Bài tập toán cơ sở Đại Học Kinh Tế Huế

Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

1

BÀI TẬP CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG HÀM SỐ MỘT BIẾN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ
2
x
Bài 1. Cho f ( x)  x , g ( x)  2 . Hãy tìm f  g ( x) , f  f  x  , g  g  x  và g  f  x  .

Đáp số.
f  g  x    4 x , g  f  x    2 x , f  f  x   x 4 , g  g  x   22
2

x

.

Bài 2. Tìm miền xác định của các hàm số
a. y  ( x  2)

1 x
1 x

b. y 

 x

 10 

x
sin  x

d. y  lg  lg x  .

c. y  arcsin  lg
Đáp số.
a.  1;1

c. 1;100

b.  0,   \

d. 1;  .

Bài 3. Cho hàm cung và hàm cầu của một sản phẩm là
QS  p  1 và QD  113  p

Tìm giá cân bằng thị trường của hàng hóa đó?
Bài 4. Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa là
QS  0,1p2  5 p 10 và QD 

50
p2

Chứng tỏ luôn tồn tại giá cân bằng trong khoảng  3;5 .
Bài 5. Cho hàm doanh thu của một doanh nghiệp là
TR(Q)  1200Q  3Q 2 ; Q  0 .

Xác định hàm doanh thu bình quân của doanh nghiệp và hàm cầu của hàng hóa đó ?
Hướng dẫn.
AR(Q) 

TR(Q)
Q

; Q0

và p  D 1 (QD ) 

TR(Q)
.
Q

Bài 6. Trong điều kiện lãi suất 0,9% một tháng, hãy cho biết:
a. Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm ?
b. Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận sau 4 năm ?


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

2

Đáp số.
a. FV36  PV . 1  r 36  3. 1  0,009 36  3. 1,009 36 triệu đồng.
b. PV 

FV48

1  r 

48



5

1  0, 009 

48

 5. 1, 009 

48

triệu đồng.

Bài 7. Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu $6000 và sẽ đem lại $10000 sau 5 năm.
Trong điều kiện lãi suất tiền gửi ngân hàng là 9% một năm, có nên đầu tư vào dự án đó
hay không? Tính NPV của dự án đó ?
Đáp số.
Giá trị hiện tại ròng =giá trị hiện tại của khoản tiền thu về trong tương lai-chi phí.
Ta có,
NPV  PV  C  FV5 1  r 

n

C

 10000 1  0, 09   6000  449,3  0
5

Nên thực hiện dự án.
Bài 8. Tính giá trị của khoản tiền $1000 sau 3 năm nếu lãi được tính gộp liên tục với lãi
suất 10% một năm.
Hướng dẫn.
FV3  PV 1  r   1000 1  0,1
n

3

Bài 9. Một công ty đề nghị bạn góp vốn $3500 và đảm bảo sẽ trả cho bạn $750 mỗi năm
liên tiếp trong 7 năm. Bạn có chấp nhận góp vốn hay không với lãi suất 9% một năm ?
Hướng dẫn.
PV 


FV3
FV7
FV1
FV2


 ... 
2
3
7

1  r  1  r  1  r 
1  r 
750
750
750
750


 ... 
2
3
7
1  0, 09  1  0, 09  1  0, 09 
1  0, 09 

 1
1
1
1 
 750. 



...

2
3
7 
1, 09  
 1, 09  1, 09  1, 09 

 100   100 7  

1  
 
 109   109   
 750 

100
1


109





NPV  PV  C  0 chấp nhận dự án.


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

3

Bài 10. Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ đem lại 10 triệu sau 1
năm, 20 triệu sau 2 năm và 30 triệu sau 3 năm. Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không
nếu lãi suất hiện hành là 10% một năm ?
Hướng dẫn.

PV 

10
20
30
,


2
1  0,1 1  0,1 1  0,13

NPV  PV  C  PV  40  0 nên thực hiện dự án.

Bài 11. Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu $7500 và sau một năm sẽ đem lại cho
bạn $2000 mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm. Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó
trong điều kiện lãi suất 12% một năm. Có nên thực hiện dự án đó hay không?
Hướng dẫn.
PV 

2000
2000
2000
2000


 ... 
2
3
5
1  0,12 1  0,12  1  0,12 

1  0,12 

NPV  PV  C  PV  7500  0 không nên thực hiện dự án này.

