Phương trình lọc tổng quát và ước lượng tuyến tính của quá trình ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN - TIN
————————–o0o————————–

CAO PHƯƠNG NGỌC

PHƯƠNG TRÌNH LỌC TỔNG QUÁT VÀ
ƯỚC LƯỢNG TUYẾN TÍNH CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

Chuyên ngành
Mã số
Học viên
Giảng viên hướng dẫn

:
:
:
:

Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
60.46.01.06
Cao Phương Ngọc
PGS.TS. Phạm Văn Kiều

HÀ NỘI - 2017


Mục lục
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

1.1

Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Quá trình Ito, tích phân Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Công thức Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu

nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 LỌC

13

2.1

Khái niệm lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Phương trình lọc tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Lọc của quá trình Markov khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4

Lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ . . . . . . . . . .

22

3 ƯỚC LƯỢNG TUYẾN TÍNH CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 31
3.1

Quá trình Wiener theo nghĩa rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Ước lượng tuyến tính tối ưu đối với một số lớp của quá trình không
dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

3.4

31

42

Ước lượng tuyến tính của quá trình dừng yếu theo nghĩa rộng với
phổ hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

So sánh ước lượng tuyến tính tối ưu và ước lượng phi tuyến . . . .

56

2

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3


LỜI CẢM ƠN
Bài toán lọc có vai trò quan trọng trong lý thuyết điều khiển và dự báo. Bản
chất của nó là: cho một quá trình ngẫu nhiên hai chiều một phần quan sát được,
tại mỗi thời điểm bất kì phải ước lượng được thành phần không quan sát được
trên cơ sở thành phần quan sát được.
Khóa luận này trình bày về phương trình lọc tổng quát và ước lượng tuyến tính
của quá trình ngẫu nhiên. Nội dung của khóa luận được chia làm 3 chương gồm
các vấn đề sau đây:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung của
chương sau: Quá trình ngẫu nhiên, tích phân Ito, quá trình Ito, phương trình Ito,
công thức Ito, điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu
nhiên.
Chương 2: Trình bày khái niệm lọc, phương trình lọc tổng quát, lọc của quá

trình Markov khuếch tán và lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ.
Chương 3: Trình bày quá trình Wiener theo nghĩa rộng, lọc tuyến tính tối ưu
đối với một số lớp của quá trình không dừng, ước lượng tuyến tính của những quá
trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng với phổ hữu tỉ.
Qua bản khóa luận này, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo Khoa Toán
- Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy cô giáo ở bộ môn
Toán ứng dụng nói riêng đã dạy bảo và dìu dắt em trong những năm học vừa qua.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Phạm Văn Kiều, người
đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Em xin cảm ơn gia đình, bạn bè, những người luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập để em có thể hoàn thành bản khóa luận này.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi
làm khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp
ý, chỉ bảo tận tình từ thầy cô và bạn bè.
4


Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2017
Tác giả luận văn

Cao Phương Ngọc

5


MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý thuyết ước lượng tham số trong thống kê toán học có nhiều phương pháp:

phương pháp hợp lý cực trị, phương pháp mômen, phương pháp bình phương tối
thiểu hoặc dùng lý thuyết lọc tối ưu. Thực chất của lọc tối ưu là dùng kỳ vọng
điều kiện, tức là tìm hàm ước lượng y sao cho E(y − y)2 → 0. Ta suy ra y = E(y/x).
Ước lượng này chính là lọc tối ưu. Dựa trên cơ sở đó, tác giả tìm ước lượng
tham số của quá trình ngẫu nhiên bằng phương pháp sử dụng khái niệm lọc.
Vì những lý do trên, đề tài nghiên cứu của luận văn được lựa chọn là: “Phương
trình lọc tổng quát và ước lượng tuyến tính của quá trình ngẫu nhiên”.
II. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Vận dụng lý thuyết về lọc vào phương trình vi phân ngẫu nhiên và ước lượng
tham số của các quá trình ngẫu nhiên.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
• Phương trình lọc tổng quát.
• Ước lượng tuyến tính của quá trình ngẫu nhiên.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp giải tích, lọc tuyến tính tối ưu
V. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Nội dung luận văn gồm 75 trang trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung,
phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị để thực hiện nội dung của
chương sau: Quá trình ngẫu nhiên, tích phân Ito, quá trình Ito, phương trình Ito,
công thức Ito, điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu
nhiên.
6


Chương 2: Trình bày khái niệm lọc, phương trình lọc tổng quát, lọc của quá
trình Markov khuếch tán và lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ.
Chương 3: Trình bày quá trình Wiener theo nghĩa rộng, lọc tuyến tính tối ưu
đối với một số lớp của quá trình không dừng, ước lượng tuyến tính của những quá

trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng với phổ hữu tỉ.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng
dẫn tận tình của PGS. TS. Phạm Văn Kiều. Nhân dịp này em xin cám ơn Thầy
về sự hướng dẫn nhiệt tình và sự truyền thụ những kinh nghiệm trong quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện
thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi
mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này
được hoàn chỉnh hơn.

