Bài tập toán ôn thi đại học khối A 2003 có lời giải hướng dẫn

www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 1
NHÁY A2003

Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số y =
2
x - m x - 2
x 2
m
+
(1)
1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
2) Định m để đồ thị (1) cắt Ox tại hai điểm có hoành độ âm.
Câu 2 (2 điểm ).
1) Giải phương trình : tan x – 1 =
2
3cos2x 1
cos x - sin 2x
1cotx 2
+
+

2)
Giải hệ:
3
11
x
x
x+3y = 4
y
y

⎧
+=+
⎪
⎨
⎪
⎩

Câu 3 (1 điểm ). Tính tich phân I =
2
23
5
x+4 x
x
d
∫

Câu 4 (1 điểm ). Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’, gọi O là tâm ABCD và I là tâm CDD’C’.
Tính góc của hai mặt phẳng (ABCD) và (A’OI).
Câu 5 (1 điểm). Cho x, y, z là ba số dương mà x + y + z ≤ 3 , tìm GTNN của T =
222
22
44
x+
x
yz
yz
++++
2
4

Câu 6 (2 điểm ).
1. 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có hai đỉnh A, B thuộc đường thẳng x – 2y = 0 , cạnh BC
song song với Ox. Biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường thẳng 2x + y – 4 5 = 0 , còn
bán kính đường tròn nội tiếp là 3 - 5. Tìm toạ độ ba đỉnh.
2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(a ; 0; 0), D(0; b; 0) . Tính thể
tích hình hộp biết hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) vuông góc nhau.
Câu 7 (1 điểm ) . a , b là 2 nghiệm của phương trình z
2
- 2z + 2 = 0 . Tính giá trị của S = a
16
+ b
16
.



GIẢI VẮN TẮT:
Câu 1.
2) PT hoành độ giao điểm với Ox : x
2
– mx - 2m = 0 ( x ≠ - 2)
YCBT Ù

2
80
(2) 0
8
0
20
mm

f
m
Sm
Pm
⎧
Δ= + >
⎪
−≠
⎪
<=> < −
⎨
=<
⎪
⎪
=− >
⎩
Câu 2.
www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 2
1) PT
Ù

22
2
sin x cos x 3(cos x sin x)
cos x sin x cos x
sin x cos x
cos x
sin x
−−
=+−

+

ĐK : sin x.cos x ≠ 0 và sin x + cosx ≠ 0
Rút gọn: sin x – cos x = 3(cos x - sin x)sin x cos x + (cos
3
x – sinx. cos
2
x)
Ù

2
cos x sin x 0 (1)
13sinx cosx +cosx (2)
−=
⎡
⎢
−=
⎣
(1)
Ù
x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện )
(2)
Ù
– 1(1 + tan
2
x ) = 3tan x + 1
Ù
tan
2
x + 3tanx + 2 = 0

Ù
tanx = - 1 (loại) hay tan x = - 2 (nhận)
Ù
x = arctan(- 2) + kπ.
Cách khác: Đặt t = tanx và thay cos2x =
2
2
1
;
1
t
t
−
+
sin2x =
2
2
1
t
t
+
, ta được phương trình bậc 3 theo t.
2)
3
11
x (1)
x
x + 3y = 4 (2)
y
y

⎧
+=+
⎪
⎨
⎪
⎩
Từ (1) : (x
2
+ 1)y = (y
2
+ 1) x
Ù
(x – y)(xy – 1) = 0
Ù
x = y hay xy = 1
* Thế vào (2):
Vơí : x = y : x
3
+ 3 x – 4 = 0
Ù
(x – 1)(x
2
+ x + 4) = 0
Ù
x = 1
Với y = 1/x : x
4
– 4 x + 3 = 0
Hàm số ở VT có đạo hàm f’(x ) = 4x
3

– 4 = 0 , đạt CT x = 1 và giá trị cực tiểu là 0, do đó x = 1 là
nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 1
Cách khác: x
4
– 4 x + 3 = 0
Ù
(x – 1)(x
3
+ x
2
+ x – 3) = 0
Ù
(x – 1)
2
(x
2
+ 2x + 3) = 0
Ù
x = 1
Câu 3
. I =
2
23
2
5
x + 4.xdx
x
∫

Đặt t =

2
x+4
, ta được : I =
4
2
3
.
4
ttdt
t −
∫
=
44
2
33
41
11
42
dt dt
ttt
1
2
⎡ ⎤⎡ ⎤
+=+−
⎢ ⎥⎢ ⎥
−−
+
⎣ ⎦⎣ ⎦
∫∫
= . . .

