Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ DUNG

ĐỀ TÀI
GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI
DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ DUNG

ĐỀ TÀI
GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI
DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành
Mã số

: LL và PPDH bộ môn Toán
: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Dũng

HÀ NỘI – 2017


LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. 7
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 8
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ...................................................................... 9
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3
4. Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu ............................... 3
4.1 Giả thuyết khoa học ............................................................................ 3
4.2 Ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu ............................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4
6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 4
7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 5
8. Đóng góp của luận văn.............................................................................. 6
9. Cấu trúc của luận văn ................................................................................ 6
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 7
1.1 Cơ sở lý luận .......................................................................................... 7
1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH ............................................................. 7
1.1.2 Lý luận về dạy học định lý và dạy học khái niệm .......................... 8
1.2 Cơ sở thực tiễn ..................................................................................... 31
1.2.1 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình
môn Giải tích ở trường ĐHSP................................................................. 31

1.2.2 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong phân phối
chương trình môn Toán ở trường THPT ................................................. 33
1.2.3 Những điểm khác biệt cơ bản trong việc trình bày nội dung này ở
phổ thông và đại học ............................................................................... 34
1.2.4 Một số điều cần lưu ý trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên
tục của hàm số ......................................................................................... 36
TÓM TẮT CHƯƠNG I ............................................................................. 38
Chương 2 : GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY
HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP
11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ........................................................................ 39
2.1 Khó khăn và sai lầm mà giáo viên và học sinh có thể gặp phải trong dạy
và học nội dung giới hạn và liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT ... 40
2.1.1 Khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội
dung giới hạn và liên tục ......................................................................... 40
2.1.2 Một số sai lầm mà giáo viên và học sinh có thể mắc phải trong dạy
và học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ............................. 42
2.2 Một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn và sai lầm
trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số................ 54
2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức seminar “Bàn về dạy học chủ đề Giới hạn và
tính liên tục của hàm số” trong tổ bộ môn Toán .................................... 54
2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức các hoạt động dự giờ hội giảng, giờ chuyên
đề…, với mục đích hiện thực hóa những vấn đề đã thảo luận trong
seminar .................................................................................................... 60


2.2.3 Biện pháp 3: Trực quan hóa các khái niệm trừu tượng trong dạy
học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số bằng việc sử dụng các
phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán ..................................................... 62
2.2.4 Biện pháp 4: Tăng cường khai thác và sử dụng các phản ví dụ

trong dạy học các khái niệm và định lí về giới hạn và tính liên tục của
hàm số; với mục đích giúp HS tiếp nhận và củng cố nội hàm của mỗi
khái niệm trừu tượng, ý nghĩa và điều kiện áp dụng mỗi định lí ............ 70
2.2.5 Biện pháp 5: Xây dựng hệ thống bài tập có tính chất phân bậc cho
mỗi nội dung cụ thể trong dạy học chuyên đề Giới hạn và tính liên tục
của hàm số; với mục đích giúp HS dần dần tiếp nhận và củng cố các khái
niệm trừu tượng ....................................................................................... 74
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2............................................................................ 80
Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM........................................................... 81
3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm ........................................................... 81
3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm .......................................................................... 81
3.3 Nội dung, cách thức tổ chức thực nghiệm sư phạm.............................. 82
3.3.1 Thực nghiệm sư phạm đợt 1 .......................................................... 82
3.3.2 Thực nghiệm sư phạm đợt 2 .......................................................... 84
3.4 Kết luận chung về thực nghiệm ............................................................ 91
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 93
PHỤ LỤC ............................................................................................................ 95
Phụ lục số 1 : phiếu điều tra GV ................................................................. 95
Phụ lục số 2 : Phiếu thăm dò ý kiến GV ..................................................... 97


Phụ lục số 3 : Giáo án thực nghiệm .......................................................... 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 112


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những
trích dẫn trong luận văn đều chính xác và trung thực.Các số liệu, kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Dũng,
người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin cảm ơn quý lãnh đạo, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học trường ĐHSP Hà
Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học của mình.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến BGH trường THPT Mỹ Lộc cùng tập thể học sinh
lớp 11A5 đã giúp đỡ tôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm luận văn.
Cuối cùng tôi xin chân thành biết ơn những người thân trong gia đình và
những người bạn thân thiết đã cỗ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học
tập của tôi.


