Bài 8 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tim so giao diem voi đồ thị hàm so bac 3

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

BÀI GIẢNG 08.
TÌM GIAO ĐIỂM VỚI ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1.
Cho hàm số y  x 3  mx 2  m . Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Lời giải:
Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có cực đại và cực tiểu và ycđ. yct < 0
Thấy rằng y’  3x 2  2mx  x  3x  2m   0  x  0, x  
Hàm có cực đại và cực tiểu 

2m
3

2m
0m0
3

4m3  27m
3 3
 2m 
Khi đó: yc® . yct  y  0  . y  
 0  4m2  27  0  m 
  m
27
2
 3 

Vậy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi m 

3 3
2

Bài 2.
Cho hàm số (C): y  x3  3mx 2  mx và đường thẳng d: y  x  2 .
Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình sau:

x3  3mx2  mx  x  2  f  x   x3  3mx2   m  1 x  2  0
Điều kiện bài toán  f '  x   0 có 2 nghiệm phân biệt và điểm uốn của đồ thị hàm số y  f  x  nằm
trên trục hoành Ox.
-

Phương trình f '  x   3x2  6mx   m  1  0 có  '  9m2  3m  3  0 nên luôn có 2 nghiệm phân
biệt với mọi m
f ''  x   6x  6m  0  x  m  hàm y  f  x  có điểm uốn là:

U  m; 2m3  m 2  m  2   Ox
 2m3  m 2  m  2  0

  m  1  2m 2  m  2   0  m  1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Vậy m  1
Bài 3.
Cho hàm số (C): y  x3  3mx 2  mx và đường thẳng d: y  x  2 .
Tìm m để hàm số (C) cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Lời giải:
Giả sử (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 lần lượt lập thành cấp số nhân.
Khi đó ta có: g  x    x  x1  x  x2  x  x3 

 x1  x2  x3  3m

  x1 x2  x2 x3  x1 x3  m  1
x x x  2
 1 2 3
 x1  x2  x3  3m (1)

2

  x2 (3m  x2 )   m  1 (2)
x2

( x1 x3 ) x2  2 (3)
Do x1x3  x22 , (3)  x23  2  x2  3 2  m  1  4  3 2.3m  m  

5
33 2 1

15

32
 x1  x3  3m  x2   3
3
2

1
 x1 , x3 là nghiệm của phương trình:
Khi đó ta có: 
x x  3 4
 1 3
t 2  (

15
 3 2)t  3 4  0 . Dễ thấy phương trình này có 2 nghiệm phân biệt.
3 2 1
3

Vậy m  

5
3 2 1
3

Bài 4.
Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là
y   x 3  mx 2  m và y  kx  k  1 .

a. Định m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
b. Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng.
Lời giải:
Ta có: y '  – 3x 2  2mx
a. (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
mãn y(x1).y(x2) <0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Dễ thấy với m khác 0 thì phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt, khi đó ta có:
x1.x 2  0; x1  x 2 

2m
3

2
4
2
 2

 y  x1  .y  x 2    m 2 x1  m  m 2 x2  m    m2 ( x1  x2 )  m2   m4  m2
9

27
9
 9


Với m  0, ta có y  x1  .y  x 2   0  

4 2
27
3 3
m  1  0  m2 
 m
27
4
2

Vậy (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt khi m 
b. y" = – 6x + 2m , y" = 0  x =

3 3
2

m
3

(Cm) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.
 y = 0 có 3 nghiệm phân biệt và điểm uốn nằm trên trục hoành.




 




3 3
3 3
 m 
2
2

3
2
m
  m  m. m  m  0
y   0
9
3
 27
m


3 3
 m 
3 6
2
 
m 
2
2

 2m  1  0
 27

Bài 5.
Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là
y   x 3  mx 2  m và y  kx  k  1 .

a. Tìm điều kiện giữa k và m để (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt.
b. Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn bằng nhau.
Lời giải:
a. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Dk) là

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

– x 3  mx 2 – m  kx  k  1
 m  x 2 – 1  k  x  1  1  x 3
x  1  0

2
 m  x – 1  k  1 – x  x
x  – 1

 2
 x –  m  1 x  k  m  1  0 *
Do đó, (Dk) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1

 k  2m  3
 1 m 1 k  m 1  0



m 2  2m  3
2
 (m  1)  4(k  m  1)  0  k 

4
b. Vì (Dk) qua điểm K(–1,1)  (Cm) nên ta có:
(Dk) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau.

 m 2m3

 (Dk) qua điểm uốn  ;
 m  của (Cm)
 3 27



2m3
m 
 m  k   1  1
27
3



 k

2m3  27 m  27
9( m  3)


2m3  27 m  27
k


9( m  3)

Vậy  k  2m  3

2
 k  m  2m  3

4

Bài 6.
Cho Cm  : y  f  x, m  2x3  3 2m 1 x2  3 m  2 x  4
Tìm m để (Cm) cắt Ox tại x1  1  x2  x3
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của  Cm  : y  f  x, m với Ox là nghiệm phương trình

2 x3  3  2m  1 x 2  3  m  2  x  4  0    x   x 2   3m  2  x  4  0
 x  1  h  x   x 2   3m  2  x  4  0
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Ta có (Cm) cắt Ox tại x1  1  x2  x3 khi và chỉ khi h  x   x 2   3m  2  x  4  0 có 2 nghiệm x 2, x 3 thỏa
mãn 1  x 2  x 3

m  2  m   2
   3m  6  3m  2   0
   3m  6  3m  2   0
3





  x1  1 x2  1  0
  x1 x2   x1  x2   1  0
 7  3m  0
m 




2  x  x
2  3m  2
 x1  x2


1
2
1  2

Bài 7.
Cho hàsm ố y  x3  3mx 2  3  m2  1 x   m2  1 ( m là tham số)

(*).

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương .
Lời giải:
Hàm số (*) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi:
y '  0

 x1  0

 x2  0
y y  0
  x1   x2 
 y  0  0


(I)

Trong đó: y’  3  x 2 – 2mx  m2 – 1

y’  m2 – m2  1  1  0 với mọi m.
y’ = 0 khi x1  m – 1  x CD ; x 2  m  1  x CT

m  1  0
m  1  0

Do đó: (I)   2
 3  m  1 2
m  1 m2  3 m2  2m  1  0


 m 2  1  0

 
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 5 -