Các bài toán bồi dưỡng HSG

CHƯƠNG TRÌNH BỒI
CHƯƠNG TRÌNH BỒI
DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
VÒNG TOÀN QUỐC
VÒNG TOÀN QUỐC

NỘI DUNG ƠN THI TỒN QUỐC
NỘI DUNG ƠN THI TỒN QUỐC
♠
Hình học phẳng
Hình học phẳng
♠
Đại số
Đại số
♠
Số học
Số học
♠
Phương trình hàm
Phương trình hàm
♠
Dãy số
Dãy số
♠
Toán rời rạc
Toán rời rạc
♠
Đa thức
Đa thức

•


•


Các phương pháp giải toán hình học phẳng
Các phương pháp giải toán hình học phẳng
♠ Phương pháp tổng hợp
♠ Phương pháp tọa độ
♠ Phương pháp véc tơ
♠ Phương pháp biến hình


Phương pháp tổng hợp
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt
nhau ở hai điểm A và B. Một tiếp tuyến chung của hai
đường tròn đó tiếp xúc với (O
1
) ở P và (O
2
) ở T.Các
tiếp tuyến tại P và T của đường tròn ngoại tiếp tam

giác APT cắt nhau ở điểm S. Gọi H là điểm đối xứng
của điểm B qua PT. Chứng minh rằng ba điểm A,H,S
thẳng hàng
(Chọn học sinh dự thi IMO 2001)


Phương pháp tổng hợp
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau
ở hai điểm A và B. Các tiếp tuyến tại A và B của (O
1
) cắt
nhau ở K. Gỉa sử M là một điểm nằm trên (O
1
) nhưng
không trùng với A và B. Đường thẳng AM cắt lại (O
2
) ở
P, đường thẳng KM cắt lại (O
1
) ở C và đường thẳng AC
cắt lại (O
2
) ở Q. Chứng minh rằng:

1) Trung điểm của PQ nằm trên đường thẳng MC
2) Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố đònh khi M di
động trên (O
1
)
(Chọn học sinh dự thi IMO 2001)


Phương pháp tổng hợp
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 1
Ví dụ 1: (Tứ giác điều hòa)
Gỉa sử ABCD là một tứ giác nội tiếp. P,Q,R là chân các đường
vuông góc hạ từ D lần lượt trên các đường thẳng BC, CA, AB.
Chứng tỏ rằng PQ=QR khi và chỉ khi phân giác của các góc
ABC và góc ADC cắt nhau trên AC.
( IMO 2003)


Phương pháp tổng hợp
Phương pháp tổng hợp
Ví dụ 3
Ví dụ 3:(Hệ thức lượng trong đường tròn)
Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố đònh (O
1
) và (O
2
) tiếp
xúc với nhau tại điểm M, và bán kính đường tròn (O
2

) lớn hơnbán
kính đường tròn (O
1
). Xét điểm A nằm trên trên đường tròn (O
2
)
sao cho ba điểm O
1
, O
2
, A không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp
tuyến AB và AC đến đường tròn (O
1
) ( B và C là các tiếp điểm).
Các đường thẳng MB và MC cắt lại đường tròn (O
2
) tương ứng tại
E và F. Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại
A của đường tròn (O
2
). Chứng minh rằng điểm D di động trên
đường thẳng cố đònh, khi A di động trên đường tròn (O
2
) sao cho
ba điểm O
1
,O
2
,A không thẳng hàng.
(Toàn quốc bảng A-2003)

Phương pháp tọa độ
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 1:Cho hai tam giác ABC và D là chân
đường cao hạ từ A. Gọi E và F là các điểm nằm
trên đường thẳng qua D sao cho AE BE ,
AF CF, và E,F không trùng D. Giả sử M và N
là các trung điểm tương ứng của BC và EF.
Chứng minh rằng AN NM
⊥
⊥
⊥

Phương pháp tọa độ
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác
kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N. Từ N, kẻ đường vuông
góc với NA, đường này cắt MA và BA tương ứng tại Q và P. Từ
P, kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O.
Chứng minh rằng
BCQO ⊥

Phương pháp tọa độ
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 3
Ví dụ 3: Trong tam giác ABC, góc C=60
0
, D,E,F là các
điểm tương ứng nằm trên các cạnh BC, AB, AC. Gọi M

là giao điểm của AD và BF. Gỉa sử CDEF là hình thoi.
Chứng minh rằng
DADMDF .
2
=

