

n→∞

Khi đó ta ký hiệu
d

Xn → X (n → ∞).
Định lí 1.2.2. Dãy {Xn }n≥1 hội tụ hầu chắc chắn về biến ngẫu nhiên X
nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, ta có

sup |Xm − X| > ε

lim P

n→∞

=0

m≥n

Bổ đề 1.2.3. (Bổ đề Borel – Cantelli) Giả sử {An }n≥1 là dãy các biến cố
bất kỳ. Khi đó
(i) Nếu
(ii) Nếu

∞
n=1 P (An )
∞
n=1 P (An )

< ∞ thì P limsup An =0.
n

= ∞ các biến cố An độc lập, thì P limsup An = 1,

trong đó limsup An =
n

∞
n=1

n

∞
k=n Ak .

Định lí 1.2.4. (Định lí Marcinkiewicz – Zygmund) Giả sử {Xn }n≥1 là dãy
các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối và 0 < p < 2. Khi đó
n
i=1 Xi

n

− nc

1
p

→ 0 h.c.c

khi và chỉ khi
E |X1 |p < ∞
trong đó c = EX1 nếu 1 ≤ p < 2 và c là hằng số tùy ý nếu 0 < p < 1.

1.3

Martingale và các định lí giới hạn

Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất và (Fn ) là một lọc các σ -đại
số thỏa mãn
Fo ⊆ F1 ⊆ ... ⊆ F
Họ (Fn ) như vậy được gọi là một lọc trên không gian đo (Ω, F).
10


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Nếu (XN ) là một dãy biến ngẫu nhiên trên (Ω, F, P) sao cho với mỗi
n ≥ 1, Xn là (Fn ) đo được thì X = (Xn , Fn )n∈N ) được gọi là một dãy
tương thích. Nếu (Vn ) là một dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn Vn là (Fn−1 )

- đo được với moi n ≥ 1 thì ta gọi V = (Vn , Fn )n≥1 là dự báo được.
Nếu cho trước một dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) trên không gian xác suất
(Ω, F, P) thì dãy σ - đại số FnX xác định bởi FnX = σ (X1 , ..., Xn ) được
gọi là σ - đại số tự nhiên sinh bởi dãy (Xn ).
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất với lọc
(Fn ). Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martinegale nếu với mọi n ≥ 0, cả ba
điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Xn là Fn - đo được;
(ii) E |Xn | < ∞;
(iii) E (Xn+1 |Fn ) = Xn hầu chắc chắn.
Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martinegale dưới nếu các điều kiện (i), (ii)
được thỏa mãn và
(iii’) (Xn , Fn ) ≥ Xn hầu chắn chắn với mọi n ≥ 0.
Dãy (Xn , Fn )n≥0 được gọi là martinegale trên nếu các điều kiện (i), (ii)
được thỏa mãn và
(iii”) (Xn , Fn ) ≤ Xn hầu chắn chắn với mọi n ≥ 0.
Nhận xét 1.3.2.
(i) Dãy (Xn , Fn ) là martingale trên khi và chỉ khi dãy (−Xn , Fn ) là martingale dưới. Dãy (Xn , Fn ) là martingale khi và chỉ khi nó vừa là martingale
trên vừa là martingale dưới.
(ii) Nếu dãy (Xn , Fn ) là martingale thì E(Xn , Fn ) = Xn hầu chắc chắn với
mọi m ≥ n.
Định nghĩa 1.3.3. Dãy tương thích (Xn , Fn )n∈N được gọi là Martingale
hiệu nếu E |Xn | < ∞ đối với mọi n ∈ N và
E (Xn+1 |Fn ) = 0
Rõ ràng nếu S = (Sn , Fn )n∈N là martingale thì (Xn , Fn )n∈N là martingale
hiệu trong đó:

X0 = S0 , Xn = ∆Sn = Sn − Sn−1 , n = 1, 2, ...
11

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Ngược lại, nếu (Xn , Fn )n∈N là martingale hiệu thì S = (Sn , Fn )n∈N là
martingale trong đó:

S0 = X0 , Sn = X0 + ... + Xn , n = 1, 2, ...
Định nghĩa 1.3.4. (Luật mạnh số lớn cổ điển) Dãy các biến ngẫu nhiên
{Xn }n 1 có kì vọng hữu hạn được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn nếu