Bài 12. Chứng minh rằng hàm số
1

 x sin khi x  0
f ( x)  
x
 0 khi x  0

liên tục nhưng không có đạo hàm tại điểm x  0 .
Hướng dẫn.
1. f liên tục tại điểm x  0
x  0 : 0  x sin

x sin
Suy ra, lim
x 0

1
1
 x  0  lim x sin  lim x  0
x 0
x
x x 0

1
1


 0  lim  x sin   0 .
x

0
x
x


Do đó, lim f ( x)  f (0)  0 hay f liên tục tại x  0 .
x 0

2. f không có đạo hàm tại điểm x  0
Theo định nghĩa
f ( x)  f (0)
lim
 lim
x 0
x 0
x0

1
0
1
x
 lim sin
x

0
x0

x

x sin


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn
n 
Đặt x  un  2  0, n 

n

*

4

1
x

khi đó, lim sin  lim sin
x 0
n 

1
n  1
 lim sin
  nên giới hạn
n 
2

2 1
n

không tồn tại. Vậy hàm số f không có đạo hàm tại điểm x  0 .
Bài 13. Chứng minh rằng hàm số
1
 2
khi x  0
 x sin
f ( x)  
x

khi x  0
 0

có đạo hàm tại mọi điểm x và tính đạo hàm f '  x  .
Hướng dẫn.
Tại những điểm x  0 , hàm số f ( x)  x 2 sin

1
liên tục và có đạo hàm
x

f '  x   2 x sin

1
1
 cos
x
x

Xét tại x  0 :
1. f liên tục tại điểm x  0
x  0 : 0  x 2 sin

x 2 sin
Suy ra, lim
x 0

1
1
 x 2  0  lim x 2 sin  lim x 2  0
x 0
x
x x 0

1
1

 0  lim  x 2 sin   0 .
x 0
x
x


Do đó, lim f ( x)  f (0)  0 hay f liên tục tại x  0 .
x 0
2. f có đạo hàm tại điểm x  0
Theo định nghĩa
f ( x)  f (0)

lim
 lim
x 0
x 0
x0

1
0
1

x
 lim  x sin   0
x

0
x0
x


x 2 sin

Vậy hàm số f có đạo hàm tại điểm x  0 : f '  0   0 .
Bài 14. Tính đạo hàm của các hàm số sau
a. y  3 2e x  2 x  1  ln 5 x
Hướng dẫn.
a.



b. y  ln x  x 2  1



c. y  a x .x  0  a  1, x 

*


.


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

y' 




3

5



2e x  2 x  1   ln 5 x  
'

'

2e x  2 x ln 2
3 3  2e x  2 x  1

2

2

1
'
x
x
3  5ln 4 x ln x
2
e

2

1
 


3

5ln 4 x

x

b.
y' 




x 1

1
x

2



'

x  x2  1 


'
1
1
x 2  1 


x  x2  1  2 x2  1



x 
1



x  x2  1 
x2  1 
1

1

1
x2  1

c.
ln y  ln  a x x   x ln a   ln x

y'





 ln a   y '  y  ln a    a x x  ln a   .
y
x
x
x



Bài 15. Cho f ( x)  ln 3 1  x 2 . Hãy tính

f ''  0 

,

f '' 1

Hướng dẫn.
1
f ( x)  ln 1  x 2 
3
'
1 1
2x
f '  x 
1  x2  
2 
3 1 x
3 1  x 2 
2
2 '
 '
2  x 1  x   x 1  x   2 1  x 2
f  x 

2 2
 3 1  x 2 2
3
1

x





''

Suy ra, f ''  0   2 , f '' 1  0 .
3

Bài 16. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số
a. y  x.e

b. y  1

x

x 1

Đáp số.
a. y

n

 e  x  n ;
x

b. y

 n

 1 n !


.
n 1
 x  1
n


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

6

2
tại điểm x  9 khi x  0, 01 .
x

Bài 17. Tính vi phân của hàm số y 
Hướng dẫn.
dy  x0   y '  x0  x  

1
x x

x  dy  9   y '  9  x  

1
9 9

 0,01 

1
.
2700

Bài 18. Tìm biểu thức vi phân của hàm số y  ln 1  x .
1 x

Hướng dẫn.
Ta có,
1  1  x  1  x  2 
2
 1 x 
y   ln
.

  1  x .
 
2
1  x2
 1 x 
 1  x  1  x 1  x 
1 x
'

'

'

Biểu thức vi phân

dy  y ' dx  

2
dx .
1  x2

Bài 19. Xác định các khoảng tăng giảm của hàm số
2 x

2
a. y  2 x  ln x

b. y  x e .

Đáp số.




a. Khoảng tăng  ;   ; khoảng giảm  0;  .
2

 2
1

1

b. Khoảng tăng  0; 2  ; khoảng giảm  ;0  và  2;  .
Bài 20. Tìm cực trị của các hàm số
a. y 

x
3

x 4
2

b. y  ln x .

.

x

Đáp số.
a.





ymax  y 2 3   3

,





ymin  y 2 3 

3

b. ymax  y  e   1 .
e

Bài 21. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
a. y  x ln x

Đáp số.

trên đoạn 1,e

b. y  arctan 1  x trên đoạn 0,1 .
1 x


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

a. max y  e2 ,

7

b. max y   ,

min y  0 .

