Tổ chức dạy học khái niệm hình học không gian ở lớp 11 theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học và năng lực vận dụng toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

THÂN THỊ YẾN

TỔ CHỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN
HỌC VÀ NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Hà Nội - 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

THÂN THỊ YẾN

TỔ CHỨC DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN Ở LỚP 11 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT
TRIỂN NĂNG LỰC SỬ DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN
HỌC VÀ NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học:

ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

Hà Nội - 2017


LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được
sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các
bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các
thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn
Hà-người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn
thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những
hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Thân Thị Yến


LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Thân Thị Yến
Sinh viên lớp: K39A-Sư phạm Toán
Trường: ĐHSP Hà Nội 2

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự
chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ
tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Sinh viên

Thân Thị Yến


MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................1
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..........................................3
1.1 Năng lực và năng lực Toán học .................................................................3
1.1.1 Năng lực ..................................................................................................3
1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh .............................................................5
1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học ..................6
1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh ...............................6
1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học ..................................................................6
1.2.3 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học
trong dạy học khái niệm hình học ....................................................................8
1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông......................................9
1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm ........................................................9
1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm................................... 12
1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông ......................... 13
1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm ........................................................ 14
1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm. ................................................. 15
1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm. ............................................................. 18
1.3.6 Dạy học phân chia khái niệm. .............................................................. 20
Tiểu kết chương 1: ........................................................................................ 21

Chương 2: THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SỬ
DỤNG NGÔN NGỮ TOÁN HỌC VÀ NĂNG LỰC VÂN DỤNG ......... 22
TOÁN HỌC ................................................................................................. 22
2.1 Phân tích nội dung quan hệ vuông góc trong không gian ở trường phổ
thông .............................................................................................................. 22


2.1.1. Nội dung chương trình của quan hệ vuông góc lớp 11 ....................... 22
2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung quan hệ vuông góc lớp 11 ...................... 22
2.2 Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học không gian ở
trường THPT ................................................................................................. 23
2.2.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian ....................................... 25
2.2.2 Hai đường thẳng vuông góc ................................................................. 27
2.2.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ............................................... 29
2.2.4 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ................................................... 34
2.2.5 Góc giữa hai mặt phẳng ....................................................................... 37
2.2.6 Hai mặt phẳng vuông góc .................................................................... 39
2.2.7 Khoảng cách ......................................................................................... 41
Tiểu kết chương 2:....................................................................................... 45
KẾT LUẬN .................................................................................................. 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 49


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước với mục tiêu
đến năm 2020 đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp theo hướng
hiện đại đặt ra cho giáo dục, đào tạo nước ta những yêu cầu, thách thức
mới. Một trong những điểm nổi bật của việc đổi mới chương trình giáo

dục phổ thông sau năm 2015 là xây dựng và phát triển chương trình theo
định hướng phát triển năng lực cho học sinh. Điều này đòi hỏi phải có định
hướng phát triển, có tầm nhìn chiến lược, ổn định lâu dài cùng những
phương pháp, hình thức, tổ chức, quản lí giáo dục và đào tạo cho phù hợp.
Muốn làm tốt nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới,
đặc biệt là về tư duy giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương
pháp dạy học môn toán là một yếu tố quan trọng, bởi vì Toán học có liên
quan chặt chẽ với thực tế và liên quan đến mọi ngành khoa học khác có
ứng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản
xuất và được coi là chìa khóa của sự phát triển.
Bên cạnh đó, thực tiễn Toán học cho thấy hình học không gian nói
chung và khái niệm quan hệ vuông góc trong hình học không gian nói
riêng là một khái niệm mới đối với học sinh phổ thông. Nó đòi hỏi sự
tưởng tượng ra hình thật , nhận biết đúng quan hệ thật từ hình vẽ biểu diễn
của hình không gian. Đây là một điều khó khăn với học sinh, rất nhiều học
sinh còn bộc lộ yếu kém, hạn chế năng lực. Do vậy việc rèn luyện và phát
triển năng lực cho học sinh nói chung và học sinh phổ thông nói riêng là
vấn đề cấp bách.