Hà Nội, ngày 10 tháng 06 năm 2017
Tác giả luận văn

Cao Phương Ngọc

7


Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1. (Quá trình ngẫu nhiên)
Quá trình ngẫu nhiên X là một họ các biến ngẫu nhiên X = (Xt , t ∈ T ⊂ R)
trong đó T là một tập các chỉ số thực, có thể hữu hạn đếm được hoặc vô hạn không
đếm được.
Nếu T = Z thì X = (Xt ) là một dãy biến ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.1.2. (Quá trình Wiener)
Cho không gian xác suất (Ω, F, P) và họ không gian các σ - đại số con {Ft , t ≥ 0}
của σ - đại số F . Quá trình ngẫu nhiên W = (Wt , t
Wiener tương ứng với họ (Ft , t
i) Quỹ đạo của Wt , t
ii) W = (Wt , Ft )t

0

0, Ft ) được gọi là quá trình

0) nếu:

0 là liên tục với mọi t (hcc).

là martingale bình phương khả tích với W0 = 0 và:
E[(Wt − Ws )2 /Fs ] = t − s,

t

s

Định nghĩa 1.1.3. (Quá trình Markov)
Ta nói X = (Xt , t

0) là một quá trình Markov nếu với mọi t1 < t2 < ... < tk < t

và với mọi i1 , ..., in ∈ T ta có:
P{Xt = i|Xt1 = i1 , Xt2 = i2 , ..., Xtk = ik } = P{Xt = i|Xtk = ik }

8


Định nghĩa 1.1.4. (Quá trình dừng theo nghĩa hẹp (dừng mạnh))
Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ∈ T ⊂ R1 ) là quá trình dừng (theo nghĩa hẹp)
nếu đối với bất kì sô thực h, phân phối hữu hạn chiều của nó không thay đổi khi
tịnh tiến một đoạn h, nghĩa là:
φt1 ,...,tn = φt1 +h,...,tn +h

với mọi t1 , ..., tn , t1 + h, ..., tn + h ∈ T .
Định nghĩa 1.1.5. (Quá trình dừng theo nghĩa rộng (dừng yếu))
Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t ∈ T ⊂ R1 ) là quá trình dừng (theo nghĩa rộng)
nếu tồn tại mômen cấp 1, cấp 2 và nó không thay đổi khi thực hiện phép tịnh tiến,
nghĩa là:
Eξt+h = Eξt
K(t + h, s + h) = K(t, s)

Định nghĩa 1.1.6. (Quá trình Gauss)
Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt , t

0) là một quá trình Gauss nếu mỗi tổ hợp

tuyến tính có dạng:
N

Z=

αi Xti
i=1

là một biến ngẫu nhiên chuẩn (biến ngẫu nhiên Gauss), với mọi (αi , ..., αi ) ∈ RN .
Nói cách khác, X là Gauss nếu mỗi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn.

1.2

Quá trình Ito, tích phân Ito

Định nghĩa 1.2.1. (Quá trình Ito)
Quá trình ngẫu nhiên liên tục ξ = (ξt , 0

t

T ) được gọi là quá trình Ito (liên

hệ với quá trình Wiener W = (Wt , Ft ), t ∈ [0, T ]) nếu tồn tại 2 quá trình không đoán
định trước được a = (at , Ft ) và b = (bt , Ft ), t ∈ [0, T ] sao cho:
T

|at |dt < ∞

P
0

9

=1


T

b2t dt < ∞

P

=1

0

và với xác suất 1 đối với 0

T thì:

t

t

ξt = ξ0 +

t

a(s, ω)ds +
0

b(s, ω)dWs
0

Định nghĩa 1.2.2. (Quá trình khuếch tán)
Quá trình Ito ξ = (ξt , t ∈ [0, T ]) được gọi là quá trình khuếch tán (liên quan đến
quá trình Wiener) nếu hàm a(s, ω) và b(s, ω) trong định nghĩa Ito là Ftξ - đo được
với hầu tất cả s, 0

s

t

Định nghĩa 1.2.3. (Tích phân Ito)
Giả sử f (t, ω) là quá trình ngẫu nhiên thỏa mãn: E f 2 (t, ω) < ∞ và Wt là
chuyển động Brown có quỹ đạo xác định trên [a, b].
Xét phân hoạch của [a, b]:
a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b

và tổng tích phân:
n−1

f (ti , ω) [Wti+1 − Wti ]

Sn (ω) =
i=0

Ta là mịn phân hoạch [a, b] sao cho:

max |ti+1 − ti | → 0

0 t n−1

Nếu tồn tại biến ngẫu nhiên S∗ (ω) sao cho:
E|Sn (ω) − S∗ (ω)|2 → 0,

n→∞

thì S∗ (ω) được gọi là tích phân Ito, kí hiệu:
b

I=

f (t, ω)dWt
a

S∗ (ω) là giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình của Sn (ω), kí hiệu:
S∗ (ω) = lim Sn (ω)
n→∞

Khi đó, Sn → S∗ trong L2 (ω, F, P) khi n → ∞.
Vì vậy, ta có thể định nghĩa tích phân Ito của quá trình ngẫu nhiên f (t, ω) là
giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình sau (nếu giới hạn đó tồn tại):
10


b

I=

n−1

f (t, ω)dWt =

a

1.3

lim

max|ti+1 −ti |→0 i=0

f (ti , ω) [Wti+1 − Wti ]

