10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên (Chuyên đề: Tổ hợp và rời rạc)

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

10 Bài Toán bồi dưỡng HSG 9 và Luyện thi lên lớp 10 Chuyên
Chuyên đề: Tổ hợp và rời rạc

Câu 1: Trên bảng ghi 20 câu khẳng định trong đó có một số câu đúng và một số câu sai.
Ban tổ chức đưa cho bạn Việt các phiếu sau:
1.Trên bảng có ít nhất 1 khẳng định sai
2.Trên bảng có ít nhất 2 khẳng định sai
3.Trên bảng có ít nhất 3 khẳng định sai
…
20.Trên bảng có ít nhất 20 khẳng định sai.
Việt có thể giữ nguyên thứ tự các phiếu trên hoặc đổi chỗ các phiếu đó với điều kiện: Nếu câu m
đúng thì nhận thưởng 200.000 đồng x m từ ban tổ chức. Hãy giúp bạn Việt sắp xếp hợp lí các
câu trên để bạn Việt nhận được số tiền lớn nhất từ ban tổ chức.

Câu 2: Chứng minh rằng không thể phủ kín hình vuông 10  10 bằng 25 hình chữ nhật 1  4.
Câu 3:
a) Cho 6 điểm bất kỳ trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng
nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh hoặc đỏ. CMR: tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.
b) Cho 17 điểm bất kỳ trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng
nối 2 điểm trong đó được tô màu xanh, màu đỏ hoặc màu vàng. CMR: tồn tại một tam giác có 3
cạnh cùng màu.

Câu 4: Cho 20 số tự nhiên a1  a2   a20 không quá 70. Chứng minh rằng giữa các hiệu
a j – ak ,1  k  j  20 luôn tìm được ít nhất 4 hiệu bằng nhau.

Câu 5: Cho 2015 số thực. Biết rằng tổng 4 số tùy ý trong 2015 số đã cho lớn hơn tổng 3 số tùy ý

trong 2011 số còn lại. Chứng minh rằng tổng của 3 số tùy ý trong 2015 số đã cho lớn hơn tổng 2
số tùy ý trong 2012 số còn lại.

Câu 6: Xét tập X = {2, 3,4, …, 2100}. Tô màu các phần tử của X bởi một trong 5 màu: xanh, đỏ,
tím, vàng, nâu. Chứng minh rằng tồn tại ba phần tử phân biệt a, b, c của X cùng màu sao cho: a là
bội của b và b là bội của c.

Câu 7: Chứng minh rằng , mọi bưu phí không nhỏ hơn 12 xu, đều có thể tạo ra bằng các con tem
có mệnh giá 4 xu và 5xu.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 0


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Câu 8: Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 11 cạnh ta ghi số bất kì trong các số
31;32;61;62;91;92;331;332;361;362;961 (mỗi số chỉ dùng một lần). Vậy có tồn tại ba đỉnh của đa

giác là 3 đỉnh của một tam giác cân và tổng các số ghi trên đỉnh là một số chia hết cho 3 không?

Câu 9: Mỗi đỉnh của một hình 7 cạnh đều được tô bằng một trong 2 màu xanh và đỏ. Chứng
minh rằng với mọi cách tô như thế, luôn tìm được một tam giác cân có các đỉnh được tô cùng
màu.

Câu 10: Trong mặt phẳng cho 2n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, có n điểm

màu đỏ và n điểm màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại một cách nối tất cả các điểm đỏ với các
điẻm xanh bởi n đoạn thẳng, mỗi đoạn có hai đầu mút khác màu, mà không có đoạn thẳng nào cắt
nhau.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 1


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Ta gọi là bạn Việt được thưởng m điểm nếu câu m đúng.
Giả sử trong 20 câu trên bảng có a câu khẳng định sai với 1  a  19 .
Xét các phiếu theo thứ tự mà ban tổ chức đưa cho bạn Việt thì từ phiếu số 1 đến phiếu số a
có nội dung đúng, còn phiếu a  1 đến phiếu 20 (phần còn lại) có nội dung sai. Để nhận
được tiền thưởng nhiều nhất thì bạn Việt cần chuyển các phiếu số 1, 2,3,..., a, a  1,..., 20 trở
thành đúng thứ tự 20,19,18,..., a  1, a,..., 2,1.
Vậy tổng số phiếu bạn Việt có được là:
20  19  18  21  a
(20  21  a) a a(41  a)


2
2

Tổng số tiền Việt nhận được là

a(41  a)
.200000=100000a(41-a) đồng
2

Câu 2: Ta sẽ lần lượt tô các ô như hình, khi đó ta có tất cả 25 ô được tô màu đen. Cứ mỗi

lần đặt hình chữ nhật 1x4 vào ô thì hoặc là che đi 2 ô đen hoặc 0 ô đen (mỗi lần che đi
chẵn ô đen). Mà số 25 lẻ nên ta không thể phủ hết bằng các hình chữ nhật 1x4 được.

