Ôn thi THPT QG môn Toán chủ đề Nguyên hàm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 20 trang )
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Chủ đề 3A: NGUYÊN HÀM
A- Tóm tắt lý thuyết
1. Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1. Khái niệm nguyên hàm
— Cho hà m số f (x ) xá c định trên K . Hà m số F (x ) được gọ i là nguyên hà m củ a hàm số f (x )
trên K nế u: F (x ) f (x ), x K .
— Nế u F (x ) là mộ t nguyên hà m củ a f (x ) trên K thı̀ họ nguyên hà m củ a hàm số f (x ) trên K
là :
f (x ) dx F (x ) C ,
const C .
2. Tính chất: Nếu f (x ), g(x ) là 2 hàm số liên tục trên K và k 0 thì ta luôn có:
f (x )dx f (x ) C .
f (x ) g(x )dx f (x )dx g(x )dx
kf (x )dx k f (x )dx.
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằ ng số tù y ý )
x 1
x dx
C
1
x dx ln x
x
sin x dx cos x C
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
cosx dx sin x C
cos(ax b) dx a sin(ax b) C
1
dx cot x C
sin 2 x
1
1
dx cot(ax b) C
a
sin (ax b)
1
dx tan x C
cos2 x
1
1
dx
tan(ax b ) C
a
cos 2 (ax b)
e
1
1
W: www.hoc247.net
2
x
dx
C
1
C
x
dx e x C
ax
a dx
C
ln a
x
1 (ax b)n 1
(ax b) dx
C
a
n 1
n
1
1
ax b dx a ln ax b C
1
(ax b)
2
1
1
dx
C
a ax b
1
1
2
e
ax b
x
F: www.facebook.com/hoc247.net
2
dx
1 ax b
e
C
a
dx
1
x a
ln
C
2
2a
x a
a
T: 098 1821 807
Trang | 1
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
1
♦ Nhận xét. Khi thay x bằ ng (ax b) thì lấ y nguyên hà m nhân kế t quả thêm
a
Một số lưu ý
1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.
2. Nguyên hà m củ a mộ t tı́ch (thương) củ a nhiề u hà m hà m số không bao giờ bằ ng tı́ch
(thương) củ a cá c nguyên hà m củ a những hà m thà nh phầ n.
3. Muố n tı̀m nguyên hà m củ a mộ t hà m số , ta phả i biê ́n đô ̉ i hà m số nà y thà nh mộ t tô ̉ ng
hoặ c hiệ u củ a những hà m số tı̀m được nguyên hà m (dựa và o bả ng nguyên hà m).
2. Các phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số
Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Phương Pháp
1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa
2. Tích các hàm mũ
khai triển.
khai triển theo công thức mũ.
3. Chứa căn
chuyển về lũy thừa.
4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin
5.
Bậc chẵn của sin và cosin
khai triển theo công thức tích thành tổng.
Hạ bậc.
Dạng toán 2. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Định lý : Cho
f (u)du F (u) C
và u u(x ) là hà m số có đạ o hà m liên tụ c thı̀
f u(x ) u (x ) dx F u(x ) C .
1. Đổ i biế n số dạ ng 1: đặ t t (x ).
I
I
I
f (ax b)
I
I
I
I
n
PP
xdx
t ax b dt a.dx
m
xn
dx
PP
t x n 1 1 dt (n 1)x n .dx , với m, n .
ax n 1 1
f (ax
n
2
PP
b)n xdx
t ax 2 b dt 2ax .dx
PP
f (x ) f (x ) dx
Đặ t t
n
f (x ), trừ mộ t số trường hợp đổ i biế n dạ ng 2.
1
f (ln x ) x dx
t ln x
PP
Đặ t
1
t a b ln x
f (a b ln x ) dx
x
f (e
W: www.hoc247.net
x
PP
Đặ t t e x .
) e x dx
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 2
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
I
f (cos x ) sin xdx
PP
Đặ t t cos x dt sin xdx .
I
f (sin x ) cos xdx
PP
Đặ t t sin x dt cos xdx .
