Chương 2. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (616.43 KB, 14 trang )
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
Chương 2. GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
1.1. Giới hạn của hàm số
1.1.1. Mở đầu
Định nghĩa 1Tagọ ilâ ncậ ncủ ađiemalà batcứkhoả ngmởnà ochứađiema,ký hiệ uU(a).
Định nghĩa 2Tagọ iδ-lâ ncậ ncủ ađiema,ký hiệ uUδ(a),là khoả ng(a–δ,a+δ).
Định nghĩa 3Giả sử ( )xá cđịnhtrongmộ tlâ ncậ nnà ođó củ ađiema(có thekhô ngxá c
địnhtạ ia).Tavietlim
có
the là m cho giá trị ( ) gan L tù y ý bang cá ch chọ n x ≠ a đủ gan a (cả hai
→
( ) = ,và nó i ( ) dần đến L khi x dần đến a,neu
phı́a).
Tacũ ngcó theviet ( ) → khi → .
Trong hı̀nh trê n, cả ba trường hợp ta đeu có lim
→
( ) = , mặ c dù trong trường
hợp(b)thı̀f(a)≠L,cò ntrườnghợp(c)thı̀hà mkhô ngxá cđịnhtạ ia.
Ví dụ 1
Phỏ ngđoá nlim
→
.
Lời giải
x
0.9
0.99
0.999
0.9999
0.99999
f(x)
0.526316
0.502513
0.500250
0.500025
0.500003
x
1.1
1.01
1.001
1.0001
1.00001
Đặ t ( ) =
.
Theo bả ng bê n, ta nhậ n thay khi x → 1
(theocả haiphı́a)thı̀ ( ) → 0.5.Đieuđó
f(x)
0.476190
0.497512
0.499750
0.499975
0.499998
cũ ngphù hợpvớiđothịcủ a ( )đượcvẽ
ởbê ndưới.
Bâ ygiờtathayđoichú tı́t,bangcá chxé thà msau,cò nđượcgọ ilà da nxuatcủ a( )
−1
≠ 1
( )=
−1
2
=1
Tatnhiê n,hà mmớinà ycũ ngcó cù nggiớihạ nlà 0.5khix→1nhưhà m ( ).
1
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
Đieuđó cũ ngnó ilê nrang,khix→a,giớihạ ncủ amộ thà m ( )(neutontạ i)khô ng
phụ thuộ cviệ ccó haykhô nggiá trịcủ a ( )tạ ia,tứclà ( ).
Ví dụ 2
Phỏ ngđoá nlim
Lời giải
Đặ t ( ) =
√
√
→
Tacũ ngtı́nhcá cgiá trịcủ a ( )vớicá cgiá trịxgan0.Că ncứvà obả ngbê ntrá i,taket
luậ nranglim
√
→
= .Nhưngvớibả ngbê nphả i,khixđủ nhỏ thı̀ tathaycá cgiá trị
củ a ( )lạ ibang0.Có vanđegı̀ởđâ y?
x
±0.1
±0.01
±0.001
±0.0001
±0.00001
f(x)
0.166620
0.166666
0.166667
0.166667
0.166667
x
±0.000001
±0.0000001
±0.00000001
±0.000000001
±0.0000000001
f(x)
0.166533
0.177636
0.000000
0.000000
0.000000
Thựcra, ( ) → khix→0.Nhưngkhixđủ nhỏ thı̀√
+ 9ratgan3,và vớimá ytı́nh
cá cgiá trịđó là bang3,vı̀thetửsobang0trongkhima usova nkhá c0.Vı̀vậ yphé pchiacho
ketquả bang0.
Sửdụ ngmá ytı́nhđevẽ đothị củ ahà mnà ytrê n4mienganđiem0,tađượcketquả
sau:
Ví dụ 3
Phỏ ngđoá nlim
Lời giải
Tatı́nhmộ tsogiá trịcủ a ( ) = sin tronglâ ncậ ncủ ađiem0.
(1) = sin
→
sin
= 0, (1/2) = sin 2 = 0, (1/3) = sin 3 = 0, (1/4) = sin 4 = 0
Tươngtự,f(0.1)=f(0.01)=f(0.001)=f(0.0001)=…=f(0.0000001)=0.
Vậ ytaphỏ ngđoá nlim
→
sin = 0?
2
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
Nhưngnhı̀nvà ođothịcủ asin ,tathaytontạ ivô hạ ngiá trịcủ axganđiem0mà giá trị
củ a ( )lạ ibang1.Và thựctelà ,hà msin khô ngcó giớihạ nkhix→0.