Câu 3:
a) Xét 1 điểm bất kỳ thì sẽ nối được 5 đoạn với 5 điểm còn lại. Vì chỉ có hai màu nên có
một màu có ít nhất 3 đoạn trở lên, giả sử 3 đoạn ấy màu đỏ. Khi xét 3 điểm mà 3 đoạn màu

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

đỏ đó, ta có tam giác màu đỏ, hoặc tương tự nếu là xanh, ta cũng có tam giác màu xanh.
b) Xét 1 điểm bất kỳ sẽ có 16 đoạn với 16 điểm còn lại, vì chỉ các đoạn có thể có 3 màu
nên sẽ có loại cùng màu ít nhất 6 đoạn . Giả sử đó là màu xanh, xét 6 điểm nối với điểm
ban đầu màu xanh đó, nếu trong 6 điểm đó được nối ít nhất 1 đoạn màu xanh thì ta có tam
giác màu xanh. Nếu 6 điểm được nối với nhau bằng màu đỏ với vàng, thì ta sẽ thu được

kết quả như câu a, ta sẽ có được 1 tam giác có ba cạnh cùng màu.
Câu 4: Giả sử không tồn tại hiệu a j – ak nào giống nhau, ta xét hiệu sau:
mi  ai  ai 1 , i  2, 20 vì 70  7  3.(1  2  3  4  5  6) nên các hiệu mi chỉ có thể là các số
1, 2,3, 4,5,6,7 . Vì các hiệu mi tương ứng cho khoảng cách các số. Nếu có mi nào lớn hơn 7

thì khi đó ta có a20 sẽ lớn hơn 70, khi đó trong 19mi sẽ tồn tại một số lớn hơn 6.
(vì 19  3.6  1, nếu tất cả nhỏ hơn hoặc bằng 6 thì sẽ có 4 cái giống nhau).
Còn lại 18 cái sẽ có 3 cái lớn hơn 5, lý do tương tự
Tương tự lớn hơn 4, 3, 2, 1 mỗi số sẽ có 3 cái lớn hơn nên:
m2  m3  m4  m20  a20  a1  1.7  3.(1  2  3  4  5  6)  70 (1)

lại có a20  70, a1  0 nên a20  a1  70 . Nếu a20  a1  70 thì vô lý với (1). Nếu
a20  a1  70 (a20  70; a1  0) thì chắc chắn a1 phải như sau
0  1  2  3  5  7  9  12  15  18  22  26  30  35  40  45  51  57  63  70

ta dễ dàng thấy a5  a4  a6  a5  a7  a6  a3  a1  a4  a2  2 không thỏa được điều giả sử ta
nêu ở đề bài là 4 cái hiệu nào giống nhau. Vậy điều giả sử là sai, vậy tồn tại ít nhất 4 hiệu
bằng nhau.
Câu 5: Giả sử 2015 số thực là a1 , a2 , a3 ,..., a2014 , a2015 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần
a1  a2  a3  ...  a2014  a2015 .

Mà a2013  a4 nên a1  a2  a3  a2014  a2015 . Với 5 số tùy ý khác nhau từ 2015 số đã cho là
am , an , a p , aq , ar ta có:
am  an  a p  a1  a2  a3 ; a2014  a2015  aq  ar

Do đó: am  an  a p  aq  ar  dpcm
Câu 6:
Xét tập gồm 11 số: A  {2n , n  ,1  n  11}  {21;22 ;;211}  X . Dễ thấy với a  b thì 2b 2a .
Theo nguyên lí Dirichlet, vì mỗi số trong 11 số trên được tô bởi 1 trong 5 màu mà
11  5.2  1 nên tồn tại ba số thuộc A được tô cùng một màu, giả sử đó là 2a , 2b , 2c ; a  b  c

thì 2c 2b 2a .
Vậy, luôn tồn tại bộ ba số thỏa mãn đề bài.