1
I
f (tan x ) cos
I
f (cot x ) sin
2
x
1
2
x
PP
Đặ t t tan x dt
dx
PP
dx
Đặ t t cot x dt
1
dx (1 cot2 x )dx .
2
sin x
t sin2 x dt sin 2xdx
Đặ t
f (sin x ; cos x ) sin 2xdx
2
t cos x dt sin 2xdx
I
f (sin x cos x ) (sin x cos x ) dx
I
1
dx (1 tan 2 x )dx .
2
cos x
2
PP
2
PP
Đặ t t sin x cos x .
2. Đổ i biế n số dạ ng 2: đặ t x (t ).
I
f(
PP
a 2 x 2 ) x 2ndx
Đặ t x a.sin t dx a.cos t.dt.
I
f(
PP
x 2 a 2 ) x 2ndx
Đặ t x a. tan t dx
I
f(
PP
x 2 a 2 ) x 2ndx
Đặ t x
I
I
(x a ) .
n
dx
ax 2 bx c
adt
cos2 t
a
a sin t
dx
dt
cos t
cos2 t
PP
Đặ t x a
1
dt
dx 2
t
t
n1 ax b ,..., nk ax b dx
PP
Đặ t t n ax b với
R
n B .C .N .N n1 ; n2 ;...; nk
I
x
t x a x b khi
x
(x a )(x b)
PP
Đặ t
t x a x b khi
W: www.hoc247.net
dx
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
a 0
b 0
x a 0
x b 0
Trang | 3
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Dạng toán 3. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Phương Pháp
Định lý: Nếu hai hàm số
và
có đạo hàm và liên tục trên
thì
hay
Vận dụng giải toán:
— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác
— Đặt:
Suy ra:
— Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và
phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay
thì chọn
thì chọn
hay
đa thức và
và
còn lại. Nếu không có
còn lại. Nếu không có log, đa thức, ta chọn
lượng
giác,….
— Lưu ý rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.
Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.
Dạng toán 4. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ
P (x )
dx , với P (x ) và Q (x ) là cá c đa thức
Bà i toá n tổ ng quá t: Tı́nh nguyên hà m I
Q(x )
không căn.
Phương phá p giả i:
PP
— Nế u bậ c củ a tử số P (x ) bậ c củ a mẫ u số Q(x )
Chia đa thức.
PP
— Nế u bậ c củ a tử số P (x ) bậ c củ a mẫ u số Q(x )
Xem xé t mẫ u số và khi đó :
+ Nế u mẫ u số phân tı́ch được thà nh tı́ch số , ta sẽ sử dụ ng đồng nhất thức để đưa về
dạ ng tổng của các phân số.
Mộ t số trường hợp đồ ng nhấ t thức thường gặ p:
a
b
ax m bx n
1
1
(ax m ) (bx n ) an bm
A B m
mx n
A
B
(A B ) x (Ab Ba )
Ab Ba n
(x a ) (x b) x a x b
(x a ) (x b)
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 4
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
1
A
Bx C
2
, với b 2 4ac 0.
2
(x m ) (ax bx c) x m ax bx c
1
A
B
C
D
2
2
x a (x a )
x b (x b)2
(x a ) (x b)
2
+ Nế u mẫ u số không phân tı́ch được thà nh tı́ch số (biế n đổ i và đưa về dạ ng lượng giá c).
B- Bài tập trắc nghiệm
DẠNG 1: DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1.
Câu 2.
Nguyên hàm F x của hàm số f x
2
2
3
2 là hàm số nào?
5 2x x x
3
A. F x ln 5 2x 2ln x C .
x
B. F x ln 5 2x 2ln x
3
C.
x
3
C. F x ln 5 2x 2 ln x C .
x
D. F x ln 5 2x 2 ln x
3
C.
x
Cho f (x) x 3 3x 2 2x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F1 0 là:
A.
x4
1
x3 x 2
4
4
B.
x4
C. x 3 x 2 1
4
Câu 3.
