Một số bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng SKKN toán THPT

SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy chương trình lớp 12, bồi dưỡng học
sinh giỏi, và ôn thi đại học tôi nhận thấy các bài toán tìm tham số m để
đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện cho trước là một mảng toán tương đối
khó đối với học sinh, trong đó có dạng toán về giao điểm của đồ thị hàm
số bậc ba với một đường thẳng.
Để góp phần giúp các em có thêm tài liệu tham khảo, hiểu sâu hơn
và hệ thống được các dạng bài tập liên quan đến dạng toán này vì thế tôi
đã chọn đề tài “MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ
HÀM SỐ BẬC BA VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG”
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
Thường xuyên được phân công dạy lớp 12, bồi dưỡng học sinh
giỏi khối 12, cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi máy tính cầm tay và
thương xuyên ôn thi đại học cho các em nên tôi thường xuyên tiếp xúc
và tìm hiểu nghiên cứu loại toán này.
2. Khó khăn
Mới chỉ đưa ra một số dạng toán thường gặp thông qua các ví dụ,
chưa giải được các bài toán tổng quát.
3. Số liệu thống kê
Trước khi thực hiện chuyên đề học sinh khá lúng túng trong việc
giải cũng như lựa chọn phương pháp phù hợp để giải bài toán dạng này.
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận:
- Thông qua qua qua trình dạy học tôi đã tìm tòi góp nhặt,
nghiên cứu các dạng bài toán liên quan.
- Trong thực tiễn tôi đã vận khá tốt các nội dung củ chuyên
đề. Từ đó hình thành cơ sở nghiên cứu chuyên đề này.

2. Nội dung , biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
- Nội của đề tài được nghiên cứu trên cơ sở lí thuyết và bài tập mà
các em đã được học trong chương trình THPT
- Đề tài cho các em thấy được các dạng bài toán có chứa tham số
về giao điểm của hàm số bậc ba với một đường thẳng.Giúp cho học sinh
tự phát hiện và lĩnh hội kiến thức.
Phương pháp 1. Nhẩm một một nghiệm của phương trình hoành
độ giao điểm.
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 1
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Cho hàm số bậc ba
( )
3 2
: ( 0)C y ax bx cx d a
= + + + ≠
và đường thẳng
( )
: ' 'd y a x b= +

Đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ khi
phương trình hoành độ giao điểm của chúng có k nghiệm phân biệt, và
nghiệm đó chính là hoành độ của các giao điểm.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có:
( )
3 2 3 2
' ' ' ' 0ax bx cx d a x b ax bx c a x d b
+ + + = + ⇔ + + − + − =

( ) ( )

0 *a ≠
Nếu phương trình (*) có một nghiệm là
0
x
thì
( )
( )
( )
2
0 1 1 1
0
2
1 1 1
(*) 0

0 **
x x a x b x c
x x
a x b x c
⇔ − + + =
=

⇔

+ + =

1/ Phương trình (*) có 1 nghiệm
⇔
phương trình (**) vô nghiệm
hoặc có nghiệm kép

0
x
2/ Phương trình (*) có 2 nghiệm
⇔
phương trình (**) có một nghiệm
kép khác
0
x
hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là
0
x
3/ Phương trình (*) có 3 nghiệm
⇔
phương trình (**) có hai nghiệm
phân biệt khác
0
x
Các ví dụ:
VÍ DỤ 1: Cho hàm số
( )
( )
3 2 2 2
1 3 3y x m x m m x m= − + + + − + −
có đồ thị
(C) .Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành Ox tại
a/ 3 điểm phân biệt
b/ 2 điểm
c/1 điểm
Định hướng.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là.

( )
( )
3 2 2 2
1 3 3 0x m x m m x m− + + + − + − =
(1)
Nhận xét:
1x =
là một nghiệm của phương trình (1)
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 2
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Nếu ngay từ đầu các em không nhận thay x=1 là một nghiệm của
phương trình (1) thì các em có thể làm như sau:
Cho m nhận một số giá trị cụ thể, thay từng giá trị của m vào
PT(1), dung máy tính bỏ túi giải phương trình bậc ba nếu phương trình
nào cũng có chung một nghiệm thì đó có thể là một nghiệm cuả PT (1)
Chẳng hạn:
Cho m= 0 thì PT(1) trở thành
3 2
3 3 0− − + =x x x
có nghiệm
1; 1,7x x= ≈ ±
Cho m=1 thì PT(1) trở thành
3 2
2 2 0− − + =x x x
có nghiệm
1; 2x x= ± =
Ta nhận thấy với hai giá trị m khác nhau thì ta được hai phương trình cụ
thể đều có nghiệm chung là x =1. Vậy x= 1 có thể là một nghiệm của
phương trình (1)

Để chắc chắn x= 1 là nghiệm của (1) hay không ta cần thay x = 1 vào
phương trình (1), nếu thoả mãn thì
1x =
là một nghiệm cần tìm của
phương trình (1). Khi đó ta giải bài toán như sau.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là.
( )
( )
3 2 2 2
1 3 3 0x m x m m x m− + + + − + − =
(1)
Vì x = 1 là một nghiệm của phương trình (1) , ta có :

