Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

i- Kiến thức
1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian
và các kién thức liên quan.
* Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 3 trục Ox, Oy,
Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với
, ,i j k
r r r
là các véc tơ đơn
vị tơng ứng ở trên các trục Ox, Oy, Oz.
*
u . 0v u v =
r r r r
*
[ ]
, 0u kv u v= =
r r r r
* Công thức toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng .
* Công thức toạ độ trọng tâm của tam giác
* Công thức toạ độ trọng tâm của tứ giác.
* Diện tích tam giác
1
,
2
ABC
S AB AC


=

uuur uuur
Thể tích hình hộp

' ' ' '
, . '
ABCDA B C D
V AB AD AA

=

uuur uuur uuur
* Các công thức tính góc.
- Góc giữa hai đờng phẳng:

. '
cos( ; ')
. '
u u
u u
=
r ur
r ur
với
u
r
,
'u
ur
lần lợt là các véctơ chỉ phơng của
, '
- Góc

giữa đờng thẳng

và
( )mp

.
sin
.
u n
u n

=
r r
r r
với
u
r
là véctơ chỉ phơng của

;
n
r
là véctơ pháp tuyến của
( )mp

- Góc giữa
( )mp

và
( )mp

. '
cos
. '
n n
n n

=
r ur
r ur
với
, 'n n
r ur
lần lợt là véctơ pháp tuyến của
( )mp

và
( )mp

.
* Các công thức tính khoảng cách:
- Khoảng cách từ 1 điểm M(x
0
, y
0
, z
0
) đến
( )mp

: Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ;( ))
Ax By Cz D
d M
A B C

+ + +
=
+ +
- Khoảng cách từ 1 điểm M
1
đến đờng thẳng

( Qua điểm M
0
, có véctơ chỉ phơng
u
r
) là:
0 1
1
,
( , )
M M u
d M
u

=
uuuuuur r
r
- Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau:
'
0 0
, ' .
( , ')
, '
u u M M
d
u u


=


uuuuuur
r ur
r ur

với
u
r
,
'u
ur
lần lợt là véc tơ chỉ phơng của
, '
;

M
0
, M
0

lần lợt là các điểm nằm trên
, '
* Phơng trình mặt phẳng (phơng trình tổng quát, phơng trình tham số, phơng trình đoạn chắn)
* Phơng trình đờng thẳng.
2. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phơng pháp tọa độ:
1
Đó là những bài toán liên quan đến:
a. Hình hộp lập phơng, Hình hộp chữ nhật.
b. Hình chóp tam giác SABC có SA

(ABC); với đáy ABC là tam giác vuông tại A.
c. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông.
d. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SO

(ABCD).
e. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và
( )SA ABCD
.
f. Tứ diện đều, hình chóp tam giác đều.
g. Một số bài toán khác.
Đối với những bài toán này, giáo viên cần hớng dẫn cho học viên cách chọn một hệ trục toạ độ
thích hợp, thuận lợi cho việc xác định toạ độ các điểm để dùng phơng pháp toạ độ giải chúng.
II- các bài tập điển hình:
Sau đây là một số bài tập điển hình.
Bài 1: ( Bài tập T.3 trang 88, sách BT Hình học12)

Cho hình lập phơng ABCDABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BB.
a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AC
b) Chứng minh rằng DB vuông góc với mp(ACD), DB vuông góc với mp(ACB)
c) Tính góc giữa hai đờng thẳng IJ và A
/
D
Lời giải:
a) Giả sử hình lập phơng có độ dài các cạnh bằng a.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz nh hình vẽ, đơn vị trên trục bằng đơn vị độ dài.
Khi đó:
A(0;0;0) ; B(0;a;0); C(a;a;0); D(a;0;0)
A(0;0;a) ; B(0;a;a); C(a;a;a); D(a;0;a)
( ;0; ); (0; ; )
2 2
a a
I a J a
Suy ra
( ; ; )
2 2
a a
IJ a=
uur
,
' ( ; ; )AC a a a=
uuuur
. ' . . .
2 2
a a
IJ AC a a a a= +
uur uuuur