Kết quả của
x4
D. x 3 x 2 1
4
x x 2 1 dx bằng:
2
x 2 1
A. F(x)
3
3
C. F(x)
Câu 4.
x 2 1
B. F(x)
3
C
x 2 x 3
x C
23
6
D. F(x)
C
3
x2 2
x 1 C
6
Tìm họ nguyên hàm F x của hàm số f x 3x 2 – 3x , ta được kết quả là:
3x
C
A. F(x) x
ln 3
3
C. F(x)
Câu 5.
x4
1
x3 x 2
4
4
x 3 3x
C
3 ln 3
3x
C
B. F(x) x
ln 3
3
D. F(x)
x3
3x
C
3 ln 3
Nguyên hàm của hàm số f (x) (1 2x)5 là:
1
A. (1 2x)6 C B. (1 2x) 6 C
C. 5(1 2x)6 C
12
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
D. 5(1 2x) 4 C
Trang | 5
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 6.
Tìm hàm số f x biết rằng f’ x 2x 1 và f 1 5
A. x 2 x 3
Câu 7.
B. x 2 x 3
C. x 2 x
D. Kết quả khác
Tìm hàm số y f (x) biết f (x) (x 2 x)(x 1) và f (0) 3
x4 x2
x4 x2
A. y f (x) 3
B. y f (x) 3
4
2
4
2
x4 x2
C. y f (x) 3
4
2
D. y f (x) 3x 2 1
NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN)
Câu 8.
Câu 9.
Nguyên hàm của hàm số f (x)
1
là
2x 1
A.
f x dx
2x 1 C .
B.
f x dx 2
C.
f x dx
2x 1
C .
2
D.
f x dx 2
Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)
A.
f xdx 2
C.
f x dx 2
2x 1 C .
2x 1 C .
1
.
3 x
3 x C .
3 x C .
B.
f x dx
D.
f xdx 3
3 x C .
3 x C .
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 .
1
A.
f x dx 3 2x 1
C.
f x dx 3
1
2x 1 C .
2x 1 C .
2
B.
f x dx 3 2x 1
D.
f xdx 2
1
2x 1 C .
2x 1 C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3 x 2 .
A.
C.
3
f x dx 4 x 2
3
x2 C.
2
f x dx x 2 x 2 .
3
B.
D.
3
f xdx 4 x 2
3
x2 C.
2
1
f x dx x 2 3 C .
3
Câu 12. Hàm số F x x 1
2
x 1 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
5
5
A. f x x 1 x 1
B. f x x 1 x 1 C
2
2
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 6
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
2
C. f x x 1 x 1
5
D. f x x 1 x 1 C
Câu 13. Biết một nguyên hàm của hàm số f x
1
1 là hàm số F x thỏa mãn
1 3x
2
. Khi đó F x là hàm số nào sau đây?
3
2
2
A. F x x 1 3x 3
B. F x x 1 3x 3
3
3
F1
C. F x x
2
1 3x 1
3
D. 6 F x 4
2
1 3x
3
Câu 14. Biết F(x) 6 1 x là một nguyên hàm của hàm số f (x)
a
. Khi đó giá trị
1 x
của a bằng
A. 3 .
Câu 15. Tính
A.
B. 3 .
C. .
x
B. 2 x C
2
C.
D.
1
.
6
1
1
dx
x 2
x x
C
2
2
1
1
xC
2 x 2
2
x
C
x 2
D.
NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 16. Cho hàm số f (x) 2x sin x 2cos x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa
F(0) 1 là:
A. x 2 cos x 2sin x 2
B. x 2 cos x 2sin x 2
C. 2 cos x 2sin x
D. x 2 cos x 2sin x 2
Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số f (x) tan 2 x là:
tan 3 x
A.
3
tan 3 x 1
.
B.
3 cos 2 x
C. tan x x
D.
2sin x
cos 3 x
Câu 18. Một nguyên hàm của hàm số f (x) cos 4 x sin 4 x là:
A. cos 2x
B.
