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Ivan Borsenco
Translator: Duy Cuong.
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W
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W

W
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     
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D D D
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   *+)∠ = ∠
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  

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  
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,;\5)
X
 
Hệ quả 1:*IX:$,;Z",;\+IM l<, $"?G,r"@"1a
n$?#5)

lB,d $@F",e$O",>1e"="$5Ib<@định lý Lagrange
~,I")
Định lý 2 #l@$B,C$:$,;#"$|,r", $"'bB?O
1 + + 5 : Y
)Y$B,C$
bf,{:$,;#"@UV) 9
D D D
D D D D
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+ +
+ + = + + +
+ +
="$P,C,$,f/i"an,N• ;,$B,?O8)a@P$B,>.K
;f, ,;€"',0$TZ",;\"#<,I, $")_P+, 9
D D D
D D
D
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1 5
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( TX
 : Y
+ +
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+ +
T>.K@I,96N;#, $",€,F+, 9? 
Định lý 3:#X@C$:$,;#"$|,r", $"+'bB?OU1:1YV)_>

W
1
W
1
W
@
IM X<, $") 9
  
D D D
D D
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V 1 5
  


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 (  : Y
+ +
=
+ +
Z=75,[0MC0P\?6Định lý 1:9Định lý 3DQDC0MC0@S9-:E
&G>0C.0L6M0Định lý Euler:E&G>0C.0L6M0B]39F040NG>0
0-:G00.089-.2/0^&NDS[90M4BR@;GBCD 6P:E<
D\Brocard
Định nghĩa điểmBrocard;#", $"+Z",;\. '@,IqF',<+Z"
,;\. '@,IqF',<'@Z",;\. ,IqF',<)F"^, ,<$B,
C$+"@C$,-0C,&)lB,,~".,+, P C$,-0C,&+C$,= qf,>,
. "9$A"A?Q,IqFM Z",;\)
Bài toán 1:#



'@
D

@ C$,-0C,&M , $")=",•;:"
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@,0$Z",;\"#<,I, $"
;&AT"‚ C$,-0C,&+, ,f
   
   Y∠Ω = ∠Ω = ∠Ω =
+,",Q
D D  D
   Y∠Ω = ∠Ω = ∠Ω =
) ="
$
 D
Y Y
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D
  
D
) ? ?
) ? ?
 



  Y Y
  
β β


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 
D D
 
D D
? ?
+ )
? ?
   
 
 
Y Y
 
γ α
Ω Ω
= =
ƒ
 
B"/>,h, 9
  
D D D
  
D D D

? ? ?

? ? ?
     

  
Y Y Y

α β γ
Ω Ω Ω
+ +
= = + +
 
D D D D

   
? ? ? ?Y
α β γ
= + +
15
,h,",Q+, R"9
D D D D
D
   
? ? ? ?Y
α β γ
= + +
1D5
T15+1D5?; 
 D

)Y Y Y= =
„,c"#="$,;b^,"A,Ta6N;#, $",€,F)aC;:"


'@
D

e:$,;#", $"+bc'$…L Z",;\,;,B@UV)TP+


'@
D

e:$,;#", $")aC="$
 D
T TΩ = Ω
, ="$/>,h, $",€,FM
F"b:" )*I'g+, P
D D D D
 D
( T ( T
− Ω = − Ω
)TP?; D@0
_>
  
+ +  
89,@IM 


<++)n P+?L/i"

@$n$c;B"+, 9 
  
?  8= Ω
+' 



@Z"hZ",;\"#<,I,="
  
 

)R"/i"n'@#, $"



, 9

? ?
 0
Y 8

=
(HI
  
? ? )  8 0 Y= Ω =
",Q+, P
 
?  8 Y
=
'@

 
?  C Y
=
)(†/@", ,f, $"
  
  
A"/<"'
, $",N#,p?OA"/<"
? Y
)
T 
 D
Y Y Y
= =
+, I,g9, $",€,F= 


 '@ 
D

P€"/>,h)n;
 D
T TΩ = Ω
)
Chú ý: J #M Z"O,;",;#", $">@_'@9"@C$"-") P
,C="$9
 D
_ _Ω = Ω
)[,Id +C$T+



+_+
D

:$,;Z",;\Z"
hT_"@D,`,-0C,&F", ‡€" ,$C$B,&@,#,F'? 0
Bài toán 2:#, $"+>T+a+89,@,0$Z",;\"#<,I+B,I'@,;Q
,0$M , $")="$;:"
)Ta T

U
 
;&A*="$?Gb^,8,TTa T+"F", ‡$B,"
+P@|,/>,hB,I'@#a'@)lB,"K+,0$Z",;\B,Ie:$b
,;#", $"+'@I
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+, 98="$)Y'g+"K?L
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)aP
/HI, $"%&@, $")aC="$
Ta T

, P,C?L/i"6N;#
, $",€,F'@="$/>,h, $",€,F,0$a+
a

/>,h, $",€,F
,0$[+



)TP+/#
a 
 


D D D D
( Ta ( T
− ≥ −
 
)T Ta

&0"ZF", ‡,$K />,h)_> 
  
+ +  
89,@IM  '@
D D D
+ +  
89,@IM a++) P
  
+ +  
:$,;Z",;\6N;b
h(bc+,TP
  
     
) )
)
V) x D
  
     