Công thức Ito

Định lí 1.3.1. Cho ξ = (ξt , Ft ), 0

T là quá trình ngẫu nhiên với vi phân:

t

dξt = a(t, ω)dt + b(t, ω)dWt

trong đó W = (Wt , Ft ) là quá trình Wiener, và hàm không đoán định trước a(t, ω),
b(t, ω) thỏa mãn:
T

|at |dt < ∞

P

=1

0
T

b2t dt < ∞

P

=1

0

Cho hàm f = f (t, x) là hàm đo được xác định trên [0; T ] × R1 , liên tục và có các
đạo hàm riêng liên tục ft (t, xt ), fx (t, xt ), fxx (t, xt ). Khi đó, quá trình f (t, ξt ) cũng
có vi phân ngẫu nhiên và:
df (t, ξt ) = ft (t, ξt )a(t, ω) + ft (t, ξt ) + fxx (t, ξt )b2 (t, ω) dt+ft (t, ξt )b(t, ω)dWt

(1.1)

Công thức (1.1) còn được gọi là công thức Ito.

1.4

Điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
ngẫu nhiên

Định lí 1.4.1.
 Cho phương trình vi phân ngẫu nhiên:
 dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dWt
 x(t ) = ξ
(0 t

t T)
0

(1.2)

0

Giả sử tồn tại 2 hằng số dương K và K sao cho:
i) (Điều kiện Lipschitz) Với mọi x, y ∈ Rd và t ∈ [t0 , T ]:
|f (x, t) − f (y, t)|2 ∨ |g(x, t) − g(y, t)|2

K|x − y|2

ii) (Điều kiện tăng tuyến tính) Với mọi x, y ∈ Rd × [t0 , T ] :
|f (x, t)|2 ∨ |g(x, t)|2
11

K(1 + |x|2 )


Khi đó phương trình vi phân (1.2) có nghiệm duy nhất thỏa mãn:
T

x(s)2 ds

E

∞

t0

trong đó tính duy nhất hiểu theo nghĩa: Nếu x(t) cũng là nghiệm của phương trình
(1.1) thì:
P[x(t) = x(t); ∀t ∈ [t0 , T ]] = 1

12


Chương 2

LỌC
2.1

Khái niệm lọc

Bài toán lọc
Cho (Ω, F, P )là không gian xác suất đầy đủ và (Ft , t ∈ [0, T ]) là họ không giảm
các σ - đại số con liên tục phải của F .
Giả sử (θ, ξ) là quá trình ngẫu nhiên hai chiều, quan sát được bộ phận, trong
đó θ = (θt , Ft ) là thành phần không quan sát được, còn ξ = (ξt , Ft ) là thành phần
quan sát được.
Bài toán lọc tối ưu đối với quá trình quan sát được bộ phận (θ, ξ) được hiểu là
xây dựng đối với mỗi thời điểm t, (0

T ) ước lượng bình phương trung bình

t

tốt nhất đối với hàm Ft - đo được h của (θ, ξ) trên cơ sở kết quả quan sát được
ξs , s

t.

Nếu Eh2t < ∞ thì ước lượng tối ưu dĩ nhiên là πt (h) = E(ht /Ftξ ). Không có giả
thiết gì đặc biệt về cấu trúc của quá trình (h, ξ), πt (h) xác định rất khó. Song dưới
một số giả thiết nhất định, thành phần của quá trình (h, ξ) là quá trình loại (2.1)
và (2.2). Ta có thể đặc trưng πt (h) với phương trình vi phân ngẫu nhiên cho ở (2.11)
và được gọi là phương trình lọc phi tuyến tối ưu.
Giả sử h = (ht , Ft ) được cho bởi phương trình:
t

ht = h0 +

Hs ds + xt

(2.1)

0

trong đó X = (xt , Ft )(t

T ) là martingale và H = (Ht , Ft )(t

t

|Hs |ds < ∞ (hcc).

nhiên với
0

13

T ) là quá trình ngẫu


Do Ft liên tục phải và theo định lý 4 (phần phụ lục), X = (xt , Ft ) có bản sao
liên tục phải. Quá trình ξ = (ξt , Ft ) được giả thiết là:
t

t

ξt = ξ0 +

As (ω)ds +
0

Bs (ξ)dWs

(2.2)

0

W = (Wt , Ft ) là quá trình Wiener .