Câu 19. Biết F(x)
1
sin 2x
2
C. 2sin 2x
1 tan x dx khi đó F(x) là:
2
1
C
cos 2 x
B. F(x) tan x C
C. F(x) tan x C
D. F(x) cot x C
A. F(x)
W: www.hoc247.net
D. cos2 x
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 7
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 20. Gọi F1 (x) là nguyên của hàm số f1 (x) sin 2 x thỏa mãn F1 (0) 0 và F2 (x) là nguyên
của hàm số f 2 (x) cos 2 x thỏa mãn F2 (0) 0 . Khi đó phương trình F1 (x) F2 (x)
có nghiệm là:
A. x k, k Z B. x k, k Z
C. x k, k Z
D. x k2, k Z
2
2
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số: y cos 2 x.sin x là:
A.
1
cos3 x C
3
B. cos3 x C
C.
1 3
sin x C
3
D. Đáp án khác.
Câu 22. Một nguyên hàm của hàm số: y cos 5x.cos x là:
A. F x cos 6x
C.
B. F x sin 6x
1 1
1
sin 6x sin 4x
2 6
4
Câu 23. Tìm
(sin x 1)
3
1 sin 6x sin 4x
D.
2 6
4
cos xdx là:
(cos x 1) 4
C
A.
4
(sin x 1) 4
C
C.
4
sin 4 x
C
B.
4
D. 4(sin x 1)3 C
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số y sin 3 x.cos x là:
1
A. F(x) sin 4 x C
4
1
B. F(x) sin 4 x C
4
1
C. F(x) cos 4 x C
4
1
D. F(x) cos 4 x C
4
Câu 25. Nguyên hàm của hàm số: y =
cos x – sin x C
A. F x
sin
cos 2x
dx là:
x.cos 2 x
B. F x cos x sin x C
2
C. F x cot x – tan x C
Câu 26. Tìm nguyên hàm
A. 2 tan 2x C
1
dx =
x.cos 2 x
B. 2 cot 2x C
sin
D. F x
cot x – tan x C
2
C. 4 cot 2x C
D. 2 cot 2x C
NHÓM 4: HÀM SỐ MŨ, LOGARIT
Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) e x e x .
A.
f x dx e
C.
f x dx e
W: www.hoc247.net
x
ex C .
B.
f xdx e
x
ex C .
D.
f x dx e
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
x
x
ex C .
ex C .
Trang | 8
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2x.32 x .
A.
C.
2 x
1
f x dx .
C.
9 ln 2 ln 9
2 x
1
f x dx .
C.
3 ln 2 ln 9
B.
D.
9 x
1
f x dx .
C.
2 ln 2 ln 9
2 x
1
f x dx .
C.
9 ln 2 ln 9
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) e x (3 e x ) là
A. F(x) 3e x x C .
C. F(x) 3e x
B. F(x) 3e x e x ln e x C .
1
C.
ex
D. F(x) 3e x x C .
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) e 4 x2 .
1
2 x1
C.
B.
f x dx e
1
4 x2
C.
D.
f x dx 2
A.
f xdx 2 e
C.
f x dx 2 e
Câu 31. Tính
2 x1
1
C.
e 2x1 C .
(3cos x 3 )dx , kết quả là:
x
3x
C
ln 3
3x
3sin x
C
ln 3
A. 3sin x
B. 3sin x
3x
3x
C C. 3sin x
C D.
ln 3
ln 3
Câu 32. Hàm số F x e x tan x C là nguyên hàm của hàm số f (x) nào?
A. f (x) e x
1
1
1
x
x
f
(x)
e
f
(x)
e
B.
C.
sin 2 x
sin 2 x
cos 2 x
D. Kết quả
khác
Câu 33. Nếu
f (x)dx e
x
sin 2x C thì f (x) bằng
A. ex cos 2x
B. ex cos 2x
C. ex 2cos 2x
1
D. e x cos 2x
2
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2 x 4 x .
x
2 x 2
C
A. F(x)
ln 2 ln 2
2x
1 2 x1 C
B. F(x)
ln 2
2 x
4 x
C
C. F(x)
1
ln 2 ln 2
2x
1 2x C .
D. F(x)
2ln 2
2
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 9
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
x
3 2 .
e
x 5ex
1
A. F(x) 3e x 4 C
2x
Câu 35. Tìm
C. F(x) 3e x
1
C
2x 4
B. F(x) 3e x
1
C
2x 4
D. F(x) 3e x
1
C
2x 4
NHÓM 5: HÀM PHÂN THỨC
Câu 36. Một nguyên hàm của hàm số y
3x 5
là:
x2
A. F(x) 3x 4 ln x 2 C
B. F(x) 3x ln x 2 C
C. F(x) 3x ln x 2 C
D. F(x) 3x ln x 2 C
Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số f (x)
A. ln x 1
x
là:
x 1
B. x ln x 1
C. x ln x 1
D. 2ln x 1
x 2 2x 1
Câu 38. Cho hàm số f (x) 2
. Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(1) 0 là:
x 2x 1
A. x
2
2
x 1
B. x
2
2
x 1
C. x 2ln x 1
2
Câu 39. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f x
x 2 x 1
A.
x 1
x 2 x 1
B.
x 1
x 2 1
x2
C.
x 1
D. x
x 2 x
x 1
2
2
2
x 1
?
x 2 x 1
D.
x 1
2
Câu 40. Cho hàm số f x
x3
. Một nguyên hàm F x của f x thỏa F1 4 là:
A.
x2
2
2ln x 2 4
2
x
B.
C.
x2
2
2ln x 2 4
2
x
D. F x x 3 2x C
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
x2
1
2ln x 2 4
2
2x
T: 098 1821 807
Trang | 10
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
x 3 1
Câu 41. Nguyên hàm của hàm số f x
là:
x 1
x3 x 2
A. F x x 2ln x 1 C
3
2
x3 x 2
B. F x x 2ln x 1 C
3
2
x3 x2
C. F x x ln x 1 C
3
2
x3 x 2
D. F x x 2ln x 1 C
3
2
1
x 3 3x 2 3x 1
F(1)
Câu 42. Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x)
,
biết
. Vậy
3
x 2 2x 1
F(x) là:
A. F(x)
x2
2
13
x
2
x 1 6
B. F(x)
x2
1
C. F(x) x
C
2
x 1
x2
2
13
x
2
x 1 6
x2
2
D. F(x) x
2
x 1
x 2 2x 1
1
Câu 43. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)
biết F(1) . Kết quả là:
2
x
x2
A. F(x) 2x ln x 2
2
x2
B. F(x) 2x ln x 2
2
x2
1
2x ln x
2
2
C. F(x)
D. F(x)
x2
1
2x ln x
2
2
A 3
3x 2 3x 3
A
B
C
Câu 44. Ta có: f (x) 3
B 2 .
2
x 3x 2 x 1
x 1 x 2
C 1
Tính
f (x)dx F(x) C , ta được kết quả là:
A. F(x)
3
2
1
C
2
x 1 x 1
x2
B. F(x)
3
2ln x 1 ln x 2 C
x 1
C. F(x) 3ln x 1
W: www.hoc247.net
2
ln x 2 C
x 1
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 11
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
D. F(x) 3ln x 1 2 ln x 2
f (x)
Câu 45. Nguyên hàm của hàm số
A.
1 1
x x 2 là :
1
B. ln x C
x
A. ln x ln x 2 C
Câu 46. Tính nguyên hàm
B. ln 2x 1 C
2x 3 3
C
3
x
B.
x
1 x
2
2x 3 3
2 C
3
x
C.
B.
1
1 x
2
C
C.
1
A. F(x) ln 2x 5 2016
2
2x 3
3ln x 2 C D. Kết quả khác
3
1
1 x
2
D. 1 x 2 C
C
1
là:
2x 5
B. F(x) ln 2x 5
2
D. F(x)
2x 5
2
Câu 40.Nguyên hàm của hàm số y f x
1
1 2x
1 1
.
C
2 1 2x
1 1
C
C. F x .
2 1 2x
W: www.hoc247.net
1
C. ln 2x 1 C D. ln 2x 1 C
2
2x 4 3
là:
x2
Câu 49. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f x
A. F x
D. Kết quả khác
dx là:
A. 1 x 2 C
C. F(x)
1
C
x
1
1
ln 2x 1 C
2
Câu 48.Kết quả của
C. ln x
2x 1dx ta được kết quả sau:
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số f x =
A.