( )
( )
( )
2 2
2 2
(1) 1 3 0
1

3 0 1'
Pt x x mx m
x
x mx m
⇔ − − + − =
=

⇔


− + − =

Đặt
( )
2 2
3g x x mx m= − + −
,
( )
2
12 3∆ = −
g x
m
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục
hoành nên số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của (C) và trục hoành
Ox
a/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
⇔
Phương trình (1) có 3
nghiệm phân biệt , hay phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt khác 1
⇔
( )
( )
( ) { }
2
2
0
12 3 0 2 2
2;2 \ 1
1; 2

1 0
2 0
∆ >


− > − < <

 
⇔ ⇔ ⇔ ∈ − −
  
≠ − ≠
≠
− − ≠





g x
m m
m
m m
g
m m
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 3
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
b/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 2 điểm
⇔
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm ,

hay phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1 hoặc có 2 nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm là 1
+ Phương trình (1’) có nghiệm kép khác 1
⇔
( )
2
0
2; 2
12 3 0
2
2
2
1
2
∆ =

= = −

− =


⇔ ⇔ ⇔ = −
  
−
≠
≠
− ≠





g x
m m
m
m
m
m
m
.
+ Phương trình (1’) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 1
( )
( )
2
0
2 2
12 3 0
1
2; 1
2; 1
1 0
∆ >

− < <

− >


⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −
  
= = −

= = −
=




g x
m
m
m
m m
m m
g
Vậy m = -1 ; m = -2 thì (C) cắt Ox tại 2 điểm
c/ Đồ thị (C) cắt Ox tại 1 điểm
⇔
Phương trình (1) có đúng 1 nghiệm ,
hay phương trình (1’) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép là x = 1
( )
( )
2
2
0
12 3 0
( ; 2) (2; )
0
12 3 0
2
2
1

2
∆ <


− <

∈ −∞ − ∪ +∞


∆ =


⇔ ⇔ ⇔

− =

 

=



−


=
− =







g x
g x
m
m
m
m
m
m
Vậy với
( ) )
; 2 2;m

∈ −∞ − ∪ +∞

thì (C) cắt Ox tại 1 điểm .
VÍ DỤ 2: Tìm m để đồ thị hàm số
( )
3 2
3 2 2y x x m x m= + + + +
cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm.
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là

( ) ( )
( )
( )

( )
3 2
2
2
3 2 2 0 1
2
2 0
0 1'
+ + + + =
= −

⇔ + + + = ⇔

+ + =

x x m x m
x
x x x m
x x m
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm
⇔
phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt
⇔
phương trình (1’) có 2 nghiệm âm phân biệt khác -2
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 4
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG

⇔

( )
( )
( )
( ) ( )
1'
1'
1'
2
1 4 0
1
0
0
2
2
0
2 2 0
∆ = − >



= − <
<


⇔
 
≠ −


= <



− + − + ≠

m
S
m
m
P m
m
VÍ DỤ 3: (KHỐI A 2010)
Cho hàm số
( )
3 2
2 1 (14),y x x m x m= − + − +
m là tham số
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b/ Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ
1 2 3
, ,x x x
thoả mãn điều kiện
2 2 2
1 2 3
4x x x+ + <
Bài giải:
b/ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) và trục hoành
là:
( ) ( )
3 2

2 1 0 1− + − + =x x m x m
( )
2
1
0 1'
=

⇔

− − =

x
x x m
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi
phương trình (1’) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
Kí hiệu
( )
2
g x x x m= − −
và
1 2 3
1, ,x x x=
là các nghiệm của (1’)
Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi
( )
( )
( )
2
2 2
2 3

1 2 1 2
1 1
0
1 4 0
1
4 4
1
1 0 0 0 0
4
0
1 2 3 1
3
2 3
 
> − > −
∆ >


 
+ >



− < <
 
  
≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔
    
    
≠

+ < <

+ <
+ − <


 


 
g x
m m
m
m
g m m m
m
m m
x x
x x x x
VÍ DỤ 4: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
3 2 2 3
3 3= − + −y x mx m x m
(C)
luôn cắt (d):
y=3 3−x m
tại 3 điểm phân biệt . (m là tham số)
Định hướng:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d), ta có:
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 5
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
3 2 2 3
3 2 2 3
3 3 3 3
3 3( 1) 3 0
− + − = −
⇔ − + − − + =
x mx m x m x m
x mx m x m m
Đối với bài này khi cho m nhận một số giá trị cụ thể thì ta không tìm
được nghiệm chung
0
x
của các phương trình tương ứng như những ví
dụ ở trên. Khi đó ta thử nhẩm nghiệm của PT hoành độ giao điểm
theo m,
Chẳng hạn trong ví dụ 4 ta thấy x = m là một nghiệm của phương
trình.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
2 2
3 3 3 3 (1)
3 3( 1) 3 0
( )( 2 3) 0
(2)
2 3 0

− + − = −
⇔ − + − − + =
⇔ − − + − =
=

⇔

− + − =

x mx m x m x m
x mx m x m m
x m x mx m
x m
x mx m
Đặt
2 2
( ) 2 3= − + −g x x mx m
Ta có
3 0, m∆ = > ∀
Và
( ) 3 0,g m m= − ≠ ∀
Suy ra pt(2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác m, khi đó pt(1) luôn có
ba nghiệm phân biệt. Vậy (C) luôn cắt (d) tại ba điểm phân biệt.
(đpcm)
VÍ DỤ 5: Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2 2 2
2 2 1 1= − + − + −y x mx m x m m
cắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành dương.

Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

( ) ( )
3 2 2 2
2 2
2 2
2 2 1 1 0 (1)
( )( 1) 0
1 0 (2)
− + − + − =
⇔ − − + − =
=

⇔

− + − =

x mx m x m m
x m x mx m
x m
x mx m
Đặt
2 2
( ) 1= − + −g x x mx m
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 6
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Theo yêu cầu bài toán thì
0m <

và PT(2) phải có hai nghiệm phân
biệt âm, khác m
2
( )
2
2
0
0
0
0
4 3 0
2 2 2
0 1 0 1
3 3 3
0 0
1 1
( ) 0
1 0
g x
m
m
m
m
P m m m
S m
m m
g m
m

<


<



<
∆ >
− >



  
⇔ > ⇔ − > ⇔ − < < ⇔ − < < −
  
  
< <
  
< − ∨ >

≠
 
− ≠


VÍ DỤ 6: Tìm m để đồ thị hàm số
( )
3 2
2 1 9y x m x x= − + −
cắt trục hoành tại
3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Giải :
Đồ thị hàm số
( )
3 2
2 1 9y x m x x= − + −
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành một cấp số cộng
⇔
phương trình
( ) ( )
3 2
2 1 9 0 1− + − =x m x x
có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số
cộng.
Phương trình
( ) ( )
( ) ( )
3 2 2
2
0
2 1 9 0 2 1 9 0
2 1 9 0 1'
=

 
− + − = ⇔ − + − = ⇔

 
− + − =


x
x m x x x x m x
x m x
Phương trình (1’) có
1 2
. 9 0
c
x x
a
= = − <
nên luôn có 2 nghiệm trái dấu
Do đó hoành độ giao điểm của đồ thị với Ox sẽ là
1 0 2
0x x x< = <
Để
1 0 2
, ,x x x
lập thành 1 cấp số cộng
1 2 0
1
2 2 1 0
2
x x x m m⇔ + = ⇔ + = ⇔ = −
VÍ DỤ 7: Tìm m để đồ thị hàm số
( )
3 2 2
( ) 3 2 ( 4) 9
= = − + − + −
m
y f x x mx m m x m m C

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
cộng.
Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao
điểm thì ta không dễ dàng tìn ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 7
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
có thể sử dụng tính chất của cấp số cộng để tìm ra m, sau đó thay m cụ
thể vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài
toán.
Chú ý: Nếu đa thức
( )
3 2
( ) 0
= = + + + ≠
y f x ax bx cx d a
có các nghiệm là
1 2 3
; ;x x x
thì
( ) ( ) ( )
1 2 3
( )
= = − − −
y f x a x x x x x x
Giải:
Giả sử
( )
m

C
cắt Ox tại ba điểm phân biệt
1 2 3
; ;x x x
khi đó:
( ) ( )
( )
3 2 2
1 2 3
3 2 2 3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 2 ( 4) 9
3 2 ( 4) 9 ( ) ( )
− + − + − = − − −
⇔ − + − + − = − + + + + + −
x mx m m x m m x x x x x x
x mx m m x m m x x x x x x x x x x x x x x x
Từ đó ta có:
1 2 3
3+ + =x x x m
Vì
1 2 3
; ;x x x
tạo thành cấp số cộng nên
1 3 2
2x x x+ =
khi đó:

( )
1 2 3 1 3 2 2 2

3 3+ + = + + = = ⇔ =x x x x x x x m x m
Vì
2
x
là hoành độ giao điểm nên
2
2
( ) 0 0 0; 1f x m m m m= ⇔ − = ⇔ = =
Với m = 0 thì
3
( ) 0 0f x x x= = ⇔ =
(loại)
Với m = 1 thì

( )
( )
3 2
2
2
( ) 3 6 8 0
1 2 8 0
1
1 0
2
2 8 0
4
f x x x x
x x x
x
x

x
x x
x
= − − + =
⇔ − − − =

=

− =

⇔ ⇔ = −


− − =


=

Ta thấy các số: -2 ; 1 ; 4 tạo tành cấp số cộng với công sai bằng 3
Vậy m = 1 thoả mãn yêu cầu bài toán.
VÍ DỤ 8: Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
5 6 5 6= + − + − −
m
y x m x m x m C

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
nhân.
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 8

SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Giải:
Đồ thị hàm số
( ) ( ) ( )
3 2
5 6 5 6= + − + − −
m
y x m x m x m C
cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân
⇔
phương trình
( ) ( )
3 2
5 6 5 6+ − + − −x m x m x m
=0 (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành một
cấp số nhân.
Phương trình
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 2
2
5 6 5 6 0 ( 2) 3 3 0
2
2 0
3
3 3 0 1'
 
+ − + − − = ⇔ + + − − =

 
= −

+ =


⇔ ⇔ = −


+ − − =


=

x m x m x m x x m x m
x
x
x
x m x m
x m
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì
{ }
3; 2m
≠ − −
Trường hợp 1 :
3 2
< − < −
m
Để dãy số
; 3; 2− −m

lập thành 1 cấp số nhân thì
( )
2
.( 2) 3 9 / 2− = − ⇔ = −m m

Trường hợp 2 :
3 2− < < −m
Để dãy số
3; ; 2− −m
lập thành 1 cấp số nhân thì
2 2
3.( 2) 6 6− − = ⇔ = ⇔ = ±m m m

Trường hợp 2 :
3 2
− < − <
m
Để dãy số
3; 2;− − m
lập thành 1 cấp số nhân thì
( )
2
3. 2 4 / 3− = − ⇔ = −m m

Vậy với
{ }
9 / 2; 6; 4 / 3m = − ± −
thoả mãn yêu cầu bài toán.
VÍ DỤ 9: Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( ) ( )

3 2
( ) 3 1 5 4 8
= = − + + + −
m
y f x x m x m x C

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
nhân.
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 9
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Định hướng: Đối với bài toán này nếu xét phương trình hoành độ giao
điểm thì ta không dễ dàng tìm ra các nghiệm của phương trình, vì vậy ta
có thể sử dụng tính chất của cấp số nhân ,tìm ra m, sau đó thay m cụ thể
vào hàm số để kiểm tra lại và nhận giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Giải:
Giả sử
( )
m
C
cắt Ox tại ba điểm phân biệt
1 2 3
; ;x x x
khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
1 2 3
3 2 3 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
3 1 5 4 8
3 1 5 4 8 ( ) ( )
− + + + − = − − −
⇔ − + + + − = − + + + + + −
x m x m x x x x x x x
x m x m x x x x x x x x x x x x x x x x
Từ đó ta có:
1 2 3
. . 8=x x x
Vì
1 2 3
; ;x x x
tạo thành cấp số nhân nên
( )
2
1 3 2
.x x x=
khi đó:

( )
3
1 2 3 2 2
. . 8 2= = ⇔ =x x x x x
Vì
2
x
là hoành độ giao điểm nên
2
( ) (2) 0 2(2 ) 0 2f x f m m= = ⇔ − = ⇔ =

Với m = 2 thì

( )
( )
3 2
2
2
( ) 7 14 8 0
1 6 8 0
1
1 0
2
6 8 0
4
f x x x x
x x x
x
x
x
x x
x
= − + − =
⇔ − − + =

=

− =

⇔ ⇔ =



− + =


=

Ta thấy các số: 1 ; 2 ; 4 tạo tành cấp số nhân với công bội bằng 2
Vậy m = 2 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Phương pháp 2. Sử dụng đồ thị hàm số bậc 3 và vị trí cực trị.
Nếu trường hợp phương trình hoành độ giao điểm không dễ dàng
trong việc nhẩm nghiệm hay bài toán không có các điều kiện phức tạp về
toạ độ giao điểm thì ta có thể sử dụng đồ thị hàm số bậc ba để giải quyết
bài toán.
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 10
SKKN: MỘT SỐ BÀI TỐN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba
( )
3 2
: ( 0)C y ax bx cx d a
= + + + ≠
và
đường thẳng
( )
: ' 'd y a x b= +
đưa về bài tốn xét giao điểm của đồ thị
hàm số
( ) ( )
3 2
' : ' ' ( 0)C y ax bx c a x d b a= + + − + − ≠

với trục hồnh.
Hai đồ thị của hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại k điểm khi và chỉ
khi đồ thị hàm số (C’) cắt trục hồnh tại k điểm.
Bảng tóm tắt dạng đồ thị hàm số :
( ) ( )
3 2
0y f x ax bx cx d a
= = + + + ≠
a > 0 a < 0
y’ = 0 có hai
nghiệm phân biệt
⇔
2
4 0b ac∆ = − >
y’ = 0 có nghiệm
kép
⇔
2
4 0b ac∆ = − =
y’ = 0 vơ nghiệm
⇔
2
4 0b ac∆ = − <
1/ Đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 1 điểm
⇔






>



(h.1a)
2
(h.1b)
. 0
CĐ CT
f không có cực trò
f có cực trò
y y

∆ ≤


⇔
∆ >




>



'
'
0
0

. 0
y
y
CĐ CT
y y
2/ Đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 2 điểm
⇔
2
( .2)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y


=



∆ >

⇔

=


'
0
. 0

y
CĐ CT
y y
3/ Đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 3 điểm
⇔
2
( .3)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y


<



∆ >

⇔

<


'
0
. 0
y
CĐ CT

y y
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xn Mỹ Tr. 11
y
x0
I
y
x0
I
y
x
0
I
y
x
0
I
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
4/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ dương
⇔
1 2
( ) 2 0; 0
. 0
(0) 0
CÑ CT
f x coù cöïc trò x x
y y
y