= 0
Vậy
'IJ AC

b) Để chứng minh
' ( ' ' )D B A C D
:
Cách 1: Ta chứng minh
' ' '; ' 'D B A C D B A D
Ta có:
' ( ; ; )D B a a a=
uuuur
;
' ' ( ; ;0)A C a a=
uuuuur
;
' ( ;0; )A D a a=
uuuur
' . ' ' 0D B A C =
uuuur uuuuur

' ' 'D B A C

' . ' 0D B A D =
uuuur uuuur


' 'D B A D
Nên
' ( ' ' )D B A C D

Cách 2: Ta có:
2 2 2
' ' ( ; ;0); ' ( ;0; )
0 0
' ', ' ; ; ( ; ; )
0 0
A C a a A D a a
a a a a
A C A D a a a
a a a a
= =


= =
ữ



uuuuur uuuur
uuuuur uuuur
Mặt phẳng (ACD) có véctơ pháp tuyến
2
1
' ', ' ( 1;1; 1)n A C A D
a

= =

r uuuuuruuuur
2

Đờng thẳng DB có véctơ chỉ phơng
1
. ' ( 1;1; 1)u D B
a
= =
r uuuur
Suy ra
n u=
r r
nên đờng thẳng DB

(ACD)
Tơng tự ta chứng minh đợc
' ( ')D B ACB
.
c) Gọi

là góc giữa hai đờng thẳng IJ và AD thì
. .0 .( )
. '
2 2
cos cos( , ' ) 0
2
6
'
. 2
2
a a
a a a
IJ A D

IJ A D
a
IJ A D
a


+
= = = = =
uur uuuur
uur uuuur
uur uuuur
Có thể nhận xét:
. ' 0 ( , ' )
2
IJ A D IJ A D

= =
uur uuuur
Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có cạnh
bằng a.
a) Chứng minh rằng giao điểm của đờng chéo AC và
mp (ABD) là trọng tâm tam giác ABD.
b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (ABD) và mp
(CBD).
c)Tìm góc tạo bởi hai mp (DAC) và mp (ABBA).
Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ nh hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài).
Khi đó: A(0;0;0); B(a;0;0) ; C(a;a;0) ; D(0;a;0); A(0;0;a); B(a;0;a); C(a;a;a) ; D(0;a;a)
a) Ta có:
' ( ; ; )A C a a a=
uuuur

Đờng thẳng AC có véc tơ chỉ phơng:
1
. ' (1;1; 1)u A C
a
= =
r uuuur

Đờng thẳng AC có phơng trình tham số là: x = t; y = t; z = a - t (1)

' ( ; 0; ); ' (0; ; )AB a a AD a a= =
uuuur uuuur



2 2 2
0 0
', ' ; ; ( ; ; )
0 0
a a a a
AB AD a a a
a a a a


= =
ữ


uuuur uuuur

Mặt phẳng (ABD) có véc tơ pháp tuyến
2
1
', ' (1;1; 1)n AB AD
a

= =

r uuuuruuuur

Mặt phẳng (ABD) có phơng trình là x + y - z = 0. (2)
Từ (1) và (2)

giao điểm G của AC và (ABD) là
2
( ; ; )
3 3 3
a a a
G
.
3
Mặt khác nếu G là trọng tâm tam giác ABD thì
2
'( ; ; )
3 3 3
a a a
G
Tức là
'G G
. Vậy G là trọng tâm tam giác ABD.

b)Phơng trình mp(CBD) là x + y - z - a = 0
Suy ra mp(CBD)//mp(ABD)
Do đó khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ G tới (CBD) và bằng :
2 2 2
2
3
3 3 3
3
3
1 1 1
a a a
a
a a
+
= =
+ +
c)Mặt phẳng(ABBA) có phơng trình là y = 0
Mặt phẳng(DAC) có phơng trình là y + z - a = 0
Gọi

là góc giữa 2 mặt phẳng trên. Khi đó:

1.1 0.1
1
cos
4
1. 1 1 2


+

= = =
+
Bài 3: ( Đề thi Đại học Ngoại thơng TP. Hồ Chí Minh 2001-2002)
Cho hình lập phơng ABCDABCD, cạnh bằng a.
Giả sử M,N lần lợt là trung điểm của BC và DD.
a) Chứng minh rằng MN// (ABD).
b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a.
Lời giải:
Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình vẽ (Đơn vị trên trục là đơn vị độ dài)
Khi đó: A

O ; A(0;0;0) ; B( a;0;0) ; D(0;a;0); A(0;0;a) ; D(0;a;a); M(a;
2
a
;0); N(0;a;
2
a
)
a) mp(ABD) có véctơ pháp tuyến
(1;1;1)n
r
;
mặt khác
( ; ; )
2 2
a a
MN a
uuuur

. 0

2 2
a a
n MN a= + + =
r uuuur

n MN
r uuuur
Hay MN//mp(ABD).
b) Mặt phẳng (A
/
BD) có phơng trình: x +
y + z - a = 0.
Vì MN//(ABD)

BD và MN, BD chéo nhau
2 2 2
0
3
2
( ; ) ( ;( ' ))
6
1 1 1
a
a a
a
d BD MN d M A BD
+ +
= = =
+ +
Trong bài toán ta có thể chọn hệ trục toạ độ khác

nhng khi lập phơng trình mp(ABD) ta phải tính toạ độ
véctơ pháp tuyến mà không sử dụng đợc phơng trình theo đoạn chắn nh cách chọn trên.

Bài 4: ( Đề thi Học viện Công nghệ Bu chính viễn thông 2001-2002)
Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD có AB=a ; AD=2a; AA=a.
a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho
3
AM
MD
=
.Tính khoảng cách từ M đến (ABC)
4
b) Tính thể tích tứ diện ABDC.
Lời giải:
a) Chọn hệ trục toạ độ Đềcác Axyz nh hình vẽ
Khi đó ta có:
A(0;0;0) ; B(0;a;0) ; C( 2a;a;0) ; D(2a;0;0);
A(0;0;a); B(0;a;a)
C(2a;a;a) ; D (2a;0;a). Vì M

AD thoả mãn
3
AM
MD
=
3
( ;0;0)
2
a
M

Mp(ABC) có phơng trình: x- 2y + 2z = 0. Do đó
khoảng cách từ M đến mp(ABC) là:
3. 2.0 2.0
2
( ,( ' ))
2
1 4 4
a
a
d M AB C
+
= =
+ +
b) Theo công thức
' ' . ' ' ' '
1 1
', ' .
6 6
AB D C ABCD A B C D
V V AB AD AC

= =

uuuur uuuur uuur
. Mà
3
' '
' (2 ;0; ); ' (0; ; ); (2 ; ; )
0 0
1 2

.2 . .0 ( )
0 2 2 0
6 3
AB D C
CD a a AB a a AC a a a
a a a a
a
V a a dvdt
a a a a
= = =
= + + =
uuuur uuuur uuur
Bài 5: Bài tập số 7. Ôn tập chơng 2- SGK HH12)
Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh a. Điểm M thuộc AD và điểm N thuộc BD sao cho
AM = DN = k
(0 2)k a< <
a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(ADBC) khi k biến thiên.
c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đờng vuông góc chung của AD và DB và
MN song song với AC.
Lời giải:
a) Chọn hệ trục toạ độ Đề các Axyz nh hình vẽ Khi
đó ta có:
A(0;0;0); B(a;0;0) ; C( a;a;0);
D(0;a;0); A(0;0;a); D(0;a;a) ;
Do AM = k

/
0; ;
2 2 2

k k k
AM AD M
a

= =


uuuur
uuuur
DN = k
; ;0
2 2 2
k k k
DN DB DN
a

= =


uuur uuur uuur
2
; ;0
2 2
k a k
N


=

2 2 2
3 2 2MN k a k a = +
5