1
C
x 1
F: www.facebook.com/hoc247.net
2
1
2x 5
2
là:
B. F x ln 1 2x C
2
D. F x
1
C
1 2x
T: 098 1821 807
Trang | 12
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Câu 1.
Tính
A.
C.
Câu 2.
Câu 3.
x 1
x 2x 5
2x 2
C
x 2 2x 5
2
B. 2 x 2 2x 5 C
x 2 2x 5
C
2
x 2 2x 5 C
D.
Họ nguyên hàm của hàm số f x
x
x 1
2
là:
A. F x ln x 2 1 C
B. F x x 2 1 C
C. F x 2 x 2 1 C
D. F x
2
C
3 x 1
2
Một nguyên hàm của hàm số f x cos x.esin x là:
A. F x esin x
Câu 4.
dx
B. F x e cos x
Cho hàm số f x x x 2 1
2016
x 2 1
dx
C. F x esin x
. Khi đó:
2017
A.
f x
4034
x 2 1
dx
2016
C
B.
x 2 1
dx
f x
2016
C.
Câu 5.
f x
D. F x sin x.esin x
4032
x 2 1
dx
2017
D.
2016
f x
2017
Hàm số F x e x là nguyên hàm của hàm số:
2
2
A. f x 2xe
Câu 6.
Kết quả của
x2
cos x
B. f x e
2x
ex
C. f x
2x
D. f x x 2e x 1
s inx 1dx bằng:
A. F(x)
2
3
s in x 1 C
3
B. F(x)
C. F(x)
2
s in x 1 C
3
2
3
D. F(x) s in x 1 C
3
W: www.hoc247.net
2
F: www.facebook.com/hoc247.net
2
3
s in x 1 C
3
T: 098 1821 807
Trang | 13
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 7.
Kết quả của
ex
ex 3
dx bằng:
A. F(x) e x 3 C
B. F(x) 2 e x 3 C
D. F(x)
C. F(x) e 3 C
x
Câu 8.
Câu 9.
Hàm số f (x)
ex
e x 3x
C
ln x
có các nguyên hàm là:
x
A. F(x) ln 2 x C
1
B. F(x) ln x C
2
1
C. F(x) ln 2 x C
2
D. F(x)
1
C
x.x 2
1
x
) có các nguyên hàm là:
Hàm số f (x) ln x(
x ln x
A. F(x) ln x x C
ln 2 x x 2
C
B. F(x)
2
ln 2 x
x2 C
C. F(x)
2
x2
)C
D. F(x) ln x(ln x
2ln x
2
2
Câu 10. Gọi F(x) là nguyên của hàm số f (x)
x
thỏa mãn F(2) 0 . Khi đó phương
8 x2
trình F(x) x có nghiệm là:
A. x 0
B. x 1
Câu 11. Một nguyên hàm của hàm số: y
C. x 1
x3
2 x2
D. x 1 3
là:
A. F(x) x 2 x 2
B.
1 2
x 4 2 x 2
3
1
C. x 2 2 x 2
3
D.
1 2
x 4 2 x 2
3
Câu 12. Tìm nguyên hàm F x biết f (x)
2x
x x 2 1
. Kết quả là:
A. F(x)
2 3 2 2
x x 1 x 2 1
3
3
2
2
B. F(x) x 3 x 2 1 x 2 1
3
3
C. F(x)
2 3 2 2
x x 1 x 2 1
3
3
D. F(x)
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
2 3 2 2
x x 1 x 2 1
3
3
T: 098 1821 807
Trang | 14
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
sin x
. Kết quả là:
sin x cos x
1
1
A. F(x) x ln sin x cos x C
B. F(x) x ln sin x cos x C
2
2
Câu 13. Tìm nguyên hàm F x biết f (x)
C. F(x)
1
x ln sin x cos x C
2
Câu 14. Tính nguyên hàm
xe
D. F(x)
1
x ln sin x cos x C
2
x 2 1
dx , ta được:
1 2
A. F(x) e x 1 C
2
1 2
B. F(x) e x 1 C
2
1 2
C. F(x) e x 1 C
2
1 2
D. F(x) e x C
2
Câu 15. Tính
2
x
ln 2
dx . Kết quả sai là:
x
A. F(x) 2 2 x 1 C
B. F(x) 2 2
C. F(x) 2
D. F(x) 2
x
C
Câu 16. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của f (x)
x
A. F(x)
cos x
dx .