4

min y  0 .

Bài 22. Xác định các khoảng lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số
2 x
a. y  (1  x )e .

2
b. y  ln(1  x ) .

Đáp số.
a. y'   x  12 e x ; y ''   x  1 x  3 e x
Khoảng lồi:  ; 3 và  1;   ,
Khoảng lõm:  3; 1 ,
Điểm uốn:  1; y  1  và  3; y  3  .
b.

2x
y 
1  x2
'

;y 
''

2 1  x 2 

1  x 

2 2

,

Khoảng lồi:  1;1 ,
Khoảng lõm:  ; 1 và 1;  ,
Điểm uốn:  1; y  1  , 1; y 1  .
Bài 23. Tìm hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên, cho biết hàm tổng chi phí
a. TC (Q)  3Q 2  7Q  12

b. TC (Q)  35  5Q  2Q 2  2Q3

Hướng dẫn.
Hàm chi phí bình quân: AC (Q) 

TC (Q)
,
Q

Hàm chi phí cận biên: MC (Q)  TC ' (Q) .
Bài 24. Tìm hàm doanh thu bình quân và hàm doanh thu cận biên, cho biết hàm tổng
doanh thu
TR(Q)  12Q  Q 2

Hướng dẫn.
Hàm doanh thu bình quân: AR(Q) 

TR(Q)
Q

Hàm doanh thu cận biên: MR(Q)  TR ' (Q) .

Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

8

Bài 25. Tìm hàm lợi nhuận bình quân và hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi
nhuận :
  Q   Q2  13Q  78 .

Hướng dẫn.
Hàm lợi nhuận bình quân: A  Q  

 Q 
,
Q

Hàm lợi nhuận cận biên: M   Q   A '  Q  .
Bài 26. Tìm hàm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu
a.

Q  36  2 p

b. Q  44  4 p

Hướng dẫn.
a. Hàm cầu ngược: p  D 1  Q   18  Q ,
2




Q

Hàm doanh thu: TR(Q)  p  Q  .Q  18   Q ,
2


Hàm doanh thu cận biên: MR  Q   TR'  Q   18  Q .
b. Tương tự
Bài 27. Tìm hàm chi phí cận biên, cho biết hàm chi phí bình quân
3
46
AC (Q)  Q  4  ,  Q  0 
2
Q

Hướng dẫn.
Hàm tổng chi phí: TC (Q)  AC (Q).Q .
Hàm chi phí cận biên: MC (Q)  TC ' (Q) .
Bài 28. Cho biết hàm tổng chi phí TC (Q)  Q3  5Q 2  60Q . Xác định mức sản lượng Q
để chi phí bình quân nhỏ nhất ?
Hướng dẫn.
Chi phí bình quân AC (Q) nhỏ nhất MC (Q)  AC (Q)
Bài 29. Cho biết hàm tổng chi phí và hàm tổng doanh thu. Hãy xác định mức sản
lượng cho lợi nhuận tối đa:
a. TC  Q   Q3  6Q2  140Q  750 và TR(Q)  1400Q  7,5Q 2 .

Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

9

b. TC  Q   Q3  5,5Q2  150Q  675 và TR(Q)  4350Q  13Q 2 .
Hướng dẫn.
Bước 1: Lập hàm lợi nhuận
  TR(Q)  TC (Q)

Bước 2: Điều kiện cần
Mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa (nếu có) là nghiệm dương của phương trình:
 '  0  MR(Q)  MC (Q)

Bước 3: Điều kiện đủ
Tại mức sản lượng Q0  0 thỏa mãn điều kiện cần ta chứng tỏ  ''  Q0   0 điều này được
thỏa mãn cho phép ta kết luận Q0 là mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa và
 max    Q0  .
Bài 30. Cho hàm cầu Q  20  5 p . Tính hệ số co dãn ở các mức giá p = 2, p = 3.
Hướng dẫn.
 D p   p0   D'  p 

Tại mức giá

p2

p
p

 5
D  p
20  5 p

hệ số co dãn của cầu theo giá là:
 D p   2   D '  2 

2
2
 5
 1 .
D  2
20  5.2

Ý nghĩa: Tại mức giá p  2 nếu giá thay đổi 1% thì lượng cầu sẽ thay đổi (ngược chiều)
một lượng xấp xỉ bằng 1%.
Tại mức giá

p  3 hệ

số co dãn của cầu theo giá là:
 D  p   3  D '  3

3
3
 5
 3 ,
D  3
20  5.3

Ý nghĩa: Tại mức giá p  3 nếu giá thay đổi 1% thì lượng cầu sẽ thay đổi ( ngược
chiều) một lượng xấp xỉ bằng 3%.