> >

<


<

(h4)
5/ Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm
⇔

1 2
( ) 2 0; 0
. 0
(0) 0
CÑ CT
f x coù cöïc trò x x
y y
y

< <

<


>

(h5)

H.4 H.5

VÍ DỤ 10: Tìm m để đồ thị hàm số
3
( ) 3 1= = − + −y f x x x m
cắt trục hoành
Ox : y = 0
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 12
x"
0
C
x
1
(C)
y
CÑ
y
A
o
x
2
x
(h.3)
y
CÑ
x
0
x'
0
B
(C)
y

CÑ
y
A
x
0
o
x
1
B
x'
0
(y
CT
= f(x
0
) = 0)
x
(h.2)
(C)
A
x
0
O
x
y
(h.1a)
(C)
A
x
0

x
y
(h.1b)
x
1
o
x
2
y
CT
y
CÑ
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
a/ Tại 3 điểm phân biệt.
b/ Tại 2 điểm
c/ Tại 1 điểm
Bài giải
Nhận xét:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
( )
3
3 1 0 4x x m− + − =
Ta không nhẩm được nghiệm của phương trình (4)
Giải:
3
( ) 3 1= = − + −y f x x x m
Ta có
2
' 3 3y x= −

2
1
' 0 3 3
1
=

= ⇔ − ⇔

= −

x
y x
x
Do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
a/ Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt , ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. 0 1 . 1 0 1 3 0 1 3 0 1 3< ⇔ − < ⇔ − − − < ⇔ + − < ⇔ − < <
cd ct
y y y y m m m m m
b/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm,ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1
. 0 1 . 1 0 1 3 0
3
cd ct
m
y y y y m m
m
= −


= ⇔ − = ⇔ − − − = ⇔

=

c/ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
. 0 1 . 1 0 1 3 0 1 3 0
3
< −

> ⇔ − > ⇔ − − − > ⇔ + − > ⇔

>

cd ct
m
y y y y m m m m
m
Vì hàm số luôn có cực đại cực tiểu nên không xẩy ra trường hợp hàm số
luôn đồmg biến.
Nhận xét: Ví dụ 10 ta có thể sử dụng phương pháp 3,củng kha đơn giản.
VÍ DỤ 11: Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
( ) 18 2y f x x x mx m= = − + −
cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt
Nhận xét:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là

( )
3 2
18 2 0 *x x mx m− + − =
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 13
SKKN: MT S BI TON GIAO IM CA TH HM S BC BA
VI MT NG THNG
Nhn thy khụng nhm c nghim ca phng trỡnh (*) ny
Gii:
3 2
( ) 18 2y f x x x mx m= = +
2
3 2 18 , 1 54


= + =
y
y x x m m
th hm s
( )
= = +
3 2
18 2y f x x x mx m
ct trc honh ti 3 im
phõn bit




<

2
. 0
Cẹ CT
f coự cửùc trũ
y y
Ta cú
+ Hm s cú 2 cc tr
0y

=
cú 2 nghim phõn bit
1
0
54
y
m


> <
+ Ta cú
1 2
( ). 12
3 9 9


= +
ữ ữ

x
y y x m x

Gi s
1 2
;x x
l honh ca cỏc im cc tr thỡ
1 2
;x x
l nghim ca
phng trỡnh y= 0 hay
1 1
'( ) 0; '( ) 0y x y x= =
Suy ra

1 1
2 2
2
12
9
2
12
9

=
ữ


=
ữ

y m x

y m x
Do ú
2 2
1 1 1 2
2 2
. 0 12 0 12 6 0
9 9

< < <
ữ ữ

y y m x x m m

0
<
m
Vy m < 0 tho món yờu cu bi toỏn.
Nhn xột : Trong vớ d ny nu tớnh
.
cd ct
y y
theo vớ d 7 thỡ quỏ trỡnh tớnh
toỏn tr nờn phc tp, vỡ th ta s dng tớnh cht ca im cc tr ôNu
hm s cú o hm trờn khong (a;b) v t cc i hoc cc tiu ti
0
x
thỡ
0
'( ) 0f x =
ằ chỳ ý 3, trang 14 sgk gii tớc12, chng trỡnh chun

xut bn nm 2008. Nh xut bn BGD.
V D 12: Tỡm m th hai hm s y=
( )
3 2 2
3 3 1= + +f x x mx m x
(
m
C
)
v ng thng (
m
d
)
2
3= +y x m
ct nhau ti 3 im phõn bit cú honh
dng.
Ngi thc hiờn: Phan Thi Tõm- THPT Xuõn My Tr. 14
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
( )
( )
3 2 2 2
3 2 2 2
3 3 1 3
3 3 1 1 0 1
− + + = +
⇔ − − − + − =

x mx m x x m
x mx m x m
Đặt
( )
3 2 2 2
( ) 3 3 1 1 = = − − − + −y g x x mx m x m
có đồ thị (
m
C
’)
( )
2 2
' '( ) 3 6 3 1= = − − −y g x x mx m
;
Đồ thị (
m
C
) cắt (
m
d
) tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương khi
đồ thị (
m
C
’) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
⇔
1 2
( ) 2 0; 0
. 0
(0) 0

