10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

10 Bộ đề thi bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Đề 1:
Câu 1: Cho phương trình 2x 2  2(m  1) x  m2  4m  3  0
1. Định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2
2.Tìm giá trị lớn nhất của A | x1 x2  2( x1  x2 ) |
Câu 2: Tính tổng: S  a1  a2  ...  a99 , trong đó:
an 

1
, n  1,...,99.
(n  1) n  n n  1

Câu 3: Cho ba số thực a, b, c, d không nhỏ hơn 1 thỏa mãn a2  b2  c2  d 2  16 . Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức: P  a 1  b 1  c  1  d  1
Câu 4: Cho số tự nhiên a. Chứng minh rằng nếu (a, 240)  1 thì a4  1 240
Câu 5: Cho tam giác ABC có trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi P là điểm nằm trên
đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC và nằm trong tam giác ABC. PB cắt (O) tại điểm M
khác B. PC cắt (O) tại điểm N khác C. BM cắt AC tại điểm E, CN cắt AB tại điểm F.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME và đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF cắt nhau tại
điểm Q khác A.
1. Chứng minh rằng ba điểm M, N, Q thẳng hàng.
2. Giả sử AP là phân giác của góc MAN. Chứng minh rằng PQ đi qua trung điểm của BC.
Câu 6: Chứng minh rằng không thể phủ kín hình vuông 8  8 đã bỏ đi hai ô ở góc đối diện
nhau (góc trên bên trái và góc dưới bên phải) bằng 31 quân đô-mi-nô kích thước 1  2 (các
quân đô-mi-nô có thể xoay ngang, dọc tuỳ ý).

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 1


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 2:
Câu 1: Cho phương trình x2  ax  b  0 có hai nghiệm phân biệt.
Chứng minh rằng phương trình x4  ax3  (b  2) x 2  ax  1  0 có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2: Giải hệ phương trình:
 2x 2
 x 2  1  y (1)

 3 y3
 z (2)
 4
2
y

y

1


4z 4

 x(3)
 6 4 2
 z  z  z 1

Câu 3: Cho x, y, z thỏa mãn x  y  z  0 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 

x3  y 3  16 z 3
( x  y  z )3

Câu 4: Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho 2013k 1 chia hết cho 105 .
Câu 5: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC (A, B là các
tiếp điểm), vẽ cát tuyến AEF (EF không đi qua O). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O.
DE, DF lần lượt cắt AO tại M và N. Chứng minh rằng:
1. CEF CMN
2. OM  ON
Câu 6: Một miếng giấy hình vuông kích thước 29 x 29 được chia thành các ô vuông kích
thước 1 x 1 bằng các đường thẳng song song với các cạnh của miếng giấy. Người ta cắt ra
theo đường lưới 99 miếng hình vuông có kích thước 2 x 2. Chứng minh rằng, từ phần giấy
còn lại ta có thể cắt ra theo đường lưới một miếng hình vuông 2 x 2 nữa?

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 2


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 3:
Câu 1: Cho phương trình

x 1 x 

3
 x  a (x là ẩn)
4

1.Tìm điều kiện của x để phương trình có nghĩa
2. Với giá trị nào của a thì phương trình trên có nghiệm, khi đó, tìm x theo a.
Câu 2: Giải phương trình:
3

x  24  12  x  6

Câu 3: Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0  a  b và phương trình ax2  bx  c  0 vô nghiệm.
Chứng minh rằng :

abc
3
ba

Câu 4: Cho x, y, z là các số nguyên sao cho  x  y    y  z    z  x   xyz . Chứng minh
2

2

2

rằng x3  y3  z 3 chia hết cho x  y  z  6 .
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là trung điểm của AC, vẽ đường tròn (O)
đường kính CD cắt BC tại E, BD cắt (O) tại F.
1. Chứng minh ABCF nội tiếp
2. Chứng minh AFB  ACB và tam giác DEC cân.
3. Kéo dài AF cắt đường tròn (O) tại H. Tứ giác CEDH là hình gì ?
Câu 6: Mỗi giải bóng đá đá theo luật sau:
-Mỗi đội đều thi đấu với tất cả các đội khác.
-Hai đội bất kì thì chỉ đấu với nhau đúng một lần.
-Trong mỗi trận đấu, đội thắng được hai điểm, thua không được điểm, hòa thì mỗi đội một
điểm.
Giải đấu kết thúc như sau: Mỗi đội đạt được một số điểm khác nhau và đội đứng cuối
thắng cả ba đội đứng đầu (thứ tự sắp xếp theo điểm). Vậy số đội bóng của giải có thể là 12
đội được hay không?

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 3


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 4:
Câu 1: Cho phương trình: mx 2  2(m  1) x  4m  0(1)
1. Giải và biện luận (1)
2. Xác định m để (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn :

Câu 2: Giải phương trình :

x1 x2 17
 
x2 x1 4

x 2  2x  3
 3 x
x 1

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn
( x  1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  2017 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  xy  y( z 1)  z( x  2)
x2  x
Câu 4: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức: A  2
nhận giá trị nguyên.
x  x 1

Câu 5: Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) ; M là điểm bất kì trên cung nhỏ
CD, BM cắt AC tại E.
1. Chứng minh ODM  BEC  180o
2. Chứng minh rằng MAB MEC từ đó suy ra MC.AB  MB.EC
3. Chứng minh MA  MC  MB 2
Câu 6: Mỗi đỉnh của một hình 7 cạnh đều được tô bằng một trong 2 màu xanh và đỏ.
Chứng minh rằng với mọi cách tô như thế, luôn tìm được một tam giác cân có các đỉnh
được tô cùng màu.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 4

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Đề 5:
Câu 1: Cho phương trình : (m  1) x2  2(m  1) x  m  0(1)
1. Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có nghiệm kép, tính nghiệm kép ấy.
2. Tìm tất cả các giá trị m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt đều là số âm.
Câu 2: Giải phương trình:
3x
4x
 2
4
x  x  1 x  2x  1
2

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x2  y 2  z 2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức : A 

x2  1 y 2  1 z 2  1
1



x
y
z

x y z

Câu 4: Giả sử p  abc là một số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh rằng phương trình
ax2  bx  c  0 không có nghiệm hữu tỉ.
Câu 5: Cho hai đường tròn (O) và (O‟) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD (C, D
là các tiếp điểm, C thuộc (O) ; D thuộc (O‟)). Qua điểm B kẻ cát tuyến song song với CD
cắt (O) tại E, cắt (O‟) tại F. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của AD và CA với EF. Gọi
I là giao điểm EC với FD. Chứng minh rằng :
1. CD là trung trực của đoạn BI.
2. Tam giác MIN cân
3. Giả sử A cố định trên (O ;R), AB và AC là hai dây cung thay đổi của (O) thỏa mãn hệ
thức AB. AC  R 3 . Xác định vị trí của các điểm B, C trên (O) để diện tích tam giác ABC
lớn nhất.
Câu 6: Có 5 điểm nằm trong một hình vuông cạnh a  36,7 . Chứng minh rằng tồn tại một
điểm nằm trong hình vuông mà khoảng cách từ điểm đó đến 5 điểm nói trên đều lớn hơn
10.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 5


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 6:
Câu 1: Tìm giá trị của m để phương trình : x4  2mx  m  2  0
1. Có nghiệm

2. Có đúng ba nghiệm
Câu 2:
1. Giải phương trình: x3  3x 2  3x  1  0
x  y  3

2. Giải hệ phương trình : 

3
3
x  y  9

Câu 3: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa xyz  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M

1
2

x  y  z xy  yz  zx

Câu 4: Cho số nguyên a không nhỏ hơn 2. Hỏi có tồn tại hay không số tự nhiên A sao cho
a2001  A  a 2002 và A có ít nhất 600 chữ số tận cùng là 0?
Câu 5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C, D. Từ điểm M tùy ý
trên D kẻ các tiếp tuyến MA, MB (với A, B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
1. Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp.
2. Giả sử MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác
COD.
3. Chứng minh AB đi qua một điểm cố định khi M di động trên d.
MD HA2

4. Chứng minh

MC HC 2

Câu 6: Trong phòng có 100 người, mỗi người quen ít nhất 66 người khác. Hỏi có phải
trong mọi trường hợp luôn tồn tại 4 người đôi một quen nhau hay không ?

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 6


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 7:
Câu 1: Cho phương trình: x2  (2m  3) x  m2  3m  0
1. Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt khi m thay đổi.
2. Định giá trị m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa: 1  x1  x2  6
Câu 2: Giải phương trình :

4x
5x
 2
 1
x  8x  7 x  10x  7
2

Câu 3: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a4  b4  c4  3 . Chứng minh rằng :
1

1
1


1
4  ab 4  bc 4  ca

Câu 4: Cho số nguyên a không chia hết cho 5 và 7. Chứng minh rằng:
(a 4  1)(a 4  15a 2  1) 35

Câu 5: Cho đường tròn (O ;R) đường kính AB cố định, đường kính CD di động khác AB.
Các tia BC, BD cắt tiếp tuyến của đường tròn tại A lần lượt tại E, F.
1. Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp.
2. Khi đường kính CD thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của EF.
3. Đường tròn đi qua ba điểm O, D, F và đường tròn đi qua ba điểm O, C, E cắt nhau tại G
(khác O). Chứng minh B, A, G thẳng hàng.
Câu 6: Tại 6 đỉnh của một lục giác đều, theo chiều kim đồng hồ, người ta viết 6 số chẵn
liên tiếp. Mỗi lần cho phép lấy ra một cạnh và tăng mỗi số ở hai đỉnh thuộc cạnh đó lên
một đơn vị. Hỏi bằng cách đó có thể làm cho 6 số ở 6 đỉnh lục giác bằng nhau được
không ?

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Đề 8:
Câu 1: Cho phương trình x2  2mx  6m  9  0 (x là ẩn)
1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2. Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm m để x12  x22  13
Câu 2: Cho x và y là hai số âm. Chứng minh rằng :
| xy 

x y
x y
||
 xy || x |  | y |
2
2

Câu 3: Cho đa thức P( x)  ax3  bx 2  cx  d (a  0) . Biết rằng P(m)  P(n)(m  n) .
Chứng minh rằng mn 

4ac  b2
4a 2

Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên thỏa mãn phương trình : 2018x  2017 y  2016z
Câu 5: Cho tam giác ABC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A (H thuộc BC). Đường thẳng
AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tại D (khác A). Đường thẳng AC cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A.
1. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh bốn điểm I, J, D, E cùng nằm
trên một đường tròn.
2. Chứng minh HA là tia phân giác của góc EHD.
3. Tìm mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với hai đường tròn nói trên.

Câu 6: Chứng minh rằng, bảng hình vuông 10 x 10 không thể lát bằng các miếng như hình
sau:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 8


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 9:
Câu 1: Cho phương trình bậc hai :
x2  2 x m2  2m  m2  3m  2  0(1)

1. Định m để pt (1) có nghiệm.
2. Định m để tổng bình phương các nghiệm bằng tích các nghiệm.
3. Định m để tổng bình phương hai nghiệm đạt GTNN.
Câu 2: Giải phương trình:

x  2  4  x  x2  6 x  11

Câu 3: Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn: abc  bcd  cda  bad  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P  4(a3  b3  c3 )  9d3
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7( x  y)  3( x2  xy  y 2 )
Câu 5: Cho nửa đường tròn đường kính BC. Gọi A là một điểm thuộc nửa đường tròn sao
cho AB  AC . Dựng về phía đối của tia AB hình vuông ACDE. AD cắt nửa đường tròn tại
H, BH cắt DE tại K.

1. Chứng minh rằng: CK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BK.
2. Chứng minh AB  DK .
Câu 6: Một con khỉ sẽ hài lòng nếu nó được ăn ba loại trái cây khác nhau. Hỏi có thể làm
cho nhiều nhất bao nhiêu con khỉ hài lòng nếu ta có 20 quả táo, 30 quả lê, 40 quả chuối và
50 quả đào. Các trái cây phải để nguyên, không được chia nhỏ.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Đề 10:
Câu 1:
(m  1) x  y  2(m  1)
4x  (m  1) y  5  m

1. Giải và biện luận hệ: 
2. Định m

để hệ có nghiệm duy nhất với x, y 

Câu 2:
1.Giải phương trình:
1
1

1


1
x3  x2
x  2  x 1
x 1  x

2. Giải phương trình: x4  7x3  12x 2  7x  1  0
Câu 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a2  b 2  c 2  1. Chứng minh rằng :
ab  2c 2
bc  2a 2
ca  2b2


 2  ab  ac  bc
1  ab  c 2
1  bc  a 2
1  ca  b2

Câu 4: Cho số tự nhiên n. Đặt A  2  2 28n2  1 . Chứng minh rằng nếu A
chính phương.

thì A là số

Câu 5: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng (B nằm giữa A và C). Một đường tròn
(O) thay đổi qua A và B. Gọi DE là đường kính của đường tròn (O) vuông góc với AB.
CD và CE cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N. Khi (O) thay đổi thì hai điểm M, N di
động trên đường cố định nào?
Câu 6: Cho 5 đường tròn trong đó mỗi bộ 4 đường tròn đều có 1 điểm chung. Chứng minh

rằng 5 đường tròn đó cùng đi qua 1 điểm.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Trang | 11


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Đề 1:
Câu 1:
1. Phương trình trên có nghiệm  '  m2  6m  5  0
 (m  1)(m  5)  0  5  m  1

2.Với 5  m  1, ta có:

x1  x2  (m  1)
m 2  4m  3
x1 x2 
2
m 2  4m  3
1
 A
 2(m  1)  | (m  4)2  9 |
2
2

Do 5  m  1 nên 1  m  4  3
Suy ra 0  (m  4)2  9 và 0  A 
Vậy, MaxA 

9
2

9
2

Câu 2: Ta có:
an 

1
n 1  n
1
1




, n  1.
n(n  1)( n  1  n )
n(n  1)
n
n 1

1   1
1 
1  9
 1
 1
S  


  ...  


2  2
3
100  10
 1
 99

Câu 3:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm, ta có:
1  (a  1) a 1 a 2  4 a 2  4
a 1 
  .


2
2 2 4
8

Tương tự đối với các số b, c, d không âm:
b 1 

b2  4
c2  4
d2  4
; c 1 
; d 1 
8
8
8

a 2  b2  c 2  d 2  16
4
8
Vậy MaxP  4 khi và chỉ khi a  b  c  d  2

Do đó: P  a  1  b  1  c  1  d  1 

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 12


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu 4:
Ta có: 240  24.3.5
2
4

a  1 3 
a  1 3
 4
 a 4  1 15 (1)
4

a  1 5 
a  1 5

(a, 240)  1  (a, 2)  (a,3)  (a,5)  1  

Mặc khác a4 1  (a2  1)(a  1)(a  1) 16 (2)
Vì a  1 và a  1 là hai số chẵn liên tiếp nên tích chia hết cho 8 và a 2  1 2 .
Từ (1) và (2) suy ra a4  1 240  dpcm .

Câu 5:

1.Dễ dàng chứng minh được các tứ giác AMEQ. ANFQ, AMCB nội tiếp nên ta có:
QEA  QMA  NMA  NCA  EQ / / FC

Chứng minh tương tự FQ//EB  EPFQ là hình bình hành
 EQF  EOF  BPC

Mặc khác:
MQE  MAE  MAC  MBC  PBC

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

NQF  NAF  NAB  NCB  PCB
 EQM  EQF  FQN  PBC  BPC  PCB  180o

Vậy, M, Q, N thẳng hàng.
2. Vẽ đường cao CI, BJ của tam giác ABC. EF cắt PQ tại G.
Do các tứ giác AMEQ, ANFQ nội tiếp và QEPH là hình bình hành nên:
QAM  QEP  QFP  QAN . Do đó, AP là đường phân giác góc MAN.
Vậy Q, A, P thẳng hàng.
Gọi giao điểm của AP với BC là K.
Ta có:
IHJ  BHC  BPC  FPE  IHJ  FPE

mà IHJ  IAJ  180o
vậy tứ giác FPEA nội tiếp.
EFP  EAP  EAQ  EMQ  EMN  BMN  BCN  EF//BC
FG AG GE



BK AK KC
Mà FG  GE  BK  KC  K là trung điểm của BC.


Câu 6: Ta tô màu theo hình vẽ:

Nhận thấy rằng, bàn cờ có 64 ô đen trắng xen kẽ, khi mất 2 góc ta nhận được 32 ô trắng và

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 14


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

chỉ còn lại 30 ô đen. Khi ta phủ bằng quân cờ đô-mi-nô là ta đã che đi đồng thời 1 ô trắng
và 1 ô đen. Vậy ta không thể phủ kín được bàn cờ trên với 31 quân cờ.

Đề 2:
Câu 1:
Theo đề: x2  ax  b  0(1) có 2 nghiệm phân biệt.
Xét phương trình x4  ax3  (b  2) x 2  ax  1  0(2)
nhận thấy x  0 không là nghiệm của phương trình (2) nên x  0 , chia cả hai vế của pt (2)
cho x 2 ta có:
a 1

x 2  ax  (b  2)   2  0
x x
1
1

 x 2  2  a  x    b  2  0(3)
x
x


1
x

1
1
 2  x2  2  u 2  2
2
x
x
2
Phương trình (3) trở thành: u  2  au  b  2  0

Đặt u  x   u 2  x 2 
 u 2  au  b  0(4)

Vì pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 nên pt (4) cũng có 2 nghiệm phân biệt u1 , u2 .
1
x

Xét phương trình u  x   x 2  ux  1  0(5)

Pt (5) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu do ac  0 nên ứng với hai nghiệm u1 , u2 thì có 4
nghiệm phân biệt.
Câu 2: Từ hệ phương trình suy ra: x  0, y  0, z  0.
Nếu 1 trong 3 số bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0. Thử lại ta có x  y  z  0 là một
nghiệm của hệ phương trình.
Nếu xyz  0  x  0, y  0, z  0. Theo Bất đẳng thức Cauchy: x2  1  2x
Từ (1), suy ra y  x
Tương tự, ta có z  y, x  z  z  y  x  z  x  y  z  1 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x  y  z  0 hoặc x  y  z  1
Câu 3:
Đặt a 

x
y
z
;b 
;c 
x yz
x yz
x yz

Ta có: a, b, c  0 và a  b  c  1.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 15


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vì vậy : M 

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

x3  y 3  16 z 3
 a3  b3  16c3
3
( x  y  z)

1
3
 (a  b)3  (a  b)(a  b)3  16c3
4
4
1
1
 (a  b)3  16c3  (1  c)3  16c3
4
4
1
17
17 
16 16
 (63c3  3c 2  3c  1)   c   (9c  1)2  
4
49
81 
81 81
4


a  b
a

b


9
Dấu „=‟ xảy ra  9c  1  0  
 a  b  c  1 c  1


9
16
Vậy MinM 
81

Câu 4: Cho k lần lượt lấy 105 1 giá trị liên tiếp từ 1 đến (105  1) ta nhận được (105  1) giá
trị khác nhau của 2013k  1 . Chia tất cả các số này cho 105 ta nhận được số dư thuộc tập
0, 1, 2, 3,...., 105  1 .
Ta có (105  1) số 2013k 1 khác nhau chia cho 105 ta có (105  1) số dư, trong đó có nhiều
nhất 105 số dư khác nhau.
Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 105 . Giả sử hai
số đó là 2013m –1 và 2013n –1 , m>n, thế thì:
(2013m  1)  (2013n  1)  2013n (2013m  n 1) chia hết cho 105 .
Ta có: (2013,105 )  1 nên (2013m – n  1) chia hết cho 105 .
Vậy k  m  n  dpcm .
Câu 5:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 16


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1.Ta có:
DEC  DBC  OAC  Tứ giác ACNE nội tiếp  CMD  CAE
CFD  CBD  CAN  Tứ giác ACNF nội tiếp  CND  CAE
 CND  CMD . Do đó hình thang CMND (NM//CD) nội tiếp nên đó là hình thang cân.
 CNM  EDC  CFE(1)

lại có: CMN  180o  CMA  180o  CEA  CEF (2)
Từ (1) và (2)  CEF CMN  dpcm
2. Tứ giác CMND là hình thang cân nên CNM  NMD
Mà CNM  BNM nên BNM  NMD
 BN//DM
mà DM  CN  BN
Nên tứ giác BMDN là hình bình hành.
Vậy OM  ON  dpcm
Câu 6:

Tô màu như hình bên (đây là một phần của bảng đã cho). Mỗi lần cắt chỉ phạm đúng một ô
hình vuông màu (tức 4 ô vuông màu). Có tất cả:

29  1 29  1
.

 100 hình vuông màu. Sau 99
3
3

lần cắt còn lại 1 hình vuông màu, điều phải chứng minh.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 17


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 3:
Câu 1:
1.điều kiện xác định của phương trình có nghĩa là:
3

3

x
x


0



4
4
3


2

 x


4
x 1 x  3  0
 x  3  1   0




4 2
4



2. Với điều kiện trên, ta có phương trình:
2

3
x 1 x   x  a 
4

 x


3 1
 x     x  a
4 2


3 1
3
1
  x  a  x   x 1  a 
4 2
4
2
2


3 1
1
  x     a  (*)
4 2
2


Phương trình có nghiệm:
 1
1

a  2  0
a  2

1

a

4
 a  1  1  0 a  1  1


2 4
2 2

Từ (*) ta có:
x

3 1
1
  a
4 2
2

3
1 1
3 
1 1
 x   a    x    a   
4
2 2
4 
2 2

 x

2

3
1
1 1
1
a  a   x a a .
4
2
2 4
2

Vậy:
1
1
thì phương trình có nghiệm là x  a  a 
2
4
1
a
thì phương trình vô nghiệm.
4
a

Câu 2:
3

x  24  12  x  6(1)

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 18


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

u  3 x  24
Đặt 

ta có hệ phương trình sau:


v  12  x ;(v  0)

u 3  v3  36(2)

u  v  6(3)

Từ (3), dùng phép thế v  6  u vào (2)
u  0  x  24
u  u  12u  0  u  4  x  88
u  3  x  3
3

2

Câu 3:
Ta có (4a  b)2  0  16a 2  8ab  b2  0
Mà phương trình đã cho vô nghiệm nên b2  4ac  0  b2  4ac
 16a 2  8ab  4ac  16a 2  8ab  b2  0

hay 16a 2  8ab  4ac  0
 4a  2b  c  0 (vì a  0  4a  0 )
 a  b  c  3a  3b  0
 a  b  c  3b  3a  3(b  a)
abc

3
ba

(vì 0  a  b  b  a  0 )  dpcm
Câu 4:
Nhận xét rằng có ít nhất một trong các số x, y, z là số chẵn. Thật vậy, nếu x, y, z đều là số
lẻ thì  x  y    y  z    z  x  là số chẵn, còn xyz là số lẻ, điều này mâu thuẫn.
2

2

2

Hơn nữa:

x3  y 3  z 3  3xyz   x  y  z   x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx 

1

2
2
2
 x  y  z   x  y    y  z    z  x  
2
1
  x  y  z  xyz
2
1
1
Nên: x3  y 3  z 3  xyz  x  y  z  6  . Do xyz là số nguyên, do đó x3  y3  z 3 chia
2
2
hết cho x  y  z  6  dpcm


Câu 5:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 19


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1. Tứ giác ABCF có BAC  BFC  90o ( và cùng nhìn cung BC với hai góc bằng nhau)
 ABCF là tứ giác nội tiếp.

2. Tam giác DEC có DEC  900 , ECD  450 nên vuông cân.
1
2
mà AFB  ACB

1
2

3. sdAFD  (sdDF  sdFH )  sdDH
nên DCH  ACB  45o
Lại có tam giác DHC vuông cân nên tam giác DEC và tam giác DCH vuông cân.
Vậy CEDH là hình vuông.
Câu 6: Giả sử số đội bóng là 12. Khi đó, số điểm của đội đứng cuối không thể nhỏ hơn 6.
Tổng số điểm của 12 đội đó là: S  6  7  ...  17  138
Mặc khác, số trận đấu là

12.11
 66 và tổng số điểm của 12 đội là S  66.2  132  138 , vô lí
2

Vậy số đội bóng không thể là 12.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 20


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 4:
Câu 1: mx 2  2(m  1) x  4m  0(1)
1. Giải và biện luận (1):
*m  0.(1)  2x=0  x=0
*m  0 :

'  (m  1)2  4m2  (m  1)(3m  1)
m  1
'0 
 m  1
3

2  m  1
m 1 

(1) có nghiệm kép x 
 2  m  1
m
3

1
'0
 m 1
3
2
(1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  ; x2  2
m

1

m

'0
3 pt vô nghiệm.