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Câu 7:
Bưu phí 12 xu được tạo nên bởi 3 con tem 4 xu.
Giả sử mọi bưu phí n xu (n  12) đều có thể tạo ra bằng các con tem 4 xu và 5 xu. Xét bưu
phí n=1 xu. Nếu trong bưu phí n xu có một con tem 4 xu thì chỉ việc thay bởi con tem 5 xu
ta được bưu phí n+1 xu tạo nên bởi con tem 4 xu và các con tem 5 xu. Còn nếu không thì
phải có ít nhất 3 con tem 5 xu. Thay 3 con tem này bởi 4 con tem 4 xu ta có bưu phí n+1
xu tạo bởi các con tem 4 xu và các con tem 5 xu.
Như vậy, nếu bưu phí n xu đúng thì cũng đúng với n+1 xu  dpcm
Câu 8:

Trong 11 đỉnh của đa giác đó có 6 số chia 3 dư 1, ta thay chúng bởi số 1, còn 5 số còn lại
chia 3 dư 2, ta thay chúng bởi con số 2. Nếu tìm được tam giác cân có 3 đỉnh đều là số 1
hoặc 2 xem khẳng định ban đầu là đúng.
Khi ghi 6 số 1 và 5 số 2 vào 11 đỉnh của đa giác thì không thể xảy ra mỗi số 1 xen giữa
các số 2. Do đó, tồn tại ít nhất hai điểm liên tiếp ghi hai con số 1, giả sử là A, B. Xét bốn
đỉnh liên tiếp A, B, C, D.
.Nếu ba đỉnh A, B, C (hoặc B, C, D)ghi số 1 thì ta có tam giác cần tìm.

.Nếu hai đỉnh A, D đều ghi số 2 thì vì đa giác có 11 đỉnh nên tam giác với đỉnh H thuộc
đường trung trực của BC và cũng là trung trực của AD.
-Giả sử H ghi số 1 thì ta tìm thấy tam giác BHC thỏa ycbt.
-Giả sử G ghi số 2 thì ta tìm được tam giác DHA thỏa ycbt.
 dpcm

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 4


Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

8.84°

cm

Câu 9:

cm

B

9.04°

cm

C

8.33°

A

cm

8.38°

cm

8.74°

cm

D
F

G

E

Gọi thất giác đều đó là ABCDEFG.
Theo nguyên lí Dirichlet, khi thực hiện tô màu 7 đỉnh bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ thì
tồn tại một màu được tô lên ít nhất 4 đỉnh. Giả sử màu đó là màu xanh. Vì là hình thất giác
nên trong 4 đỉnh trên sẽ luôn có 2 đỉnh kề nhau (ta có thể chứng minh điều này bằng phản
chứng).
Giả sử 2 đỉnh kề nhau và được tô màu xanh là B và C.
TH1: Nếu trong 4 điểm được tô màu xanh tồn tại 3 đỉnh kề nhau thì tam giác cân cần tìm

là tam giác tạo thành từ 3 điểm kề nhau đó.
TH2: Nếu trong 4 điểm được tô màu xanh là B, C, X, Y không có 3 đỉnh nào kề nhau. Khi
đó hai đỉnh A và D phải tô màu đỏ và 2 trong 3 đỉnh E, F, G được tô màu xanh. Có 2
trường hợp cho việc tô màu thỏa mãn yêu cầu trên (các trường hợp đối xứng nhau thì coi
như là một):
Các đỉnh E, G được tô xanh, khi đó tam giác CEG cân
Các đỉnh E, F được tô xanh, khi đó tam giác CEF cân.
Vậy, luôn tồn tại một tam giác cân mà ba đỉnh được tô cùng một màu.

Câu 10:

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

Xét tất cả các cách nối n điểm đỏ với n điểm xanh bởi n đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng có hai
đầu mút khác màu. Vì số cách nối là hữu hạn nên tồn tại cách nối T có tổng độ dài các
đoạn thẳng được nối là ngắn nhất. Ta chứng minh cách nối T thỏa mãn yêu cầu bài ra. Giả
sử trong cách nối này có hai đoạn AB và CD cắt nhau tại O, trong đó A và C màu đỏ còn
B và D màu xanh. Thay vì nối A với B, C với D, ta nối A với D, B với C ta được cách nối
T’. Vì AD  AO  OD và BC  BO  OC nên AD  BC  AB  CD .
Vậy cách nối T’ có tổng độ dài các đoạn ngắn hơn tổng các đoạn thẳng theo cách nối T 
vô lý. Vậy cách nối T không có hai đoạn nào cắt nhau  dpcm .

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bồi dưỡng HSG lớp 9
Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 OnThiLop10ChuyenToan

Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807

Trang | 7