Phương pháp tọa độ
Phương pháp tọa độ
Ví dụ 4:
Ví dụ 4: Cho hai điểm P,Q trên cạnh BC của một tam
giác ABC, nằm theo thứ tự B,P,Q,C. Hai đường tròn ngoại
tiếp của tam giác PAB, QAC cắt nhau tại M ( khác A) và
hai đường tròn ngoại tiếp tam giác PAC, QAB cắt nhau
tại N. Chứng minh rằng A,M,N thẳng hàng nếu và chỉ nếu
P và Q đối xứng nhau qua trung điểm A
’
của BC

Phương pháp véc tơ
Phương pháp véc tơ
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC. Điểm X nằm trên cạnh AB sao cho
CX cắt đường trung tuyến kẻ từ A cắt tại A
’
và cắt trung tuyến kẻ từ B
tại B
’’
. Các điểm B
’
,C
’

,A
’’
,C
’’
được đònh nghóa tương tự.
Tìm tỷ số của diện tích hai tam giác A
’’
B
’’
C
’’
và A
’
B
’
C
’
4
1
=
AB
AX

Phương pháp biến hình
Phương pháp biến hình
Ví dụ 1:(Đối xứng trục)
Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp
đường tròn (O) và có trực tâm H. Trên cung BC không
chứa điểm A của đường tròn (O), lấy điểm P sao cho P
không trùng với B và C. Lấy điểm D sao cho và

gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Gọi E và F tương
ứng là hình chiếu vhông góc của K trên các đường thẳng
BC và AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua
trung điểm của đoạn thẳng HK
PCAD =
(Toàn quốc bảng B-2004)



Các phương pháp tìm GTLN và GTNN
Các phương pháp tìm GTLN và GTNN
PP1: Sử dụng bất đẳng thức
PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa
PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ
PP4: Sử dụng đạo hàm
PP5: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ
phương trình



Đại số (PP chuyển về hệ)
Đại số (PP chuyển về hệ)
Ví dụ 1
Ví dụ 1
:
: Xét các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:
Hãy tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất
của biểu thức:
yyxx −+=+− 2.31.3
yxP +=

Đại số (pp lượng giác hóa)
Đại số (pp lượng giác hóa)
Ví dụ 2: Cho a,b,c là các số thực sau cho a≠0,
a≠b và tất cả các nghiệm của phương trình
ax
3
-x
2
+bx-1=0
Đều là các nghiệm thực và dương.Tìm giá trò
nhỏ nhất của biểu thức:

)(
235
2
2
aba
aba
P
−
+−
=



Đại số (pp lượng giác hóa)
Đại số (pp lượng giác hóa)
Ví dụ 4
Ví dụ 4: Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều

kiện: abc+a+c=b
Hãy tìm GTLN của biểu thức:
1
3
1
2
1
2
222
+
+
+
−
+
=
cba
P

Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Ví dụ 3
Ví dụ 3: Xét các số thực x,y,z thỏa mãn điều
kiện : (x+y+z)
3
=32xyz
Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức
4
444
)( zyx
zyx

P
++
++
=

Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Đại số (Sử dụng đại lượng bất biến)
Ví dụ 3
Ví dụ 3: Xét các số thực x,y,z thỏa mãn hệ
điều kiện : x+y+z=4 và xyz=2
Hãy tìm GTNN và GTLN của biểu thức
444
zyxP ++=
(Toàn quốc bảng B 2004)



ẹaùi soỏ
ẹaùi soỏ
Vớ duù 4
Vớ duù 4: Cho a
2
+b
2
+c
2
=4

vaứ x(0;/2)
Tỡm GTLN vaứ GTNN cuỷa

xcxbay 2sinsin2 ++=

Đại số
Đại số
Ví dụ 5
Ví dụ 5: Cho hàm f(x) xác đònh với mọi số thực
x sao cho f(tgx)=sin2x với mọi x∈(-π/2,π/2)
Tìm GTLN và GTNN của hàm số
)(cos).(sin
33
xfxf



Các phương pháp giải hệ phương trình thường sử dụng
Các phương pháp giải hệ phương trình thường sử dụng
PP1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả
PP2: Sử dụng phương pháp lượng giác hóa
PP3: Sử dụng phương pháp tọa độ
PP4: Sử dụng bất đẳng thức
PP5: Sử dụng tam thức bậc hai
PP6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Đại số
Đại số
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:






−=+−
−=+
xyyxyx
xyx
1788
493
22
23
(Toàn quốc bảng B-2004)

ẹaùi soỏ
ẹaùi soỏ
Vớ duù 6: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau:







++=+
++=+
++=+
22222
22222
22222
)13()(
)13()(

)13()(
yxzzzxz
xzyyxzy
zyxxzyx

ẹaùi soỏ
ẹaùi soỏ
Vớ duù 6: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau:







=+++
=+++
=+++
xzzzz
zyyyy
yxxxx
)1ln(33
)1ln(33
)1ln(33
23
23
23