1


Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là“Tổ chức dạy học
khái niệm hình học không gian ở lớp 11 theo định hướng phát triển
năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học”
2.Mục đích nghiên cứu
Nhằm định hướng phát triển năng lực của học sinh đối với việc học
tập khái niệm của chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng.
Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề quan hệ
vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển

năng lực học sinh góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy
học môn toán ở phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về lí luận:
+ Năng lực và năng lực toán học của học sinh
+ Dạy học toán theo hướng tiếp cận năng lưc học sinh.
+ Dạy học khái niệm toán học và nội dung dạy học khái niệm thuộc
chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT.
- Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm toán học thuộc chủ đề quan
hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các khái niệm Toán học thuộc chủ đề quan hệ vuông góc trong
không gian ở lớp 11 trường THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về
phương pháp dạy học khái niệm môn toán.
Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương
pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.

2


Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc
chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trường THPT.
6. Cấu trúc đề tài.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo luận văn
gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2: Thiết kế hoạt động dạy học khái niệm hình học không
gian theo hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực

vận dụng Toán học.

3


Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1 Năng lực
Theo quan điểm của những nhà tâm lý học Năng lực là tổng hợp các
đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của
một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.
Các năng lực hình thành trên cơ sở của các tư chất tự nhiên của cá nhân
mới đóng vai trò quan trọng, năng lực của con người không phải hoàn toàn do
tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà có.
Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực
chung và năng lực chuyên môn.
+ Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác
nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực
luyện tập, năng lực tưởng tưởng
+ Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định
của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội
hoạ, năng lực toán học...
Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với
nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát
triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn. Ngược lại sự phát triển
của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng
đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết
quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở
trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực
công việc của mình.

3


Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm
sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo
tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động.
Trong điều kiện bên ngoài như nhau những người khác nhau có thể tiếp
thu các kiến thức kỹ năng và kỹ xảo đó với nhịp độ khác nhau có người tiếp
thu nhanh, có người phải mất nhiều thời gian và sức lực mới tiếp thu được,
người này có thể đạt được trình độ điêu luyện cao còn người khác chỉ đạt
được trình trung bình nhất định tuy đã hết sức cố gắng. Thực tế cuộc sống có
một số hình thức hoạt động như nghệ thuật, khoa học, thể thao ... Những hình
thức mà chỉ những người có một số năng lực nhất định mới có thể đạt kết quả.
Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực
ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau:
- Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia,
nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về
năng lực.
- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực
hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt
chung chung nào.
- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc
vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát
triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người, trong xã hội có bao
nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực,
có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học,
có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao ...
- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là
những hiểu biết thu nhân được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc

sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm

4


vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng
được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không
phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ
hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện
có kết quả một hoạt động. Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các
kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.
1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh
Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai
bình diện sau:
Năng lực nghiên cứu toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt
động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và quý giá.
Năng lực toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình phổ
thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
tương ứng.
- Năng lực toán học của học sinh:
Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực toán
học của học sinh: “Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được
yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng
trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những
điều kiện như nhau”
- Cấu trúc về năng lực toán học của học sinh:
+ Năng lực tính toán, giải toán
+ Năng lực tư duy toán học
+ Năng lực giao tiếp toán học
+ Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

+ Năng lực giải quyết vấn đề
+ Năng lực sáng tạo toán học

5


1.2 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán học
1.2.1 Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học của học sinh
-Tư duy là một qúa trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng
trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết
- Ngôn ngữ là một hệ thống phức tạp con người sử dụng để liên
lạc hay giao tiếpvới nhau cũng như chỉ chính năng lực của con người có khả
năng sử dụng một hệ thống như vậy.
- Mối quan hệ giữa tư duy và ngôn ngữ:
Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết
quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và
cho bản thân chủ thể tư duy.
Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy
tắc, khái niệm, công thức, quy luật…) và kinh nghiệm của bản thân vào quá
trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…) để nhận thức được cái
bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng.
Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm
thanh vô nghĩa. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ là phương
tiện của tư duy.
Như vậy, trong quá trình dạy học toán việc phát triển năng lực sử dụng
ngôn ngữ Toán học gắn liền với phát triển tư duy Toán học.
1.2.2 Năng lực vận dụng Toán học
Hiện nay, các nhà giáo dục và các nhà sư phạm đều thống nhất về việc
đánh giá theo cấp độ nhận thức tri thức từ thấp tới cao của học sinh trong học

tập như sau:
- Nhận biết:

6


Nhớ lại, tái hiện được nội dung tri thức, liệt kệ, thuật lại, nhận dạng tri
thức.
Yêu cầu của nhận biết là nhớ lại, tái hiện lại được khái niệm và nhận
dạng được khái niệm. Đây là cấp độ thấp nhất của kết quả học tập trong lĩnh
vực nhận thức
- Thông hiểu:
Nắm được ý nghĩa của thông tin, chuyển đổi được từ dạng này sang
dạng khác, so sánh, sắp xếp, dự đoán, mở rộng,,,
Yêu cầu của thông hiểu là biểu thị, minh họa, giải thích được ý nghĩa
khái niệm và có thể vận dụng chúng khi chúng được thể hiện theo các cách
tương tự như đã biết trên lớp học.
- Vận dụng:
Khả năng sử dụng kiến thức đã học vào hoàn cảnh cụ thể mới; vận
dụng nhận biết, hiểu biết thông tin vấn đề đặt ra
Yêu cầu vận dụng là sử dụng được các quy tắc, phương pháp, khái
niệm, … để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống
+ Vận dụng cấp độ thấp:
Tạo ra được sự liên kết logic giữa các khái niệm cơ bản và có thể sử
dụng thông tin, vận dụng các phương pháp, khái niệm, lý thuyết đã học trong
các tình huống khác
+ Vận dụng cấp độ cao (sáng tạo):
Phân tích nhận ra các xu hướng, cấu trúc, những ẩn ý, những bộ phận
cấu thành
Yêu cầu là sử dụng khái niệm đã học để giải quyết các vấn đề mới,

không giống với những điều đó được học hoặc trình bày trong sách giáo khoa
nhưng phù hợp khi được giải quyết với kỹ năng và kiến thức được giảng dạy
ở mức độ nhận thức này.

7


Như vậy, năng lực vận dụng là cấp độ tư duy cao nhất trong lĩnh vực
nhận thức các tri thức của học sinh trong học tập
1.2.3 Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và vận dụng Toán
học trong dạy học khái niệm hình học
a) Định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học
Phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực chủ trương
giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông
qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các
tình huống do cuộc sống đặt ra.
Do đó, định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học kiến thức
mới là “Tăng cường cho học sinh được trải nghiệm qua các hoạt động tư duy
trong quá trình hình thành, kiến tạo tri thức; đồng thời chú trọng các hoạt
động vận dụng tri thức để giải quyết được vấn đề đặt ra trong các tình huống
của thực tiễn” [3]
b) Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học
Phát triển ngôn ngữ trong dạy học toán bao gồm phát triển đồng thời cả
ngôn ngữ nói và ngôn ngữ viết
- Ngôn ngữ Toán học: (Ngôn ngữ viết)
+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học chủ yếu
bằng kí hiệu Toán học là tên gọi gán cho từng đối tượng cụ thể trong tình
huống đó;
+ Nội dung kiến thức sẽ được lưu lại một cách ngắn gọn, xúc tích,
thuận tiện cho việc ghi chép, lưu giữ chúng dưới dạng văn bản, nhưng khó

khăn hơn trong việc lưu giữ trong trí não so với ngôn ngữ thông thường
+ Ngôn ngữ Toán học giúp học sinh nhanh chóng nhận rõ nhiệm vụ
Toán học của vấn đề cần giải quyết và cấu trúc chứng minh Toán học.
- Ngôn ngữ thông thường: (Ngôn ngữ nói)

8


+ Diễn tả nội dung kiến thức Toán học, tình huống Toán học chỉ bằng
ngôn ngữ nói thông thường, không chứa các kí hiệu Toán học là tên gọi gán
cho từng đối tượng cụ thể trong tình huống đó;
+ Nội dung kiến thức sẽ mang tính khái quát cao vì trong đó không lệ
thuộc vào các kí hiệu là tên gọi gán cho các đối tượng cụ thể
+ Ngôn ngữ thông thường giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ trong trí não,
nhanh chóng tái hiện và sử dụng kiến thức để giải quyết các tình huống đặt ra
trong thực tiễn
Phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học là hình thành cho học
sinh kĩ năng thực hiện chuyển đổi các kiến thức Toán học, các tình huống
Toán học từ ngôn ngữ Toán học sang ngôn ngữ thông thường và ngược lại
c) Phát triển năng lực vận dụng Toán học
Theo quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động”

[1]

,

để phát triển năng lực vận dụng Toán học đòi hỏi tổ chức cho học sinh được
trải nghiệm qua các hoạt động củng cố trong dạy học:
- Liên hệ, sử dụng các kiến thức vừa học vào thực tế đời sống xung
quanh học sinh

