Bài 21 hướng dẫn giải bài tập tự luyện mot so bt mo dau ve GTLN GTNN tt vn

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

MỘT SỐ BÀI TẬP MỞ ĐẦU VỀ GTLN, GTNN (tiếp theo)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Cho x, y, z > 0; xyz = 1. Tìm GTNN của: P 

1
1 1
3
  
xy yz zx x  y  z

Lời giải:
Ta có:
1
1 1
3
x yz
3
3
P
  
P

 x y z
xy yz zx x  y  z
xyz

x yz
x yz
x  y  z  3 3 xyz  3.
P  x yz

3
4 4
x yz

( x  y  z ) 2  4( x  y  z )  3
4
x yz
( x  y  z  1)( x  y  z  3)

44
x yz
min P  4  x  y  z  1.


Bài 2. Cho x, y, z > 0; x + y + z + xyz = 4. Tìm GTNN của: P  x 4  y 4  z 4
Lời giải:
Theo BĐT Cô si ta có:

x 4  y 4  z 4  1   4 x 4 . y 4 .z 4 .1  4 xyz
x4  1  1  1  4 x
y4 111  4 y
z4 111  4z
 2( x 4  y 4  z 4 )  10  4(x  y  z  xyz)  16
P3
 min P  3  x  y  z  1.

Bài 3. Cho x  3. Tìm GTNN của hàm số f ( x)  x 

1
x

Lời giải:

1
x 1 8x
x 1 8.3 10
(  )  2 . 

x
9
x
9
9
x
9
3
Ta có:
10
 min f ( x)   x  3.
3
f ( x)  x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Bài 4. Cho x  . Tìm GTNN của hàm số f ( x)  x 

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

1
x2

Lời giải:
Ta có:
1
x x 1
3x
x x 1 3.2 9
 (   2)
 33 . . 2 

2
x
8 8 x
4
8 8 x
4
4
9
 min f ( x)   x  2.

4
f ( x)  x 

Bài 5. Cho x, y, z không âm và 3xyz  x  y  z . Tìm GTNN của: P 

1 1 1
 
x3 y 3 z 3

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm ta có:
1 1
3
 3 1 
3
x
y
xy
1 1
3
 3 1 
3
y
z
yz
1 1
3
 3 1 
3
z

x
zx
3( x  y  z )
 2P  3 
9
xyz
 P3
 min P  3  x  y  z  1.
Bài 6. Tìm GTLN của P  (1  cos x) 3 sin x  cos x trên miền xác định của nó.
Lời giải:
Ta có TXĐ:
cos x  0    1  cos x  1
1  3 sin x  1  (1  cos x) 3 sin x  (1  cos x) 3 sin x  
cos x  0   cos x  0
 P  (1  cos x) 3 sin x  cos x  1  0  1
sin x  1

'' 
 x   k 2 ( k  Z )
2
cos x  0
 max P  1  x 


2

 k 2 (k  Z )

Bài 7. Tìm GTLN của P  (1  cos x)6  cos 6 x
Lời giải:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

1  cos x  1    1  cos x  2  (1  cos x) 6  26  64
cos6 x  1
 P  (1  cos x)6  cos 6 x  
'  '  cos x  1  x  (2k  1) (k  Z )
 max P  65  x  (2k  1) (k  Z )

Bài 8. Cho x , y là 2 số thực thoả mãn :
x2 + y2 = x 1  y 2  y 1  x 2
Tìm GTLN của: P = 3x + 4y
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :
(x2 + y2)2 = ( x 1  y 2  y 1  x 2 )2

( x  1 ; y  1)

 (x2 + y2)(1 - y2 + 1 - x2)
=> x2 + y2  1
Ta lại có : (3x + 4y)2  (32 + 42)(x2 + y2)  25

=> 3x + 4y  5
 2
2
x  y  1

Đẳng thức xảy ra   x  0, y  0
 x y
 3  4


x 
Vậy GTLN của 3x + 4y = 5 khi 
y 



x 
 
y 


3
5
4
5

3
5
4
5

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -