Vấn đề về giá trị tuyệt đối trong trường THCS

trờng đại học s phạm hà nội
khoa toán tin
====***===
đề tài nghiệp vụ s phạm
một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong tr-
ờng thcs

Giảng viên hớng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn.
Ngời thực hiện: Vũ Thị Hoa
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
Hải Dơng năm 2006
mục lục
A. những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt
đối
Trang
3
I: Các định nghĩa
II: Các tính chất
B. các dạng bài toán về giá trị tuyệt đối
trong chơng trình THCS
Chủ đề I: Giải phơng trình, hệ phơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lu ý
II. Bài tập điển hình
Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối
I. Kiến thức cần lu ý
II. Bài tập điển hình
Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Đồ thị hàm số y = f(
x

)
II. Đồ thị
y
= f(x)
III. Đồ thị y =
)(xf
IV. Đồ thị y =
( )
xf
V. Đồ thị
y
=
)(xf
Chủ đề IV: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lu ý
II. Bài tập điển hình
c. Đáp án
d. tài liệu tham khảo
e.kết luận
f. giáo án thực nghiệm
3
6
9
9

9
10
14
14

14
17
17
18
19
20
20
24
24
24
26
30
31
32
2
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
Phần I: Lời nói đầu
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm đợc phổ biến rộng r i trong cácã
ngành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật,...Trong chơng trình Toán ở bậc
THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số đợc gặp nhiều lần,
xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với
khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh
nắm đợc cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bớc đầu
hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa dần dần đa vào
các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy không có
trong chơng trình giảng dạy song bài: " Giải phơng trình có chứa dấu
giá trị tuyệt đối" đợc rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy
đủ cho học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét các
tính chất của căn thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có
thêm ứng dụng mới( đa một thừa số ra ngoài căn, đa một thừa số

vào trong căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn,...)
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tợng và quan trọng vì nó
đợc sử dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng nh THPT
và Đại Học,...Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền
tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao
hơn ở các bậc học sau.
Trớc nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng nh nâng cao
kiến thức cho ngời dạy cũng nh ngời học về khái niệm " Giá trị tuyệt
đối", chúng tôi quyết định chọn đề tài: " Giá trị tuyệt đối trong trờng
THCS".
Tôi mong rằng đề tài này của tôi sẽ giúp cho giáo viên cũng nh học
sinh trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn GS. TS Tống Trần Hoàn đ hã ớng dẫn và
giúp đỡ tôi hoàn thành tốt đề tài này !
Vì hoàn thành trong một thời gian ngắn nên đề tài còn nhiều hạn
chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận đợc sự quan tâm, đóng góp ý kiến
của thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
3
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
A. nhứng kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
I. Các định nghĩa
1. 1. Định nghĩa 1
Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: R R
+
a a
với mỗi giá trị a

R có một và chỉ một giá trị f(a) = a

R
+
1.2. Định nghĩa 2
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu
a
là:
a nếu a

0

a
=
-a nếu a < 0
Ví dụ1:
1515
=

3232
=

00
=

11
=

1717
=
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A(x), kí hiệu

)(xA
là:
A(x) nếu A(x)

0

)(xA
=
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
2x - 1 nếu 2x- 1

0 2x - 1 nếu
2
1

x
12

x
= =
-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0 1 - 2x nếu x <
2
1
1.3. Định nghĩa 3:
Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là
a
, là số đo( theo đơn
vị dài đợc dùng để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm
gốc 0 trên trục số ( hình 1).

Hình 1
Ví dụ 1:

a
= 3






=
3
3
a
Do đó đẳng thức đ cho đã ợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với
hai điểm trên trục số ( hình 2)
4
-a
0 a
-a a
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
Hình 2
Tổng quát:




=

>
=
b
b
a
b
ba
0
;




==
b
b
aba
Ví dụ 2:
a

3 nếu a

0 0

a

3

a

3





-3

a

3
-a

3 nếu a < 0 -3

a < 0
Do bất đẳng thức đ đã ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn
[ ]
3;3

và trên trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm
của đoạn
[ ]
3;3

( hình 3)
Hình 3
Ví dụ 3:

a

3 nếu a

0 a

3 nếu a

0
a

3





3

a hoặc a

3
-a

3 nếu a < 0 a

-3 v nếu a < 0
Do bất đẳng thức đ đã ợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa
đoạn (-

; 3] và [3; +

) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai
nửa đoạn tơng ứng với các khoảng số đó. (hình 4)
Hình 4
Tổng quát:






ba
ba
ba
bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả m n một trong các điều kiện sau:ã
a) a =
a
b) a <
a
5
-3
0 3
-3
0 3
-3
0 3
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
c) a >

a
d)
a
= -a
e)
a


a
f)
a
+ a = 0
g)
bba
=+
Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng:
a)

a

Z


a
> 0
b)

a

Q

a
> a
c)

a, b

Z,
a
=
b

a = b
d)

a, b

Q,
a
>
b

a > b
Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng
a)
a
=
b

a = b
b) a > b


a
>
b
Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả m n một trong các điều kiện sau, sau ã
đó biểu diễn các số tìm đợc lên trục số:
a)
a