CÑ CT
y g x coù cöïc trò x x
y y
y

= > >

<


<


* Vì
( )
( )
2
2
( )
' 3 9 1 9 0,∆ = − + − = > ∀
g x
m m m
>0 nên hàm số luôn có hai cực trị
1 2
;x x
với mọi m.
( )
1
2 2
2

1
' 0 3 6 3 1 0
1
= −

= ⇔ − − − = ⇔

= +

x m
y x mx m
x m
* Gọi
1 2
;y y
là các giá trị cực trị thì
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
3 1
2 1 1
= − −
= − − +
y m m
y m m m

Khi đó,
.
CÑ CT
y y
=
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1 2 1− − − −m m m m
Do đó:

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
. 0 3 1 2 1 0
3; 1 1 2;1 3;1 2
CÑ CT
y y m m m m
m
< ⇔ − − − − <
⇔ ∈ − − ∪ − ∪ +
*
(0) 0y < ⇔
( ) ( )
2
1 0 ; 1 1;− < ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞m m
Vậy
( ) ( )
3; 1 3;1 2m ∈ − − ∪ +
thì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ dương

Chú ý:
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 15
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
* Hàm số f không có cực trị
⇔
Phương trình
( )
0f x
′
=
vô nghiệm hoặc
có nghiệm kép
⇔
( )
2
4 0
f x
b ac
′
′
∆ = − ≤
* Hàm số f có 2 cực trị
⇔
Phương trình
( )
0f x
′
=
có 2 nghiệm phân biệt

⇔
( )
2
3 0
f x
b ac
′
′
∆ = − >

Phương pháp 3. Phương pháp hàm số
Nếu phương trình hoành độ giao điểm
( )
, 0F x m =
biến đổi được về dạng
( ) ( )
f x g m=
trong đó:
*
( )
f x
là hàm số có đồ thị (C)
*
( )
g m
là hàm hằng (phụ thuộc tham số m) có đồ thị là đường thẳng d:
song song trục hoành và đi qua
( )
( )
0; g m

Khi đó ta có thể giải bài toán như sau:
Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2: Dựa vào BBT
⇒
Số giao điểm của (C) và d
VÍ DỤ 13: Biện luận theo tham số m số giao điểm của (
m
C
):
= − +
3
1
3
y x x m
và trục hoành Ox .
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

− + =
3
1
0
3
x x m
(*)
Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó
ta phải dùng phương pháp 2 hoặc phương pháp3. Tuy nhiên ta có thể
nhận xét thấy :
Phương trình
− + = ⇔ − + =

3
3
1
0
3 3
x
x x m x m
(**)
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 16
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Vì hàm số
( )
3
1
3
g x x x= − +
(C) không phụ thuộc vào tham số nên hình
dáng của đồ thị của hai hàm số ở hai vế của phương trình (**) ta đều có
thể biết được, từ đó ta suy ra được số giao điểm của chúng.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải.
Phương trình hoành độ giao điểm là:

− + = ⇔ − + =
3
3
1
0
3 3

x
x x m x m

Xét hàm số
( )
3
1
3
g x x x= − +
(C)
TXD: D = R
Ta có
( ) ( )
2
1
1, 0
1
x
f x x f x
x
=

′ ′
= − + = ⇔

= −

Bảng biến thiên:
x
−∞

-1 1
+∞
( )
f x
′

- 0 + 0 -
( )
f x
+∞

2
3

2
3
−

−∞
Số giao điểm của (
m
C
) với trục hoành là số giao điểm của đường cong
(C) với đường thẳng y = m
Từ bảng biến thiên ta có:
Với
2
3
2
3

m
m

>



< −


, (C) cắt trục hoành tại 1 điểm
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 17
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Với
2
3
2
3
m
m

=



= −


, (C) cắt trục hoành tại 2 điểm

Với
2 2
3 3
m− < <
, (C) cắt trục hoành tại 3 điểm
VÍ DỤ 14: Tìm m để đồ thị hàm số
( )
m
C
:
3 2
( ) 3y f x x x mx= = + + +
cắt
trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành

3 2
3 0x x mx+ + + =
(1)
Nhận thấy ta không thể nhẩm được nghiệm của phương trình này. Do đó
Tuy nhiên ta có thể nhận xét thấy :
Phương trình
3 2
3 2
3
3 0
x x
x x mx m
x
+ +

+ + + = ⇔ − =
(2)
Vì hàm số
3 2
3
( )
+ +
= =
x x
y g x
x
hoàn toàn lập được bảng biến thiên
Và đường thẳng y = - m song song với trục hoành.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là:

3 2
3 2
3
3 0
x x
x x mx m
x
+ +
+ + + = ⇔ − =
Xét hàm số
3 2
3
( )

+ +
= =
x x
y g x
x
( )
'
m
C
TXD : D =
{ }
\ 0D R
=
3 2
2
2 3
'( )
+ −
=
x x
g x
x
( )
( )
3 2 2
2
'( ) 0 2 3 0 1 2 3 3 0
1 0
1
2 3 3 0 ( )