Cá cvı́ dụ trê nnó ilê nrang,đetı̀mgiớihạ ncủ ahà mso,khô ngthedựavà odã ycá cgiá
trịtı́nhtoá nbangmá ytı́nhđephỏ ngđoá n,mà phả ibanggiả itı́ch.
Ví dụ 4
Hà mHeavisideđượcđịnhnghı̃anhưsau
<0
( )= 0
1
≥0
Hà m nà y được đặ t theo tê n củ a kỹ sư điệ n Oliver
Heaviside (1850 – 1925) và được dù ng đe mô tả dò ng
điệ nđượcbậ tlê ntạ ithờiđiemt=0.Đothịnhưhı̀nhbê n.
Khit→0từbê ntrá ithı̀ H(t)→0,khit→0từbê nphả ithı̀ H(t)→1.Chứngtỏ ra ng
điemgiớihạ nlà khô ngduynhat,vậ ykhô ngtontạ ilim → ( ).
1.1.2. Giới hạn một phía
TrongVı́dụ 4,chú ngtađã xemxé triê ngviệ ct→0từbê ntrá ivà t→0từbê nphả i.Đe
bieuthịđieuđó ,chú ngtacó thesửdụ ngcá cký hiệ u
lim
( ) = 0, lim
→
→
( ) = 1
Ký hiệ u" → 0 "bieuthị rangchú ngtachı̉ xé tgiá trị t<0trongquá trı̀nhtdanve0.
Tươngtự,ký hiệ u" → 0 "bieuthịrangchú ngtachı̉xé tgiá trịt>0.
Định nghĩa 4Chú ngtavietlim
[hay
( ) = ,và nó igiớihạ ntrá icủ a ( )khixdanđena
→
nó igiớihạ ncủ a ( )khixdanđenatừbê ntrá i]bangLneutacó thelà mcho
giá trị củ a ( )gangiá trị Ltù yý bangcá chchọ ncá cgiá trị củ axđủ gana
nhưngbé hơna.
Tươngtự,chú ngtacó giớihạ nphả icủ a ( )khixdanvea,lim
→
( ),neutontạ i.
Định lý 1
Khixdanvea,giớihạ ncủ a ( )tontạ ikhivà chı̉khigiớihạ ntrá ivà giớihạ n
phả icù ngtontạ ivà bangnhau,
Địnhlý 1có thevietnhưsau:
lim
( ) = ⇔ lim
→
Ví dụ 5
→
( ) = và lim
( )=
→
Dựa và o đo thị hà m so ( ) như hı̀nh dưới đâ y,
hã ykha ngđịnh(neutontạ i)
(a)lim
(c)lim
→
→
( )
( )
3
(b)lim
→
( )
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
(d)lim
→
( )
(e)lim
→
( )
(f)lim
→
( )
Lời giải
(a)lim
→
( ) = 3(b)lim
→
( ) = 1(c)lim
→
( )khô ngtontạ i
(d)lim
→
( ) = 2(e)lim
→
( ) = 2(f)lim
→
( ) = 2
1.1.3. Giới hạn vô cùng
Xé tquá trı̀nhx→0củ ahà m ( ) =
0
.Khixđủ gan
thı̀ x2 rat bé , và do đó 1/x2 rat lớn. Nhı̀n và o đo thị, ta
thay ( )khô ngthedanđenmộ tgiá trị nà o,và vı̀ vậ yta
nó i rang khô ngtontạ i lim
thesửdụ ngký hiệ ulim
có
.Đe bieu thị đieu đó ,ta
→
= ∞.
→
Định nghĩa 5Giả sử ( )xá cđịnhtronglâ ncậ nnà ođó củ ađiema,có theloạ itrừtạ iđiem
a.
Khiđó lim
cá chchoxđủ gana,nhưngkhá ca.[Tacũ ngcó theviet ( ) → ∞khi → .]
→
( ) = ∞có nghı̃alà có thelà mchogiá trị củ a ( )lớntù yý
bang
Viet như thenhưng khô ngđượchieulà giới hạ nnà y
tontạ i,cũ ngnhưkhô ngthexem∞là mộ tconso.Đó thuan
tú ychı̉ là mộ tký hiệ u.Tuynhiê ntheothó iquen,tava ncó
thenó i" ( )danđenvô cù ngkhixdanđena",hoặ c"giới
hạ n củ a ( ) khi x dan tới a bang vô cù ng", hoặ c " ( )
khô ngbịchặ ntrê nkhixdanđena".
Định nghĩa 6Giả sử ( )xá cđịnhtronglâ ncậ nnà ođó củ ađiema,có theloạ itrừtạ iđiem
a.