- Tăng cường áp dụng các kiến thức vừa học (Các quy tắc, phương
pháp, khái niệm, …) để giải quyết vấn đề trong học tập hoặc trong cuộc sống
1.3. Dạy học khái niệm toán học ở trường phổ thông
1.3.1 Đại cương về định nghĩa khái niệm
a) Khái niệm
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh tư tưởng chung, đặc trưng
bản chất của lớp đối tượng hoặc quan hệ giữa các đối tượng.
Như vậy có hai loại khái niệm:
- Khái niệm về lớp đối tượng: Chẳng hạn như khái niệm: “Hình chóp”,
“Hình chóp đều”,…

9


+ Hình chóp: “Trong mặt phẳng (P) cho đa giác A1A2A3…An và điểm S
không thuộc mặt phẳng (P). Hình tạo bởi n miền tam giác SA1A2A3…An gọi
là hình chóp SA1A2A3…An”.
+ Hình chóp đều: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của
nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
- Khái niệm về quan hệ đối tượng: Chẳng hạn như khái niệm: “Phương
trình tương đương”,…
+ Phương trình tương đương: Hai phương trình cùng ẩn được gọi là
tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
• Nội hàm và ngoại diên của khái niệm.
Ngoại diên của khái niệm: Tập hợp các đối tượng hoặc lớp đối tượng
phản ánh trong định nghĩa khái niệm.
Nội hàm của khái niệm: Tập hợp các thuộc tính chung của lớp đối
tượng tương đương hoặc quan hệ đối tượng.
Ví dụ 1: Xét khái niệm “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề
bằng nhau”.

Ta thấy rằng ngoại diên của khái niệm trên là tập hợp tất cả các hình
vuông, nội hàm của khái niệm trên là “hai cạnh kề bằng nhau”.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính quy luật, nội
hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại. Thật vậy
nếu ta mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, chẳng hạn bổ sung
thêm đặc điểm “có một góc vuông” thì ta sẽ được lớp các hình chữ nhật là
một bộ phận thực sự của lớp các hình bình hành.
• Định nghĩa khái niệm.
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối
tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác, thường bằng cách vạch
ra nội hàm của khái niệm đó.

10


Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới (biểu thị khái
niệm mới)

(Những) từ chỉ miền đối Tân từ (diễn tả khác biệt
tượng đã biết (loại)

về chúng)

Ví dụ: “Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”.
Trong định nghĩa trên, từ mới là “hình vuông”, loại hay miền đối tượng
là “hình chữ nhật”, sự khác biệt về chúng là “hai cạnh liên tiếp bằng nhau”.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chúng tạo thành đặc trưng
của khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định
khái niệm đó. Nói chung, có nhiều cách nêu đặc trưng của cùng một khái

niệm, tức là có thể định nghĩa cùng một khái niệm theo nhiều cách khác nhau.
Chẳng hạn, hình vuông ngoài định nghĩa nêu trong ví dụ trên, còn có thể định
nghĩa theo một cách khác như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”.
Khi xét một đối tượng xem có thuộc một ngoại diên của một khái niệm
nào đó hay không, người ta thường quan tâm những thuộc tính của đối tượng
đó: Những thuộc tính nào nằm trong nội hàm của khái niệm đang xét thì được
coi là thuộc tính bản chất, còn những thuộc tính nào không thuộc nội hàm của
khái niệm đó thì được gọi là thuộc tính không bản chất đối với khái niệm
đang xét.
• Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã
biết. Ví dụ về định nghĩa khái niệm hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ
nhật, để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành, để định
nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác,… Tuy nhiên, quá trình này
không thể kéo dài vô hạn, tức là phải có khái niệm được thừa nhận làm điểm
xuất phát, gọi là những hái niệm nguyên thủy trong Toán học.

11


Ở trường phổ thông, chúng ta thấy có một số khái niệm cũng không
được định nghĩa vì lí do sư phạm, mặc dù chúng có thể được định nghĩa trong
Toán học.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô
tả giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những
khái niệm này, hiểu được chúng một cách trực giác.
1.3.2 Vị trí khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm
a) Vị trí dạy học khái niệm.
Trong vệc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học
nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cach

vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệ. Việc hình thành một hệ thống
khái niệm Toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán, là tiền đề hình
thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng lớn đến
việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh
qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái
niệm Toán học.
b) Yêu cầu của dạy học khái niệm.
Nắm vững các đặc trưng cho một khái niệm.
Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho
trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể
hiện khái niệm.
Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một khái niệm.
Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.