Sn − ESn
→ 0 h.c.c
n
hay tổng quát hơn, nếu tồn tại hai dãy hằng số (an ), (bn ), 0 < bn ↑ ∞ sao
cho
Sn −an
→ 0 h.c.c
bn
ở đây Sn = X1 + X2 + ... + Xn .
Định lí 1.3.5. (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp tổng quát) Giả
sử {Xn }n 1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc hai
hữu hạn, (bn ) là dãy hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞. Khi đó nếu
∞

n=1

DXn
<∞
b2n

thì

Sn −ESn
→ 0 h.c.c.
bn
Định lí 1.3.6. (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp cùng phân phối)
Giả sử {Xn }n 1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. Khi
đó
Sn
→ a h.c.c a ∈ R
n
khi và chỉ khi E |X1 | < ∞ và EX1 = a.
Định lí 1.3.7. (Định lí giới hạn trung tâm Lindeberg) Giả sử (Xn ) là dãy
biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng và phương sai hữu hạn. Đặt

Bn = (DX1 + ... + DXn )1/2
Và

Sn∗

=

n
k=1 (Xk

− E(Xn ))
Bn

12

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Khi đó, nếu với mọi ε > 0

1
Ln (ε) = 2
Bn

n

E (Xk − E (Xk ))2 I{|Xk −E(Xk )|>εBn } → 0
k=1

Định lí 1.3.8. Giả sử M = (Xn , Fn )n≥0 là martingale bình phương khả
tích và A = (Aa , Fn−1 ) là dãy tăng dự báo được với A1 ≥ 1, A∞ = ∞ hầu
chắc chắn. Nếu
2
2
A−2
i E (Mi − Mi−1 ) |Fi−1 < ∞ h.c.c
i=1

thì
h.c.c

A−1
n Mn → 0
Đặc biệt, nếu đặc trưng bình phương M của M thỏa mãn M
và M 1 > 0 hầu chắc chắn thì

∞

=∞

Mn
→ 0.
M n
Định lí 1.3.9. Giả sử M = (Xn , Fn )n≥0 là một dãy tương thích. Giả sử
tồn tại biến ngẫu nhiên khả tích X và hàm số dương c sao cho:
P [|Xn | > x] ≤ cP [|Xn | > x] , ∀x ≥ 0, n ≥ 1
Khi đó

1
n

n

(Xi − E (Xi | Fi−1 )) → 0
i=1

Khi n → ∞. Nếu E |X| log+ |X| < ∞ thì dãy trên hôi tụ hầu chắc chắn.

1.4

Các khái niệm và kết quả liên quan đến luận văn.

Định nghĩa 1.4.1. (Trung bình cộng có trọng số) Trung bình cộng có
trọng số của một tập là giá trị trung bình cộng có phản ánh tầm quan
trọng của các phần tử (hay giá trị quan sát) trong tập đó. Mỗi một giá trị

quan sát sẽ được gắn một trọng số.
Công thức tính trung bình cộng có trọng số là:

x=

w1 x1 + w2 x2 + ... + wn xn
w1 + w2 + ... + wn
13


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

hay

n
i=1 wi xi
n
i=1 wi

x=

trong đó x1 , x2 , . . . , xn là các phần tử trong tập, và w1 , w2 , . . . , wn là các
trọng số tương ứng của từng phần tử, i là thứ tự i của phần tử hoặc trọng
số trong khoảng từ 1 đến n. Trong thống kê trung bình cộng có trọng số
hay được dùng để tính toán các chỉ số.
Định nghĩa 1.4.2. (Hàm số loại Orlicz) Hàm M : [0, +∞) → R được gọi
là hàm Orlicz nếu:
(1.) M là hàm không giảm, liên tục;
(2.) M (0) = 0 và lim M (t) = ∞;
t→∞

(3.) M là hàm lồi. Hàm Orlicz M gọi là suy biến nếu tồn tại t > 0 sao cho
M (t) = 0.

t
Ví dụ 1.4.3. Các hàm M (t) = ; M (t) = tet Giả sử M là hàm Orlicz và
p
K là trường số thực hoặc số phức. Ta ký hiệu:
∞

lM =

x = (x_n) ⊂ K

M
n=1

|xn |
ρ

< ∞, ρ > 0

Bổ đề 1.4.4. (Bổ đề Kronecker) Giả sử {Xn }n≥1 là dãy các số thực và
+∞ X
n
hội tụ thì
{bn }n≥1 là dãy các số dương tăng đến +∞. Khi đó, nếu
n=1 bn
1 n
Xk → 0, khi n → +∞.