Khiđó lim
bangcá chchoxđủ gana,x≠a.[Tacũ ngcó theviet ( ) → −∞khi → .]
Tava ncó thenó i"( )danđenâ mvô cù ngkhixdan
→
( ) = −∞có nghı̃alà có thelà mchogiá trịcủ a− ( )lớntù y
ý
đena",hoặ c"giới hạ ncủ a ( )khi xdantới abang â m vô
cù ng",hoặ c" ( )khô ngbịchặ ndướikhixdanđena".
De kiemtrarang( ) = −
→ −∞khi → 0.
Tươngtự,chú ngtacó theđưaracá ckhá iniệ mgiớihạ nvô cù ngmộ tphı́abởicá cký
hiệ u
lim
→
( ) = ∞, lim
→
( ) = ∞, lim
→
Cá cdạ ngđothịtươngứnglà
4
( ) = −∞, lim
→
( ) = −∞
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
ngx=ađượcgọ ilà tiệ mcậ nđứngcủ ahà m( )neuxả yraı́tnhat
Định nghĩa 7Đườngtha
mộ ttrongcá ctrườnghợpsau
( ) = ∞, lim
( ) = ∞, lim →
lim →
( ) = −∞, lim
→
→
( )=
−∞
Ví dụ 6
Tı̀mlim
Lời giải
Khixdanđen3nhưngnhỏ hơn3thı̀ x–3luô nâ mvà danve0,trongkhiđó
và lim
→
→
tửsodanve6,vı̀ vậ yphâ nthức
lim
danveâ m vô cù ng,tứclà
= −∞.
→
Tươngtự,khixdanve3nhưnglớnhơn3thı̀ x–3luô ndương
và danve0,trongkhiđó tửso
vedươngvô cù ng,tứclà lim
danve6,vı̀vậ yphâ nthức dan
= ∞.
→
Nhı̀nvà ođothịtathayhà m =
Ví dụ 7
Tı̀mcá ctiệ mcậ nđứngcủ a = tan .
Lời giải
Bởivı̀tan =
có tiệ mcậ nđứnglà = 3.
có thecó tiệ mcậ nkhicos =0.
→ ( /2) thı̀ cos → 0 , và sin → 1, vı̀ vậ y
tan = ∞.Khi → ( /2) thı̀cos → 0 ,và sin → 1,vı̀
Cụ the, khi
lim
→( / )
vậ y lim
→( / )
tan
= −∞.
Do tan là hà m tuan hoà n chu kỳ πnê n đo thị củ a = tan có
cá cđườngtiệ mcậ nđứnglà =
+ vớinlà songuyê n.
1.2. Quy tắc tìm giới hạn của các hàm số
Định lý 1
Giả sửclà hangsovà cá cgiớihạ nlim ( )và lim ( )cù ngtontạ i.Khiđó
→
→
1. lim [ ( ) + ( )] = lim ( ) + lim ( )
→
→
→
2. lim [ ( ) − ( )] = lim ( ) − lim ( )
→
→
→
3. lim [ ( )] = lim ( )
→
→
4. lim [ ( ) ( )] = lim ( )lim ( )
→
5. lim
→
→
( )
(
=
)
→
→
( )
( )
→
nếulim ( ) ≠ 0
→
De thay,
lim [ ( )] = lim ( ) ,lim = ,lim = ,lim
→
→
→
→
5
→
=
(nnguyê ndương),
Chương 2 – Toán 2
lim
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
( )=
→
lim ( )(nnguyê ndương,và f(x)>0khincha
→
n).
Nă mquyta cđó có thephá tbieubanglờinhưsau:
1. Quyta ccộ ng:Giớihạ ncủ atongbangtongcá cgiớihạ n
2. Quyta ctrừ:Giớihạ ncủ ahiệ ubanghiệ ucá cgiớihạ n
3. Quyta cthừahangso:Thừahangsocó theđưarangoà iphé playgiớihạ n
4. Quyta ctı́ch:Giớihạ ncủ atı́chbangtı́chcá cgiớihạ n
5. Quyta cthương:Giớihạ ncủ athươngbangthươngcá cgiớihạ n(khigiớihạ ncủ ama ukhá c
0).