9


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

10

CHƯƠNG II. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
x2  y 2
. Hãy tính f  2, 3 và f (1, 0) .
xy

Bài 1. Cho hàm số f ( x, y) 
Đáp số.
f  2, 3  

13
6

và f 1,0  không tồn tại.

4
4
2
2

Bài 2. Cho hàm số f ( x, y )  x  y  2 x  4 xy  2 y . Hãy tính

f (0, 0) và

f ( 2,  2) .

Đáp số.
f  0,0   0 và f  2,  2   8 .

Bài 3. Cho hàm số f ( x, y)  xy  y . Tìm biểu thức của các hàm số sau
x

y
f ( y, x), f (  x,  y ), f (1, t ), f (1, ) ?
x

Đáp số.
x
y
x
f  y, x   yx  ; f   x,  y     x   y  
 xy  ;
y
x
y
y
 y y y
f 1, t   t  t  2t ; f 1,     2
x
 x x x

Bài 4. Cho hàm số f ( x, y) 
a. f ( x, y ) 

f ( y, x) ,

b. f (tx, ty) 

f ( x, y )

2 xy
. Chứng minh rằng
x  y2
2

với mọi t  0 .

Hướng dẫn.
a. Ta có,
f (y, x) 

2 yx
2 xy
 2 2  f  x, y  .
2
y x x y
2

b. f (t x, t y) 

2txty

 tx    ty 
2

2



2 xy
 f  x, y  .
x  y2
2

10


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

11

Bài 5. Tìm miền xác định của các hàm số sau và biểu diễn trên mặt phẳng
a. f ( x, y)  x2  y 2 ,
2
b. f ( x, y)  ln(4  4 x  y ) ,

c. f ( x, y)  x2  y 2  1  ln(4  x 2  y 2 ) ,
d. f ( x, y )  arcsin( y )  xy .

x

Hướng dẫn.

 x, y  

2

b. D   x, y  

2

a.

D




c. D   x, y  

  x, y  

x2  y 2  0 

2







d. D   x, y  




2

2


4  4 x  y 2  0   x, y  




 x 2  y 2  1  0



2
2
4  x  y  0 

y
x
x
xy

x  y
2

.

x  1 

 x, y  

2

1 2
y .
4 



1  x2  y 2  4 .


 1

 0
 0



Bài 6. Cho hàm số f ( x, y) 

x y




lim f  x, y   .
. Tìm các giới hạn lim  lim f  x, y   và lim

y

0
x 0
x y
x 0


y 0



Hướng dẫn.
a. lim f  x, y   x  1  lim lim f  x, y    1 ,
y 0
x 0 y 0


x

f  x, y  
b. lim

x 0



y
 1  lim lim f  x, y    1
y 0  x 0

y

x2 y 2
Bài 7. Cho hàm số f ( x, y)  2 2
. Chứng minh rằng
x y  ( x  y)2
lim(lim f ( x, y))  lim(lim f ( x, y))
x 0 y 0

y 0 x 0

nhưng không tồn tại giới hạn kép lim f ( x, y) .
x 0
y 0

Hướng dẫn.
11


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

12

a. lim f  x, y   02  0  lim lim f  x, y    0 ,
y 0
x 0 y 0


x

lim f  x, y  
x 0



0
 0  lim lim f  x, y    0 ,
y 0  x 0

y2

Suy ra, lim(lim f ( x, y))  lim(lim f ( x, y)) .
x 0 y 0
y 0 x 0
b.

lim
x 0
y 0

x2 y 2
x 2 y 2  ( x  y )2

không tồn tại. Thật vậy,

Dọc theo đường y=x, khi  x, y    0,0  ta có:
Dọc theo đường y=-x, khi  x, y    0,0  ta có:

lim
x 0
y 0

x4
1
x4

lim
x 0
y 0

.

x4
 0.
x4  4 x2

Vì giới hạn không duy nhất khi  x, y    0,0  nên không tồn tại giới hạn của f  x, y  khi
x,y đồng thời tiến về 0.
Bài 8. Tìm các giới hạn


x2  y 2 
lim  lim 4

x  y  x  y 4



và


x2  y 2 
lim  lim 4

y  x  x  y 4



Hướng dẫn.
x2 1

x2  y 2
y4 y2 0
lim 4
 lim 4
  0  lim  0   0 ;
y  x  y 4
y  x
x 
1
1

4
y

1 y2
 4
2
x y
x
x  0  0  lim  0   0 .
lim 4
 lim
4
x  x  y
y 
y 
y4
1
1 4
x
2

2

Bài 9. Tìm các giới hạn sau
x y
x  x  xy  y 2
y 

a. lim

2

b.

lim

x 
y 

x2  y 2
x4  y 4

Hướng dẫn.
a. Ta có xy 

x2  y 2
x2  y 2
  xy  
,
2
2
12


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

Do đó,

0

13

2
2
2 x  y 2 2 x  y 
x y



x 2  xy  y 2
x2  y 2
x2  y 2

2 2
x2  y 2

.

x y
0.
x  xy  y 2
y 

Vì vậy, lim
x 

2

b.Ta có
x2  y 2
0 4

x  y4

suy ra ,

lim

x 
y 

2  x4  y 4 
x y
4

4



2
x y
4

4

,

x2  y 2

0.
x4  y 4

Bài 10. Cho hàm số
 xy
khi x 2  y 2  0
 2
2
f ( x, y )   x  y

0
khi x  y  0


Chứng minh rằng hàm số

f ( x, y )

liên tục tại điểm  0,0  .

