14 câu vận dụng cao đạo hàm và ứng dụng có lời giải chi tiết

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

14CÂUVẬNDỤNGCAOĐẠOHÀMVÀỨNGDỤNGCÓLỜIGIẢICHITIẾT

Cây1:Khisảnxuấtvỏlonsữabòhìnhtrụcácnhàthiếtkếluônđặtmụctiêusaochochiphí
nguyênliệulàmvỏlonlàítnhất,tứclàdiệntíchtoànphầncủahìnhtrụlànhỏnhất.Muốn
thểtíchcủakhốitrụđóbằng2vàdiệntíchtoànphầnhìnhtrụnhỏnhấtthìbánkínhđáygần
sốnàonhất?
A.0,68.
B.0,6.
C.0,12.
D.0,52.
Hướngdẫngiải:
Gọi x  x  0 làbánkínhđáycủalonsữa.
Khiđó V  x 2 h  h 

V
.
x 2

Diệntíchtoànphầncủalonsữalà

S(x)  2x 2  2xh  2x 2  2x

V
2
4
 2x 2  2  2x 2  , x  0
2
x
x

x

4
BàitoánquyvềtìmGTNNcủahàmsố S(x)  2x 2  , x  0
x
S  x   4x 

4
x2

1
S  x   0  x  3  0, 6827




Câu2:Khixâydựngnhà,chủnhàcầnlàmmộtbểnướcbằnggạchcódạnghìnhhộpcóđáy
làhìnhchữnhậtchiềudài d m  vàchiềurộng r m với d  2r. Chiềucaobểnướclà h m  và
thểtíchbểlà 2 m3 . Hỏichiềucaobểnướcnhưthếnàothìchiphíxâydựnglàthấpnhất?
A.

3 3
m .
2 2

B. 3

2
m .
3

C. 3

3
m .
2

D.

2 2
m .
3 3

Hướngdẫngiải
Gọi x  x  0 làchiềurộngcủađáysuyrathểtíchbểnướcbằng

V  2x 2 .h  2  h 

1

x2

Diệntíchxungquanhhồvàđáybểlà

W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

S  6x.h  2x 2 

6
 2x 2  x  0
x

Xéthàmsố f  x  

6
 2x 2 với x  0.
x

Hàmsốđạtgiátrịnhỏnhấttại x 

Vậychiềucaocầnxâylà h 

3

3
.
2

1
1
2 2


m.
2

2
x
3
3
 3
3  
 2 

Câu3:Mộ tkháchsạ ncó 50phò ng.Hiệ ntạ imoiphò ngchothuê vớigiá 400ngà nđongmộ t
ngà ythı̀ toà nbộ phòngđượcthuê het.Bietrangcứmoilantănggiá thê m20ngà nongthı̀
đ

có thê m 2 phò ng trong. Giá m đoc phả
i chọ n giá phò ng mới là bao nhiê u đe thu nhậ p củ
a
khá chsạ ntrongngà ylà lớnnhat.
A.480ngàn.
B.50ngàn.
C.450ngàn.
D.80ngàn.
Hướngdẫngiải
Gọi x (ngànđồng)làgiáphòngkháchsạncầnđặtra, x  400 (đơnvị:ngànđồng).
Giáchênhlệchsaukhităng x  400 .
Sốphòngchothuêgiảmnếugiálà x :
Sốphòngchothuêvớigiá x là 50 

 x  400  2
20



x  400
.
10

x  400
x
 90  .
10
10


x
x2
Tổngdoanhthutrongngàylà: f (x)  x 90      90x .