Ví dụ 1
Tı̀m lim
→
Đặ t ( ) = 4 + 2 − 1và ( ) = 5 − 3 .Tacó
lim ( ) = lim (4 ) + lim (2 ) − lim 1 = 4 lim
+ 2 lim
Lời giải
→
→
→
→
→
→
− lim 1
→
= 4(−2) + 2(−2) − 1 = −32 + 8 − 1 = −25
lim ( ) = lim 5 − lim (3 ) = lim 5 − 3 lim = 5 − 3(−2) = 11
→
→
Vậ y lim
=
→
→
( )
→
( )
→
→
=
→
=−
Tongquá t:Neuathuộ cmienxá cđịnhcủ aphâ nthứchữutỷ ( ) =
lim ( ) = ( ) =
→
( )
( )
( )
( )
thı̀
Ví dụ 2
Tı̀mlim
Lời giải
Chú ngtakhô ng thethaytrựctiep x= 1và o bieu thứcbởi phâ nthứckhô ng
.
→
xá cđịnhtạ ix=1.Cũ ngkhô ngthesửdụ ngquyta cthươngbởigiớihạ ncủ ama usobang0.
Vı̀vậ ychú ngtacanbienđoiđạ iso.
Vı̀x→1nê nx≠1,khiđó lim
= lim
→
(
)(
)
→
→
Neu ( ) = ( )với ≠ thı̀ lim ( ) = lim ( )(neutontạ i).
Tổng quát
→
Ví dụ 3
Tı̀mlim
Lời giải
( )=
√
→
√
→
.
=
√
√
√
=
√
Định lý 2
lim ( ) = ⇔ lim ( ) = lim ( ) =
Ví dụ 4
Tı̀mlim | |.
→
→
Tacó | | =
−
lim | | = lim (− ) = − lim
→
lim | | = lim
→
→
→
≥0
,vı̀vậ y
<0
= 0,
Lời giải
→
= lim ( + 1) = 2.
→
→
= 0.Dođó lim | | = 0.
→
6
→ khix→0.
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
Ví dụ 5
Tı̀mlim
Lời giải
lim
→
| |
→
| |
.
= lim
= lim (−1) = −1,
= lim
= lim (1) = 1.
→
lim
| |
→
→
Chứng tỏ lim
| |
→
lim
→
| |
→
≠ lim
→
| |
, nê n khô ng ton tạ i
→
.
Ví dụ 6
Lời giải
> 4.Xé tsựtontạ icủ alim ( ).
Cho ( ) = √ − 4
→
8−2
<4
Tacó lim ( ) = lim (8 − 2 ) = 0.
→
→
Mặ tkhá c, lim ( ) = lim √ − 4 = 0.
→
→
Dođó lim ( ) = 0.
→
Định lý 3
Định lý 4
mà
Neu trong lâ n cậ n nà o đó củ a a (loạ i trừ tạ i a) mà ( ) ≤ ( ), đong thời
lim ( ) = và lim ( ) = ℎì ≤
→
→
Neutronglâ ncậ nnà ođó củ aa(loạ itrừtạ ia)
( ) ≤ ( ) ≤ ℎ( ),đongthời
lim ( )=lim ℎ( ) = thìlim ( ) = .
→
→
→
Ví dụ 7
Tı̀mlim
Lời giải
Khô ng theviet lim
→
sin .
→
. lim sin vı̀ lim sin khô ng tontạ i.Thayvà o đó ,ta sử
→
→
dụ ngcá cbatđa ngthư−1
́ c ≤ sin ≤ 1,dođó −
≤
sin ≤
Khix→0thı̀x2→0và –x2→0nê ntheoĐịnhlý 4,
Tacũ ngcó theá pdụ ngtı́nhchatsau
lim ( ) = 0⇔lim | ( )| = 0.
lim
→
.
sin = 0.
→
→
Khiđó ,
0≤
sin
= | | sin
Chứngtỏ 0 ≤ lim
→
sin
≤ | | → 0khix→0.
≤ lim | | = 0,vậ ylim
→
→
sin = 0.
1.3. Định nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số
Đeđiđenđịnhnghı̃achı́nhxá ccủ agiớihạ n,chú ngtaxé thà m
2 − 1,
≠3
( )=
6,
=3
De thay,khixđủ gan3và x≠3thı̀( )ganbang5,vı̀vậ ylim ( ) = 5.
→
Đexemxé tviệ cf(x)danđen5nhưthenà okhixdanve3,tađitı̀msựtrả lờichocâ u
hỏ i
7
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
Giá trị x phải gần 3 như thế nào để độ sai khác của f(x) với 5 nhỏ hơn ε = 0.1?
Khoả ng cá ch từxtới 3 là | − 3|,và khoả ng cá ch từ ( )tới 5 là | ( ) − 5|.Vı̀ vậ y,
chú ngtađitı̀msoδ>0saocho| ( ) − 5| < 0.1khi| − 3| < và x≠3.