Hướng dẫn.
Ta cần chứng minh lim f  x, y   f  0, 0   0 . Thật vậy,
x 0
y 0

0

Suy ra, lim f  x, y   lim
x 0
x 0

y 0

y 0

xy
x  y2
2

x2  y 2
xy
1
2


x2  y 2
2
2
2
2
2
x y
x y

,

0.

Vậy f liên tục tại (0,0).
Bài 11. Chứng minh rằng hàm số

13


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

14

 xy

f ( x, y )   x 2  y 2
 0


khi x 2  y 2  0
khi

x y0

liên tục theo từng biến, nhưng không liên tục theo cả hai biến tại điểm  0, 0  .
Hướng dẫn.
 f(x,0) liên tục tại x=0,
 f(0,y) liên tục tại y=0,
 lim f  x, y   f  0, 0   0 ?
x 0
y 0

xy
ta có,

2
x

y
y 0

Tính lim f  x, y   lim
x 0
x 0
y 0

2

Dọc theo đường thẳng y=x:
Dọc theo đường thẳng y=-x:

lim
x 0
y 0

lim
x 0
y 0

xy
 x2
1

lim
 .

2
2
2
x 0 2 x
x y
2
y 0

xy
không tồn tại. Vậy f không liên tục theo cả hai
2
x

y
y 0

Do đó, giới hạn lim f  x, y   lim
x 0
x 0
y 0

xy
x2
1

lim
 ,
2
2
2

x

0
x y
2x
2
y 0

2

biến tại (0,0).
Bài 12. Tính đạo hàm riêng theo định nghĩa
a. f ( x, y)  3 xy tại điểm  0,0  ,
b. f ( x, y)  3 x3  y3 tại điểm  0, 0  .
Hướng dẫn.
a.
f  x,0   f  0,0 
f
00
 lim
0 ,
 0,0   lim
x 0
x 0
x
x0
x
f  0, y   f  0,0 
f
00

 lim
0.
 0,0   lim
y 0
y 0
y
y 0
y

b.

14


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

15

f  x,0   f  0,0 
f
x0
 lim
 1,
 0,0   lim
x 0
x 0
x
x0

x
f  0, y   f  0,0 
f
y0
 lim
 1.
 0,0   lim
y 0
y 0
y
y 0
y

Bài 13. Tìm các đạo hàm riêng cấp 1
a. f ( x, y )  ln(tan y ) ,

b. f ( x, y )  arctan y ,

x

x

c.

f ( x, y)  ln( x  xy  y )

f.

x
w 

 y

2

2

d. f ( x, y )  e

z

,

g.

y
sin( )
x

,

w  arctan( x  y)2 .

Hướng dẫn.
a.
f
 
y 
1

y

 x, y   ln  tan    y .  tan 
x
x  
x   tan x 
x
x
1
1
  y
1
 y

.
.  
.  2 
y
y x  x 
y
y
tan cos 2
sin .cos  x 
x
x
x
x
2y

y
x 2 sin 2
x

f
 
y 
1

y
 x, y   ln  tan    y .  tan 
y
y  
x   tan y 
x
x
1
1
  y
1
1

.
.  
. 
y
y y  x 
y
y
tan cos 2
sin .cos  x 
x
x
x

x
2

y
x sin 2
x

2
2
Bài 14. Cho hàm số f ( x, y)  ln( x  xy  y ) . Chứng minh rằng

15


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

16

x

f
f
 y 2.
x
y

Hướng dẫn.
f


1
 2
x  xy  y 2 
 x, y   ln  x 2  xy  y 2   2

2
x
x
x  xy  y x


x  2x  y 
2x  y
f
 x  x, y   2
2
x  xy  y
x
x  xy  y 2
2

f

1
 2
 x, y   ln  x 2  xy  y 2   2
 x  xy  y 2 
2
y

y
x  xy  y y


y 2 y  x
2y  x
f
 y  x, y   2
2
x  xy  y
y
x  xy  y 2
2

Suy ra,
x

x  2x  y 
y 2 y  x
f
f
 2
 2.
 x, y   y  x , y   2
2
x
y
x  xy  y
x  xy  y 2

Bài 15. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số
a. w  arctan y ,
x

c. w 

x y
,
x y

2
2
b. w  ln( x  y )

d. w  1

3

x

2

 y2 

3

Hướng dẫn.
a. Tính các đạo hàm riêng cấp một:
w


y
 x, y    arctan  
x
x 
x

1

 

 y  x 
1  
x
2
x
y
 y 
 2
.  2  2
.
2 
x y  x 
x  y2

w

y
 x, y    arctan  
y
y 

x

1

2

.