m  1

2.Theo câu trên, pt có 2 nghiệm phân biệt
2(m  1)

 x1  x2 
m

 x1 x2  4
x1 x2 17
x  x 17
2
2
 1 2   4(m  1)2  25m2 
 m  (thỏa đk)
 
x1 x2
4
7
3
x2 x1 4

Vậy

2
2
 m  và m  0 thỏa bài toán
7
3

Câu 2:
 x 2  2x  3  0

Điều kiện: 

x 1  0

Ta có:


 x 1

( x  1)2  22
x 2  2x  3
 3 x 
 3 x
x 1
x 1

( x  3)( x  1)
x 1

 x3 x3  x3

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 21


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

x  3  0
 x  3
 x  3



2
2
 x  2
 x  3  ( x  3)
( x  3)  x  3  0

So điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.
Câu 3:
Đặt a  x  1; b  y  2; z  c  3
Từ giả thiết, ta có: a2  b 2  c 2  2017 .
 A  (a  1)(b  2)  (b  2)(c  4)  (c  3)(a  3)
 ab  ac  bc  5(a  b  c)  19
 2A  a 2  b2  c 2  (a  b  c)2  10(a  b  c)  38

 (a  b  c  5)2  13  13

1
2
Vậy min A  1002

1
2

Do đó, A  (13  a 2  b2  c 2 )  (13  2017)  1002

Câu 4:
Ta có: A 

x2  x
x2  x  1 1
1

 1 2
.
2
2
x  x 1
x  x 1
x  x 1

Khi đó, để A nhận giá trị nguyên thì 1 x2  x  1 .
Do đó: x2  x  1  1 và x2  x  1  1
Vậy x {0;-1}
Câu 5:

1. Ta có:
OD  AC
 tứ giác ODME nội tiếp.

 DM  MB

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 22


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 ODM  OEM  180o  ODM  BEC  180o
AMB  BMC
2.
ABM  ACM
 MAB MEC
MA MB AB



 MC. AB  MB.EC
ME MC EC
3. Ta dễ chứng minh được MAE MBC
MA AE ME




 MA.BC  MB. AE
MB BC MC

Cộng hai ý trên lại, ta có AC  AB 2  MA  MC  AB.

AC
AB

Do AC là đường chéo của hình vuông nên AC  AB 2  dpcm
Câu 6:

Do đa giác đều có 7 điểm là số lẻ nên khi tô màu các đỉnh bằng hai màu xanh và đỏ thì
không thể xảy ra trường hợp các màu xen kẽ. Luôn tồn tại ít nhất hai đỉnh có cùng màu
(giả sử xanh).
Xét 4 điểm G, A, B, C (như hình). Giả sử A và B được tô màu xanh.
-Điểm G hoặc C đều màu xanh xem như bài toán đã được chứng minh.
-Điểm G và C cùng màu đỏ, ta xét thêm điểm E.
+Nếu E được tô màu xanh, ta có tam giác ABE thỏa yêu cầu bài toán.
+Nếu E được tô màu đỏ, ta có tam giác ECG thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy, luôn tồn tại tam giác cân cùng màu theo ycbt.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 23


Bồi dưỡng HSG lớp 9

Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đề 5:
Câu 1:
a  0
 '0

1.Để pt trên có nghiệm kép  

m  1
x 1  0
1



m
1
2
m  ,m 1
(m  1)(2m  1)  0


2
(m  1)
 1
Vậy nghiệm kép của pt trên là x 
m 1

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

(m  1) 2  m(m  1)  0
(m  1)(2m  1)  0
 '0



 m
 m
 P  0  
0

0
m

1
m

1
S  0



 2(m  1)
2  0
 m  1  0
1
 0  m  thỏa ycbt.
2

Câu 2:
3x
4x
 2
 4(1)
x  x  1 x  2x  1
Nhận thấy x  0 không là nghiệm của (1)
3
4

 4(1)
Vậy với x  0 ta có:
1
1
x 1
x2
x
x
t  1  x  1
1
Đặt t  x   1 ta tìm được  9
t   4 x 2  5x  4  0( ptVN )
x
 4
2

Câu 3:
A( x  y  z )  ( x 2  y 2  z 2 )  2 

( x 2  1)( y  z ) ( y 2  1)(z x) ( z 2  1)( x  y)


x
y
z

( x 2  1)( y  z ) ( y 2  1)(z  x) ( z 2  1)( x  y)
 5


x
y
z

 5  2( y  z)  2( z  x)  2( x  y)  5  4( x  y  z)
 A

5
4
x yz

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 24