= ⇔ + − = ⇔ − + + =
− =

⇔ ⇔ =

+ + =

g x x x x x x
x
x
x x VN
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 18
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bảng biến thiên
x
-∞ 0 1 +∞
y’ - - 0 +
y
+∞ +∞ +∞
-∞ 5
Để
( )
m
C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì đường thẳng y = -m
phải cắt
( )
'
m

C
tại ba điểm phân biệt.
Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 5 ⇔ m < - 5
VÍ DỤ 15: Tìm m để đồ thị hàm số
( )
m
C
:
( )
3 2
( ) 3 2 4y f x x x m x= = − + + +

cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: - 2 < x
1
< x
2
< x
3
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là:

( )
3 2
3 2
3 2 4
3 2 4 0
x x x
x x m x m
x
− + +

− + + + = ⇔ − =
Xét hàm số
3 2
3 2 4
( )
− + +
= =
x x x
y g x
x
( )
'
m
C
TXD : D =
{ }
\ 0D R
=
3 2
2
2 3 4
'( )
− −
=
x x
g x
x
( )
( )
3 2 2

2
'( ) 0 2 3 4 0 2 2 2 0
2 0
2
2 2 0 ( )
= ⇔ − − = ⇔ − + + =
− =

⇔ ⇔ =

+ + =

g x x x x x x
x
x
x x VN
Bảng biến thiên
x
-∞ -2 0 2 +∞
y’ - - 0 +
y
+∞ +∞ +∞
10
-∞ 2
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 19
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Để
( )
m

C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thoả mãn - 2 < x
1
< x
2
< x
3
thì đường thẳng y = -m phải cắt
( )
'
m
C
tại ba điểm phân biệt thoả mãn
- 2 < x
1
< x
2
< x
3
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 2 < - m < 10 ⇔ - 10 < m < -2
VÍ DỤ 16: Tìm m để đồ thị hàm số
( )
m
C
:
3 2
( ) 2 4y f x x x mx= = − + −
cắt
trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x
1

<-3 < x
2
< x
3
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là:

3 2
3 2
2 4
2 4 0
x x
x x mx m
x
− −
− + − = ⇔ − =
Xét hàm số
3 2
2 4
( )
− −
= =
x x
y g x
x
( )
'
m
C
TXD : D =

{ }
\ 0D R=
3 2
2
2 2 4
'( )
− +
=
x x
g x
x
( )
( )
3 2 2
2
'( ) 0 2 2 4 0 1 2 4 4 0
1 0
1
2 4 4 0 ( )
= ⇔ − + = ⇔ + − + =
+ =

⇔ ⇔ = −

− + =

g x x x x x x
x
x
x x VN

Bảng biến thiên
x
-∞ -3 - 1 0 + ∞
+∞
y’ - 0 + +
y
+∞ +∞ +∞
49/3
7 - ∞
Để
( )
m
C
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thoả mãn x
1
< -3 < x
2
< x
3
thì đường thẳng y = -m phải cắt
( )
'
m
C
tại ba điểm phân biệt thoả mãn
x
1
< -3 < x
2
< x

3
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 20
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m > 49/3 ⇔ m < - 49/3
VÍ DỤ 17: Tìm m để đồ thị hàm số
( )
m
C
:
( )
3 2
( ) 1 3 3 4y f x m x mx mx m
= = − − + − +

cắt trục hoành Ox tại một điểm.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là:

( )
3
3 2
3
4
1 3 3 4 0
( 1)
x
m x mx mx m m
x
−

− − + − + = ⇔ =
−
Xét hàm số
3
3
4
( )
( 1)
−
= =
−
x
y g x
x
( )
'
m
C
TXD : D =
{ }
\ 1D R
=
2
4
3(4 )
'( )
( 1)
−
=
−

x
g x
x
2
2
4
2
3(4 )
'( ) 0 0 4 0
2
( 1)
=

−
= ⇔ = ⇔ − = ⇔

= −
−

x
x
g x x
x
x
Bảng biến thiên
x
-∞ -2 11 2 +∞
y’ - 0 + + 0 -
y
+∞

4
1 1
4/9

- ∞
Để
( )
m
C
cắt trục hoành tại một điểm thì đường thẳng y = m phải cắt
( )
'
m
C
một điểm.
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
4
4/9
m
m
>


<

Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 21
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài tập:
Bài 1.Tìm m để đồ thị hàm số