12


1.3.3 Một số hình thức định nghĩa khái niệm ở phổ thông
a) Định nghĩa theo phương pháp loại- chủng.
- Nội dung: Định nghĩa theo phương pháp loại - chủng là một hình thức
định nghĩa nêu lên khái niệm loại và đặc tính của chúng. (Vạch rõ nội dung
của khái niệm, nêu rõ dấu hiệu đặc trưng của đối tượng được phản ánh vào
trong khái niệm).
- Cấu trúc: Khái niệm được định nghĩa = Khái niệm loại + Dấu hiệu đặc
trưng của chúng.
- Ví dụ: Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
Trong đó: Hình vuông: Là khái niệm được định nghĩa.

Hình chữ nhật: Là khái niệm loại.
Hai cạnh kề bằng nhau: Dấu hiệu đặc trưng của chúng.
b) Định nghĩa bằng quy ước.
- Nội dung: Định nghĩa bằng quy ước là hình thức định nghĩa gán cho
đối tượng cần định nghĩa một tên gọi hay một đối tượng nào đó đã biết.
- Ví dụ: a0 = 1 (a  0)
c) Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề.
- Nội dung: Định nghĩa bằng phương pháp tiên đề là hình thức định
nghĩa gián tiếp các khái niệm cơ bản thông qua các tiên đề.
- Ví dụ: ABC = A’B’C’ nếu:

,

,

, AB= A’B’,

AC= A’C’, BC= B’C’.
d) Định nghĩa bằng mô tả:
- Nội dung: Định nghĩa bằng mô tả là phương pháp định nghĩa nêu cách
tạo ra đối tượng hoặc mô tả những đối tượng ít nhiều gần giống nó.
- Ví dụ: Định nghĩa “điểm”: Một dấu chấm nhỏ trên trang giấy cho ta
hình ảnh về điểm.

13


1.3.4 Các quy tắc định nghĩa khái niệm
a) Quy tắc 1: Định nghĩa phải tương xứng.
Định nghĩa theo quy tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa

và khái niệm được định nghĩa phải bằng nhau.
Định nghĩa không tương xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm
quá hẹp hay qúa rộng so với khái niệm được định nghĩa.
Ví dụ:
- Số vô tỉ là số thập phân vô hạn.
Trong đó: Số vô tỉ là khái niệm được định nghĩa.
Số thập phân vô hạn là khái niệm định nghĩa.
 Phạm vi của khái niệm được định nghĩa nhỏ hơn khái niệm định
nghĩa. Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng.
- Đẳng thức là hai biểu thức bằng nhau, nối với nhau bởi dấu “=”.
Trong đó: Đẳng thức là khái niệm được định nghĩa.
Hai biểu thức bằng nhau được nối với nhau bởi dấu “=”.
 Phạm vi của khái niệm được định nghĩa lớn hơn khái niệm định
nghĩa. Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng.
- Phương trình là đẳng thức chứa ít nhất một chữ và không phải hằng
đẳng thức.
Trong đó: Phương trình là khái niệm được định nghĩa.
Đẳng thức chứa ít nhất một chữ và không phải hằng đẳng
thức là khái niệm định nghĩa.
 Phạm vi của khái niệm được định nghĩa vừa rộng, vừa hẹp hơn khái
niệm định nghĩa. Vậy định nghĩa khái niệm trên không tương xứng.
b) Quy tắc 2: Định nghĩa không được vòng quanh.
Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là định nghĩa khái niệm mới phải
dựa vào khái niệm đã biết, đã học.

14


Ví dụ: Số vô tỉ là số thực không hữu tỷ.
Trong đó: Số vô tỷ là khái niệm được định nghĩa.

Số thực là khái niệm định nghĩa chưa biết.
Số hữu tỷ là khái niệm định nghĩa đã biết.
 Vậy định nghĩa khái niệm trên đã vi phạm quy tắc 2.
c) Quy tắc 3: Định nghĩa phải tối thiểu.
Định nghĩa theo quy tắc này có nghĩa là trong nội dung khái niệm định
nghĩa không chứa những thuộc tính mà có thể suy ra được những thuộc tính
còn lại.
Ví dụ: Hình bình hành là tứ giác phẳng có các cạnh đối diện song song
và bằng nhau.
 Định nghĩa trên đã vi phạm quy tắc 3, vì tính chất tứ giác “có các
cạnh đối diện song song” đã bao gồm tính chất “tứ giác phẳng” và có các
cạnh đối diện “bằng nhau”.
d)

