Bài 17 hướng dẫn giải bài tập tự luyện vai bài toán khac ve GTLN GTNN

Khóa học chuyên đề GTLN, GTNN – thầy Phan Huy Khải

Vài bài toán khác về GTLN, GTNN

VÀI BÀI TOÁN KHÁC VỀ GTLN, GTNN
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: PHAN HUY KHẢI

Bài 1. Cho x,y,z dương và thỏa mãn x+y+z=2. .

1
Tìm GTNN của: P  1  ( x 4  y 4  z 4 )  ( x3  y 3  z 3 )
2
Hướng dẫn giải:
2 P  2  ( x 4  y 4  z 4 )  2( x 3  y 3  z 3 )
x yz  2
2( x 3  y 3  z 3 )  ( x 4  y 4  z 4 )  x 3 (2  x )  y 3 (2  y )  z 3 (2  z )
 x3 ( y  z )  y 3 ( x  z )  z 3 ( x  y )
 ( xy  yz  zx)( x 2  y 2  z 2 )  xyz ( x  y  z )
 ( xy  yz  zx)( x 2  y 2  z 2 ) (do : x, y , z  0)
1
 (2 xy  2 yz  2 zx)( x 2  y 2  z 2 )
2
1 (2 xy  2 yz  2 zx)  ( x 2  y 2  z 2 ) 2
 [
]
2
2
1 [ x  y  z ]4

2

2
4
 2 P  2  2  0  min P  0
 2 xy  2 yz  2 zx  x 2  y 2  z 2
 x  y  1; z  0

'  '   xyz  0
  x  0; y  z  1
x  y  z  2
 y  0; x  z  1


Bài 2. Cho x,y,z dương và thỏa mãn
Tìm GTNN của: P 

1 1 1
   3. .
x y z

x3
y3
z3


x 2  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2

Hướng dẫn giải:
Xét:
y3
z3

x3
Q 2



x  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2
x3  y 3
y3  z3
z 3  x3
P Q  2


 x y yzzx 0
x  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2
 PQ

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học chuyên đề GTLN, GTNN – thầy Phan Huy Khải

 2P  P  Q 
 ( x  y ).

Vài bài toán khác về GTLN, GTNN

x3  y 3
y3  z3
z 3  x3


x 2  xy  y 2 y 2  yz  z 2 z 2  zx  x 2

x 2  xy  y 2
y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2

(
y

z
).

(
z

x
).
x 2  xy  y 2
y 2  yz  z 2
z 2  zx  x 2

Dễ thấy:
x 2  xy  y 2 1
 ('  '  x  y ) , tương tự các BĐT đối với y, z, do đó ta có:
x 2  xy  y 2 3

1
1
9
2P  ( x  y  z)  .
2
3
3 111
x y z
 P  1  min P  1, '  '  x  y  z  1.

Bài 3. Cho x,y,z,t dương và thỏa mãn xyzt=1. Tìm GTNN của: P 

1
1
1
1



2
2
2
(1  x) (1  y ) (1  z ) (1  t ) 2

Hướng dẫn giải:
Ta có BĐT cơ bản sau:
1
1
1



('  '  a  b  1) .
2
2
(1  a) (1  b) 1  ab
Áp dụng ta có:
1
1
1
1
P



2
2
2
(1  x) (1  y ) (1  z ) (1  t ) 2
1
1
1  zt  1  xy
2  zt  xy




1
1  xy 1  zt 1  zt  xy  xyzt 1  zt  xy  1
 min P  1  x  y  z  t  1.