bn k=1

14


Chương 2

Luật mạnh số lớn cho các tổng có
trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên
2.1

Tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối

Chương này chúng ta nghiên cứu về luật mạnh số lớn đối với trung bình
có trọng số của các biến ngẫu nhiên quy tâm (tức là EXn = 0 với mọi n)
độc lập cùng phân phối {Xn } thông qua sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi
∞ Xn
n=1 bn .
Lưu ý rằng với mọi dãy {αn } không âm, hàm số đếm được (hàm không
giảm) N (t) := card {n : αn ≤ t} là hữu hạn với mọi t > 0 nếu và chỉ nếu
αn → ∞ (tồn tại một dãy con bị chặn αnk ≤ M suy ra N{αn } (t) = ∞ cho
t > M ).
Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hàm đếm được trong luận văn.
Bổ đề 2.1.1. Giả sử {αn } là một dãy không âm, tiến tới vô hạn. Giả
sử ϕ (t) là một hàm khả vi, dương và không giảm trên [1, ∞), sao cho
ϕ (t) → 0. Đặt N (t) := card {n : αn ≤ t}. Khi đó chuỗi ∞
n=1 ϕ(αn ) hội
t→∞

∞

ϕ (t)N (t)dt hội tụ.

tụ nếu và chỉ nếu
1

Chứng minh. Giả sử αnj là dãy con không giảm của {αn }. N (t) không
giảm, liên lục phải, dãy bước nhảy với các bước nhảy xuất hiện dọc theo
chuỗi của các điểm αnj .
Bởi các điều trên và sử dụng định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes,

15


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

với mọi z > 1 ta có:
z

ϕ (αk ) =

z

ϕ (t) dN (t) = ϕ (z) N (z)−ϕ (1) N (1)−
1

{k:1<αk ≤z}

ϕ (t) N (t) dt.
1

Chú ý rằng, số hạng cuối cùng ở vế phải mang dấu dương khi ϕ không
tăng.
Nếu

∞
k=1 ϕ(αk )

∞

< ∞ thì tích phân

ϕ (t)N (t)dt hội tụ. Nếu tích phân
1

hội tụ, bởi tính đơn điệu của N (t) và giả sử ϕ (t) → 0, ta có:
t→∞

∞

ϕ (z) N (z) ≤ −

ϕ (t)N (t) dt → 0 khi z → ∞.
z

Do đó chuỗi

∞
k=1 ϕ(αk )

hội tụ.

Nhận xét 2.1.2. Tính chất tiệm cận duy nhất của ϕ là quan trọng,
điều kiện cần để thỏa mãn là t ≥ to . Điều kiện này là đủ để kiểm tra
∞

ϕ (t)N (t)dt hội tụ.
1

Từ luật mạnh số lớn cổ điển ta có nếu supn n/ |bn | là hữu hạn, thì
1 n
Xk hội tụ hầu chắc chắn tới 0 với mọi dãy {Xn } khả tích quy
bn k=1
tâm độc lập cùng phân phối. Rõ ràng nếu supn n/ |bn | là hữu hạn thì
lim sup card {n ≥ 1 : |bn | ≤ t} /t < ∞. Định lý sau đây sẽ làm rõ điều đó
t→∞

hơn:
Định lí 2.1.3. Giả sử {bn } là dãy số phức khác không. Đặt N (t) =
card {n ≥ 1 : |bn | ≤ t} và giả sử lim sup N (t)/tp < ∞ với 1 ≤ p < 2.
t→∞

Khi đó với dãy biến ngẫu nhiên {Xn } khả tích quy tâm độc lập cùng phân
∞ X
n
phối thì chuỗi
hội tụ hầu chắc chắn nếu thỏa mãn các điều kiện

n=1 bn
sau:
(i) 1 < p < 2 và E [|X1 |p ] < ∞.
(ii) p = 1 và E |X1 | log+ |X1 | < ∞.
(iii) p = 1 và X1 - đối xứng.
Chứng minh. Trước hết ta có 2 nhận xét:
(a) Nhắc lại rằng khi N (t) có giá trị hữu hạn thì |bn | → ∞;
16


