Phương pháp tọa độ hóa giải bài toán hình học không gian

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Lý thuyết cần nhớ
a) Đặt hệ trục với hình lập phương, hình hộp chữ
nhật.
Ta chọn gốc tọa độ là một đỉnh của hình lập
phương hoặc hình hộp chữ nhật. chọn các tia Ox,
Oy, Oz là ba cạnh của hình xuất phát từ đỉnh đó.

z

A'
D'

B'

C'

x

A=O
D

B

C

y

b) Đặt hệ trục với hình tứ giác chóp đều.

z

O
y

x

c) Đặt hệ trục tọa độ với hình tam diện vuông.
z

O

x

y

d) Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy là hình vuông,
hình chữ nhật

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

z

x

O
y

Đặt hệ trục tọa độ với hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy, đáy có yếu tố vuông
góc tại đỉnh mà cạnh bên đó vuông góc: Ví dụ như hình thang vuông, tam giác vuông, tứ giác
có hai cạnh vuông góc…
z

z

x

O

O

x

y

y

e) Đặt hệ trục với hình chóp tam giác đều.
S

z

y
G

O

x

f) Đặt hệ trục với hình lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông.
z

y

O
x

Trên đây là một số dạng cơ bản của một số loại hình khối mà chúng ta có thể tọa độ hóa một
cách đơn giản. Các em lưu ý rằng chúng ta có thể tọa độ hóa một khối đa diện bất kỳ. Chỉ cần
chúng ta xác định được đường cao của khối đa diện đó và thông thường trên lý thuyết ta
đều đặt gốc tọa độ là chân đường cao của khối đa diện; trục cao (trục Oz) là đường cao, sau
đó ta dựng hai tia còn lại. Nhưng trong thực hành giải toán chúng ta căn cứ tùy bài toán để
đặt hệ trục miễn sao chúng ta có thể tìm các tọa độ các đỉnh liên quan đến hình khối cần tính
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

có thể tìm được một cách dễ dàng hoặc không quá phức tạp.
Ví dụ như bài toán sau: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt
phẳng (SBC) tạo với đáy góc 600. Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân
tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
Hướng dẫn giải:
Ta có định lý: “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, trong mặt này dựng một đường
thẳng vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia”.
Áp dụng vào hình chóp này: ta thấy mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, mà giao tuyến
của hai mặt phẳng này là AB. Ta cần tìm chiều cao cho nên, bạn chỉ cần từ S dựng SO vuông
góc với AB, O thuộc AB, vì tam giác SAB cân tại S cho nên O là trung điểm AB. Tức là các bạn
đã xác định được chiều cao và chân đường vuông góc.
Vậy chúng ta có hệ trục như sau:
S

z

A

C

x

O
B
y

a
a
3a
Tính toán tọa độ các điểm, ta có: O(0;0;0), A(0;  ;0), B(0; ;0),C(a;0;0),S(0;0; )
2
2
4

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: SA, BC ta có:
  
| SA, BC .AB |

, ta thu được kết quả cần tính.
d(SA,BC)    

| SA, BC |


2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Gọi N là trung điểm của B’C’.
a. Chứng minh rằng: AC’ vuông góc với (A’BD).
b. Tính thể tích khối tứ diện ANBD’.
c. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’.
d. Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D).
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Hướng dẫn giải.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.
Khi đó ta có tọa độ các đỉnh của hình lập phương như sau:

A

A '(0;0;0), B'(a;0;0), D '(0;a;0),C '(a;a;0), A(0;0;a), B(a;0;a),
a
C(a;a;a), D(0;a;a), N(a; ;0)
2

z

D
C

B

a. Mục đích của ta là chứng minh một đường thẳng vuông
góc với một mặt phẳng.
Ta sẽ chỉ ra rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng này
cùng phương với véc tơ pháp tuyến của mp (A’BD).

 
Ta có: AC'  (a;a; a),  A 'B, A 'D  (a 2 ; a 2 ;a 2 ) là véctơ




D'
y

A'=O
x

B'

C'

pháp tuyến của mặt phẳng (A’BD).
Ta thấy hai véc tơ này cùng phương.
Vì thế ta có AC’ vuông góc với mp (A’BD).
b. Tính thể tích tứ diện ANBD’ . Ta có công thức tính thể tích tứ diện là:
1   
VANBD '  |  AN, AB .AD ' | .

6 
  
a 2  
Ta có:  AB, AN   0;a 2 ;  , AD '  (0;a; a),

 
2 

V

3
  
 AB, AN  .AD '  a . Do đó thể tích tìm được là:


2

a3
.
12

c. Để tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng ta sử dụng hai
công thức sau:

  

| a.b |
| [a ,b].AB |

Cos(a, b)=|cos(a,b)|=   ;d(a, b) 
.
| a || b |
| [a ,b] |
 
Với a, b là các véc tơ chỉ phương của đường thẳng a và b. Đường thẳng a,b lần lượt đi qua
hai điểm A và B.

 
| AN.BD ' |
3

Do đó ta có góc giữa hai đường thẳng AN và BD’ là: cos(AN,BD')=   
9
| AN || BD ' |
 
|  AN,BD ' .AB | a 26

Khoảng cách giữa hai đường thẳng này là: d(AN,BD')   



26
|  AN,BD ' |


d. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AC’D).
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Viết phương trình mp (AC’D), Mặt phẳng (AC’D) có véc tơ pháp tuyến cùng phương với
 

[ AC ',AD]=(-a 2 ;0;-a 2 ) . Ta chọn véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AC’D) là n  (1;0;1) .Vì thế

phương trình mặt phẳng (AC’D) là: x + z –a =0. Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm
a
đến mặt phẳng ta có khoảng cách là: d(C,(AC 'D)) 
.
2
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' có cạnh bằng a.
a. Chứng minh rằng đường chéo A'C vuông góc với mặt phẳng (AB'D')
b. Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A'C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của
tam giác AB' D ' .
c. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB'D') và (C'BD)
d. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA 'C) và (ABB'A ')
Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: O  A(0;0;0) ; A '(0;0;a)

B(a;0;0) ; B'(a;0;a)
C(a;a;0) ; C'(a;a;a)
D(0;a;0) ; D'(0;a;a)



A
'C  (a;a; a)




a) Ta có: 
AB'  (a;0;a)





AD
'  (0;a;a)




W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 
2
2


A 'C  AB'

A 'C.AB'  a  0  a  0  

Vì   

Nên A'C  mp(AB'D')

2
2


A
'C

AD'
A
'C.AD'

0

a

a

0





b) G là trọng tâm của tam giác AB' D '


xt




(t  R)
Phương trình tham số của đường thẳng A'C A 'C :  y  t




z  a  t
 
Ta có:  AB', AD '  (a 2 ; a 2 ;a 2 )



Suy ra: n1  (1;1; 1) là một VTPT của (AB’D’)

Vậy: Phương trình tổng quát của mặt phẳng (AB'D') (AB'D') : x  y  z  0
Gọi G  A'C  (AB'D')
Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A'C và mặt phẳng (AB'D') là nghiệm của hệ:


a


x

x  t


3






 a a 2a 

a
y  t


 y  Suy ra: G  ; ;  (1)


3 3 3 
z  at
3







z  2a
x  y  z  0 

3




xA  xB'  xD' a


x


G


3
3



y  y B'  y D ' a

Mặt khác: 
(2)
yG  A

3
3



z  z B'  z D ' 2a

zG  A




3
3


Vậy giao điểm G của đường chéo A'C và mặt phẳng (AB'D') là trọng tâm của tam giác AB' D '
 
c) Ta có:  C'B, C'D  (a 2 ;a 2 ; a 2 )



Suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (C'BD) : x  y  z  a  0
Ta có: (AB'D') : x  y  z  0

(C'BD) : x  y  z  a  0

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 (AB'D') // (C'BD)

 d (AB'D '), (C'BD)  d B, (AB'D ') 

a
3

d) Tính cos (DA 'C),(ABB'A ')


Oy  (ABB'A ')  Vec tơ pháp tuyến của (ABB'A ') là j  (0 ; 1 ; 0)
 
 DA ', DC  (0;a 2 ; a 2 )  a 2 (0;1; 1)



Suy ra vectơ pháp tuyến của (DA 'C) : n 3  (0;1; 1)


Vectơ pháp tuyến của (ABB'A ') là j  (0 ; 1 ; 0)

Vectơ pháp tuyến của (DA 'C) : n 3  (0;1; 1)

cos (DA 'C),(ABB'A ') 

1
2

 (DA 'C),(ABB'A ')  45o

Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi.
AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S(0;0; 2 2) . Gọi M là trung điểm của SC.

1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ;

S(0;0; 2 2)
Ta có:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

C(2;0;0) ; D(0; 1;0) ; M(1;0; 2)


SA  2;0; 2 2 ; BM  1; 1; 2









a) Gọi  là góc giữa SA và BM
Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

 
SA.BM
 
3
Ta có: cos   cos SA, BM    
   30o
2
SA BM





Chứng minh SA và BM chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
 

  
[SA,BM]  (2 2;0; 2) ; AB  (2;1;0) [SA, BM].AB  4 2  0
  
[SA,BM].AB
4 2
2 6
d(SA,BM) 



 
3
84
[SA, AB]
b) Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Dễ dàng nhận thấy: MN  (ABM)  (SCD)

VS.ABMN  VS.ABM  VS.AMN
Trong đó:
VS.ABM 

1   
[SA,SM].SB
6

VS.AMN 

1   
[SA,SM].SN
6

MN / /AB / /CD  N là trung điểm của SD


1
Toạ độ trung điểm N 0;  ; 2 



2




SA  (2;0; 2 2) ;
SM(1;0;  2) SB  (0;1; 2 2) ;
 
 [SA,SM]  (0;4 2;0)
VS.ABM 


SM(1;0;  2)

1    4 2 2 2
[SA,SM].SB 

6
6
3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 8

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

VS.AMN 

1    2 2
2
[SA,SM].SN 

6
6
3

Vậy VS.ABMN  VS.ABM  VS.AMN  2 (đvtt)
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với

A(0; 3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B1 (4;0;4) . Tìm toạ độ các đỉnh A1 ; C1 . Viết phương trình
mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1 ) . Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1 .
Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: O(0;0;0) ;
Với: A(0; 3;0) ; B(4;0;0) ; C(0;3;0) ; B1 (4;0;4)
A1 (0; 3; 4)





C1 (0;3;4)

Toạ độ trung điểm M của A1B1

3 
M  2;  ;4)

2 

Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 .
Ta có: A1 (0; 3;4)  mp(Oyz)

C1 (0;3;4)  mp(Oyz)
+ Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1 )
Viết phương trình mp (BCC1B1 )
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Tìm bán kính của mặt cầu (S): R  d A,(BCC1B1 )

 
Vectơ pháp tuyến của mp (BCC1B1 ) là n  [BC, BB1 ]  (12; 16; 0)

Phương trình tổng quát của mp (BCC1B1 ) : (BCC1B1 ) : 3x  4y 12  0

24
5

Bán kính của mặt cầu (S): R 

Phương trình mặt cầu (S): (S) : x 2  (y  3) 2  z 2 

576
25

+ Phương trình mặt phẳng (P):
Tìm

vectơ

pháp


BC1  (4;3;4)

tuyến

của


 

AM  (P)

n


[AM,
BC1 ]
(P) 

P

BC
/
/
(P)
1



  3 
AM  2; ; 4 ;
 2 


 
Vectơ pháp tuyến của (P): n P  [AM, BC1 ]  (6; 24;12)

Phương trình mặt phẳng (P): (P) : x  4y  2z  12  0

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên

khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 11