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
SGK

:Sách giáo khoa

THPT

: Trung học phổ thông

GV

: Giáo Viên

HS

: Học sinh

TXĐ

: Tập xác định


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thứ nhất: Xuất phát từ mục tiêu, yêu cầu của giáo dục phổ thông.
Trong công cuộc đổi mới đất nước, Đảng và Nhà nước ta đã nhấn mạnh yếu
tố con người, phát triển con người toàn diện để đáp ứng yêu cầu của sự
nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và thích nghi với xu thế toàn
cầu. Điều 2 mục 27 chương 2 luật GD 2005 quy định: “Mục tiêu của giáo dục
THPT là nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của THCS,
hoàn thiện học vấn phổ thông, có hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng
nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân,
tiếp tục học CĐ-ĐH, trung học chuyên nghiệp hoặc học nghề và đi vào cuộc
sống lao động”.
Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học cho thấy việc dạy học
không chỉ đơn giản là cung cấp tri thức có sẵn mà phải là giúp cho học sinh
có tư duy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và ứng dụng
thông tin vào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, thích ứng với
những thay đổi trong cuộc sống, có năng lực hợp tác và chuyển đổi năng lực.
Thứ hai: Xuất phát từ thực tiễn
Một phần rất quan trọng của Toán học là Giải tích, Douglas(1986) đã viết:
“Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường là trung tâm của
Toán học, là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật
khác”. Đề cập đến vai trò của chủ đề Giới hạn SKG Đại số và Giải tích 11
(nâng cao) đã viết: “Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích.
Có thể nói không có Giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm

của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn”. Khi HS tiếp thu các tri thức của

1


Giới hạn đã xảy ra quá trình biến đổi về chất trong nhận thức của HS (vì ta đã
biết Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” còn khi
học về Giải tích kiểu tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”,
“liên tục”, “biến thiên”). Giới hạn là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề
gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên”. Chủ đề Giới hạn và tính liên
tục của hàm số có vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông bởi lẽ:
Khái niệm Giới hạn là cơ sở; hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái
niệm đạo hàm, vi phân và tích phân. Đó là những nội dung bao trùm chương
trình Giải tích ở THPT.
Đã có nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng nhiều HS khi học về chủ đề Giới hạn và
tính liên tục của hàm số, HS gặp phải khó khăn nghiêm trọng trong việc hiểu
được bản chất của các khái niệm. Ngay cả những GV có kinh nghiệm cũng
gặp nhiều khó khăn trong việc truyền thụ tri thức này cho HS, khi dạy về chủ
đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số. Thông thường, các thầy chỉ dạy qua
định nghĩa rồi đi thẳng vào luyện các bài tập. Hậu quả là rất nhiều HS phổ
thông sau khi tốt nghiệp vẫn không nắm và hiểu được bản chất, nội hàm của
các khái niệm về Giới hạn và tính liên tục của hàm số. Do đó, làm thế nào để
khắc phục những khó khăn trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục
của hàm số ? để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của mỗi khái niệm là một
nhu cầu của thực tiễn!
Từ những lý do trên đây với mong muốn góp phần giúp cho học sinh và giáo
viên khắc phục khó khăn, nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Giới hạn và
tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT, tôi chọn đề tài nghiên cứu : “Giải
pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên
tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông”

2


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu quá trình dạy học nội dung
Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT, từ đó đề xuất
một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn mà giáo viên và
học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung này
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy và học nội dung : “Giới hạn và tính liên tục của hàm số” ở lớp
11 trung học phổ thông.
4. Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu
4.1 Giả thuyết khoa học
Nếu các biện pháp đề xuất trong luận văn được áp dụng một cách thường
xuyên và hợp lý thì giáo viên và học sinh sẽ khắc phục được một số khó khăn
đang gặp phải trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm
số; từ đó nâng cao hiệu quả việc dạy và học nội dung này.
4.2 Ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu đề cập đến vấn đề đang được nhiều giáo viên dạy
môn Toán ở trường THPT quan tâm.
 Nếu việc nghiên cứu thành công thì kết quả nghiên cứu có thể áp dụng
cho việc dạy học các nội dung khác trong môn Toán ở trường THPT.
 Kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo
cho đồng nghiệp.