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

(b) Chúng ta có thể giả sử rằng |bn | ≥ 1 với mọi n ≥ 1.
Bây giờ chúng ta chứng minh định lí
Từ lim sup N (t)/tp < ∞, cho X1 ∈ Lp (P) ta có E [N (|X1 |)] < ∞, do
t→∞

đó
∞

∞

P (|Xn | ≥ |bn |) = E
n=1

1{|bn |≤|X1 |} = E [N (|X1 |)] < ∞

(∗)

n=1
∞

Vì vậy, nó là đủ để chứng minh

Xn 1{|Xn |≤|bn |}
hội tụ hầu chắn chắn.
bn
n=1

Theo bổ đề (2.1.1) ta có:
2

E |Xn | 1{|Xn |≤|bn |}

∞

|bn |2

n=1





= E |X1 |2

1 
≤ E |X1 |2
2

|b |
|bn |≥|X1 | n

Với p < 2 vì lim sup N (t)/tp < ∞ nên E |X1 |2
t→∞

∞ N (t)dt
|X1 | t3

∞

N (t)dt
.
3
t
|X1 |
<∞

Nó chứng tỏ
∞

n=1

Xn 1{|Xn |≤|bn |} − E Xn 1{|Xn |≤|bn |}
bn

hội tụ hầu chắc chắn cho mọi 1 ≤ p < 2.
∞ E Xn 1
{|Xn |≤|bn |}
Bây giờ ta chứng minh rằng

hội tụ. Từ điều kiện
|bn |
n=1
(iii) thì giới hạn là 0, bởi tính đối xứng của Xn và tính đối xứng của các
số hạng. Trong trường hợp khác theo bổ đề (2.1.1)
∞

n=1

E Xn 1{|Xn |≤|bn |}
|bn |



∞

≤ E |X1 |
n=1



≤ E |X1 |
{n:1≤|bn |≤|X1 |}

1 
≤ E |X1 |
|bn |

1{|X1 |>|bn |}
|bn |

N (|X1 |)
+
|X1 |

|X1 |
1

N (t)dt
t2

.
(∗∗)

Nhận xét 2.1.4.
17


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

1. Khi p = 1 và đặt bn = n , trường hợp (i) và (iii) củng cố cho luật mạnh
số lớn bởi Marcinkiewicz-Zygmund [25, định lí 6]. Một ví dụ cho thấy sự
tổng quát: khi p = 1 chỉ cần điều kiện E [|X1 |] < ∞ là đủ để chuỗi hội tụ.
1

2. Khi ta lấy 1 < p < 2 và bn = n p , trường hợp (i) đúng với 1 < p < 2. Với
√
p = 2 trường hợp (i) của định lí là sai khi đó bn = n và sử dụng định lí
giới hạn trung tâm.

3. Chú ý rằng trong chứng minh của định lí nếu lim sup N (t)/tp < ∞ với
∞

1 < p ≤ 2 và E [|X1 |p ] < ∞ thì chuỗi
nếu p = 1 và E |X1 | log+ |X1 | < ∞.

t→∞

|E[Xn 1{|Xn |≤|bn |} ]|
|bn |

n=1

hội tụ. Tương tự

n

Hệ quả 2.1.5. Giả sử {wn } là một dãy trọng số với Wn =

wk → ∞
k=1

∞

w n Xn
sao cho lim sup N (t)/t < ∞, khi đó
hội tụ hầu chắc chắn trong
n=1 Wn
đó {Xn } là biến ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lập cùng phân phối với
X1 - đối xứng hoặc E |X1 | log+ |X1 | < ∞.

Làm theo các tính toán trong chứng minh của định lí (2.1.3) để thấy
rằng nếu ta giả định lim sup N (t)/t(log t)γ < ∞ cho mọi γ không âm, thì
t→∞

∞

Xn
hội tụ hầu chắc chắn cho biến quy tâm độc lập cùng phân
chuỗi
n=1 bn
γ+1
phối {Xn } bất kỳ với E |X1 | (log+ |X1 |)
< ∞. Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.6. Giả sử {wn } là một dãy trọng số bị chặn với Wn → ∞,
∞

khi đó
n=1

wn Xn
Wn

hội tụ hầu chắc chắn khi {Xn } là biến ngẫu nhiên quy tâm
2

độc lập cùng phân phối với E |X1 | (log+ |X1 |)

< ∞ hoặc X1 - đối xứng

và E |X1 | log+ |X1 | < ∞.