(
=
nL/i"n+/†/@", 9
     
#? + #? + #?  C  8   0
α β γ
= = =
'@',I
  
)#? #? #?
D #? #? #? )
D
  
C80
 
(
α β γ
α β γ
= =
aC,h/>,h, $"
D D D
  
+C;:"
D D D D D D D D D
D
D
 1 5
1? ? ? 5
D V
    a  a  a

, C 8 0
    ,
(
α β γ
+ +
= + + = + + =
)
l@
? ? ?
V D D D(
π α β γ
=
 9
D D D
D D ? ? ? )
V D D D
  
,
  
(
α β γ
= =
TPMC="$
? ? ? #? #? #? )
D D D
α β γ
α β γ

&0"ZF", ‡?L/i"?Jd0e"B"B#@$j$


 4+ + 1 5 #? )
D
f ( f  
π
 
→ =
 ÷
 
TP
1 5 1 5 1 5)
D D D
C 8 8 0 0 C
f f f f C f 8 f 0
+ + +
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
Y'g+
( )
 ? ? ?  #? #? #?
D D D
α β γ
α β γ
 

 ÷
 
+'@b@,#‡9"K.I,)
[ 'h/iI,IC"/H"K$B,"^"$B,?Ob@,#m$ /b:"?L/i"

a6N;', $",€,F)
Bài toán 3:1T36@C&-.C3=C5)
#, $")_>
  
+ +  
@IM ,;",0$$|,M , $")
="$;:"
  
D 
)
ˆ V
  



≤ ≤
;&A*F", ‡,f+0b@,#"F", ?L/i",;Q,I6N;'
, $",€,F)}/i"" , 9
D D
D
D 
)
ˆ V V
( T
(

≤ ≤
ˆ
 
&f,r",=bKeF") ="$bf,r",=b,;F")*<bC,=

$@F", ‡bI,
D D D
ˆ 1 U#? #? #? 5T T (
α β γ
= = −
Y, $", P
#? #? #? 4
α β γ

+/HI
U#? #? #? 4
α β γ

)
Y'g+
D D
ˆT (

 
D
D
)
ˆ
(
T

a II,g? 
Bài toán 4. (Toán đối xứng, Ivan Borsenco) YC$
X
bf,:$,;#", $"%&+q

bBb 1
 D E
+ +& & &
589,@#K",T
X
I<
+ +  
)="$;:",g9
C$
X
,• $‡>
E
 D E
) )& & & ,≥
+'
,
@bhZ",;\B,I, $"+:$,;#"
'\",;\,0$
T
bh
Ta
)

J
  
+ +  
@IM 
X
,;<
+ +  

)uz,
  
  V
@, $",€,F#
C$
X
+, P
¼ ¼
¼
     
U4 + U4 + U4 X  X  X
α β γ
= − = − = −
+
  
 D E  E  D
D D ) )? ) )? ) )?
  
  & & & & & &
α β γ
= = + +
V
YI,"<+, 9
  
 D E

 D E
) )
D D ) )
D

  
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C 8 0
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 
= = + +
 ÷
 
V
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D D ) ) ) )

  C & 8 & 0 &= = + +
V
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D
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  D E
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D D
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& & &

C 8 0
  C & 8 & 0 &
( & & & (
+ +
 
= + + + + ≥
 ÷
 
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D D
D D D
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V
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V D D
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D D D
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X
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1K="$5)
Bài toán 5: (Ivan Borsenco đề nghị)
#
X
@C$:$,;#", $"

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X
(
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X
)="$;:"
( )
D D D
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X
C 8 0
 6 g (
 6 g
 
+ + + + ≥
 ÷
 


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X
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  
  
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D D D
  
@D, $
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X
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F", ?G="$;:"
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¼
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¼
¼
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D D
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¼
¼
¼
D D  D D D
ˆ4 ˆ4 ˆ4
- - -
      
φ
= − = − = −
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¼

¼
  D D
   =
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 D D 
   
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 D D 
   
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F", P,C,f;:"d",;ir""@+,=Z",r"
 D  D  D
+ +     
+,<#,@
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 D  D + D
+ + + +     
:$
,;€"Z",;\)
Bổ đề 2:*I
+X 
@ r""C$+,, eP
) ) )
)

X  X  X 
80 C0 C8
+ + =
J
  
  
@, ",M,FM C$
X
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)  ⊥
Yg/>,hM ,="
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 
9,h,N#e",=
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D
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D

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D
 
 X 
β
=
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D
 
 X 
γ
=
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     
      
   = + +
[ 

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D


 X  X  X 
α β γ
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X  X  X 
80 C0 C8
+ + =
 ,;c<&@,#)}/i"&a%l‰Jl'@#b~D+, 9
E
D D D
  ) ) ) ) ) ) ) )
Dƒ Dƒ
X  X  X  X  X  X 
80 C0 C8 C 8 0
 
= + + ≥
 ÷
 
<P
      D D D D D D
  
+ + + + +
? ? ? ? ? ?
          
X X X   
α β γ α β γ
= = = = = =

 ,9
      D D D D
D D D D D D
) ) ) )
Dƒ )? )? )?
        
C 8 0
α β γ

Y
V
D D D D D D
D
V
)? )? )?

C 8 0
(
α β γ
=
+


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