Quá trình A = (At , Ft ) và B = (Bt , Ft ) được giả thiết sao cho:
T

|At (ω)|dt < ∞

P

=1

(2.3)

0
T

Bt2 (ξ)dt < ∞

P

=1

(2.4)

0

Phiếm hàm Bt (x)(0

t

T ), x ∈ G là Bt - đo được với t ∈ T và giả thiết thêm:
t

|Bt (x)−Bt (y)|2

|xs −ys |2 dK(s)+L2 |x1 −y1 |2

L1

(2.5)

0
t

L1 (1 + x2s )dK(s) + L2 (1 + x2t )

Bt2 (x)

(2.6)

0

2.2

Phương trình lọc tổng quát

Định lí 2.2.1. Giả sử quá trình ngẫu nhiên hai chiều (h, ξ) quan sát được bộ phận
được cho bởi (2.1), (2.2) và giả sử (2.3) - (2.6) thỏa mãn.
Giả sử:
sup Eh2t < ∞

(2.7)

EHt2 dt < ∞

(2.8)

EA2t dt < ∞

(2.9)

0 t T
T
0
T
0

Bt2 (x)

Khi đó đối với mỗi t, (0
t

πt (h) = π0 (h) +
0

C>0

(2.10)

T ) (hcc):

t
t

πs (H)ds + {πs (D) + [πs (hA) − πs (h).πs (A)].Bs−1 (ξ)}dW s

(2.11)

0

trong đó:
t

Wt =
0

dξs − πs (A)ds
Bs (ξ)

là quá trình Wiener (tương ứng với họ (Ftξ ), 0
với:

14

t

T ) và D = (Dt , Ft ) là quá trình


Dt =

d x, W
dt

t

(2.12)

Phương trình (2.11) được gọi là phương trình lọc tổng quát.
Chứng minh. Từ (2.9) và (2.10) suy ra:
T

E|At |dt < ∞,

|Bt (x)|

√

C>0

(2.13)

0

Do đó, E|At | < ∞ với hầu hết t, 0
giả sử rằng E|At | < ∞ với mọi t, 0

T . Không mất tính tổng quát, ta có thể

t
t

T . Khi đó, theo định lý 17 (phần phụ lục),

W = (W t , Ftξ ) là một quá trình Wiener và quá trình ξ = (ξt , Ftξ ) xác định bởi (2.2)

cho phép vi phân:
dξt = πt (A)dt + Bt (ξ)dW t

(2.14)

với:
πt (A) = E[At (ω)/Ftξ ]

Theo bất đẳng thức Jensen và (2.9):
T

T

EA2t dt < ∞

Eπt2 (A)dt

(2.15)

0

0

Cùng với (2.5), (2.6) và (2.10), ta có thể áp dụng định lý 19 (phần phụ lục).
Theo định lý 19 và bổ đề 7 (phần phụ lục), bất kì martingale Y = (yt , Ftξ ), 0

t

T

có một biến thể liên tục cho phép biểu diễn:
t

fs (ξ)dW s

yt = y0 +

(2.16)

0
T

fs2 (ξ)ds < ∞

với P

= 1 và trong trường hợp martingale bình phương khả tích,

0
T

Efs2 (ξ)ds < ∞.
0

Từ (2.1), (2.7) và (2.8) suy ra martingale X = (xt , Ft ) là bình phương khả tích.
Lấy kì vọng có điều kiện E(./Ftξ ) 2 vế của (2.1), ta thu được:
πt (h) = E(h0 /Ftξ )+E

t

Hs ds/Ftξ +E(xt /Ftξ )

(2.17)

0

Ta trình bày các bổ đề mang tính bổ trợ sau cho phép biến đổi vế phải của
(2.17) thành (2.11).
Bổ đề 2.2.2. Quá trình (E(h0 /Ftξ ), Ftξ ), 0
tích có biểu diễn:
15

t

T là martingale bình phương khả


E(h0 /Ftξ )

t

gsh (ξ)dW s

= π0 (h) +

(2.18)

0

với:
T

E [gsh (ξ)]2 ds < ∞
0

Chứng minh. Điều này được suy ra trực tiếp từ định lý 19 và định lý 2 (phần
phụ lục), cũng theo đó, martingale E(h0 /Ftξ ) có giới hạn phải với mỗi t, 0

t

T

(hcc).
Bổ đề 2.2.3. Quá trình (E(xt /Ftξ ), Ftξ ), 0

T là martingale bình phương khả

t

tích có biểu diễn:
E(xt /Ftξ ) =

t

gsx (ξ)dW s

(2.19)

0

với:
T

E [gsx (ξ)]2 ds < ∞
0

Chứng minh. Ta kiểm tra quá trình này là martingale theo cách giống bổ đề 13
(phần phụ lục). Tính bình phương khả tích được suy ra từ tính bình phương khả
tích của martingale X = (xt , Ft ). Sự tồn tại lim E(xs /Ftξ ) được suy ra từ định lý
s↓t

4 (phần phụ lục). Do đó kết luận của bổ đề được suy ra trực tiếp từ định lý 19
(phần phụ lục).
T

Bổ đề 2.2.4. Cho α = (αt , Ft ), 0

E|αt |dt < ∞

T là quá trình ngẫu nhiên với

t

0

và cho G là một σ− đại số con của F . Khi đó:
t

t

αs ds/G

E

=

0

E(αs /G)ds, 0

t

T

(hcc)

(2.20)

0

Chứng minh. Cho λ = λ(ω) là biến ngẫu nhiên G− đo được liên kết. Khi đó, áp
dụng định lý Fubini ta có:
t

t

E λ αs ds =
0

t

E[λαs ]ds =

0

t

E[λE(αs /G)]ds = E λ E(αs /G)ds
0

0

Mặt khác:
t

t

E λ αs ds = E λE
0

αs ds/G
0

Từ đó, theo tính bất kì của λ = λ(ω), ta thu được (2.20).