20
x
1
A. F(x)
C
19sin19 x
Câu 17. Tìm
x 1
1 C
C
1
1 x 2
?
B. F(x) ln 1 x 2
1 x 2
C. F(x) ln x 1 x 2
x
D. F(x) ln x 1 x 2
sin
C. F(x)
1
C
19cos19 x
B. F(x)
1
C
19sin19 x
D. F(x)
1
C
19cos19 x
ex
thỏa F0 ln 3 là:
Câu 18. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) x
e 2
A. F(x) ln e x 2 ln 3
B. F(x) ln e x 2 ln 3
C. F(x) ln e x 2 2ln 3
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
D. F(x) ln e x 2 2ln 3
T: 098 1821 807
Trang | 15
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) e3cos x .sin x
1
A.
f (x)dx 3 e
C.
f (x)dx 3 e
3cos x
1
.cos x C
C
3 cos x
Câu 20. Nguyên hàm của hàm số: I
A. F(x) =
f (x)dx 3e
D.
f (x)dx 3e
3 cos x
3 cos x
C
.cos x C
dx
là:
2x 1 4
2x 1 4 C
2x 1 4 C
2x 1 4ln
C. F(x) = 2x 1 4 ln
B.
B. F(x) = 2x 1 4 ln
D. F(x) =
7
2x 1 ln
2
2x 1 4 C
2x 1 4 C
(x 2 x)e x
Câu 21. Nguyên hàm của hàm số: y
dx là:
x ex
A. F(x) = xe x 1 ln xe x 1 C
B. F(x) = e x 1 ln xe x 1 C
C. F(x) = xe x 1 ln xex 1 C
dx
x a 2 là:
1
xa
1 x a
B.
+C C. ln
+C
ln
2a x a
a xa
Câu 22. Nguyên hàm của hàm số: y
A.
1
x a
+C
ln
2a x a
1
ax
+C
ln
2a a x
Câu 24. Nguyên hàm của hàm số: y
A.
C.
2
dx
là:
x2
1
ax
1 x a
ln
B.
+C C. ln
+C
2a a x
a xa
Câu 23. Nguyên hàm của hàm số: y
A.
D. F(x) = xe x 1 ln xe x 1 C
a
x
D.
1 x a
+C
ln
a x a
D.
1 x a
ln
+C
a x a
2
4x 7 dx là:
5
3
1 2
2
4x 7 2 7 4x 72 C
20 5
3
5
3
1 2
2
4x 7 2 7 4x 72 C
14 5
3
B.
5
3
1 2
2
4x 72 7 4x 72 C
18 5
3
D.
5
3
1 2
2
4x 7 2 7 4x 72 C
16 5
3
DẠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 1.
Một nguyên hàm của hàm số f (x) xe x là:
A. ex C
W: www.hoc247.net
B. e x x 1 C
F: www.facebook.com/hoc247.net
C. e x x 1 C
T: 098 1821 807
D.
x2 x
e C
2
Trang | 16
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Câu 2.
Một nguyên hàm của hàm số f (x) (x 2 2x).e x là:
A. (2x 2).e x
B. x 2ex
C. (x 2 x).e x
D. (x 2 2x).e x
Câu 3.
Cho hàm số f (x) x.e x . Một nguyên hàm F(x) của f (x) thỏa F(0) 1 là:
A. (x 1)e x 1
B. (x 1)e x 2 C. (x 1)ex 1
D. (x 1)e x 2
Câu 4.
Nguyên hàm của hàm số f (x) xe x là hàm số:
2
2
1 2
A. F(x) 2ex
B. F(x) e x
C. F(x) 2x 2 e x
2
2
2
D. F(x) e x xe x
2
x
Câu 5.
Cho f (x) ln tdt . Đạo hàm f '(x) là hàm số nào dưới đây?
1
A.
Câu 6.
1
x
B. ln x
Câu 9.