10 
10

x
f (x)    90 . f (x)  0  x  450 .
5
Bảngbiếnthiên:



W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 2

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Dựavàobảngbiếnthiêntathấy f (x) đạtgiátrịlớnnhấtkhi x  450 .
Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là
2.025.000đồng.
Câu4:Mộtngườidựđịnhlàmmộtthùngđựngđồhìnhlăngtrụtứgiácđềucóthểtíchlà V .
Đểlàmthùnghàngtốnítnguyênliệunhấtthìchiềucaocủathùngđựngđồbằng
2
3

A. x  V



B. x  V
3

1
4

C. x  V



D. x  V



Hướngdẫngiải:

Gọi a làđộdàicạnhđáy, x làđộdàiđườngcaocủathùngđựngđồ a, x  0

V
V
 Stp  2a 2  4ax  2  4 Vx
x
x

Khiđó, V  a 2 x  a 

Đểlàmthùnghàngtốnítnguyênliệunhấtthì Stp nhỏnhất  2
Xéthàmsố f  x   2

V
 4 Vx nhỏnhất.
x

V
 4 Vx trên 0;
x

1
2V 2 V
2
Tacó f ' x   2 
; f ' x   0  x V  V x  x  V 3
x
x

1

x

+∞

V3

0

f'(x)

+

0

f(x)
1

f(V 3 )


TừBBTtathấyđểlàmthùnghàngtốnítnguyênliệunhấtthìchiềucaocủathùngđựngđồ
1

bằng V 3 .
Câu5.Nếuđồthịhàmsố y 

x4
cắtđườngthẳng (d) : 2x  y  m tạihaiđểmABsao
x 1

chođộdàiABnhỏnhấtthì
A.m=-1



B.m=1



C.m=-2

D.m=2

Hướngdẫngiải:
W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm

x4
(x  1)
 2x  m
x 1

2

 2x  (m  3)x  m  4  0
  (m  1) 2  40  0, m  R
Suyra(d)luôncắtdồthịhàmsốtạihaiđiểmA,B

m 3
;
2
y A  2x A  m;

xA  xB 

m  4
;
2
y B  2x B  m
x A .x B 



y B  y A  2(x B  x A )

AB  (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2  5(x B  x A ) 2
 m  3 2


  4 m  4 
 5  (x B  x A )  4x A x B   5 


2 

 2
2



5
2
 m 1  40  5 2
4

VậyABnhỏnhấtkhim=-1
Câu6.Tìmthamsốthựcmđểbấ tphươngtrình: x 2  4x  5  x 2  4x  m 1 có nghiệ m
thựctrongđoạ n  2;3 .
A. m  1

B. m 1

1
C. m  
2

1
D. m  
2

Hướngdẫngiải:

Tậ pxá cđịnh: D   .
Đặ
t t  x 2  4x  5  1  x 2  4x  t 2  5 .

Khiđó : 1  t  t 2  5  m  m  t 2  t  5  g  t , t  1;  .

1
Tacó : g ' t   2t  1. Cho g ' t   0  t  .
2
Bả
ngbiế nthiên:




W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



1
 2 3 
2

t
g ' t 





 0  
3


g t 




1

Dựavà obả
ngbiế nthiên, m 1 thỏ
ayêucầ ubà itoá n.
Câu7:Tìmmđểphươngtrình sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4x = m cóbốnnghiệmphânbiệtthuộc
  
đoạn  ;  .
 4 4 
A. m 
C.

47 3
;  m
64 2

47
3

 m 
64
2







B.



D.

49
3
 m 
64
2





47
3
 m 
2

64

Hướngdẫngiải:
Phươngtrìnhđãchotươngđương

3  cos4x
 cos2 4x  m
4
 4cos 2 4x  cos4x  4m  3 (1)
Đặtt=cos4x.Phươngtrìnhtrởthành: 4t 2  t  4m  3 ,(2)

  
Với x   ;  thì t  1;1.
 4 4 
  
Phươngtrình(1)có4nghiệmphânbiệt x   ;  khivàchỉkhiphươngtrình(2)có2
 4 4 
nghiệmphânbiệtt[-1;1),(3)
Xéthàmsốg(t)= 4t 2  t với t  [1;1) ,g’(t)=8t+1.