Neux≠3thı̀0 < | − 3|,vı̀vậ ymệ nhđetrê ntươngđươngvới
| ( ) − 5| < 0.1 ℎ 0 < | − 3| <
Tacó | ( ) − 5| = |2 − 1 − 5| = 2| − 3|.
Đe| ( ) − 5| < 0.1thı̀0 < | − 3| < 0.05.
Vậ yf(x)saikhá c5mộ tlượngε=0.1khixsaikhá c3mộ tlượngnhỏ hơnδ=0.05.
Tươngtự,neutathayε=0.01,tasẽ tı̀mđượcδ=0.005đechoneuxsaikhá cvới3
mộ tlượngnhỏ hơnδthı̀f(x)saikhá c5mộ tlượngnhỏ hơnε.
| ( ) − 5| < nếu0 < | − 3| <
Tongquá t,tathayrang,soδcó thelaylà ε/2,tứclà δphụ thuộ cε.
| ( ) − 5| < nếu0 < | − 3| < = ε/2
Định nghĩa 1Giả sử ( )xá cđịnhtrongmộ tlâ ncậ nnà ođó củ aa,có theloạ itrừtạ ia.Ta
nó i
( )có giớihạ nlà Lkhixdantớia,và vietlim ( ) = ,neu
→
∀ > 0, ∃ > 0|0 < | − | <
⇒ | ( )− | <
Ngườitacò ngọ iđâ ylà địnhnghı̃agiớihạ ntheo"ngô nngữ − ".
Các bước tìm giới hạn của f(x) khi x → a
(a) Dựđoá ngiớihạ ncủ af(x)khix→alà L
(b) Vớiε>0,xuatphá ttừbatđa ngthư|́ c( ) − | < ,bienđoitươngđương
hoặ ctı̀mđieukiệ nđủ ,da ntớibatđa ngthư
0 <́ c| − | < (ε),trongđó
B(ε)là mộ tbieuthứcdanve0khiε→0.Chọ nδ≤B(ε).
(c) Chı̉rarang,vớiεvà δvừachọ nthı̀mệ nhđesaulà đú ng
∀ > 0, ∃ > 0|0 < | − | < ⇒ | ( ) − | <
Tı̀mgiớihạ ncủ a ( ) =
− 2 + 1khix→2.
Ví dụ 1
Lời giải
(a)Dựđoá ngiớihạ nlà L=1.
| ( ) − 1| < ⇔| − 2 | < ⇔| || − 2| <
(b)
Vı̀x→2nê nkhi1
Layδ=ε/3.
(c) Nhưvậ ytađã chứngminhđượcrang
∀ > 0, ∃ = /3 > 0|0 < | − 2| < ⇒ | ( ) − 1| <
Theođịnhnghı̃a, ( ) =
− 2 + 1→1khix→2.
Tươngtự,tacó địnhnghı̃achı́nhxá cvegiớihạ nmộ tphı́avà giớihạ nvô cù ng.
Định nghĩa 2
lim →
( )=
⇔ ∀ > 0, ∃ > 0| −
<
<
( )=
⇔ ∀ > 0, ∃ > 0| <
<
+
lim
→
8
⇒ | ( )− |<
⇒ | ( )− |<
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
Định nghĩa 3Giả sửf(x)xá cđịnhtrongmộ tlâ ncậ ncủ aa,có theloạ itrừtạ ia.Tanó if(x)
dan
tớidươngvô cù ngkhixdantớia,và tavietlim
( ) = ∞,neuvớimọ isodương
→
M,
luô ntı̀mđượcsoδ>0saochoneu0 < | − | < thı̀ ( ) >
.
Định nghĩa 4Giả sửf(x)xá cđịnhtrongmộ tlâ ncậ ncủ aa,có theloạ itrừtạ ia.Tanó if(x)
dan
tớiâ mvô cù ngkhixdantớia,và tavietlim → ( ) = −∞,neuvớimọ isodươngM,
luô ntı̀mđượcsoδ>0saochoneu0 < | − | < thı̀ ( ) < − .
1.4. Sự liên tục của hàm số
Định nghĩa 1Hà m ( )đượcgọ ilà liê ntụ ctạ ianeulim
→
( ) = ( ).
Nhưvậ y,đef(x)liê ntụ ctạ iathı̀ bađieukiệ nsauphả ilan
lượtthỏ amã n:
1. Hà mf(x)xá cđịnhtrongmộ tlâ ncậ ncủ aa,kecả tạ ia.
2. Tontạ igiớihạ ncủ af(x)khix→a,lim → ( )
3. Giớihạ nđó banggiá trịcủ ahà mtạ iđiema,lim
( )=
→
( )
Ta nó i hà m f(x) giá n đoạ n tạ i a[hay a là điem giá n đoạ n
củ ahà mf(x)]neuf(x)khô ngliê ntụ ctạ ia.