 

 y  y 
1  
x
2
x
x
1
 2
.  2
.
2 
x  y  x  x  y2
2

.

y

x

y

x

Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai:
16


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

17

2w
  w
 
y 
x, y   
 x, y    2 2 
2 
x
x  x
 x  x  y 


x

y
2

y



2 2

 2
2 xy
x  y2  

2
2
x
 x  y2 

2w
 w
 
y 
 x, y     x, y      2 2 
yx
y  x
 y  x  y 



1.  x 2  y 2   y

x

 x2  y 2

x

2

 y2 

2



2

 2
x  y2 

y

 y2 

2

2w
 x, y 
xy

   x 
2w

  w
x, y   
 x, y     2 2 
2 
y
y  y
 y  x  y 


x

x
2

y



2 2

.

 2
2 xy
x  y2   
.

2
2 2
y

x

y



Bài 16. Với u là hàm số của hai biến x và y, ta đặt
A(u)  x

u
u
y
x
y

Hãy tìm A(u ) và A( A(u )) của các hàm số sau
a. u 

x
,
x2  y 2

b. u  ln x2  y 2

Hướng dẫn.
a. A  u   u  0 ; A  A  u    A  u   u .
b. A  u   1; A  A  u    A 1  0 .
Bài 17. Cho z = xy. Chứng minh rằng
2 z
2 z


xy yx

Hướng dẫn.
Ta có,
17


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

18

 ln z y

x
x
1 z
y

 x, y  
z x
x
z
y
y
  x, y   . z  . x y
x
x

x

 ln z
 ln x
y
1 z

 x, y   ln x
z y
z
  x, y   z.ln x  x y .ln x
y

ln z  y ln x 

ln z  y ln x 

và

Suy ra,
2 z


1
 x, y    x y .ln x    x y  .ln x  x y .  x y 1.  y ln x  1
xy
x
x
x
2 z

 y
 y
y 
 x, y    .x y   x y .    .  x y 
yx
y  x
y  x  x y

1
y
 .x y  .x y .ln x  x y 1 1  y ln x 
x
x

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 18. Cho u  arctan y . Chứng minh rằng
x

 2u  2u

0
x 2 y 2

Hướng dẫn.
u

y
 x, y    arctan  
x
x 

x

  y
 
 y  x  x 
1  
x
x2
y
 y 
 2
.  2 2
2 
x y  x 
x  y2
1

2

.

 2u
  u
y 
  
x, y     x, y      2
2 
2 
x
x  x

 x  x  y 


x

y
2

y



2 2

 2
2 xy
x  y2  

2
x
 x2  y 2 

u
u
y
 x, y    arctan  
y
y 
x


  y
 
 y  y  x 
1  
x
1

2

.

x2
1
x
.  2
2
2
x  y x x  y2

18


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

19

   x 

 2u
  u
x, y     x, y     2
2 
2 
y
y  y
 y  x  y 


x

x
2

y



2 2

.

 2
2 xy
x  y2   

2
2
y

 x  y2 

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 19. Cho  ( x, y ) là một hàm số có các đạo hàm riêng và

z  y. ( x 2  y 2 )
Hãy chứng minh
1 z 1 z z


x x y y y 2

Hướng dẫn.
z

d 
d
 x, y    y.  u    y. .  x 2  y 2   2 xy
x
x
du x
du
1 z
d

 x, y   2 y
x x
du
z


d 
 x, y    y.  u      x 2  y 2   y. .  x 2  y 2 
y
y
du y
d
   x2  y 2   2 y 2
du
  x2  y 2 
1 z
d

 2y
 x, y  
y y
y
du

Do đó,

2
2
1 z 1 z
d   x  y 
d

 2y

 2y
x x y y

du
y
du



Bài 20. Cho

z  u 2  v3

và

  x2  y 2 
y

u  y sin x, v  x cos y .



z
y2

Tìm các đạo hàm riêng của z theo x và y

Hướng dẫn.
Ta có,

19

Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

20

z
z
 u, v   2u;  u, v   3v 2 ,
u
v
u
v
 x, y   y cos x;  x, y   cos y,
x
x
u
v
 x, y   sin x;  x, y    x sin y
y
y