Chứng minh. Cho bn = Wn /wn ta có lim sup N (t)/t log t < ∞, theo bổ đề
2 của [21], ý đầu tiên được suy ra từ những lập luận trước, ý thứ hai được
chứng minh ở phần (iii) của Định lí (2.1.3).
Nhận xét 2.1.7.
1. Cho trọng số bị chặn với tổng phận kì, luật mạnh số lớn của trọng số đúng
cho biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với E |X1 | log+ |X1 | < ∞
(theo [21]).
18


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

2. Lin và Weber đã chứng minh cho trọng số không bị chặn nếu

1
sup
n≥1 Wn

n

wk (log(1 + wk ))β < ∞ (β > 1)
k=1

Thì luật mạnh số lớn của trọng số đúng cho {Xn } quy tâm độc lập cùng
γ
phân phối với E |X1 | (log+ |X1 |) < ∞ cho một vài γ > 1.
Mệnh đề 2.1.8. Giả sử {bn } là một dãy số phức khác không, đặt N (t) =
# {n ≥ 1 : |bn | ≤ t}. Cho p ≥ 1 các điều sau là tương đương:
(i) lim sup N (t) /tp < ∞;

t→∞

Xn
hội tụ hầu chắc chắn tới 0 với mọi biến ngẫu nhiên {Xn } độc
bn
lập cùng phân phối đối xứng và E [|X1 |p ] < ∞.

(ii) Dãy

Chứng minh. Đầu tiên ta thấy rằng biểu thức (∗) trong Định lí (2.1.3) là
đúng với mọi p ≥ 1.
εn
→ 0 hầu chắc chắn, trong đó {εn }
(ii) → (i): Trường hợp đặc biệt
bn
là dãy Rademacher (nói cách khác là một dãy độc lập cùng phân phối với
P(ε1 = ±1) = 12 ), và |bn | → ∞ do đó N (t) là một hàm hữu hạn.
Mặc dù theo bổ đề Borel-Cantelli về các tập hợp độc lập, biểu thức (∗)
Xn
trong phần chứng minh của Định lí (2.1.3) và
hội tụ hầu chắc chắn tới
bn
0 nói rằng E [N (|X1 |)] < ∞ cho mọi dãy {Xn } - đối xứng độc lập cùng
phân phối với X1 ∈ Lp (P).
Cần chú ý rằng với mọi dãy vô hạn không âm {βn } thì tồn tại một dãy
∞

không âm {αn }, sao cho

∞

αn hội tụ nhưng
n=1

αn βn phân kỳ.
n=1

Chứng minh phản chứng, giả sử trái lại lim sup N (t)/tp = ∞ thì tồn
t→∞

tại một dãy số dương {tn } sao cho N (tn )/tn p → ∞. Bằng cách chứng
∞

minh trên, sẽ tồn tại một dãy số không âm {pn } với 2
∞

∞

p

pn N (tn ) phân kỳ.

pn tn hội tụ nhưng
n=1

pn = 1 sao cho
n=1

n=1

Giả sử {Xn } là một dãy đối xứng của các biến ngẫu nhiên độc lập
cùng phân phối, được xác định bởi P(X1 = ±tn ) = pn . Khi đó ta có
E [|X1 |p ] = 2

∞

pn tn p < ∞ và E [N (|X1 |)] = 2

n=1

∞

pn N (tn ) = ∞. Mâu
n=1

thuẫn. Khi đó (i) đúng.
19


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

|X1 |
< ∞ khi E [|X1 |p ] < ∞.
ε
Xn
hội tụ hầu chắc chắn tới 0.
Sử dụng (∗) và bổ đề Borel-Cantelli ta có
bn
(i) ⇒ (ii): Với mọi ε > 0 ta có E N

Nhận xét 2.1.9.

Xn
→ 0 hầu chắc chắn với mọi dãy
bn
phân phối đều {Xn } (không cần độc lập) có E [|X1 |p ] < ∞. Mặt khác, nếu
Xn
→ 0 hầu chắc chắn với mọi dãy phân phối đều {Xn } thì điều (i) đúng.
bn
2. Giả sử ϕ (t) là hàm dương, không giảm trên [0, ∞). Hàm số loại Orlicz
là t → tp , t → tlog+ t,. . . Khi đó sự tương đương trên đúng theo nghĩa sau
đây: lim sup N (t)/ϕ (t) → ∞ nếu và chỉ nếu Xbnn → 0 hầu chắc chắn cho

1. Chú ý rằng, điều kiện (i) nói rằng

t→∞

mọi dãy {Xn } đối xứng độc lập cùng phân phối với E [ϕ (|X1 |)] < ∞.
Hệ quả 2.1.10. Giả sử {bn } là dãy số phức khác không. Đặt N (t) =
card {n ≥ 1 : |bn | ≤ t}, cho 1 < p < 2 các điều kiện sau tương đương:
(i) lim sup N (t)/tp < ∞;
t→∞

Xn
hội tụ hầu chắc chắn tới 0 cho mọi dãy biến ngẫu nhiên {Xn }
bn
đối xứng độc lập cùng phân phối với E [|X1 |p ] < ∞;
∞ X
n

hội tụ hầu chắc chắn tới 0 cho mọi dãy biến ngẫu nhiên,
(iii) Chuỗi
n=1 bn
quy tâm {Xn } đối xứng độc lập cùng phân phối với E [|X1 |p ] < ∞;
(ii) Dãy

Nhận xét 2.1.11.
√
1. Dãy bn = n với p = 2, khi đó (i) không suy ra (iii). Mặt khác bằng
Xn
những nhận xét trước đó, √
→ 0 hầu chắc chắn trong đó {Xn } có phân
n
phối đều (không độc lập) với E |X1 |2 < ∞.
2. Giả sử {an } là hàm số phức và giả sử {An } là một dãy số dương không
giảm, tăng đến vô cùng. Chúng ta áp dụng hệ quả (2.1.10) cho dãy bn = Aann
(với A0n hiểu là như vô cùng), hàm số N (t) cũng được xác định (hữu hạn
nếu |bn | → ∞).Theo bổ đề Kronecker, điều kiện (iii) trong hệ quả dẫn
đến.

20


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

1 n
(iv)
ak Xk → 0 hầu chắc chắn cho mọi dãy biến ngẫu nhiên quy
An k=1

tâm đối xứng độc lập cùng phân phối {Xn } với E [|X1 |p ] < ∞.
Điều kiện (iv) đưa đến (ii) của hệ quả, từ An−1 ≤ An và

1
an X n
=
An
An

n

An−1 1
ak X k −
An An−1
k=1

n−1

ak X k .
k=1

Do đó, điều kiện (iv) tương đương với 3 điều kiện trên của hệ quả, và chúng
ta thu được kết quả mạnh hơn của [8, định lí 2], chứng minh (i) ⇔ (iv), ở
∞

đây từ điều kiện (i) ta thu được sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi
n=1

an Xn
An

và thể hiện sự tương đương của cả 4 điều kiện. Thảo luận này được áp
dụng đặc biệt cho trung bình có trọng số khi trọng số {wn } có một tổng
phân kì, và cho 1 < p < 2 nó mang một đặc tính hoàn chỉnh của luật
mạnh số lớn cho trọng số cho các biến ngẫu nhiên quy tâm độc lập cùng
phân phối {Xn } với E [|X1 |p ] < ∞.
an p
3. Cho 1 < p < 2, (iii) sẽ đúng với n
= ∞.
An
4. Trong ý 2 của nhận xét, nói chung cho p = 2 ta có (iii) ⇒ (iv) ⇒
(ii) ⇔ (i); tuy nhiên điều kiện (i) của hệ quả (2.1.10) không đưa đến (iv)
∞ a X
√
n n
hội tụ hầu chắc chắn
nếu an = 1 và An = n. Chú ý rằng nếu
n=1 An
cho một dãy quy tâm độc lập cùng phân phối {Xn } hữu hạn, thì bởi [25,
∞ a 2
n
< ∞ và (iii) đúng. Bây giờ, giả sử an = 1 và
định lí 4] ta có
n=1 An
∞
an 2
An = n log(n + 1) thì
= ∞ vì vậy (iii) sai, nhưng từ luật
n=1 An
loga lặp của Hartman- Winter ta thu được (iv) đúng. Điều đó không phải

n

là rõ ràng nếu dành cho trung bình có trọng số (an = wn và An =

wk )
k=1

(iv) suy ra (iii).
Hệ quả 2.1.12. Giả sử {bn } là dãy số phức khác không. Đặt N (t) =
card {n ≥ 1 : |bn | ≤ t}, khi đó các điều kiện sau tương đương:
(i) lim sup N (t)/t log t < ∞;
t→∞

