Bài 17 hướng dẫn giải bài tập tự luyện cac bài toán ve khoảng cách phần 1

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Cho hàm số y 

2x 1
.
x 1

Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận của đồ thị nhỏ nhất
Lời giải:
Gọi M là 1 điểm thuộc đồ thị M ( x0 ;

2 x0  1
)
x0  1

TCĐ: x = -1; TCN : y = 2
Gọi d1  d  M0 , TCĐ   x 0  1 , d 2  d  M0 , TCN   y0 – 2 

Theo BĐT Cô si: d1  d 2  2 x 0  1 .

2 x0  1
1
2 
.

x0  1
x0  1

1
2
x0  1

 tổng đạt GTNN bằng 2 khi x 0  0  x 0  2.
Vậy có 2 điểm thỏa mãn là: M1  0;1 ; M2  2;3 .

x 2  3x  6
Bài 2. Cho hàm số y 
2  x  1
Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến các tiệm cận là nhỏ nhất.
Lời giải:

1
4 
Ta có y   x  2 
 . Tập xác định R\ 1 .
2
x 1 
Tiệm cận xiên : y 

1
 x  2
2

Tiệm cận đứng: x = 1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Giả sử M(x, y) là điểm thuộc đồ thị mà tổng các khoảng cách d = d1 + d2 trong đó d1 (tương ứng d2) là
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng (tương ứng tiệm cận xiên) là bé nhất.

Ta có d1 = x  1 , d 2 

và d  x  1 

4 

x  x 2
2
x 1 

1 2
2

2



4
5 x 1

4
5 x 1

Vậy d  2 x  1

4
4
4
5 x 1
5

Dấu bằng xảy ra khi x  1 

4
2
5 1 1
 x  1 4  y   4

2
5 x 1
5
5

Vậy các điểm cần tìm là: M(1 

2
5 1 1

; 4
 ).
2
5
5

4

Bài 3. Cho đồ thị của hàm số: y 

x2
.
x 3

Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.
Lời giải:
Giả sử M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị.
Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d 2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang

 d1 | x0  3 |; d 2 | y0  1|

5
| x0  3 |

Theo giả thiết ta có: d1  d2  x0  3  5  y0  1  5 .
Vậy có 2 điểm cần tìm: M1 (3  5;1  5); M 2 (3  5;1  5) .
Bài 4. Cho hàm số y 

3x  4

. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận.
x2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Lời giải:
Giả sử M ( x; y) thuộc đồ thị.
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang bằng nhau, tức là:

x2  y –3  x2 

x  1
3x  4
x
x
2  x2 

   x  2  
x2
x2
x2

x  4

Vậy 2 điểm cần tìm là: M1  1;1 ; M2  4;4 
Bài 5. Cho hàm số y 

2x 1
(C).
x 1

Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đồ thị là nhỏ nhất
Lời giải:
Lấy M  x 0 ; y0    C  .
TCĐ: x = -1; TCN : y = 2
Gọi d1  d  M0 , TCĐ  x 0  1 , d 2  d M 0 , TCN   y 0 – 2 .
Ta có:

d  d1  d 2  x 0  1  y0  2  x 0  1 

Dấu "=" xảy ra khi x0  1  3  y0  2

3 Cô  si
2 3.
x0  1 

3.

Vậy điểm cần tìm là: M1 (1  3 2  3); M 2 (1  3 2  3)
Bài 6. Cho hàm số y 

x 2  3x  6

2  x  1

Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục là nhỏ nhất.
Lời giải:

1
4 
Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x  1 và y   x  2 
.
2
x 1 
Tổng các khoảng cách từ M đến các trục là:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

f  x  x 

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

1
4
x2
, x   ,1  1,  
2

x 1

 1
4 
 x  2  x  2  x  1  víi x  1,+ 




 x  1  x  2  4  víi x   ,1



2
x 1 
TH1. Xét f(x) với x > 1
Ta có f '  x   1 

1
2
3
2
= 

2
2  x  1
2  x  12

f’(x) = 0   x  1 
2

4

3

2
2
, x  1
3
3

2 
2



f’(x) < 0 khi x  1,1 
,  
 và f’(x) > 0 khi x  1 
3
3





2 1
2
4 
2

 1 
2 
Vậy min f  x   1 
 khi x  1 
x 1
2 
3 2
3
3


3


TH2. Xét f(x) với 0  x < 1.