16


Bổ đề 2.2.5. Quá trình ngẫu nhiên:
t

Hs ds/Ftξ

E

t

πs (H)ds, Ftξ

−

0

,0

T

t

(2.21)

0

là martingale bình phương khả tích có biểu diễn:
t

Hs ds/Ftξ

E

t

t

−

0

gsH (ξ)dW s

πs (H)ds =
0

(2.22)

0

với:
T

2

gsH (ξ)

E

ds < ∞

0

Chứng minh. Tồn tại (hcc):
s
s↓t

s

Hu du/Fsξ

lim E

−

0

πu (H)du

(2.23)

0

được cho từ định lý 2 (phần phụ lục). Do đó, bổ đề được suy ra từ định lý 19 (phần
phụ lục) nếu nó được biểu diễn bởi quá trình cho bởi (2.21) là martingale (tính
bình phương khả tích được suy ra từ giả thiết (2.8)).
Cho s

t. Khi đó, theo bổ đề 2.2.4:
t

E E

t

Hu du/Fsξ −

=E

=E

t

Hu du/Fsξ + E

t

E πu (H)du/Fsξ du

0

s

t

0

s

Hu du/Fsξ − E πu (H)du/Fsξ du− E πu (H)du/Fsξ du

s

0

Hu du/Fsξ −

0

0

0
s

t

πu (H)du/Fsξ

(2.24)

Do đó:
s

πu (H)/Fsξ

E

s

du =

0

và với u

πu (H)du

(hcc)

(2.25)

0

s:

E[πu (H)/Fsξ ] = E E(Hu /Fuξ )/Fsξ = E Hu /Fsξ
Theo bổ đề 2.2.4:
t

E

Hu du/Fsξ =

s

t

E πu (H)du/Fsξ du

(2.26)

s

Từ (2.24) - (2.26) ta suy ra quá trình cho bởi (2.21) là martingale.
Ta trở lại chứng minh định lý từ (2.17), bổ đề 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5, ta nhận thấy:
t

t

πt (h) = π0 (h)+ πs (H)ds+ gs (ξ)dW s
0

(2.27)

0

và:
gs (ξ) = gsh (ξ)+gsx (ξ)+gsH (ξ)

với:
17

(2.28)


T

Egs2 (ξ)ds < ∞

(2.29)

0

Ta chỉ ra rằng với hầu hết t, 0

T ta có:

t

gs (ξ) = πs (D)+[πs (hA)−πs (h).πs (A)].Bs−1 (ξ)
t

Cho yt =

t

gs (ξ)dW s và zt =
0

(hcc)

(2.30)

λs (ξ)dW s với λ = (λs (ξ), Fsξ ) là quá trình ngẫu

0

nhiên liên kết được với |λs (ξ)|

C < ∞. Theo tính chất của tích phân ngẫu nhiên:
t

Eyt zt = E λs (ξ)gs (ξ)ds

(2.31)

0

Ước lượng Eyt zt theo cách khác, từ (2.27) ta có:
t

yt = πt (h) − π0 (h) −

πs (H)ds

(2.32)

0

Ta chú ý rằng:
Ezt π0 (h) = E π0 (h)E(zt /F0ξ ) = 0

(2.33)

và:
t

E zt

t

t

πs (H)ds =
0

E [zt πs (H)] ds =
0

E(zt /Fsξ )πs (H)

E

t

ds =

0

E[zs πs (H)]ds
0

(2.34)

Do đó, nhận thấy các giá trị ngẫu nhiên zt là Ftξ − đo được, ta có:
t

Eyt zt = Ezt πt (h) −

Ezs πs (H)ds
0
t

= E zt E(ht /Ftξ ) −

E zs E(hs /Fsξ ) ds

0
t

= E zt ht −

zs Hs ds
0

(2.35)

Ta sử dụng:
t

Wt =
0

t
dξs − πs (A)ds
As (ω) − πs (A)
= Wt +
ds
Bs (ξ)
B
(ξ)
s
0

(2.36)

Ta thu được:
t

zt = zt +

λs (ξ)
0

As (ω) − πs (A)
ds
Bs (ξ)

với:
t

zt =

λs (ξ)dWs
0

Từ (2.35) và (2.37) ta có:
t

Eyt zt = E zt ht −

zs Hs ds
0

18

(2.37)


t

= E zt ht −

zs Hs ds
0

t

+E ht

λs (ξ)
0

t
As (ω) − πs (A)
ds −
Bs (ξ)
0

s

λu (ξ)
0

Au (ω) − πu (A)
Bu (ξ)

Hs ds
(2.39)

Quá trình z = (zt , Ft ) là martingale bình phương khả tích.
Do đó:
Ezt h0 = E (h0 E(zt /F0 )) = Eh0 z0 = 0

(2.40)

và:
t

t

t

E zs Hs ds = E [E(zt /Fs )Hs ]ds = Ezt
0

0

Hs ds

(2.41)