Câu 4
. Chọn hệ trục với A(0; 0; 0), đơn vị độ dài là nửa cạnh hình lập phương và B(2 ; 0; 0), D(0 ; 2;
0), A’(0 ; 0; 2). Suy ra I(1; 2; 1) và O(1; 1; 0).
G
VTPT của mp(ABCD) là (0 ; 0 ; 1).
G
k =
VTPT của (OA’I) là = [
n
', ']A OAI=
JJJJG
JJJG
GG
(3 ; - 1; 1)
Vậy cosα = |cos (
kn
| = 1/
,)
11


a
G

b
G

c
G

O
A
B
C

A
D
A’
B’
D’
C’

B
C




O
I



www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 3
Câu 5.
* Trước hết ta CM rằng :
||

||||| |abcabc
++≥++

GGGGGG
(Vì OA + AB + BC ≥ OC; dấu bằng xãy ra khi ba vectơ
,,OA AB BC
JJJG JJJG JJJG
cùng hướng.
Do đó đặt
222 22
(x ; ) ; ( ; ) ; ( ; ) (x ; )
xz
abyczabcyz
2
x
y yz
====>+==+++
GGG GGG
+
, suy ra :
222 2
222
444 22
x + (x+y+z) +( )
x x
yz
yz y
++++≥ ++
2
2
z

Áp dụng Bđt Cauchy: (x + y + z)

3
3
222 1
3xyz; 6
x xyyz
≥++≥
z

Đặt t =
3
xyz t=
: 0 < t ≤
x
1
3
yz
++
=
: T
2
≥ 9t
2
+ 36/t
2
Hàm số f(t) = 9t
2
+ 36/t
2

có f’(t) = 18t – 72t

- 3
=
4
3
18
=> f(t) nghịch biến trên (0; 1]
72
0, (0;1]
t
t
t
−
<∀∈
Và min T = f(1) =
3
Ù
t = 1 và x = y = z
Ù
x = y = z = 1. 5

Câu 6 .
1.
Gọi A(2a; a) và B(2b; b), suy ra C = (2a; b) và tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AB là
(a + b; (a + b)/2). Ta có : 2(a + b) + (a + b)/2 – 4
5 = 0
Ù
a + b = 8 5/5 (1)
Ta có : S
ABC
= pr

Ù
AB. AC. BC = (AB + BC + CA). (3 - 5)

Ù
|(a – b). 2(a – b). (a – b) 5 | = |a – b|(3 + 5 )(3 - 5)

Ù
(a – b)
2
5= 2
Ù
a – b = ± 2 5 / 5 (2)
Từ (1) và (2), ta được : (a =
5, b = 3 5 /5 ) hay (a = 3 5 /5 ; b = 5 ) . . .


B
A
C

A
B
C
D
A’
B’
D
’
C’
O

2
. A’(0; 0; h) => => VTPT của mp(A’BD) là :

'( ;0;), ( ;;0)BA a h BD a b
=− =−
JJJG JJJG
1
[', ]( ; ; )n BABD bhahab==−−−
JG JJJG JJJG
C’ = (a ; b ; h) =>
'(0;;)BCbh=
JJJJG
. VTPT của mp(C’BD) là
2
[',]nBCBD= =
JJG JJJJGJJJG
(- bh; - ah ; ab).
www.saosangsong.com.vn Năm học 2009 - 2010 4
Ta có:
Ù
(bh)
12

.nn =
JG JJG
0
2
+ (ah)
2
– (ab)
2
= 0
Ù
h =
22
ab
ab
+

Và thể tích khối hộp là V = abh =
2
22
()ab
ab
+

Câu 7
. Ta có : a = 1 – i b = 1 + i . Suy ra : a =
2[cos( / 4) sin( / 4)i
π
−+−
π
] và b =

2[cos( / 4) sin( / 4)i
ππ
+
].
Suy ra : a
16
=
16 8
( 2) [cos( 4 ) sin( 4 )] 2i
ππ
−+ − =
và b
16
=
16 8
( 2) [cos(4 ) sin(4 )] 2i
ππ
+ =

=> S = a
16
+ b
16
= 2
9
.