3


5. Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu trên luận văn có các nhiệm vụ sau:
 Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học.
 Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý, dạy học khái niệm.
 Nghiên cứu nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong
chương trình môn Toán ở trường THPT.
 Khảo sát, điều tra thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính
liên tục của hàm số ở lớp 11 các trường THPT hiện nay.
 Nghiên cứu nội dung giới Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong
chương trình môn Giải tích ở trường Đại học Sư phạm, để từ đó nhận ra
mối liên hệ hữu cơ, nhận ra mức độ yêu cầu về mặt kiến thức đối với
học sinh và sinh viên trong dạy học nội dung này và quan trọng hơn là
để GV khi dạy học nội dung này ở lớp 11 THPT tránh được những sai
lầm có thể mắc phải.
 Đề xuất một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn mà
giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung này.
 Tổ chức TNSP nhằm đánh giá hiệu quả và khả năng thực hiện một số
biện pháp cụ thể đã đề xuất trong luận văn.
 Viết luận văn và thông báo kết quả nghiên cứu trên các tạp chí khoa
học về giáo dục (nếu có thể)
6. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Luận văn chỉ hạn chế trong việc nghiên cứu việc dạy và học nội dung Giới
hạn và tính liên tục của hàm số trong Chương Giới hạn – Đại số và Giải tích
lớp 11 THPT; với mục đích đánh giá thực trạng, xác định khó khăn trong việc

4


dạy và học nội dung này làm căn cứ đề xuất “Giải pháp khắc phục một số khó
khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11
trung học phổ thông”.

7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
 Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH hiện nay.
 Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý, dạy học khái niệm.
 Nghiên cứu một số phương pháp dạy học không truyền thống.
Phương pháp quan sát điều tra
Thông qua việc nghiên cứu phân bố chương trình nội dung Giới hạn và tính
liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT, thông qua việc dự giờ, thông qua việc
trao đổi phỏng vấn một số GV đã và đang dạy lớp 11 THPT, thông qua việc
điều tra (bằng phiếu điều tra) học sinh đang học ở lớp 11 tại một số trường
THPT; để có thể:
 Đánh giá được thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính
liên tục của hàm số ở lớp 11 một số trường THPT hiện nay.
 Tìm hiểu và xác định một số khó khăn mà GV và HS đang gặp phải
trong việc dạy và học nội dung này.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm và dùng phương pháp thống kê toán học đánh giá kết
quả thực nghiệm nhằm xác định tính hiệu quả và khả năng thực hiện trong
thực tiễn các biện pháp nêu ra trong luận văn.

5


8. Đóng góp của luận văn
Luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau đây:


Trình bày lại một cách có hệ thống những vấn đề có liên quan tới đề tài
nghiên cứu như: định hướng đổi mới phương pháp dạy học, một vài vấn
đề về lí luận dạy học môn toán, nội dung Giới hạn và tính liên tục của

hàm số trong chương trình môn Giải tích ở Đại học Sư phạm và trong
chương trình môn Đại số và Giải tích ở lớp 11 THPT.



Điều tra khảo sát và nghiên cứu để xác định những khó khăn mà GV và
HS đang gặp phải; tìm hiểu và nghiên cứu để có thể dự đoán những sai
lầm mà HS và cả GV có thể mắc phải trong dạy và học nội dung Giới
hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT



Đề xuất một giải pháp có tính chất tổng thể với một số biện pháp cụ thể
dành cho GV và dành cho HS; với mục đích giúp cho GV và HS khắc
phục khó khăn và tránh được sai lầm có thể mắc phải.

9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới
hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

6


Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 Cơ sở lý luận
1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH
Đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học

sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Để đáp ứng được những yêu
cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức
trước nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng cạnh tranh trí
tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc đổi mới căn bản về
phương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục Phổ thông ở các
nước phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải vấn đề riêng
của nước ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng
cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực trong
giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế – Xã hội. Sự phát
triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra
đời nhiều thànhtựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúng vào thực tế cao,
rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục. Trong bối cảnh hội nhập
giao lưu, học sinh được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú,
từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực tế hơn nhiều, so
với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là học sinh THPT).
Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội dung,
phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướng đổi mới
phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau:
 Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi
mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học".

7


 Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phương pháp Giáo dục - Phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh;
phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp
tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động
đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh'. Như vậy, quan
điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay (và cũng

là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó có
phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là vấn
đề để tranh luận nữa là giúp cho học sinh học tập một cách tích cực,
chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là hướng tới học
tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh được suy
nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng
trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của
cuộc sống. Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương
pháp dạy học. Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện
nhiệm vụ trang bị cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy,
mà điều có ý nghĩa to lớn còn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện
cho học sinh tính tích cực, độc lập sáng tạo trong quá trình học tập, để
học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn thiện tri thức trong
hoạt động thực tiễn sau này.
1.1.2 Lý luận về dạy học định lý và dạy học khái niệm
(phần này được viết dựa trên việc tham khảo tài liệu [3])
1.1.2.1 Dạy học khái niệm toán học
a. Đại cương về định nghĩa khái niệm
Khái niệm

8


Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng do đó một khái
niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng xác
định khái niệm được gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính chung của lớp
đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật, nội hàm càng
được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái

niệm A được gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được
gọi là khái niệm loại của khái niệm A.
Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng
xác định khái niệm này với các đối tượng khác thường bằng cách vạch ra nội
hàm của khái niệm đó.
Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:
Từ mới
(biểu thị khái niệm mới)

(Những ) từ chỉ miền đã biết

Tân từ

(loại)

Ví dụ: “Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”.
Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình
chữ nhật còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của
khái niệm. Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái
niệm đó. Cố nhiều cách nêu đặc trưng của cùng 1 khái niệm tức là có thể định
nghĩa cùng 1 khái niệm theo nhiều cách khác nhau. . Chẳng hạn, hình vuông

9


ngoài định nghĩa đã nêu trong ví dụ trên, còn có thể được định nghĩa theo một
cách khác, ví dụ như “Hình vuông là hình thoi có một góc vuông”.
Trong định nghĩa theo cấu trúc đã nêu từ chỉ miền đối tượng hay loại phải

tương ứng với một khái niệm đã biết
Khái niệm không định nghĩa
Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã
biết.Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định
nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình
bình hành ta cần định nghĩa tứ giác… Tuy nhiên quá trình nay không thể kéo
dài vô hạn.Tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm
điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ, chẳng hạn người ta thừa
nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thuỷ.
Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả
giảo thích thông qua các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái
niệm này, hiểu được chúng 1 cách trực giác.
b. Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm
Vị trí của dạy học khái niệm
Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ở trường
phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho
học sinh một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học
cho học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các
kiến thức đã học.
Yêu cầu của dạy học khái niệm
Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho học sinh dần đạt được
những yêu cầu sau:

10


 “Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm.
 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho
trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết
thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi

một khái niệm cho trước.
 Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
 Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoại động
giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm
với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm, các
yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau với
mọi khái niệm” (Nguyễn Bá Kim- Vũ Dương Thụy, 1997, tr.180). Chẳng hạn,
khái niệm về "hướng của vecto" không được nêu thành định nghĩa một cách
tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm
sống của học sinh. Nhưng với các khái niệm "hàm số", "hàm số chẵn", "hàm
số lẻ",... thì lại yêu cầu học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách
chính xác và vận dụng được khi giải toán.
c. Những con đường tiếp cận khái niệm
Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn
tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả,
nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống có thuộc về
khái niệm đó hay không.
Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm đó là:
 Con đường qui nạp.
 Con đường suy diễn.

11


 Con đường kiến thiết.
Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên.


Con đường qui nạp

Theo con đường này, xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ (như vật thật, mô
hình, hình vẽ,…) giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng
hoá và khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện
ở những trường hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay
một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chương trình.
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể,
trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn
những thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi.
Qui trình tiếp cận 1 khái niệm theo con đường qui nạp:
 Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại
hoặc tác dụng của một đối tượng nào đó.
 Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những
đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét. Có thể
đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã
nêu.
 Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng
cách nêu tên và đặc điểm đặc trưng của khái niệm.
Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích
cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo cho họ
nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa. Tuy nhiên con đường này
đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải lúc nào cũng có điều kiện thực
hiện.

12


Con đường này nên thực hiện khi:
 trình độ nhận thức học sinh còn thấp.

