Bài 11 bài giảng chi tiết PP chieu bt hàm so tim GTLN NN

Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp chiều biến thiên hs tìm GTLN, GTNN

PHƯƠNG PHÁP CHIỀU BIẾN THIÊN HÀM SỐ TÌM GTLN, GTNN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG

Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Lý thuyết:
Phương pháp: Xét chiều biến thiên hàm số, sau đó so sánh các giá trị hàm số tại các điểm đặc biệt (là các
điểm cực đại, cực tiểu, các điểm đầu mút, các điểm không tồn tại đạo hàm,…). Từ đó suy ra các GTLN,
GTNN.
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. TSĐH khối D 2011.
Tìm GTLN,GTNN của hàm số y 

2 x 2  3x  3
trên [0;2]
x 1

Hướng dẫn giải:
Ta có:
y' 

 x  0  [0; 2]
2 x2  4 x
0

2
( x  1)

 x  2  [0; 2]

17
 x2
3
min y  min{ y (0); y (2)}  3  x  0.
max y  max{ y (0); y (2)} 

Ví dụ 2. TSĐH khối B 2004
ln x 2
, x  [1; e3 ]
Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x) 
x

Hướng dẫn giải:
Ta có:

f '( x) 

x  1
ln x(2  ln x)
0
2
2
x
x  e

 min f ( x)  min{ f (1); f (e 2 ); f (e3 )}  0  x  1.
4
max f ( x)  max{ f (1); f (e 2 ); f (e3 )}  2  x  e 2 .

e
Ví dụ 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  4  x2 ..
Hướng dẫn giải:
TXĐ: 2  x  2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp chiều biến thiên hs tìm GTLN, GTNN


 f ( x)  2
 x  2
Ta có: 

 min f ( x)  2 tại x = -2.
2

 4  x  0  f (2)  2

Ta CM f ( x )  2 2 :

f ( x)  2 2  4  x2  2 2  x  4  x2  (2 2  x)2  ( x  2)2  0 (vì x  2  2 2  x  0 )
Vậy max f x   2 2 tại x  2

Ví dụ 4. Tìm GTLN, NN của f ( x)  x 6  4(1  x 2 )3 trên [-1;1]
Hướng dẫn giải:
Đặt:
t  x 2  [0;1]
2
 F (t )  t 3  4(1  t )3  F '(t )  9t 2  24t  12  0  t1  ; t2  2
3
2
2
4
2
2
 min f ( x)  min F (t )  min{F (0); F ( ); F (1)}  F ( )   t   x  
3
3 9
3
3
2
max f ( x)  max F (t )  max{F (0); F ( ); F (1)}  F (0)  4  t  0  x  0
3

Ví dụ 5. Cho x, y  0, x  y  1 . Tìm GTLN, GTNN của P 

x
y

y 1 x 1

Hướng dẫn giải:
Ta có:

P

x
y
( x 2  y 2 )  ( x  y ) 2  2 xy



.
y 1 x 1
xy  ( x  y )  1
2  xy

( x  y)2 1
 .C
4
4
 1
xy  t  0; 
 4
2  2t
6
P 
 f (t )  f '(t ) 
0
2t
(t  2) 2
1
2
1

1
 min P  min f (t )  f ( )   t   x  y 
4
3
4
2
max P  max f (t )  f (0)  1  t  0  x  0; y  1V x  1; y  0
Do 0  xy 

 
Ví dụ 6. Tìm GTLN, NN của f ( x)  sin x cos 3 x trên 0; 
 2

Hướng dẫn giải:
Ta có:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học chuyên đề GTLN, NN – thầy Phan Huy Khải

Phương pháp chiều biến thiên hs tìm GTLN, GTNN

f 2 ( x)  sin 2 x cos 6 x  (1  cos 2 x) cos 6 x
t  cos 2 x   0;1
 F (t )  (1  t )t 3  F '(t )  3t 2  4t 3  0  t  0, t 

3
4

3
3
27
27 3 3

 max F (t )  max{F (0); F ( ); F (1)}  F ( ) 
 max f ( x) 

x
4
4 256
256 16
6
3

min F (t )  min{F (0); F ( ); F (1)}  F (0)  F (1)  0  min f ( x)  0  x1  ; x2  0.
4
2
Ví dụ 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  1  sin x  1  cos x
Hướng dẫn giải:
Do f(x) luôn dương nên ta có:

max f ( x)  max f 2 ( x); min f ( x)  min f 2 ( x)
Ta có:

f 2 ( x)  2  (sin x  cos x)  2 1  (sin x  cos x)  sin x cos x
t  sin x  cos x  ( 2; 2)

(1  2)t  2  2 khi  2  t  1
 f 2 ( x)  F (t )  2  t  2 | t  1| 
(1  2)t  2  2 khi 2  t  1
Khảo sát hàm số y = F(t) trên [  2; 2] ta có:
min F (t )  F (1)  1; max F (t )  max{F (  2); F ( 2)}  F ( 2)  4  2 2
 x    k 2
 min f ( x)  1  t  sin x  cos x  1  
(k  Z )
 x     k 2

2
max f ( x)  4  2 2  t  sin x  cos x  2  x 


4

 k 2 (k  Z )

Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 3 -