PP Chiều bt hàm số biện luận số nghiệm PT, BPT Vô tỉ

www.violet.vn/toan_cap3...................Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii
Các bài toán về nghiệm của PT, BPT vô tỉ chứa tham số
(Phng phỏp chiu bin thiờn hm s)
Bài 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
2 2
1 1x x x x m+ + + =
.
Giải: Xét hàm số
2 2
1 1y x x x x= + + +
+ Miền xác định D=
R
.
+ Đạo hàm
+
=
+ + +
= + + = + +
+ >



+ + = + +

2 2
2 2
2 2 2 2
2 1 2 1
'
2 1 2 1
' 0 (2 1) 1 (2 1) 1

(2 1)(2 1) 0
(vo nghiem)
(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)
x x
y
x x x x
y x x x x x x
x x
x x x x x x
+ y(0)=1>0 nên hàm số ĐB
+ Giới hạn

+
= =
+ + +
=
2 2
2
lim lim 1
1 1
lim 1.
x x
x
x
y
x x x x
y
+ BBT
x
- +

y +
y 1
-1
Vậy phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1.
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực
2 1x x m+ = +
Giải:
- Đặt
1; 0t x t= +
. Phơng trình đã cho trở thành:
2t=t
2
-1+m m=-t
2
+2t+1
- Xét hàm số y=-t
2
+2t+1; t0; y=-2t+2
x
0 1 +
y + 0 -
y 2
1
www.violet.vn/toan_cap3...................Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii
- Theo yêu cầu của bài toán đờng thẳng y=m cắt ĐTHS khi m2.
Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có đúng 2 nghiệm dơng:
2 2
4 5 4x x m x x + = +
.
Giải:

- Đặt
2
2
2
( ) 4 5; '( ) ; '( ) 0 2
4 5
x
t f x x x f x f x x
x x

= = + = = =
+
.
Xét x>0 ta có BBT:
x
0 2 +
f(x) - 0 +
f(x)

5
+

1
- Khi đó phơng trình đã cho trở thành m=t
2
+t-5 t
2
+t-5-m=0 (1).
- Nếu phơng trình (1) có nghiệm t
1

; t
2
thì t
1
+ t
2
=-1. Do đó (1) có nhiều nhất 1
nghiệm t1.
- Vậy phơng trình đã cho có đúng 2 nghiệm dơng khi và chỉ khi phơng trình
(1) có đúng 1 nghiệm t
(1; 5)
.
- Đặt g(t)=t
2
+t-5. Ta đi tìm m để phơng trình g(t)=m có đúng 1 nghiệm t
(1; 5)
.
f(t)=2t+1>0 với mọi t
(1; 5)
. Ta có BBT sau:
t
1
5
g(t) +
g(t)

5
-3
Từ BBT suy ra -3<m<
5

là các giá trị cần tìm.
Bài 4: Xác định m để phơng trình sau có nghiệm
2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ + = + +
.
Giải:
- Điều kiện -1x1. Đặt
2 2
1 1t x x= +
.
- Ta có

2 2
2 4
1 1 0; 0 0
2 2 1 2 2; 2 1
x x t t x
t x t t x
+ = =
= = =
2
www.violet.vn/toan_cap3...................Cỏc chuyờn bi dng hc sinh gii
- Tập giá trị của t là
0; 2


(t liên tục trên đoạn [-1;1]). Phơng trình đã cho trở
thành:
2
2

2
( 2) 2 (*)
2
t t
m t t t m
t
+ +
+ = + + =
+
- Xét
2
2
( ) ;0 2.
2
t t
f t t
t
+ +
=
+
Ta có f(t) liên tục trên đoạn
0; 2


. Phơng
trình đã cho có nghiệm x khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm t thuộc
0; 2


0; 2 0; 2

min ( ) max ( )f t m f t



.
- Ta có
2
2
0; 2 0; 2
4
'( ) 0, 0; 2 ( ) 0; 2 .
( 2)
Suy ra min ( ) ( 2) 2 1;ma x ( ) (0) 1
t t
f t t f t NB
t
f t f f t f