Định nghĩa 2Giả sửalà điemgiá nđoạ ncủ af(x).Khiđó tanó ialà điemgiá nđoạ n
(a) loạ ikhửđượcneulim
(b) loạ i1neulim
( ) = lim
→
( ) ≠ lim
→
→
( )
( )(cù ngtontạ inhưngkhá cnhau)
→
(c) loạ i2trongcá ctrườnghợpcò nlạ i
Định nghĩa 3Hà mf(x)đượcgọ ilà
(a) liê ntụ ctrá itạ ianeulim →
( ) = ( )
(b) liê ntụ cphả itạ ianeulim
( ) = ( )
→
Nhưvậ y,hà mf(x)liê ntụ ctạ ia⇔liê ntụ ctrá ivà liê ntụ cphả itạ ia.
Định nghĩa 4Hà mf(x)đượcgọ ilà
(a) liê ntụ ctrê nkhoả ngmở(a,b)neunó liê ntụ ctạ imọ ix0∈(a,b)
(b) liê ntụ ctrê nkhoả ngđó ng[a,b]neunó liê ntụ ctrê nkhoả ngmở(a,b),đongthờiliê n
tụ cphả itạ iavà liê ntụ ctrá itạ ib.
Định lý 1
(a)
Định lý 2
Neucá chà mf(x)và g(x)cù ngliê ntụ ctạ iathı̀cá chà msaucũ ngliê ntụ ctạ ia:
+
(b) −
(c)
(d)
(c–const)
Cá chà msauđâ yđeuliê ntụ ctrê nmienxá cđịnhcủ anó :
Đathức
Phâ nthứchữutỷ
9
Că nthức
(e) / [g(a)≠0]
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
Cá chà mlượnggiá cvà cá chà mngượccủ achú ng
Cá chà mmũ Cá chà mlogarithm
Định lý 3
Neuhà m liê ntụ ctạ ibvà lim
Nó ikhá cđi,lim
→
Ví dụ 1
Tı̀mlim arcsin
Lời giải
Khix→1thı̀x≠1nê n
Doarcsin liê ntụ ctạ i1/2nê n
→
lim arcsin
( ) = ( )
→
( ) = (lim ( ))
→
√
( ) = thı̀lim
→
.
√
→
√
√
=
√
= arcsin lim
√
√
→
=
√
→
= arcsin = .
Định lý 4
Neu liê ntụ ctạ iavà liê ntụ ctạ i ( )thı̀hà mhợp ∘ liê ntụ ctạ ia.
Định lý 5
Neu liê ntụ ctrê n[a,b]và Nlà giá trị namtrongkhoả nggiữaf(a)và f(b)thı̀
tontạ ic∈[a,b]saochof(c)=N.
Neu liê ntụ ctrê n[a,b]và ( ) ( ) < 0thı̀tontạ ic∈(a,b)đe ( ) = 0.
Tứclà phươngtrı̀nh ( ) = 0có nghiệ mtrongkhoả ng(a,b).
Hệ quả
Tı̀mnghiệ mganđú ngcủ aphươngtrı̀nh4 − 6 + 3 − 2 = 0trê n[1,2]
Tathayrang (1) = −1và (2) = 12nê nphương trı̀nh có nghiệ mtrê n[1,
Ví dụ 2
Lời giải
2].
Tatı́nhgiá trịf(c)vớiclà trungđiemcủ a[a,b].Neuf(c)<0,tứctrù ngdauvớif(a)thı̀
tađặ ta=c,trá ilạ iđặ tb=c,tứclà thuhẹ pđoạ nchứanghiệ mlạ i.Lặ plạ iquá trı̀nhtrê ncho
tớikhihiệ ub–ađủ nhỏ .
Quá trı̀nhtı́nhđượcthehiệ ntrongbả ngdướiđâ y.
Sau11 bướclặ p nhậ nđượca= b=1.221 (là m trò n3 chữso),vậ ynghiệ m xap xı̉ là
1.221.
n
0
1
2
3
4
a
b
c
1.50
1.000 2.000 0
1.50
1.000 0
1.250
1.25
1.000 0
1.125
1.12
5
1.250 1.188
1.18 1.250 1.219
f(c)
n
a
b
c
f(c)
2.500
6
1.219 1.234 1.227 0.034
7
1.219 1.227 1.223 0.010
8
1.219 1.223 1.221 -0.003
0.188
-0.523
-0.200
-0.015
10
9 1.221 1.223 1.222 0.003
10 1.221 1.222 1.221 0.000
Chương 2 – Toán 2
5
8
1.21
9
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
1.250 1.234 0.084
11 1.221 1.221
1.5. Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
1.5.1. Giới hạn tại vô cực
Trongcá cphantrướcchú ngtachı̉ xé tquá trı̀nhxdantớigiá trị hữuhạ na.Neutrong
quá trı̀nhđó giá trị củ a ( )danravô cù ng(â mhoặ cdương)thı̀ tagọ iđườngtha ng=
là tiệ mcậ nđứng.Trongphannà ytaxé tquá trı̀nhxdanravô cù ng(â mhoặ cdương),neu
( )dantớigiớihạ nhữuhạ nLnà ođó thı̀ đườngtha ng= đượcgọ ilà tiệ mcậ nngang
củ a = ( ).
Chú ng ta xé t hà m ( ) =
. Vı̀
−1<
+ 1 nê n ( ) < 1. De thay rang khi x
cà nglớnthı̀giá trị ( )cà nggan1hơn.Đebieuthịđieuđó tacó theviet lim
→
= 1.
Định nghĩa 1Giả sử ( )xá cđịnhtrongmien(a,∞).Taviet lim ( ) = ,và nó i ( )có
→
giớihạ nlà Lkhixdanradươngvô cù ngneucó thelà mcho ( )ganLtù yý
bangcá chchọ ngiá trịxđủ lớn[Hoặ cviet ( ) → khi → ∞].
Định nghĩa 2Giả sử ( )xá cđịnhtrongmien(-∞,a).Taviet lim ( ) = ,và nó i ( )có
→
giới hạ n là L khi x dan ra â m vô cù ng neu có the là m cho ( ) gan L tù y ý
bangcá chchọ ngiá trịxâ mđủ lớn[Hoặ cviet ( ) → khi → −∞].
Định nghĩa 3 Đườngtha ngy=Lđượcgọ ilà tiệ mcậ nngangcủ ađườngcong= ( )neu
lim ( ) = hoặc lim ( ) =
→
Ví dụ 1
→
Tı̀mcá cđườngtiệ mcậ nngangvà tiệ mcậ nđứngcủ ahà m ( ) =
11
√
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
√
Lời giải
Vớix>0:
=
Vậ ycó tiệ mcậ nngang =
√
Vớix<0:
√
→−
√
√
.
Vậ ycó tiệ mcậ nngang = −
lim
√
→( / )
= −∞
√
khix→∞.
.
=
→
khix → −∞.
lim
√
= ∞
→( / )
Vậ y = là tiệ mcậ nđứng.
1.5.2. Giới hạn vô cùng tại vô cực
Ký hiệ u lim ( ) = ∞bieuthị ( )trởlê nratlớnkhixratlớn.
→
Y
nghı̃atươngtựcũ ngdà nhchocá cký hiệ u
lim ( ) = −∞, lim ( ) = ∞và lim ( ) = −∞.
→
→
→
Định nghĩa 4Giả sử ( )xá cđịnhtrongkhoả ng(a,∞).Tanó i ( )có giớihạ nlà Lkhi x
danđendươngvô cù ng,và viet lim ( ) = ,neu
→
Y
∀ > 0, ∃ |∀ >
⇒ | ( ) − | <
nghı̃ahı̀nhhọ cđượcmô tả tronghı̀nhvẽ dướiđâ y.
Đechứngminh lim ( ) = khisửdụ ngĐịnhnghı̃a4,tatienhà nhtheotrı̀nhtựsau.
→
(a) Xá cđịnhbieuthứccủ aNtheoε:Từbatđa ngthư|́ c( ) − | < ,tabienđoitương
đươnghoặ ctı̀mđieukiệ nđủ (tứclà chı̉ đượcsửdụ ngcá cbienđoi"⇔"hoặ c"⇐")
đeda nđenbatđa ngthứcdạ ngx>B(ε),trongđó bieuthứcB(ε)→∞khiε→0.
TalayN=B(ε).
(b) Chı̉rasoNnhưtrê nlà thỏ amã nĐịnhlý 4,tứclà
∀ > 0, ∃ = ( )|∀ > ⇒ | ( ) − | <
Ví dụ 2
Sửdụ ngĐịnhnghı̃a4,chứngminhrang lim
→
12
= .
Chương 2 – Toán 2
Lời giải
Xá cđịnhNtheoε:Xé tvớix>1.Khiđó ,∀ε>0,
−
Lay
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
<
⇔
)
(
<
⇔
)
(
<
⇐
<
−
<
⇔
<
⇔
>
= .Vậ ytađã chứngminhđượcrang
∀ > 0, ∃
= |∀ >
⇒
> ⇒
= .
TheoĐịnhnghı̃a4, lim
→
Định nghĩa 5Giả sử ( )xá cđịnhtrongkhoả ng(-∞,a).Tanó i ( )có giớihạ nlà Lkhix
danđenâ mvô cù ng,và viet lim ( ) = ,neu
→
∀ > 0, ∃ |∀ <
⇒ | ( )− | <
Đe chứng minh lim ( ) = khi sử dụ ng Định nghı̃a 5, ta tien hà nh theo trı̀nh tự
→
sau.
(c) Xá cđịnhbieuthứccủ aNtheoε:Từbatđa ngthư|́ c( ) − | < ,tabienđoitương
đươnghoặ ctı̀mđieukiệ nđủ (tứclà chı̉ đượcsửdụ ngcá cbienđoi"⇔"hoặ c"⇐")
đeda nđenbatđa ngthứcdạ ngx
(d) Chı̉rasoNnhưtrê nlà thỏ amã nĐịnhlý 5,tứclà
∀ > 0, ∃ = ( )|∀ < ⇒ | ( ) − | <
Ví dụ 3
Sửdụ ngĐịnhlý 5,chứngminhrang lim
Lời giải
Xé tvớix<0.Khiđó ,∀ε>0,
= .
→
−
<
⇔
<
+ 2 + 2 < 4 < 0,dođó |4 + 2 + 2| > |4
− 2 − 1| = |4 + 2 + 1| < 8 .
Vớix<-1thı̀4
Đongthời,|−4
Khiđó ,
Lay
∀ > 0, ∃
TheoĐịnhnghı̃a5, lim
<
⇐
| |
<
⇔| |<
⇔| |> ⇐
= − .Vậ ytađã chứngminhđượcrang
= − |∀ <
→
⇒
<− ⇐
=
13
−
<
|
<−
Chương 2 – Toán 2
Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc
1.6. Vô cùng bé và vô cùng lớn
Định nghĩa 6Tanó i ( )là vô cù ngbé (VCB)trongquá trı̀nhxdanđena(hữuhạ nhoặ cvô
hạ n),neulim ( ) = 0
→
Tanó i ( )là vô cù nglớn(VCL)trongquá trı̀nhxdanđena(hữuhạ nhoặ cvô
hạ n),neulim ( ) = ∞
→
De thayrang,trongcù ngmộ tquá trı̀nhx→a,neu( )là VCBthı̀ ( ) =
và ngượclạ i,neu ( )là VCLthı̀ ( ) =
( )
là VCL,
là VCB.
( )
Canphâ nbiệ tVCBvới"ratbé ",bởivı̀ VCBlà khá iniệ msửdụ ngtrongmộ tquá trı̀nh.
Vı́ dụ ,
là mộ tVCBtrongquá trı̀nhx→0,nhưnglạ ilà VCLtrongquá trı̀nhx→∞.Trong
khiđó "ratbé "là khá iniệ mliê nquanđencá cgiá trịcođịnh,vı́dụ ε=10-32là ratbé .
Giả sử và là cá cVCBtrongquá trı̀nhx→a.
Neu → 0thı̀tanó i là VCBbậ ccaohơnsovới .
Neu → ∞thı̀tanó i là VCBbậ cthaphơnsovới .
Neu → (λ≠0,λ≠∞)thı̀ tanó i và là haiVCBcù ngcap.Đặ cbiệ t,neuλ=1thı̀ ta
nó i và là haiVCBtươngđương.
1.7. Một số giới hạn cơ bản
lim
→
lim
= 1
( )
→
lim
= 1
lim
= 1
→
( )
→
lim(1 + ) =
lim 1 +
→
=
lim
lim
=
→
( > 0,
( )
≠ 1)
=
→
=
→
Mở rộng
a) Giả sửlim ( ) = 0,ởđâ yacó thelà hữuhạ nhoặ cvô hạ n
→
lim
→
lim
→
( )
= 1
( )
[ ( )]
( )
lim
→
= 1
lim [1 + ( )]
( )
→
lim
→
( )
( )
= 1
[ ( )]
( )
=
lim
lim
( )
( )
→
→
[
=
( )]
( )
=
b) Giả sửlim ( ) = ±∞,ởđâ yacó thelà hữuhạ nhoặ cvô hạ n
→
lim 1 +
→
( )
( )
=
14
( > 0,
=
≠ 1)