( )
3 2
3 1 2 1y mx mx m x= + − − −
cắt trục hoành
Ox
a/ Tại 3 điểm phân biệt.
b/ Tại hai điểm
c/ Tại một điểm
Bài 2. Tìm m để đồ thị (C):
3 2
3 2= + + +y x x mx m
lần lượt của hai hàm
số
y = -x + 2
cắt nhau tại.
a/ 3 điểm phân biệt.
b/ 2 điểm
c/ 1 điểm
Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số
= − + + − −
3 2
(2 1) 2y x mx m x m
cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Bài 4. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
( )
3 2 2 3
: ( ) 3 3 1
= = − + − −

m
C y f x x mx m x m
cắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt , trong đó có đúng hai điểm có hoành độ
âm
Bài 5 Xác định m để (C
m
) cắt trục hòanh tại 3 điểm phân biệt
y = (x - 1)(x
2
+ mx + m)
Bài 6: Cho hsố
= − + − +
3 2 2
3 3( 1) 3y x mx m x m
có đồ thị là (C
m
) ( m là tham
số). Xác định m để (C
m
) cắt trục hòanh tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số: y = x
3
- 3x + 2.
Gọi d là đt qua A(3; 2) và có hệ số góc là m. Tìm m để dt đó cắt (C ) tại
3 điểm phân biệt
Bài 8: Cho h/s:
3 2
3 ( 2) 2 ( )
m

y x x m x m C
= + + + +
Tìm m để (C
m
)
a) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b
b) Cắt trục hoành tại 3 đ p/b có hoành độ âm
c) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ dương
d) Cắt trục hoành tại 3 điểm p/b có đúng 2 hoành độ âm
e) Có hai điềm chung với Ox
f) cắt Ox tại một điểm
Bài 8: Cho h/s:
3 2
6 ( 2) 9 ( )
m
y x x m x m C
= + + + + +
. Tìm m để
a) (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm
b) (C
m
) cắt Ox tại ba điểm phân biệt . Chứng tỏ rằng ba điểm này đề có
hoành độ âm (C
m
)
c) Tiếp xúc với ox
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 22
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA

VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Bài 9: Cho hàm số
3 2
1y x mx= − +
xác định m sao cho đồ thị hàm số tiếp
xúc với đường thẳng y =5. Xác định tọa độ tiếp điểm?
Bài 10. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
m
C
: y = f(x) = x
3
- 3x
2
- 24x + m cắt
trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: - 4 < x
1
< x
2
< x
3
.
Bài 11. Tìm m để đồ thị hàm số
( )
m
C
:
( )
3 2
y f x x  2x mx 8

= = + + −

cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt thoả mãn: x
1
< - 1 < x
2
< x
3
.
Bài 12:Tìm m để đồ thị hàm số
( ) ( )
3 2
y f x x 7x mx 8
= = − + −
m
C
cắt trục
hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
Bài 13:Cho h/s:
3 2
(2 3) 9

y x m x x
= + − −
.Tìm m để đồ thị của hàm số sau cắt
trục hoành tại 3 điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng. Tìm cấp số đó
IV. KẾT QUẢ
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi nhận thấy khi học sinh
vận dụng được hướng suy nghĩ này, các em sẽ nhanh chóng giải quyết
được bài toán giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba nói riêng và bài toán

giao điểm của hai đồ thị nói chung. Giúp các em thấy được sự liên hệ
chặt chẽ giữa số giao điểm của hai đồ thị và số nghiệm của phương trình
hoành độ giao điểm của chúng từ đó mà có thể tự suy nghĩ giải quyết
được nhiều dạng bài tập khác .
Bài toán giao điểm của hai đồ thị là một bài toán quan trọng trong
chương trình toán THPT, nó thường xuyên có mặt trong các đề thi tốt
nghiệp cũng như đề thi đại học, cao đẳng. Vì vậy với đề tài này, hy vọng
nó sẽ giúp ích nhiều cho chất lượng của các em trong các đợt kiểm tra
cuối cấp.
V. BÀI HỌC KINH NGHIÊM.
Để giải các bài toán cụ thể cần rèn luyện cho mình khả năng nhận
xét bài trước khi bắt đầu làm bài, từ đó lựa chọn các phương pháp phù
hợp để có được kết quả của bài toán một cách nhẹ nhàng hơn, phát huy
được tính tích cực sáng tạo trong học tập. Từ đó giúp các em hiểu bài
một cách sâu sắc, điều đó cũng có nghĩa là các em sẽ nhớ bài lâu hơn!
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 23
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
VI. KẾT LUẬN
Đề xuất: Tổ chuyên môn triển khai chuyên đề trong toàn tổ để
phát huy được tình hiệu quả của chuyên đề củng như rút kinh nghiệm đề
khắc phục những phần còn hạn chế của chuyên đề này.
Học sinh có thể sử dụng chuyên đề này để rèn luyện cho minh kĩ
năng giải một số bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với
đường thẳng và các bài toán liên quan.
Trên đây là một vài kinh nghiệm do tôi góp nhặt và tìm tòi thêm.
Trong quá trình trình bày khó tránh khỏi một số sai sót.
Kính mong bạn đọc, đồng nghiệp đóng góp ý kiến nhiệt tình, để
chuyên đề của tôi hoàn thiện và hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

NGƯỜI THỰC HIỆN.
Phan Thị Tâm
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12- Xuất bản năm 2008, NXB Giáo
dục
2. Các bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán- Tập 1. Tác giả
Trần phương – NXB Đại học quốc gia Hà Nội
3. Phương pháp giải toán giải tích 12. Tác giả Trần Văn Kỷ –
NXd Đại học quốc gia TPHCM.
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 24
SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA
VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Người thực hiện: Phan Thị Tâm- THPT Xuân Mỹ Tr. 25