Khi đó

f  x 

x
2
1
2

 1, f '  x   
0
2 x 1
2  x  12

Vậy min f  x   f  0   3
0 x 1

TH3. Xét f(x) với x < 0.
Khi đó

1
4 
f  x    x   x  2  
2
x  1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

3
2
2
, f ' x  0  x  1
f ' x   
2
2  x  1

3
f’(x) < 0 khi x  1 

2
2
và f(x) > 0 khi x  1 
.
3
3

3
2 
2
1
Vậy min f  x    1 
1 
  2 3

x 0
2
2
2
3

3
So sánh ta thấy min f  x   f 0   3 .
x 1

Vậy M(0;-3) là điểm cần tìm.
Bài 7. Cho hàm số y 

x 1
(C)
2x 1

a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN
Lời giải:


1 3 1
    C  ; x0  0 .
a. Gọi M  x0  ;
2 4 x0 2 

Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là: d  x0 

Với x0  0  d 

1
3 1


2 4 x0 2

1 1
 1
2 2

1  3 1 

3 

    x0 
Với x0  0  d   x0    
 1  3 1
2   4 x0 2  
4 x0 

Dấu = xảy ra khi x0 

 3 1 3 1 
3
3
 x0 
 M 
;

4 x0
2
2 
 2

 3 1 3 1 
;
Vậy M 
 thì dmin  3  1
2 
 2
b. Khoảng cách từ M đến TCN, TCĐ lần lượt là: d1  x0 ; d 2 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

3
4 x0

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

 d  d1  d 2  x0 

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

3
3
3
 2 x0 .
 3 , dấu = xảy ra khi x0  
2
4 x0
4 x0

 3  1 3 1 
  3 1  3  1
Vậy: M 
;
;

 hoặc M 
 là các điểm cần tìm.
2
2
2
2




Bài 8. Cho hàm số y 

x 2  3x  6
2  x  1

Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (mỗi điểm thuộc một nhánh) sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ
nhất.
Lời giải:
Giả sử M(s, y(s)) và N (t, y(t)) ở đây t < 1 < s là các điểm thuộc đồ thị. Khi đó

4s  t  
1
y  s   y  t    s  t 
 và
2
 s  11  t  

4s  t  
1
  s  t 

 .
4
 s  11  t  
2

MN   s  t 
2

Nhưng

2

4s  t 
4s  t 
16
, do đó


2
 s  11  t   s  1  1  t  s  t


2


2

1
16  5
64

5
2
MN  ( s  t )   s  t 
 8  2 .64  8  8  8 5
  s  t 
2
4
s t  4
4
s  t
2

2

Dấu bằng đạt được khi:

2

s  1  1  t
s  1 4
s  t  2

5



4 
 5  s  t 2  64  
2
4

s  t  4 5
t  1  2
s  t


4

5
Từ đó ta có các điểm cần tìm là M(1 

Bài 9. Cho hàm số y 

2
5 1 1
2
5 1 1
; 4
 ) và N(1  4 ;  4
 )
2
2
5
5
5
5

4

x 1
(C)

2x 1

Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Lời giải:

1 3 1
1 3 1


Gọi A  a  ;   thuộc nhánh trái, B  b  ;   thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số (C), với
2 4a 2 
2 4b 2 



a  0  b.
3 
3  3 b  a 
3 4ab

 3
 3
 .
6
Ta có: AB   b  a       2  b  a     
2 ab
 4b 4a 
 4b 4a  2 ab
2

2

2

2

Dấu bằng xảy ra


3
b  a
a  


2
2

3  
2
 3

 b  a    4b  4a 
b  3




2

  3 1  3 1   3 1 3 1 
;
;
Vậy hai điểm cần tìm là: A 
; B

2   2
2 
 2
Bài 10. Cho hàm số y 

x2
. Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)
2x 1

Lời giải:
Dễ thấy phương trình đường trung trực của đoạn AB là: y = x
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của phương trình:


1 5
x


x2
2
 x  x2  x  1  0  
2x 1

1 5
x 

2

 1 5 1 5  1 5 1 5 
,
,
Vậy hai điểm trên đồ thị thỏa đề bài là: 
 ; 

2
2
2
2 

 
Bài 11. Cho hàm số y 

2x
x 1

. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC

vuông cân tại đỉnh A với A(2;0).
Lời giải:
Ta có (C ) : y  2 

2
x 1

; Gọi B(b; 2 

2
b 1

), C (c; 2 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

2

), với ( b < 1 < c).
c 1
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox, ta có:

C

B

A

H

K

AB  AC; CAK  BAH  90  CAK  ACK  BAH  ACK

 AH  CK
và BHA  CKA  900  ABH  CAK  
 HB  AK
Hay:
2

2  b  2  c  1
b  1

.

c  3
2 2  c2

b 1

Vậy B(1;1), C (3;3) .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 8 -