1
b)
a


3
c)
a
- 6 = 5
d) 1 <
a


3
Bài 5:
a) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho
x

< 50
b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho
x
+
y
= 5
( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho
x
+
y
< 4
II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối
2.1. Tính chất 1:
a


0

a
2.2. Tính chất 2:
a
= 0

a = 0
2.3. Tính chất 3: -
a


a

a
2.4 Tính chất 4:
a
=
a


Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối ngời ta rễ thấy đợc các tính
chất 1, 2, 3, 4.
2.5. Tính chất 5:
baba
++
6
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
Thật vậy: -
a


a


a
; -
b

a

b

-(
a
+
b
)

a + b


a
+
b
2.6. Tính chất 6:
a
-
b


baba
+
Thật vậy:
a
=
bababbabba
++
(1)
babababababa
++=++=

)(
(2)
Từ (1) và (2)

đpcm.
2.7. Tính chất 7:

baba

Thật vậy:
baba

(1)

bababaababab
==
)()(
(2)







=
)( ba
ba
ba
(3)

Từ (1), (2) và (3)

baba

(4)

babababababa
++
)(
(5)
Từ (4) và (5)

đpcm.
2.8. Tính chất 8:

baba ..
=
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b

0 hay a

0, b= 0

baba ..
=
(1)
a > 0 và b > 0


a

= a,
b
= b và a.b > 0

bababababa .....
===
(2)
a < 0 và b < 0


a
= -a,
b
= -b và a.b > 0

babababababa ...))((..
====
(3)
a > 0 và b < 0


a
= a,
b
= -b và a.b < 0

babababababa ...).(..
====
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4)

đpcm.
2.9. Tính chất 9:

)0(
=
b
b
a
b
a
Thật vậy: a = 0

00
==
b
a
b
a
b
a
(1)
a > 0 và b > 0


a
= a,
b
= b và
b

a
b
a
b
a
b
a
==>
0
(2)
a < 0 và b < 0


a
= -a,
b
= -b và
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
=

==>
0
(3)
a > 0 và b < 0


a
= a,
b
= -b và
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
=

==<
0
(4)
7
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
Từ (1), (2), (3) và (4)

đpcm.

bài tập tự luyện
Bài 6:
Điền vào chỗ trống các dấu

,
, = để khẳng đinh sau đúng

a, b
a)
ba +
...
a
+
b
b)
ba
...
a
-
b
với
a



b
c)
baba .............
d)
b

a
b
a
=
Bài 7:
Tìm các số a, b thoả m n một trong các điều kiện sau:ã
a) a + b =
a
+
b
b) a + b =
a
-
b
Bài 8:
Cho
3
<
ca
,
2
<
cb
Chứng minh rằng
5
<
ba
Bài 9:
8
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS

Rút gọn biểu thức:
a)
a
+a
b)
a
- a
c)
a
.a
d)
a
: a
e)
32)1(3
+
xx
f)
)14(32

xx
B. các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chơng
trình THCS
chủ đề i: giải phơng trình và hệ phơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý
1.1 A(x) nếu A(x)

0
)(xA

= ( A(x) là biểu thức đại số)
-A(x) nếu A(x) < 0
1.2. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a

0)
Nhị thức bậc nhất ax + b (a

0) sẽ:
+ Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của
nhị thức.
+ Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của
nhị thức.
Giả sử x
0
là nghiệm của nhị thức ax + b khi đó:
+ Nhị thức cùng dấu với a

x > x
0
+ Nhị thức trái dấu với a

x < x
0
1.3. Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c (a

0)
- Nếu

< 0, thì f(x) cùng dấu với a

x
9
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
- Nếu



0 thì:
+ f(x) cùng dấu với a

x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
+ f(x) trái dấu với a

x nằm trong khoảng hai nghiệm
Hay
- Nếu

< 0

a.f(x) > 0

x
- Nếu



0

f(x) có hai nghiệm x
1


x
2
nếu x
1
< x < x
2


a.f(x) < 0
nếu x

x
1
hoặc x

x
2


a.f(x) > 0
Nhận xét: Giả trị tuyệt đối của một biểu thức banừg chính nó( nếu
biểu thức không âm) hoặc bằng biểu thức đối của nó( nếu biểu thức
âm). Vì thế khi khử dấu giá tị tuyệt đối của một biểu thức, cần xét
giá trị tuyệt đối của biến làm cho biểu thức dơng hay âm( dựa vào
định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc định lí về dấu của tam

thức bậc hai). Dấu của biểu thức thờng đợc viết trong bảng xét dấu.
II. các bài tập điển hình
2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) -
3

x
Thật vậy:
+ Với ( x - 3)

0 hay x

3 thì
3

x
= x - 3
+ Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì
3

x
= -(x - 3) = 3 - x
ta xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng của biến x
+ Nếu x