1 2
ln x
2
D. F(x) (x 1) cos x s inx C
Gọi hàm số F(x) là một nguyên hàm của f (x) x cos3x , biết F(0) 1 . Vậy F(x) là:
1
1
1
1
A. F(x) x sin 3x cos 3x C
B. F(x) x sin 3x cos3x 1
3
9
3
9
1
C. F(x) x 2 sin 3x
6
Câu 8.
D.
Hàm số f (x) (x 1)sin x có các nguyên hàm là:
A. F(x) (x 1) cos x s inx C
B. F(x) (x 1) cos x s inx C
C. F(x) (x 1) cos x s inx C
Câu 7.
C. ln 2 x
1
1
8
D. F(x) x sin 3x cos 3x
3
9
9
Tìm x cos 2xdx là:
A.
1
1
x sin 2x cos 2x C
2
4
B.
1
1
x sin 2x cos 2x C
2
2
C.
x 2 sin 2x
C
4
D. sin 2x C
Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
x 2 .cos x
C
A. x sin xdx
2
B.
x sin xdx x cos x sin x C
C.
x cos xdx x sin x cos x C
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 17
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
D.
x sin 2xdx
x cos 2x 1
sin 2x C
2
4
Câu 10. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A.
xe3x dx
C.
xex dx
xe3x 1 3x
e C
3
9
x2 x
.e C
2
B.
xe dx xe
D.
e
B.
ln xdx
D.
x 2 ln xdx
B.
ln 2 xdx
D.
ln x
ln x
1
dx
2 C
3
2
x
2x
4x
B.
xe
x
x
dx
x
x
ex C
x 1
C
ex ex
Câu 11. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A.
ln xdx x ln x x C
C.
x ln xdx
x2
x2
ln x C
2
4
1
C
x
x3
x3
.ln x C
3
9
Câu 12. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A.
ln 2 xdx x ln 2 x 2 x ln x x C
C.
ln x
ln x 1
dx
C
2
x
x
x
ln3 x
C
3
Câu 13. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A.
C.
x
e
2x
dx
x
1
2x C
2x
2e
4e
xe3x 1 3x
xe dx
e C
3
9
3x
D.
x
dx xex ex C
x 2 2x
xe dx .e C
2
2x
Câu 14. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A.
x3 1
x ln xdx . C
3 x
B.
x 2 ln xdx
C.
ln x
D.
2
x3
x3
.ln x C
3
9
1 x 2 dx x ln x 1 x 2 1 x 2 C
e x sin x cos x
e sin xdx
C
2
x
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) x.sin 2x 1
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 18
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
A.
x
1
f (x)dx .cos 2x 1 .sin 2x 1 C
2
4
B.
f (x)dx
C.
f (x)dx 2 .cos 2x 1 4 .sin 2x 1 C
D.
f (x)dx 2 .cos 2x 1 2 .sin 2x 1 C
x2
.cos 2x 1 C
4
x
1
x
1
Câu 16. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) x.ln 1 x
f (x)dx
x2
C
2(x 1)
B.
f (x)dx
x2
1
ln 1 x x 3 ln(1 x) C
2
6
C.
f (x)dx 2 x
A.
D.
1
2
1
x
1.ln 1 x x 2 C
4
2
x2
1
x 1
f (x)dx ln 1 x x 2 ln(x 1) C
2
4
2 2
Câu 17. Nguyên hàm của hàm số: I
A. F(x) =
x 2 cos3x
C. F(x) =
W: www.hoc247.net
3
1
sin 3x C
9
x 2 cos3x
3
x 2sin 3xdx là:
1
sin 3x C
9
F: www.facebook.com/hoc247.net
B. F(x) =
x 2 cos3x
D. F(x) =
3
1
sin 3x C
9
x 2 cos3x
T: 098 1821 807
3
1
sin 3x C
3
Trang | 19
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.
I.
Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-
Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.
-
H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.
-
H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.
II.
Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-
Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.
-
Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
-
Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
-
Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.
Các chương trình VCLASS:
-
Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.
-
Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.
-
Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.
III.
Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-
Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…
-
Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.
-
Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.
-
Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.
W: www.hoc247.net
F: www.facebook.com/hoc247.net
T: 098 1821 807
Trang | 20
