Bài tập phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số Toán nâng cao 8

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÁCH TRONG BIẾN ĐỔI
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TOÁN NÂNG CAO 8
**Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
1



1

1



 x  y  y  z   z  x  x  y   y  z  z  x 
suy ra hằng đẳng thức:

1



với x  y ; y  z ; z  x . Từ kết quả trên ta có thể
1



1

 x  y  x  z   z  y  x  z   x  y  y  z 

(*) trong đó x ; y; z đôi

một khác nhau.
Thực chất ở đ}y ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai
số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:
Bài toán 1:
Cho a  b; b  c; c  a chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.
A

a2
b2
c2


 a  b  a  c   b  c  b  a   c  a  c  b 

Áp dụng hằng đẳng thức (*) A 

a2
b2
b2
c2



 a  b  a  c  b  c  c  a   a  c b  a   c  a c  b 

 a  b  a  b    b  c b  c 
a2
b2

b2
c2





 a  b  a  c   a  b  a  c  b  c  c  a  b  c  c  a   a  b  a  c  b  c c  a 


ab bc a b bc



1
ac ca a c a c

Bài toán 2:
Cho a  b; b  c; c  a . Rút gọn biểu thức
B

 x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b 
 a  b  a  c   b  c b  a   c  a  c  b 

Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược
B

 x  b  x  c    x  c  x  a    x  a  x  b  
 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai



 x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b 
 a  b  a  c   b  c  c  a   a  c b  a   c  a  c  b 

 x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  a  x  b  
 a  b  a  c   b  c  c  a   a  c  a  b   a  c  c  b 
 x  b  x  c    x  c  x  a    x  c  x  a    x  b  x  a    x  c  a  b    x  a b  c 

 a  b  a  c 
 b  c  c  a 
 a  b  a  c   a  b  a  c 




xc xa xc xa


1
ac ac

a c

Bài toán 3:
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
a
b
c
x



 a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x   x  a  x  b  x  c 

Biến đổi vế tr|i, ta được:

a
b
c
=


 a  b  a  c  x  a  b  a b  c  x  b   c  a c  b c  x 



a
b
b
c
=




 a  b  a  c  x  a  b  a  a  c  x  b   c  a b  c  x  b  c  a c  b c  x 



b 
1
c 
 a
 b
=






 a  b  a  c   x  a x  b   c  a  (b  c)  x  b x  c 



 bx  cx  
(ax  bx)
1
x
x

.


 a  b  a  c   x  a  x  b   c  a b  c   x  b  x  c   a  c  x  a  x  b  c  a  x  b  x  c 



1

1

.

x a  c
1 
x
 1



. Sau khi biến đổi


 a  c  x  b   x  a x  c   a  c  x  b  x  c  x  a   x  b  x  c  x  a 
x

vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 4:
Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:
bc
ca
a b

2
2
2





 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  b b  c c  a

Giải: Ta có

bc
ba
a c
1
1
(1)




 a  b  a  c   a  b  a  c   a  b  a  c  c  a a  b

Tương tự ta có:

W: www.hoc247.net

ca
1

1


 b  c  b  a  b  c a  b

(2)

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a b
1
1
(3)


 c  b  c  a  b  c c  a

Từ (1) ;(2) và (3) ta có
bc
ca
a b
1
1
1
1

1
1








 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  c  a a  b b  c a  b b  c c  a



2
2
2
(đpcm)


a b bc c a

Bài toán 5:
Rút gọn biểu thức:
a 2  bc
b2  ac
c 2  ab
với a  b; b  c; c  a



 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b 

Giải:
Ta có:

a 2  bc
a 2  ab  bc  ab a(a  b)  b(c  a )
a
b
(1)




 a  b  a  c   a  b  a  c 
 a  b  a  c  a  c a  b

b2  ac
b
c
Tương tự:
(2)


 b  a b  c  a  b b  c

c 2  ab
c
a
(3)



 c  a  b  c  c  b c  a

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có
a 2  bc
b2  ac
c 2  ab
a
b
b
c
c
a








0
 a  b  a  c  b  c b  a   c  a  c  b  a  c a  b a  b b  c c  b c  a

Bài toán 6:
Cho ba phân thức

a b
bc

ca
;
;
. Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của
1  ab 1  bc 1  ca

chúng.
Giải:
Ta có :

bc ba a c
a b b c c a a b b a a c c a








nên
1  bc 1  bc 1  bc
1  ab 1  bc 1  ca 1  ab 1  bc 1  bc 1  ca

1 
1   a  b 1  bc  1  ab   c  a 1  bc  1  ac 
 1
 1
  a  b 


 c  a 




1  ab 1  bc 
1  ac 1  bc 
1  ab 1  bc 
1  ac 1  bc 


b  a  b  c  a 

 a  b  c  a   b  c    a  b  c  a b  c 
(đpcm).
1  ab 1  bc  1  ac 1  bc 
1  bc  1  ab 1  ac  1  ab 1  bc 1  ac 

W: www.hoc247.net



c  c  a  b  a 



F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài toán 7:
Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên dương không?
a
b
c


ab bc ca

Giải:
Ta có M 

a
b
c
a
b
c
a bc






1
ab bc ca a bc abc abc abc

hay M > 1 .

b  
c  
a 
b
c
a



M  1 


  1 
  1 
  3
  3  1  2 hay M < 2
 ab   bc   ca 
 a b c b c a c a b 

Vậy 1 < M <2 . Do đó M không thể là số nguyên dương.
Bài toán 8:
Đơn giản biểu thức
A

 a  2  a  1004  b  2 b  1004   c  2 c  1004
a  a  b  a  c 
b  b  a  b  c 

c  c  b  c  a 

Giải: MTC là : abc  a  b  b  c  a  c  Nên
A

bc  b  c  a  2  a  1004 
abc  a  b  b  c  a  c 



ac  a  c  b  2  b  1004 
abc  a  b  b  c  a  c 



ab  a  b  c  2  c  1004 
abc  a  b b  c  a  c 

2008b2c  2008ac 2  2008a 2b  2008bc 2  2008a 2c  2008ab2

abc  a  b  b  c  a  c 



 

 



2008  c 2 a  c 2b  a 2b  a 2c  b2 a  b2c  2008  a  b  b  c  a  c  2008



Với abc  0
abc  a  b  b  c  a  c 
abc  a  b  b  c  a  c 
abc

Bài toán 9:
Tính giá trị của biểu thức:

 2003  2013  31 2004 1  2003 2008  4
P
2

2004  2005  2006  2007  2008

Giải: Đặt a = 2004 Khi đó:









 a  12   a  9   31 a  1  a  1 a  4   4   a 2  2a  1  a  9   31a  1  a 2  3a  4  4
 





P 
a  a  1 a  2  a  3 a  4 
a  a  1 a  2  a  3 a  4 

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a



3



 9a 2  2a 2  18a  a  9  31a  1 a 2  3a
a  a  1 a  2  a  3 a  4 

a  a  1 a  2  a  3 a  4 
a  a  1 a  2  a  3 a  4 

W: www.hoc247.net

  a

3



 7a 2  14a  8 a 2  3a



a  a  1 a  2  a  3 a  4 

 1 . Vậy P = 1

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
c|c trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ c|c Trường ĐH v{ THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ X~ Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương t|c dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An v{ c|c trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư To|n giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Gi|o viên To|n v{ Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi c}p độ từ Tiểu học đến ĐH hay c|c chương trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đ|nh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807