Do đó,
z
z u z v
2
 x, y   .  .  2  y sinx  y cos x   3  x cos y   cos y 
x
u x v x
 y 2 .sin 2 x  3x 2 cos3 y

z
z u z v
2
 x, y   .  .  2  y sinx  sin x   3  x cos y    x sin y 
y
u y v y
 2 y sin 2 x  3 x 3 sin y cos 2 y
2
2
Bài 21. Cho z  v 2  arctan  uv  và u  2 x  y , v  y  t . Hãy tính

z z
,
x y t

a. z ,

b. dz

Hướng dẫn.
a. Ta có,
z
v
z
u
;  u, v   2v 
 u, v  
2
2

u
1   uv  v
1   uv 
u
v
 x, y, t   2;  x, y, t   0
x
x
2 y  t2 
z
z u z v
v

 2.

 x, y , t  
2
2
2
x
u x v x
1   uv 
1  2x  y2   y  t 2 

b. dz 

z
z
z
 x, y, t  dx   x, y, t  dy   x, y, t  dt .

x
y
t

Bài 22. Cho

z  e xy .

Hãy tìm dz và

d 2z .

Hướng dẫn.
a. Tính dz

20


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

21



 ln z    xy  z  e xy  ln z  xy    ln z     xy 
y
y
x

x
và
1 z
z
1 z
z

 x, y   y   x, y   ye xy

 x, y   x   x, y   xe xy
z x
x
z y
y
z  e xy  ln z  xy 

Do đó,
dz 

b. Tính

z
z
 x, y  dx   x, y  dy  ye xy dx  xe xy dy .
x
y

d 2z

d 2 z  d  dz  



dz
dz
dx 
dy
x
y



  z
z
  z
z
 x, y  dx   x, y  dy  dx    x, y  dx   x, y  dy  dx

x  x
y
y  x
y



2 z
2 z
2 z
2
2
 2  x, y  dx   2

 x, y  dxdy  2  x, y  dy 
x
xy
y

Ta tính được,
2
2
2 z
2 z
2 xy  z
xy  z
x
,
y

y
e
;
x
,
y

x
,
y

xye
;
x, y   x 2e xy


 
 
2 
2 
x
xy
yx
y

Vậy
d 2z 

2 z
2 z
2 z
2
2
x
,
y
dx

2
x
,
y
dxdy

x, y  dy 






2
2 
x
xy
y

 y 2 e xy  dx   2 xye xy dxdy  x 2e xy  dy 
2

2

x
y

v
Bài 23. Cho z  u , u  , v  xy. Tìm dz .

Hướng dẫn.
z
z u z v z x, y  z u  z v dz  z x, y dx  z x, y dy
 
 
;  
;


 x, y  
u y v y
x
y
x
u x v x y

Bài 24. Tìm cực trị của các hàm sau
3
2
a. f ( x, y)  x  3xy  15 x  12 y ,

4
4
2
2
b. f ( x, y)  1  x  y  2 x  4 xy  2 y ,

2
2
c. f ( x, y)  1  6 x  x  xy  y ,

d. f ( x, y)  e x  y (2 x 2  y 2 ) ,

4
4
2
2
e. f ( x, y )  x  y  x  2 xy  y ,

4
4
2
2
f. f ( x, y)  2 x  y  x  2 y ,

2

2

21


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

22

h. f  x, y   4 xy  2 x 2  y 4 ,

i. f  x, y   x 2  y 2 ,

k. f  x, y   3xy  x 2  y 2 ,

l. f  x, y   2 x4  y 4  x2  2 y 2 ,

m. f  x, y   4 x 2  12 xy  9 y 2 ,

n. f  x, y   x 4  y 4 ,

p. f  x, y   x 4  y 4 ,

q. f  x, y   x3  y3  3xy .

Hướng dẫn.
a.
Bước 1. Điều kiện cần
Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng
 x2  y 2  5 
 f
x
,
y

0



 x
3 x 2  3 y 2  15  0



y

 f


6

xy

12

0

  x, y   0

x

 y

 2  2 2
x     5  0
 x4  5x2  4 
x



2


y


y

x



x
 0
x





  x, y   1; 2    1; 2    2,1   2; 1

 x2  1 

2

 y

x

0

 x

0

0
2
x
0
x2  4
2

x
0

Bước 2. Kiểm tra điều kiện đủ
Tính các đâọ hàm riêng cấp 2:
a11 

2 f
2 f
x
,
y

6
x
;
a



 x, y   6 x;
22
x 2
y 2

a12  a21 

2 f
2 f
x

,
y

 
 x, y   6 y
xy
yx

Tại điểm M1 1;2  :

a11  6  0; a12  a21  12; a22  6; D  a11.a22  a12 .a21  108  0
Vì D=-108<0 nên điểm dừng M1 1;2 không phải là điểm cực trị.
Tại điểm M 2  1; 2  :
22


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

23

a11  6  0; a12  a21  12; a22  6; D  a11.a22  a12 .a21  108  0
Vì D=-108<0 nên điểm dừng M 2  1; 2  không phải là điểm cực trị.
Tại điểm M 3  2;1 :

a11  12  0; a12  a21  6; a22  12; D  a11.a22  a12 .a21  108  0
suy ra điểm dừng M 3  2;1 là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu tại điểm M 3  2;1 là:
f min  f  2;1  28 .