0

Vì vậy, theo (2.1) và định lý 12 (phần phụ lục):
t

E zt ht −

t

zs Hs ds = E zt (ht − h0 −
0

Hs ds) = Ezt xt = E z, x

t

(2.42)

0

Theo định lý 11 (phần phụ lục):
t

λs (ξ)Ds ds

z, x t =

(hcc)

(2.43)

0

và do đó:

t

E zt ht −

t

zs Hs ds = E z, x t = E
0

t

λs (ξ)Ds ds = E
0

λs (ξ)πs (D)ds

(2.44)

0

Tính toán mục thứ hai của vế phải (2.39) ta thu được:
t

As (ω) − πs (A)
ds
Bs (ξ)
0
t
t
As − πs (A)

hs As − hs πs (A)
= E λs (ξ)
ds + E λs (ξ)[ht − hs ]
ds
Bs (ξ)
Bs (ξ)
0
0
t
t
πs (hA) − πs (h)πs (A)
As − πs (A)
= E λs (ξ)
ds+E λs (ξ)[ht −hs ]
ds
Bs (ξ)
Bs (ξ)
0
0

E ht

λs (ξ)

(2.45)

Lưu ý rằng:
t

ht −hs =

Hu du+(xt −xs )

(2.46)

s

và:
E(xt −xs /Fs ) = 0

(2.47)

Do đó:
t

As − πs (A)
ds
Bs (ξ)
0
t
t
As − πs (A)
As − πs (A)
= E λs (ξ)[xt − xs ]
ds + E λs (ξ)
Bs (ξ)
Bs (ξ)
0
0

E λs (ξ)[ht − hs ]

19

t

Hu du ds
s


t

s

=E

λu (ξ)
0

0

Au − πu (A)
du Hs ds
Bu (ξ)

(2.48)

Từ điều này và (2.45) ta suy ra:
t

Eht

As (ω) − πs (A)
ds
Bs (ξ)
t
s
πs (hA) − πs (h)πs (A)
Au (ω) − πu (A)
du Hs ds + E λs (ξ)
ds
λu (ξ)
Bu (ξ)
Bs (ξ)
0
0

λs (ξ)
0
t

=E
0

(2.49)

Từ (2.39), (2.44) và (2.49) ta có:
t

Eyt zt = E λs (ξ) πs (D) +

0

πs (hA) − πs (h)πs (A)
ds
Bs (ξ)

(2.50)

So sánh biểu thức này với (2.31) ta nhận thấy được tính đúng đắn của (2.30)
t

(hcc) với hầu hết t, (0

T ). Từ giá trị của tích phân

t

gs (ξ)dW s ở (2.25) không
0

đổi khi hàm gt (ξ) thay đổi trong họ các độ đo Lebesgue không, và phương trình
(2.30) có thể được đánh giá thỏa mãn (hcc) với hầu hết t, (0

t

T ). Vì thế, định

lý 2.2.1 được chứng minh.

2.3

Lọc của quá trình Markov khuếch tán

Xét bài toán ước lượng thành phần không quan sát được θt của quá trình
Markov khuếch tán 2 chiều (θt , ξt ), 0

T trên cơ sở các quan sát ξs , s

t

t.

Trên không gian xác suất (Ω, F, P) cho quá trình Wiener độc lập, xác định
Wi = (Wi (t)); i = 1, 2; 0

T , và vector ngẫu nhiên (θ0 , ξ0 ) độc lập với W1 , W2 .

t

Kí hiệu:
Ft = σ ω : θ0 , ξ0 , W1 (s), W2 (s), s

t

Theo định lý 5 (phần phụ lục), σ− đại số FtW là liên tục. Tương tự, ta cũng có
σ− đại số Ft là liên tục.

Cho (θ, ξ) = (θt , ξt ), 0

t

T là quá trình ngẫu nhiên với:

dθt = a(t, θt , ξt )dt+b1 (t, θt , ξt )dW1 (t)+b2 (t, θt , ξt )dW2 (t)
dξt = A(t, θt , ξt )dt+B(t, ξt )dW2 (t)
θ0 = θ0 ,

ξ0 = ξ0 ,

P (|θ0 | < ∞) = P(|ξ0 | < ∞) = 1

(2.51)
(2.52)
(2.53)

Nếu g(t, θ, x) biểu thị cho bất kì hàm nào trong các hàm: a(t, θ, x), A(t, θ, x), b1 (t, θ, x),
b2 (t, θ, x), B(t, x) thì nó được giả sử rằng:
20


|g(t, θ , x ) − g(t, θ , x )|2
g 2 (t, θ, x)

K(|θ − θ |2 + |x − x |2 )
K(1 + θ2 + x2 )

(2.54)

Từ các giả thiết trên và định lý 6 (phần phụ lục), ta suy ra các phương trình
cho ở (2.53) có nghiệm duy nhất là một quá trình Markov.