3 thì A = 2(3x - 1) -
3

x
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3

= 5x + 1
+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) -
3

x
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x
= 7x - 5
2.2 Rút gọn biểu thức B =
1

x
-
5

x
Thật vậy
Với x-1

0 hay x

1thì
1

x
=x-1
Với x-1<0 hay x<1thì
1

x

= -(x-1)=1-x
Với x-5

0 hay x

5 thì
5

x
= x+5
Với x-5<0 hay x<5 thì
5

x
=-(x-5) =5-x
áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu
sau:
X 1 5
x-1 - 0 + +
x-5 - - 0 +
Từ bảng xét dấu ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng của biến x
Nếu x<1 thì B =
1

x
-
5

x

10
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
=1-x-( 5-x)
=1-x-5+x
= - 4
Nếu 1

x<5 thì B =
1

x
-
5

x
=(x-1)-(5-x)
=x-1-5+x
=2x-6
Nếu x

5 thì B =
1

x
-
5

x
=(x-1)-(x-5)
=x-1-x+5 = 4

2.2 Rút gọn biểu thức B = /x
2
- 4x + 3/-5
Thật vậy: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x
2
4x + 3

f(x) có

' = 4 -3 = 1 > 0

x
1
= 1; x
2
= 3
Với 1 < x < 3

1.f(x) < 0

f(x) < 0
Với x

1 hoặc x

3

4f(x) > 0

f(x) > 0

Vậy ta xét hai trờng hợp ứng với ba khoảng của biến
Với 1 < x < 3 thì B = -(x
2
- 4x + 3) - 5
= - x
2
+ 4x - 3 - 5
= - x
2
+ 4x - 8
Với x

1 hoặc x

3 thì B = ( x
2
- 4x + 3) - 5
= x
2
- 4x + 3 - 5
= x
2
- 4x - 2
2.3. Giải phơng trình
1321
+=+
xxx
Thật vậy:
áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 tr-
ờng hợp ứng với 3 khoảng.

+ Nếu x < 1 ta đợc phơng trình: 1 - x + 2 - x = 3x + 1

3 - 2x = 3x + 1

5x = 2

x = 2/5 < 1 ( là nghiệm)
+ Nếu 1

x < 2 ta đợc phơng trình: x -1 + ( 2 - x) = 3x + 1

x = 0

[1, 2] ( không là nghiệm)
+ Nếu x

2 ta đựoc phơng trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1

x = - 4 < 2 ( không là nghiệm)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2/5
2.4. Giải phơng trình
512
=
x
Thật vậy:
áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
512
=
x

=
=
)2(512
)1(512
x
x
11
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
Giải 1:




=
=
==
)'2(62
)'1(62
62512
x
x
xx
Giải 1':
8862
===
xxx

( là nghiệm)
Giải 2':
==
462 xx
x không có giá trị
Giải 2:
42512
==
xx
( không có nghĩa)
Vậy phơng trình có hai ngiệm: x = 8 hoặc x = -8
2.5 Giải hệ phơng trình





=+
=
32
1
yyx
yx
Thật vậy:
Phơng trình thứ nhất đa đến tập hợp hai phơng trình:



=
=

1
1
yx
yx
hay



+=
=
)2(1
)1(1
xy
xy
Việc phân tích phơng trình thứ hai đa đến tập hợp 4 phơng trình
theo các khoảng xác định.
Theo dạng của phơng trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là
1

x

3 và
32

y
, từ đó - 2

x

4 và -1

y

5
Với - 2

x

1 ta có:
Với -1

y

2, 1 - x + 2 - y = 3 hay là x + y = 0 (I)
Với 2

y

5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II)
Với 1

x

4 ta có :
Với -1

y

2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)
Với 2

y

5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)
Giải 8 hệ phơng trình bậc nhất:
Hệ (1; I)
2
1
;
2
1
0
1
==



=+
=
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (1; II)



=
=
4

1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (1; III)



=
=
2
1
yx
yx
không có nghiệm
12
Giá trị tuyệt đối trong trờng THCS
Hệ (1; IV)
2
5
;
2
7
6
1
==



=+

=
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (2; I)
2
1
;
2
1
0
1
==



=+
=
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (2; II)



=
=
4

1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (2; III)



=
=
2
1
yx
yx
không có nghiệm
Hệ (2; IV)
2
7
;
2
5
6
1
==



=+
=
yx

yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
x
1
= 1/2; y
1
= -1/2 x
2
= 7/2; y
2
= 5/2
x
3
= -1/2; y
3
= 1/2 x
4
= 5/2; y
4
= 7/2
Bài tập luyện tập
Bài 10: Tìm x trong các biểu thức
a)
532
=
x
b)
735

=
xx
c)
131
=+
xx
d)
121
=+
xx
e)
3212
+=
xx
f)
0121
=+
xxx
g)
133
=+
xxx
h)
321
=+
xx
Bài 11: Tìm x trong các biểu thức
a)
211
=

x
b)
2
)3(3
=
xx
c)
211
=+=
xx
d)
422
=+++
xxx
e)
132
=+
x
f)
2323
22
=+
xxxx
g)
2
1 xx
=
h)
023214
=+

xxx
Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức:
13