 Vốn kiến thức còn chưa nhiều và thường được sử dụng trong điều kiện:
chưa phát hiện được một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con
đường suy diễn.
 Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm
cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
Ví dụ, để hình thành khái niệm về phép biến hình theo con đường quy nạp, ta
có thể làm như sau:
 Cho điểm O cố định, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' là
điểm đối xứng với M qua O.
 Cho một véc tơ

, với điểm M tùy ý hãy dựng điểm M' sao cho

MM '  a

Qua 2 hoạt động trên, học sinh nhận xét những đặc điểm giống nhau (với mỗi
điểm M đều có một quy tắc để chỉ ra điểm M' xác định) và khác nhau (thể
hiện ở nội dung của quy tắc ấy) ở hai hoạt động trên. Sau đó đi đến định nghĩa
phép biến hình là một quy tắc sao cho ứng với mỗi điểm M ta có thể chỉ ra
một điểm M hoàn toàn xác định.
Xét một ví dụ khác, trước khi phát biểu định nghĩa đường thẳng song song
với mặt phẳng, có thể cho học sinh giải quyết bài toán sau: "Chứng minh rằng
nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)
và nếu d không nằm trong (P) thì đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có
điểm chung". Sau đó đi đến định nghĩa "Đường thẳng d song song với mp(P)
nếu d song với một đường thẳng nằm trong (P) và d không nằm trong mặt
phẳng (P) ".

13

Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng phát triển
những năng lực trí tuệ như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh thuận lợi
cho hoạt động tích cực của học sinh. Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi phải
tốn nhiều thời gian và cần có các điều kiện đã nói trên.


Con đường suy diễn

Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm mới
xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:
Qui trình tiếp cận một khái niệm bằng con đương suy diễn:
 Xuất phát từ khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm
đó một số đặc điểm mà ta quan tâm.
 Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định
nghĩa nó bằng một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc
điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
 Đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm được định nghĩa.
Con đường này nên thực hiện khi:
 Trình độ nhận thức của học sinh đã khá hơn.
 vốn kiến thức đã nhiều lên.
 phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường
suy diễn.
Ví dụ: Có thể hình thành khái niệm phép vị tự cho học sinh theo con đường
suy diễn bằng cách dựa vào phép biến hình đã được học trước đó như sau:
"Cho một điểm O và số k ≠ 0, phép biến hình biến một điểm M bất kì thành
điểm M' sao cho

gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k".

14


Sau khi định nghĩa theo con đường này, cần thiết phải lấy ví dụ cụ thể để
chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại.
Ví dụ, sau khi phát biểu định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau a, b nên cho học sinh xác định đường vuông góc chung của
các cặp cạnh đối diện của một tứ diện đều, hoặc đường vuông góc chung của
các cặp đường thẳng AB và A'D', AA' và BD',... của hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'.
Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc
tập luyện cho học sinh tự học những khái niệm toán học thông qua sách và tài
liệu, hoặc nghe những báo cáo khoa học trên lĩnh vực toán học. Tuy nhiên,
con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng
lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá và khái
quát hoá.
Con đường thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làm
điểm xuất phát cho con đường suy diễn.
 Con đường kiến thiết
Qui trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết:
Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn. Yếu tố
suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng
một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy
nạp thể hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện
riêng lẻ, đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra
như sau:

15

Bước 1. Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được
hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định, xuất phát từ nội bộ
toán học hay từ thực tiễn.
Bước 2. Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới
những đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
Bước 3. Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả từ bước 2.
Ví dụ : Khái niệm cộng hai vectơ (Hình học 10).
Đây là một khái niệm mới mà ta không sử dụng con đường quy nạp để tiếp
cận được, bởi chưa hình thành được ngoại diên khái niệm.
Mặt khác, giáo viên cũng không sử dụng con đường suy diễn để tiếp cận khái
niệm này, bởi chưa phát hiện được một khái niệm “ loại ” nào để xuất phát. Vì
vậy con đường kiến thiết là con đường thích hợp nhất để hình thành khái niệm
này.
Để hình thành khái niệm cộng hai vectơ, ta có thể tiến hành như sau:
Bước 1: Xét ba lực cùng đặt từ điểm A của một vật rắn có độ lớn bằng nhau,
và đôi một tạo với nhau cùng một góc bằng 1200 . Chúng được biểu diễn bởi
các vectơ
E
F1

B

C

F1
F2

120 0

F3

D

16