=

+
= = = =
.
- Vậy
2 1 1.m
Bi 5: Tỡm m bt phng trỡnh
3 1mx x m +

(1) cú nghim.
Gii:
t
3; [0; )t x t= +
. Bt phng trỡnh tr thnh:
2 2
2
1
( 3) 1 ( 2) 1
2
t
m t t m m t t m
t
+
+ + + +
+
(2)
(1)cú nghim (2) cú nghim t0 cú ớt nht 1 im ca THS y=
2
1
2
t
t
+
+

vi t0 khụng phớa di ng thng y=m.
Xột y=
2
1

2
t
t
+
+
vi t0 cú
2
2 2
2 2
'
( 2)
t t
y
t
+
=
+
t

1 3
0
1 3 +
+

y
- 0 + | + 0 -
y

3 1
4

+
T Bng bin thiờn ta cú m
3 1
4
+
.
Bi 6: Tỡm m phng trỡnh
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + + =
cú nghim.
Gii:
3
www.violet.vn/toan_cap3...................Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Đặt
( ) 3 6t f x x x= = + + −
với
[ 3;6]x ∈ −
thì
6 3
' '( )
2 (6 )(3 )
x x
t f x
x x
− − +
= =
− +
Bảng biến thiên:
x
-3 3/2 6 +∞
f’(x)

║ + 0 - ║
f(x)
| 3 2 |
3 3
Vậy t
[3;3 2]∈
. Phương trình (1) trở thành
2 2
9 9
2 2 2
t t
t m t m
−
− = ⇔ − + + =
(2).
Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (2) có nghiệm t
[3;3 2]∈

đường thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=
2
9
2 2
t
t− + +
với t
[3;3 2]∈
.
Ta có y’=-t+1 nên có
t
1 3

3 2

y’
+ 0 - | - |
y 3

9
3 2
2
−
Bài 7: Cho bất phương trình
2
1
(4 )(2 ) (18 2 )
4
x x a x x− + ≥ − + −
. Tìm a để bất
phương trình nghiệm đúng với mọi x
∈
[-2;4].
Giải:
Đặt
2
(4 )(2 ) 2 8; [0;3]t x x x x t= − + = − + + ∈
. Bất phương trình trở thành:
2 2
1
(10 ) 4 10
4
t a t a t t≥ − + ⇔ ≥ − +

.(2)
(1)ghiệm  (2) có nghiệm mọi t
∈
[0;3] đường thẳng y=a nằm trên ĐTHS
y=t
2
-4t+10 với t
∈
[0;3]
y’=2t-4; y’=0t=2
t 0 2 3
y’
| - 0 + |
y 10 7
6
Vậy m≥10.
4
www.violet.vn/toan_cap3...................Các chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi
Bài 8: Cho phương trình
4 2 2 2
( 1)x x x m x+ + = +
(1). Tìm m để PT có nghiệm.
Giải:
Phương trình đã cho tương đương
3 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
4( ) 4 ( 1) 4 2 2
4 2. ( ) 4
(1 ) (1 ) 1 1

x x x x x x x x
m m m
x x x x
+ + + +
= ⇔ = ⇔ + =
+ + + +
Đặt t=
2
2
1
x
x+
; t
∈
[-1;1].
Khi đó phương trình (1) trở thành 2t+t
2
=4m.
(1) có nghiệm  (2) có nghiệm t
∈
[-1;1]
Xét hàm số y=f(t)=t
2
+2t với t
∈
[-1;1]. Ta có f’(t)=2t+2≥0 với mọi t
∈
[-1;1].
t -1 1
f’

0 + |
f 3
-1
Từ BBT -1≤4m≤3
1 3
4 4
m⇔ − ≤ ≤
.
Bµi 9: Cho PT
1) 1 3 ( 1)(3 )x x x x m
+ + − − + − =
a) Giải pt khi m=2
b) Tìm m pt có nghiệm.
HDĐS:
ĐK:
. 1 3 ; 2 2 2
: 2( )
t x x t
vi a b a b a b
= + + − => ≤ ≤
+ ≤ + ≤ +
2
0( )
1) 2 : 2 0 1, 3
2
t l
m t t x x
t
=


= − = <=> => = − =

=

2) f(t) = -t
2
/2 + t +2 = m (1) . Lập bảng biến thiên : Tacó :
2 2 2 2.m− ≤ ≤
Bµi 10. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm:
2
9 9x x x x m
+ − = − + +
HD:
Bình phương : Đặt t=
(9 ) 0 9/ 2x x t− => ≤ ≤
KSHS
2
( ) 2 9 ; 9/ 2 9/ 4 10f t t t o t Ds m
= − + + ≤ ≤ − ≤ ≤
d)
Bµi 11. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm:
4 4
4
4 4 6x x m x x m
+ + + + + =
HDĐS: Đặt
4 2
4
4 0 : 6 0t x x m pt t t= + + ≥ + − =
5