Quuy tắc 4: Định nghĩa không dung lối phủ định nếu loại không

được phân chia thành hai tập hơp triệt để (tức là khái niệm loại không
bao gồm khai khái niệm âu thuẫn).
Ngoài ra: Định nghĩa phải có giá trị, nhưng không được đa trị.
Định nghĩa đưa ra không được chứa đựng mâu thuẫn hoặc
không mâu thuẫn với các định nghĩa khác.
1.3.5 Những con đường tiếp cận khái niệm.
Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư
duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh nhờ
mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng hoặc một tình huống
có thuộc khái niệm đó hay không.
Trong dạy học, người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm:
• Con đường quy nạp.

15

• Con đường suy diễn.
• Con đường kiến thiết.
a) Tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp.
- Nội dung: Xuất phát từ các trường hợp riêng lẻ, mô hình vẽ, vật thật,
… Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, khái quát hóa, … Tìm ra dấu
hiệu đặc trưng của khái niệm và thể hiện ra các trường hợp cụ thể đó, từ đó đi
đến định nghĩa tường minh hay hiểu biết trực giác của khái niệm.
- Quá trình: Gồm 3 bước.
+ Bước 1: Giáo viên đưa ra các ví dụ cụ thể để học sinh thấy được sự
tồn tại hay tác dụng của một loại đối tượng.
+ Bước 2: Dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh để nêu bật các đặc điểm
chung của các đối tượng đang được xem xét.
+ Bước 3: Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu các đặc điểm cá
nhân bằng cách nêu tên và các đặc điểm đặc trưng của đối tượng.
- Ưu- Nhược điểm:
Ưu điểm: Rèn luyện được thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp.
Phát huy được tính tích cực, chủ động, của học sinh.
Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng:
Khi định hình được một số đối tượng thuộc phạm vi của khái niệm cần
hình thành.
Chưa phát hiện ra được khái niệm loại là điểm xuất phát cho con đường
suy diễn.
b) Tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn.
+ Bước 1: Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm khái
niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.

16

+ Bước 2: Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới
và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hóa hơn cùng với những đặc
điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
+ Bước 3: Đưa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa
được định nghĩa.
- Ưu- Nhược điểm.
Ưu điểm: Tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập dượt cho học
sinh tự học những khái niệm Toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe
những báo cáo trên lĩnh vực Toán học.
Nhược điểm: Hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những
năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trìu tượng hóa và khái
quát hóa.
- Điều kiện sử dụng:
Khi có thể gọi cho học sinh quan tâm tới một khái niệm làm điểm xuất
phát và một đặc điểm có thể bổ sung vào nội hàm của khái niệm đó để định
nghĩa một khái niệm khác hẹp hơn.
c) Tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết.
- Nội dung: Con đường kiến thiết có yếu tố quy nạp và suy diễn. Yếu
tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng một hay
nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cấu hình thành. Yếu tố quy nạp thể
hiện ở chỗ khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ
đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
- Quá trình: Gồm 3 bước
+ Bước 1: Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm
cần được hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát
từ nội bộ Toán học hay từ thực tiễn.

17

+ Bước 2: Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện,
đi tới đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
+ Bước 3: Phát biểu định nghĩa.
- Ưu- Nhược điểm:
Ưu điểm: Thuận lợi cho việc khơi dậy hoạt động tự giác, tích cực của
học sinh và rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình tiếp cận khái
niệm.
Nhược điểm: Tốn nhiều thời gian.
- Điều kiện sử dụng:
Học sinh chưa được định hình được những đối tượng thuộc ngoại diên
khái niệm, do đó con đường quy nạp không thích hợp.
Học sinh chưa phát hiện được một khái niệm loại nào thích hợp với
khái niệm cần định nghĩa làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
1.3.6 Hoạt động củng cố khái niệm.
Quá trình tiếp cận khái niệm chưa kết thúc khi phát biểu được định
nghĩa khái niệm đó. Một khâu rất quan trọng là củng cố khái niệm, khâu này
thường được thực hiện bằng các hoạt động:
• Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm.
• Hoạt động ngôn ngữ.
• Hoạt động luyện tập, vận dụng
a) Nhận dạng và thể hiện khái niệm.
Nhận dạng và thể hiện khái niệm là hai dạng hoạt động theo chiều
hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc
vận dụng khái niệm. Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối
tượng cho trước có thỏa mãn định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái
niệm là tạo một đối tượng thỏa mãn định nghĩa đó.

18