Tại điểm M 4  2; 1 :

a11  12  0; a12  a21  6; a22  12; D  a11.a22  a12 .a21  108  0
suy ra điểm dừng M 4  2; 1 là điểm cực đại. Giá trị cực đại tại điểm M 4  2; 1 là:
f max  f  2; 1  28 .

Bài 25. Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm
2
  160Q1  3Q12  2QQ
1 2  2Q2  120Q2 18

Hãy tìm Q1 , Q2 để được lợi nhuận tối đa.
Hướng dẫn.
Bước 1. Điều kiện cần
Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng
 
 Q  Q1 , Q2 
 1

   Q , Q 
1
2

 Q2
3Q  Q2
 1
Q1  2Q2

 0

 160  6Q1  2Q2  0

2Q1  4Q2  120  0
 0
 80

Q
 1
 60
Q2

 20
 20

Bước 2. Điều kiện đủ
Tính các đạo hàm riêng cấp hai:

23


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

a11 

24

 2
 2

Q
,
Q


6;
a



 Q1 , Q2   4;
1
2
22
Q12
Q22

a12  a21 

 2
 2
Q
,
Q

 1 2
 Q1 , Q2   2
Q1Q2
Q2 Q1

Tại điểm dừng  Q1 , Q2    20, 20  :
Vì D 

6 2
2 4

 20  0; a11  6  0 nên điểm dừng  Q1 , Q2    20, 20  là điểm cho lợi

nhuận cực đại. Lợi nhuận tối đa là:
 max    20, 20   2782 .

Bài 26. Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu đối với hai sản
phẩm đó như sau
Q1  25 

1
p1 ; Q2  30  p2
2

2
Q1 , Q2 cho lợi nhuận
và hàm chi phí kết hợp C  Q12  2QQ
1 2  Q2  20 . Tìm mức sản lượng
tối đa.

Hướng dẫn.
Bước 1. Xác định hàm lợi nhuận
Hàm cầu ngược của sản phẩm 1: p1  D11  Q1   50  2Q1 ,
Hàm cầu ngược của sản phẩm 2: p2  D21  Q2   30  Q2 .
Hàm lợi nhuận xác định như sau:

  Q1 , Q2   D11  Q1  .Q1  D21  Q2  .Q2  C  Q1 , Q2 

  50  2Q1  .Q1   30  Q2  .Q2   Q12  2Q1Q2  Q22  20 
 3Q12  2Q22  50Q1  30Q2  2Q1Q2  20

Bước 2. Điều kiện cần
Giải hệ phương trình tìm điểm dừng
 
 Q  Q1 , Q2 
 1

   Q , Q 
1
2

 Q2
3Q  Q2
 1
Q1  2Q2

 0

6Q1  50  2Q2

4Q2  30  2Q1
 0
 25

Q
 1

 15
Q2

 0
 0

 7
 4
24


Đại Học Kinh Tế Huế
Bộ Môn Toán Kinh Tế
Giảng viên Trần Bá Thuấn

25

Bước 3. Kiểm tra điều kiện đủ
Tính các đạo hàm riêng cấp hai:
a11 

 2
 2
Q
,
Q


6;
a




 Q1 , Q2   4;
1
2
22
Q12
Q22
 2
 2
Q
,
Q

 1 2
 Q1 , Q2   2
Q1Q2
Q2 Q1

a12  a21 

Tại điểm dừng  Q1 , Q2    7, 4  :
Vì D 

6 2
2 4

 20  0; a11  6  0 nên điểm dừng  Q1 , Q2    7, 4  là điểm cực đại. Lợi

nhuận tối đa là:
 max    7, 4  215 .

Bài 27. Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với các
sản phẩm đó như sau:
Q1  50 

1
p1 ; Q2  76  p2
2

2
Q ,Q
với hàm chi phí kết hợp C  3Q12  2QQ
1 2  2Q2  55 . Tìm mức sản lượng 1 2 để lợi nhuận
tối đa.

Hướng dẫn. (tương tự)
Bước 1. Lập hàm lợi nhuận
Bước 2. Điều kiện cần
Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng
Bước 3. Kiểm tra điều kiện đủ
Bài 28. Tìm cực trị có điều kiện của hàm số theo phương pháp nhân tử Lagrange
a.

f ( x, y )  xy

với điều kiện

x  y  1.

Hướng dẫn.
Bước 1. Lập hàm Lagrange
L  x, y,    xy   1  x  y 
 : nhân tử Lagrange.

Bước 2. Điều kiện cần
25