Bài 4. Cho x,y,z thuộc [1;2] và thỏa mãn x . Tìm GTLN của: P 

x y z
 
y z x

Hướng dẫn giải:
Do vai trò bình đẳng nên giả sử y là số hạng giữa x và z, ta có:


x y z
x z  ( x  y )( y  z )
   1 
 0

y z x
z x 
yz

1 x
1  x, z  2    2
2 z
x 1 x
x
5 x
 (  )(  2)  0  ( ) 2  1  . (1)
z 2 z
z
2 z
z

5 z
TT : ( ) 2  1  . (2)
x
2 x
(1)  (2) :
x z
5 x z
x z 5
(  )2  (  )   
z x
2 z x
z x 2
7
7
 P   max P 
2
2
7
x  y  1; z  2  P 
2
P

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học chuyên đề GTLN, GTNN – thầy Phan Huy Khải

Vài bài toán khác về GTLN, GTNN

Bài 5. Cho x,y,z dương và thỏa mãn xyz  1 . Tìm GTNN của: P 

( x  y )( y  z )( z  x)
x yz

Hướng dẫn giải:

( x  y)( y  z )( z  x) ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz ( x  y  z ).3. 3 ( xyz )2  xyz


x yz
x y z
x y z
1
1
8
8
 3
 3
  min P   x  y  z  1.
x yz
3
3 3 xyz 3
P

Bài 6. Cho x,y,z dương và thỏa mãn xyz  1 . Tìm GTNN của: P  ( x  y)( y  z )( z  x)  2( x  y  z )
Hướng dẫn giải:

P  ( x  y )( y  z )( z  x)  2( x  y  z )  ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz  2( x  y  z )
 ( x  y  z ).3. 3 ( xyz ) 2  xyz  2( x  y  z )  3( x  y  z )  2( x  y  z )  x  y  z  3
 min P  3  x  y  z  1.

Bài 7. Cho x,y,z dương và thỏa mãn xyz  1 . Tìm GTNN của: P 

x y
z y
xz


x 1
y 1
z 1

Hướng dẫn giải:
P

x y
z y
xz


 3. 3
x 1
y 1
z 1

x y z y xz
( x  y )( y  z )( z  x)

.
.
 36
x 1 y 1 z 1
( x  1)( y  1)( z  1)

Ta chứng minh:
( x  y )( y  z )( z  x)  ( x  1)( y  1)( z  1) (*)

(*)  ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz  xyz  xy  yz  zx  x  y  z  1
 ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  x  y  z  3
x yz
xy  yz  zx ( x  y  z )( xy  yz  zx)
(
)( xy  yz  zx)  ( x  y  z )(
)
 xy  yz  zx  x  y  z  3 **
3
3
3
Ta có: x  y  z  3; xy  yz  zx  3  (**) đúng.
Vậy P  3  min P  3  x  y  z  1.

Bài 8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x)  1  sin x  1  cos x
Lời giải:
Do f(x) luôn dương nên ta có:

max f ( x)  max f 2 ( x); min f ( x)  min f 2 ( x)
Ta có:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học chuyên đề GTLN, GTNN – thầy Phan Huy Khải

Vài bài toán khác về GTLN, GTNN

f 2 ( x)  2  (sin x  cos x)  2 1  (sin x  cos x)  sin x cos x
t  sin x  cos x  ( 2; 2)
(1  2)t  2  2 khi  2  t  1
 f 2 ( x)  F (t )  2  t  2 | t  1| 
(1  2)t  2  2 khi 2  t  1
Khảo sát hàm số y = F(t) trên [  2; 2] ta có:
min F (t )  F (1)  1; max F (t )  max{F (  2); F ( 2)}  F ( 2)  4  2 2
 x    k 2
 min f ( x)  1  t  sin x  cos x  1  
(k  Z )
 x     k 2

2
max f ( x)  4  2 2  t  sin x  cos x  2  x 

Bài 9. Tìm GTNN của f (t ) 


4

 k 2 (k  Z )

ln(1  4t )
, t  (0; 2]
t

Lời giải:
f (t ) 

ln(1  4t )
4t ln 4t  (4t  1) ln(4t  1)
 f '(t ) 
 0 t   
t
t 2 (4t  1)

f(t) nghịch biến trên khoảng (0; 2] . Do đó:
ln17
2
ln17
 min f (t ) 
 t  2.
2
f (t )  f (2) 

Giáo viên : Phan Huy Khải
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn

- Trang | 4 -