Do đó, nếu:
2

E θ0 + ξ0

2

<∞

(2.55)

<∞

(2.56)

thì:
2

sup E θt + ξt

2

t T

và theo (2.54):
sup E A2 (t, θt , ξt ) + B 2 (t, ξt ) < ∞

(2.57)

t T

Cho h = h(t, θt , ξt ) là một hàm đo được thỏa mãn E|h(t, θt , ξt )| < ∞. Sử dụng
định lý 2.2.1 , ta tìm một phương trình cho πt (h) = E[h(t, θt , ξt )/Ftξ ].
Sử dụng giả thiết (2.54) và (2.55) cho ở trên, ta giả sử rằng:
B 2 (t, x)

C>0

(2.58)

và các điều kiện sau được thỏa mãn: Hàm h = h(t, θ, x) là liên tục với các đạo hàm
riêng:
ht , h0 , hx , hθθ , hθx , hxx

(2.59)

sup Eh2 (t, θt , ξt ) < ∞

(2.60)

E[Lh(t, θt , ξt )]2 dt < ∞

(2.61)

t T

T
0

khi:

Lh(t, θ, x) = ht (t, θ, x) + hθ (t, θ, x)a(t, θ, x) + hx (t, θ, x)A(t, θ, x)
1
+ hθθ (t, θ, x)[b21 (t, θ, x) + b22 (t, θ, x)]
2
1
+ hxx (t, θ, x)B 2 (t, x)+hθx (t, θ, x)bs (t, θ, x)B(t, x)
2

(2.62)

Cuối cùng, ta giả sử rằng:
T

E[hθ (t, θt , ξt )]2 [b21 (t, θt , ξt )+b22 (t, θt , ξt )]dt < ∞

(2.63)

0
T

E[hx (t, θt , ξt )]2 B 2 (t, ξt )dt < ∞
0

21

(2.64)


Định lí 2.3.1. Nếu các giả thiết cho ở (2.54), (2.55), (2.58) - (2.61), (2.63) và
(2.64) được thỏa mãn, khi đó (hcc):

t

t

πt (h) = π0 (h)+ πs (Lh)ds+
0

πs (N h) +
0

πs (Ah) − πs (A)πs (h)
dW s
B(s, ξs )

(2.65)

với:
t

Wt =
0

là quá trình Wiener với lọc (Ftξ ); 0

dξs − πs (A)ds
B(s, ξs )

(2.66)

T và:

t

N h(t, θ, x) = hθ (t, θ, x)b2 (t, θ, x)+hx (t, θ, x)B(t, x)

(2.67)

Chứng minh. Theo công thức Ito:
t

h(t, θt , ξt ) = h(0, θ0 , ξ0 )+ Lh(s, θs , ξs )ds+xt

(hcc)

(2.68)

0

với:
t

2

t

hθ (s, θs , ξs )bi (s, θs , ξs )dWi (s)+ hx (s, θs , ξs )B(s, ξs )dW2 (s)

xt =
i=1 0

(2.69)

0

Theo các giả thiết đã cho, quá trình X = (xt , Ft ) là martingale bình phương khả
tích.
Tiếp đó, ta thiết lập:
t

x, W2

t

hθ (s, θs , ξs )b2 (s, θs , ξs ) + hx (s, θs , ξs )B(s, ξs ) ds

=

(2.70)

0

Theo công thức Ito, ta chỉ ra rằng:
t

W2 (s)hθ (s, θs , ξs )b1 (s, θs , ξs )dW1 (s)

xt W2 (t) =
0

t

+

xs + W2 (s)hθ (s, θs , ξs )b2 (s, θs , ξs ) + W2 (s)hx (s, θs , ξs )B(s, ξs ) dW2 (s)
0
t

+

hθ (s, θs , ξs )b2 (s, θs , ξs ) + hx (s, θs , ξs )B(s, ξs ) ds

(2.71)

0

Do đó, ta suy ra quá trình Y = (yt , Ft ) với:
t

yt = xt W2 (t)−

hθ (s, θs , ξs )b2 (s, θs , ξs ) + hx (s, θs , ξs )B(s, ξs ) ds

(2.72)

0

là một martingale.

2.4

Lọc tuyến tính tối ưu của dãy dừng với phổ hữu tỉ

Cho η(t), t = 0, ±1, ±2... là quá trình ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng (thực
hoặc phức) cho phép biểu diễn phổ:

22


π

eiλt .

η(t) =
−π

Pn−1 (eiλ )
.φ(dλ)
Qn−1 (eiλ )

(2.73)

trong đó đó φ(dλ) là độ đo (ngẫu nhiên) trực giao với:
Eφ(dλ) = 0; E|φ(dλ)|2 =
n−1

Pn−1 (z) =

dλ
2π

bk z k

k=0
n−1

Qn (z) =

ak z k

k=0

với an = 1; ak , bk ∈ R1 .
Giả sử mọi nghiệm của phương trình Qn (z) = 0 đều nằm trên đường tròn đơn
vị.
Từ (2.73) ta thấy quá trình η(t) có phổ hữu tỉ:
Pn−1 (eiλ )
fn (λ) =
Qn (eiλ )

2

(2.74)

Xây dựng từ độ đo φ(dλ) quá trình:
π

eiλ(t−1) .φ(dλ)

ε(t) =

(2.75)

−π

Ta có:
Eε(t) = 0
π

E|ε(t)|2 =
−π

dλ
=1
2π

và:
π

eiλ(t−s)

Eε(t)ε(s) =
−π

dλ
= δ(t, s)
2π

(2.76)

với δ(t, s) là kí hiệu của hàm Kronecker.