W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1
g’(t)=0t= 
8

Lậpbảngbiếnthiên:




t
g’(t)

1
0

+
5

g(t)
3


Dựavàobảngbiếnthiênsuyra(3)xảyra 

Vậygiátrịcủamphảitìmlà:

1
47
3
 4m  3  3   m 
16
64
2

47
3
 m  .
64
2

Câu8:Khixâynhà,chủnhàcầnlàmmộthồnướcbằnggạchvàximăngcódạnghìnhhộp
đứngđáylàhìnhchữnhậtcóchiềudàigấpbalầnchiềurộngvàkhôngnắp,cóchiềucaolà
h vàcóthểtíchlàV.Hãytínhchiềucaohcủahồnướcsaochochiphíxâydựnglàthấp
nhất?
A. m

B. h  2 m

C. h 

3
m
2

D. h 

5
m
2

Hướngdẫngiải:
Gọix,y,hlầnlượtlàchiềurộng,chiềudàivàchiềucaocủahìnhhộp.
Theođềbàitacó y  3x và V  hxy  h 

V
V
 2
xy 3x

Đểtiếtkiệmnguyênvậtliệunhấttacầntìmcáckíchthướcsaochodiệntíchtoànphầncủa
hồnướclànhỏnhất.
Khiđótacó: Stp  2xh  2yh  xy  2x

V
V
8V
 2.3x. 2  x.3x 
 3x 2
2
3x
3x
3x

Cách1:Ứngdụngđạohàmtìmgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố S(x) 

Tathấyhàmsốđạtgiátrịnhỏnhấttại x  3

8V
 3x 2
3x

4V
V
3

 2  h  2  .
9
3x
2

Cách2:Dùngbấtđẳngthức.

W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Cauchy
8V
4V 4V
16V 2
 3x 2 

 3x 2  3 3
 36 .
3x
3x
3x
3

Tacó Stp 

Dấu“=”xảyrakhivàchỉkhi

4V
4V
V
3
 3x 2  x  3
 2  h  2  .
3x
9
3x
2

Câu9:Cóbaonhiêugiátrịnguyêncủathamsố m thuộc 10;10 đểphươngtrình





1  x 2  m 2 1  x  2 1  x  3  1  0 cónghiệm?
A.14

B. 13

C. 8

D. 9

Hướngdẫngiải:
ĐK: 1  x  1 .
Đặt u  1  x  1  x

1

x
u'

1
1
 u'

;u '  0  x  0
2 1  x 2 1 x

+

0
0
2

1


u
TừBBT  2  t  2

2

2

t2
PTcódạng:  m 2t  3  0  t 2  2m  2t  3*

2
Do t 

2
t2
 f t 
khônglànghiệmnên *  2m 
3
2t  3

PTđãchocónghiệm  Đồthịh/s y  f  t  vàđt y  2m cóđiểmchungcóhoànhđộ

2  t  2

2t  t  3
t2
Xéthàmsố f  t  
trên  2;2 : f ' t  
 0 t   2;2
2




2t  3
2t  3
BBT:
t
f ' t 

f t 

2  2 2 3





2





3

2







2



4

W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai









 2m  2 2 2  3
m   2 2  3

Phươngtrìnhđãchocónghiệm  
.
 
 2m  4
 m  2
Vậycó14giátrịnguyêncủamthỏayêucầubàitoán.

Câu10:Từmộtmiếngtônhìnhvuôngcạnha(cm)ngườitamuốncắtramộthìnhchữnhật
vàhaihìnhtròncócùngđườngkínhđểlàmthânvàcácđáycủamộthìnhtrụ.Hỏikhốitrụ
đượctạothànhcó thểtíchlớnnhấtbằngbaonhiêu,biếtrằngcáccạnhcảuhìnhchữnhật
songsonghoặctrùngvớicáccạnhbanđầucủatấmtôn.

a 3  1
a 3   1
a 3
A.
B.
C.
D. 2
2
4 2
42
4
4   1

a 3

Hướngdẫngiải:
Tacó2cáchđểcắthìnhđểtạothànhhìnhtrụ.
Cách1:Cắtthành2phần:Mộtphầncókíchthướcxvàa.Mộtphầncókíchthướca-xvàa.
Phầncó kíchthướcxvàađểlàmhaiđáy vàphầncó kíchthướca-xvà acuộndọcđểtạo
thànhthân(tạothànhhìnhtrụcóchiềucaobằnga).
Điềukiệnlà x 

a
ax 2
a 3


thì V 
.
2
4
 1
4   1

Cách2:Cắtnhưtrên.Nhưngphầncókíchthướca-xvàacuộnngangđểlàmthànhthân(tạo
thànhhìnhtrụcóchiềucaolàa-x).

a
dochuvicủahìnhtròncắtraphảibằngvớiphầnđáycủahìnhchữnhật.

 a  x  x 2
Khiđó V 
.
4
Điềukiệnlà x 

 a  x  x 2
a
Xéthàmsố V 
,với x  .

4
 a  x  x 2 a 3  1

Tacó V 
.

4
42
a 3  1
Vậythểtíchlớnnhấtcủakhốitrụđượctạothànhlà:
.
4 2
Câu11: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của
dòngnướclà 6km / h .Nếuvậntốcbơicủacákhinướcđứngyênlàv(km/h)thìnănglượng
tiêuhaocủacátrongtgiờđượcchobởicôngthức: E  v  cv 3 t. Trongđóclàmộthằngsố,E
đượctínhbằngjun.Tìmvậntốcbơicủacákhinướcđứngyênđểnănglượngtiêuhaolàít
W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

nhất.
A.6km/hB.9km/hA.12km/hA.15km/h
Hướngdẫngiải:
Vậntốccủacábơikhingượcdònglà:v-6(km/h).
Thờigianđểcábơivượtkhoảngcách300kmlà t 

300

v6

Nănglượngtiêuhaocủacáđểvượtkhoảngcáchđólà:

E  v  cv 3 .

300
v3
 300c.
 jun , v  6
v6
v6

E '  v   600cv2

v 9

 v  6

 v  0 loai

2

 E '  v  0  
v  9


V

69
E '  v -0+

E(v)




E(9)

ChọnđápánB
Câu12.Từmộttấmtôncókíchthước90cmx3mngườitalàmmộtmángxốinướctrongđó
mặtcắtlàhìnhthangABCDcóhinhdưới.Tínhthểtíchlớnnhấtcủamángxối.
A

D

30cm

90cm
3m

3m

A. 40500 3cm 3







B. 40500 2cm3

C. 40500 6cm3







D. 40500 5cm 3

30cm

B

30cm





C



Hướngdẫngiải:
Thểtíchmángxối: V  SABCD .300(cm 2 ) .
Vậythểtíchlớnnhấtkhidiệntíchhìnhthanglàlớnnhất.

E

A

D

θ
30cm
30cm
θ

W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

B

30cm

C

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1
SABCD  (BC  AD).CE
2

CE  CDsin  30.sin
AD  BC  2ED  30  60cos

SABCD  90sin 

90
sin2
2

Đặt f ()  90sin 

f '()  90cos 

90
sin2
2

,   [0; ]

90
.2cos2
2




1

 
cos


2

f '()  0  cos   cos 2  0  2 cos   cos  1  0  
3 .
2 


 cos   1   

f (0)  f ()  0;f    135 3 .VậyGTLNcủadiệntíchABCDlà 135 3cm 2 .
3
Vậythểtíchmángxốilớnnhấtbằng 40500 3cm 3 khitacạnhCDtạovớiBCgóc 600 .

2x  1
C .Tìmkđểđườngthẳng d : y  kx  2k 1 cắt(C)tạihai
x 1
điểmphânbiệt A, B saochokhoảngcáchtừ A và B đếntrụchoànhbằngnhau.
Câu13.Chohàmsố y 

A.12



B. 4



C. 3



D.1

Hướngdẫngiải:
Phươngtriìnhhoànhđộgiaođiểmcủa(C)vàd:

2x  1
 kx  2k  1  2x  1   x  1kx  2k  1;  x  1
x 1

 kx 2  3k 1 x  2k  0 1;  x  1
dcắt(C)tạihaiđiểmA,Bphânbiệtkhivàchỉkhi(1)cóhainghiệmphânbiệtkhác 1 .



k 1



k  0
2


.
  k  6k  1  0



k

3


2
2

k

3

2
2


2



k 1  3k 11  2k  0

W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Khiđó: A  x1; kx1  2k  1, B  x 2 ;kx 2  2k  1 với x1 , x 2 lànghiệmcủa(1).


3k  1



x1  x 2 

TheođịnhlýViettacó 
.
k



x1 x 2  2
Tacó d A;Ox   d B;Ox   kx1  2k  1  kx 2  2k  1

 x1  x 2
 kx  2k  1  kx 2  2k  1
.
 1
 
 kx1  2k  1  kx 2  2k 1
k
x

x

4k

2

0


1

2


DohaiđiểmA,Bphânbiệtnêntaloạinghiệm x1  x 2 .
Dođó k  x1  x 2   4k  2  0  k  3 .
Câu14:Mộtmiếnggỗhìnhtamgiácđềuchiềudàicạnhlàa.Cắtbỏ3phầnnhưhìnhvẽđể
đượcmộtmiếnggỗhìnhchữnhậtcódiệntíchlớnnhất.Tínhdiệntíchlớnnhấtđó.



a2 3
A.

8

a2
B.
8





a2 3
C.

4

a2 6
D.

8



Hướngdẫngiải:

A

Gọi MN  x,0  x  a
Khiđó: SMNPQ 

3
x(a  x)
2

KSHStatìmđượcGTLNlà

a
a2 3
khi x 
2
8

Q

B

M

P

N

C



W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 11


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai





W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 12


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh,nộidungbàigiảngđượcbiênsoạncôngphuvàgiảngdạybởinhữnggiáoviênnhiềunăm
kinhnghiệm,giỏivềkiếnthứcchuyênmônlẫnkỹnăngsưphạmđếntừcáctrườngĐạihọcvà
cáctrườngchuyêndanhtiếng.

I.

LuyệnThiOnline
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%


-

LuyênthiĐH,THPTQGvớiđộingũGVGiỏi,KinhnghiệmtừcácTrườngĐHvàTHPTdanhtiếng.

-

H2khóanềntảngkiếnthứcluyênthi6môn:Toán,NgữVăn,TiếngAnh,VậtLý,HóaHọcvàSinhHọc.

-

H99khóakỹnănglàmbàivàluyệnđềthithử:Toán,TiếngAnh,TưNhiên,NgữVăn+XãHội.



II.

LớpHọcẢoVCLASS


Học Online như Học ở lớp Offline

-

Manglớphọcđếntậnnhà,phụhuynhkhôngphảiđưađónconvàcóthểhọccùngcon.

-

Lớphọcquamạng,tươngtáctrựctiếpvớigiáoviên,huấnluyệnviên.

-

Họcphítiếtkiệm,lịchhọclinhhoạt,thoảimáilựachọn.

-

Mỗilớpchỉtừ5đến10HSgiúptươngtácdễdàng,đượchỗtrợkịpthờivàđảmbảochấtlượnghọctập.

CácchươngtrìnhVCLASS:
-

BồidưỡngHSGToán:Bồidưỡng5phânmônĐạiSố,SốHọc,GiảiTích,HìnhHọcvàTổHợpdànhcho
họcsinhcáckhốilớp10,11,12.ĐộingũGiảngViêngiàukinhnghiệm:TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá CẩncùngđôiHLVđạt
thànhtíchcaoHSGQuốcGia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
kháccùngTS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
ToánChuyênvàToánTiếngAnhdanhchocácemHSTHCSlớp6,7,8,9.

III.

UberToánHọc



Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online

-

GiasưToángiỏiđếntừĐHSP,KHTN,BK,NgoạiThương,DuhocSinh,GiáoviênToánvàGiảngviênĐH.
DaykèmToánmọicâpđộtừTiểuhọcđếnĐHhaycácchươngtrìnhToánTiếngAnh,TútàiquốctếIB,…

-

HọcsinhcóthểlựachọnbấtkỳGVnàomìnhyêuthích,cóthànhtích,chuyênmôngiỏivàphùhợpnhất.

-

NguồnhọcliệucókiểmduyệtgiúpHSvàPHcóthểđánhgiánănglựckháchquanquacácbàikiểmtra

độclập.

-

Tiếtkiệmchiphívàthờigianhoclinhđộnghơngiảiphápmờigiasưđếnnhà.

W:www.hoc247.netF:www.facebook.com/hoc247.netT:0981821807

Trang | 13