Xn
hội tụ hầu chắc chắn tới 0 cho mọi biến ngẫu nhiên đối xứng
bn
độc lập cùng phân phối {Xn } với E |X1 | log+ |X1 | < ∞;

(ii) Dãy

21


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên
∞

Xn
hội tụ hầu chắc chắn cho mọi dãy biến ngẫu nhiên đối
n=1 bn

xứng độc lập cùng phân phối {Xn } với E |X1 | log+ |X1 | < ∞.

(iii) Chuỗi

Chứng minh. (i) ⇒ (iii) giống với chứng minh của điều kiện (iii) trong
định lí (2.1.3)
(iii) ⇒ (ii) hiển nhiên
Chứng minh (ii) ⇒ (i) tương tự như chứng minh của (ii) ⇒ (i) trong
mệnh đề (2.1.8) (xem nhận xét 2 của nó).
Hệ quả của định lí (2.1.3) (iii) và mệnh đề (2.1.8) đưa đến trường hợp
p = 1 với giả thiết monment không điều kiện.
Hệ quả 2.1.13. Giả sử {bn } là dãy số phức khác không. Đặt N (t) =
card {n ≥ 1 : |bn | ≤ t}, khi đó các điều kiện sau tương đương:
(i) lim sup N (t)/t < ∞;
t→∞

Xn
hội tụ hầu chắc chắn tới 0 cho mọi biến ngẫu nhiên khả tích
bn
đối xứng độc lập cùng phân phối {Xn }.
∞ X
n
hội tụ hầu chắc chắn cho mọi dãy biến ngẫu nhiên khả
(iii) Chuỗi
n=1 bn
tích đối xứng độc lập cùng phân phối {Xn }.
(ii) Dãy

∞

Nhận xét 2.1.14. Hệ quả (2.1.13) xét cho dãy bất kỳ {cn } chuỗi

cn Xn
n=1

hội tụ hầu chắc chắn cho mọi {Xn } khả tích đối xứng độc lập cùng phân
phối nếu cn Xn → 0 hầu chắc chắn cho mọi dãy {Xn } (ta có thể giả định
cn = 0, và đặt bn = c1n ).
Định lí 2.1.15. Giả sử {an } là một dãy số phức và giả sử {An } là một
dãy các số dương không giảm, tăng đến vô cùng. Khi đó các điều kiện sau
là tương đương:
(i) Hàm N (t) = card {n ≥ 1 : An / |an | ≤ t} là hữu hạn với mọi t ≥ 0 và
lim sup N (t)/t < ∞;
t→∞
∞

an X n
hội tụ hầu chắc chắn cho mọi dãy đối xứng của các
n=1 An
biến ngẫu nhiên khả tích độc lập cùng phân phối;

(ii) Chuỗi

22


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

1 n

(iii) Trung bình
ak Xk hội tụ hầu chắc chắn tới 0 cho mọi dãy đối
An k=1
xứng của các biến ngẫu nhiên khả tích độc lập cùng phân phối;
an X n
(iv) Dãy
hội tụ hầu chắc chắn tới 0 cho mọi dãy đối xứng của các
An
biến ngẫu nhiên khả tích độc lập cùng phân phối.
Nếu giả định rằng
n

|ak |
sup
n≥1

k=1

An

<∞

(2.1)

1 n
ak Xk hội tụ hầu chắn chắn tới 0 cho mọi dãy biến
An k=1
ngẫu nhiên khả tích quy tâm độc lập cùng phân phối.