Từ (2.76) ta có chuỗi giá trị ε(t), t = 0, ±1, ... là chuỗi không tương quan lẫn
nhau.
Để thêm vào quá trình η(t) cho phép biểu diễn phổ cho bởi (2.73), ta định nghĩa
các quá trình mới η1 (t), ..., ηn (t) bởi công thức:
π

eiλt Wj (eiλ )φ(dλ)

ηj (t) =

j = 1, ..., n

(2.77)

−π

trong đó tần số đặc trưng Wj (z), j = 1, ..., n được chọn từ phương pháp đặc trưng:
23


Wj (z) = z −(n−j) Wn (z) +

n−1

βk z −(k−j+1) ; j = 1, ..., n − 1

(2.78)

k=j

Wn (z) = −z −1

n−1

ak Wk+1 (z) + z −1 βn

(2.79)

k=0
j−1

β1 = bn−1 ;

βj = bn−j −

βi an−j+1 ;

j = 2, ..., n

(2.80)

i=1

Từ (2.78) và (2.79) ta có:
Wj (z) = z −1 [Wj+1 (z) + βj ]

(2.81)

và:
Wn (z) = z −1 −

n−1

ak Wk+1 (z) + βn

(2.82)

k=0

Nhận thấy:
Wn (z) = z −1 −

n−1

n−1

ak z −(n−k−1) Wn (z) +

k=0

βj z −(j−k) + βn

(2.83)

j=k+1

và vì thế:

(n)

P (z)
Wn (z) = n−1
Qn (z)

(2.84)

(n)
(z) là một đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n − 1.
với Pn−1

Từ (2.81) − (2.84):
(j)

P (z)
Wj (z) = n−1
Qn (z)

(2.85)

(j)
với các đa thức Pn−1
(z) cũng có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n − 1, và theo (2.80):
(1)

Pn−1 (z) ≡ Pn−1 (z)

(2.86)

Khi đó: η1 (t) = η(t).
Định lí 2.4.1. Quá trình dừng (yếu) η(t), t = 0, 1, ... với phổ được cho bởi:

π

eiλt .

η(t) =
−π

Pn−1 (eiλ )
.φ(dλ)
Qn−1 (eiλ )

là một bộ phận của quá trình n chiều dừng yếu (theo nghĩa rộng) (η1 (t), ..., ηn (t));
η1 (t) = η(t) 
thỏa mãn hệ phương trình truy hồi:


 ηj (t + 1) = ηj+1 (t) + βj .ε(t + 1);

j = 1, ..., n − 1

(2.87)

n−1


 ηn (t + 1) = −

aj ηj+1 (t) + βn .ε(t + 1)
j=0

Quá trình ε(t); t = 0, ±1, ... cho phép biểu diễn:
π

eiλ(t−1) .φ(dλ)

ε(t) =
−π

24

(2.88)


Eηj (s).ε(t) = 0; s < t; j = 1, ..., n

(2.89)

và hệ số β1 , ..., βn được cho bởi (2.80).
Chứng minh. Chú ý rằng từ (2.84) và (2.85), mọi cực trị của hàm Wj (z) đều nằm
trên đường tròn đơn vị.
Sử dụng kết quả (2.77) và (2.78), (2.79), ta nhận thấy quá trình η1 (t), ..., ηn (t)
thỏa mãn hệ phương trình cho ở (2.87) − (2.88).
Ta thiết lập tính hiệu lực của (2.89).
Cho:



0




 0


A =  ...


 0


1

0

...

0

1

...

...

...

...

0

0

...



0

 

β

 1
0 



 β2 


...  ; B = 
 

 ... 

 
1 

β
n

−a0 −a1 −a2 ... −an−1

Khi đó ma trận biểu diễn hệ phương trình cho bởi (2.87) cho phép biểu diễn:
Yt = AYt−1 + Bεt

(2.90)

Cho t > s. Theo (2.90) và (2.76) ta có:
EYs ε(t) = AEYs−1 ε(t) = A2 EYs−2 ε(t) = ... = AN EYs−N ε(t)
Trong trường hợp này, với mỗi j; j = 1, ..., n:

|Eηj (s − N )ε(t)|

E|ηj

(s − N )|2

1
2 =

π

−π

(j)

Pn−1 (eiλ )
Qn (eiλ )

2

1
dλ 
2π

2
<∞

Vì thế, để chứng minh (2.89) ta cần chỉ ra:
lim AN = 0

N −→∞

(2.91)

(0 là ma trận 0).
Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình Qn (z) = 0, và vì thế
chúng nằm trên đường tròn đơn vị. Biến đổi ma trận A thành dạng Jordan:
A = CJC −1

khi các giá trị riêng của ma trận A nằm trên đường chéo chính của ma trận J. Cho
λ là một giá trị riêng của ma trận A. Khi đó, từ |λ| < 1, không thành phần nào của

25