Thì (i) dẫn đến

Chứng minh. Sự tương đương của các điều kiện (i), (ii) và (iv) được suy
ra bằng cách đặt bn = Aann trong hệ quả trước. Đối với sự tương đương của
(iii) xem ý 2 của nhận xét của hệ quả (2.1.10)
Bây giờ ta giả sử có (2.1) và chứng minh. Đối với các biến khả tích quy
tâm độc lập cùng phân phối, các tính toán trong phần chứng minh của
định lí (2.1.3) nói rằng:
∞

n=1

an Xn 1{|Xn |≤An /|an |} − E an Xn 1{|Xn |≤An /|an |}
An

hội tụ hầu chắc chắn. Khi đó

1
An

n

ak Xk 1{|Xk |≤Ak /|ak |} − E ak Xk 1{|Xk |≤Ak /|ak |}

→ 0 hầu chắc chắn.

k=1

An
→ ∞ ta có E Xn 1{|Xn |≤An /|an |} → 0
|an |

αk
cho 1 ≤ k ≤ n và αn,k = 0 nếu k > n
Với mọi n ≥ 1 đặt αn,k =
A
n
n
Rõ ràng khi

|ak |

Theo giả thiết ta có sup
n≥1

k=1

An

n

< ∞, vì vậy ta có sup
n≥1 k=1

|an,k | < ∞. Bây

1 n
E ak Xk 1{|Xk |≤Ak /|ak |} → 0 nó dẫn đến
An k=1
1 n
sự hội tụ hầu chắc chắn tới không của
ak X k .

An k=1

giờ theo tính khả tổng ta có

Nhận xét 2.1.16.
23


Chương 2. Luật mạnh số lớn cho các tổng có trọng số của các đại lượng ngẫu
nhiên

1. Sự khác biệt giữa các “trung bình” được xét đến trong định lí (2.1.15) và
trung bình có trọng số được xét trong [21] là tính khả tổng có trong [21].
1 n
wk Xk ta có một cách
Chính xác hơn, cho trung bình có trọng số
Wn k=1
tự nhiên supn≥1 ∞
k=1 αn,k ≡ 1.
2. Điều kiện (2.1) đưa đến điều kiện (1.3) của Chan, Zhu và Fang [8, định
lí 1] (và cho {an } dương tương đương với nó). Phần thứ 2 của định lí
(2.1.15), trong đó nói không nhất thiết phải là biến ngẫu nhiên đối xứng
quy tâm độc lập cùng phân phối, nó được rút ra từ định lí 1 trong [8]. Kết
hợp với phần đầu tiên, nó cho thấy (2.1), hội tụ hầu chắc chắn của các
“trung bình” cho các biến khả tích đối xứng độc lập cùng phân phối.{Xn }
tương tự như dãy biến ngẫu nhiên quy tâm không đối xứng độc lập cùng
phân phối.
3. Điều kiện (2.1) đã được giới thiệu bởi Tempelman [33, định lí 5.6] bàn
về vấn đề tính đồng nhất của L2 -những ước lượng bình phương nhỏ nhất
n

trong những mô hình hồi quy đa tuyến tính (trong đó An =

|ak |2 ) điều

k=1

kiện này đã được nghiên cứu lại và mở rộng trong [13].
4. Nó đã được ghi nhận trong [8], nếu {an } là một dãy dương thì (2.1) là
cần cho (iii) để (iii) đúng với mọi biến quy tâm độc lập cùng phân phối,
không cần {an } là dãy biến ngẫu nhiên đối xứng. Nếu dãy {an } là dương
và điều kiện (i) của định lí (2.1.15) đúng trong khi đó (2.1) sai (ví dụ nhận
xét 4 trong [8, phần 2]) thì tồn tại một dãy của biến ngẫu nhiên quy tâm
độc lập cùng phân phối {Xn } , nó không cần điều kiện đối xứng như trong
định lí (2.1), khi đó trung bình có trọng số trong (iii) không hội tụ hầu
chắc chắn tới không. Do đó giả thiết đối xứng là không thể bỏ trong phần
đầu của định lí (2.1). Mặt khác, định lí cho thấy rằng trong trường hợp
đối xứng, (i) cho ta kết quả mạnh hơn về sự hội tụ hầu chắc chắn của
∞ a X
n n
, thậm chí cả khi không có thêm điều kiện (2.1).
chuỗi
n=1 An
5. Theo định lí (2.1.3) (ii), điều kiện (i) cho ta thấy mọi biến quy tâm độc
∞ a X
n n
lập cùng phân phối có E |X1 | log+ |X1 | < ∞ thì
hội tụ hầu
n=1 An
1 n

chắc chắn và bởi vậy
ak Xk hội tụ tới 0 hầu chắc chắn, mà không
An k=1
cần (2.1).
24