Bai tap chuong 5 truong tinh dien gui len mang

Bài tập chương 6. Trường tĩnh điện
A. Phần tóm tắt lý thuyết
1. Lực tương tác Coulomb




q q
1 q1q 2 r12
qq r
1 q1 q 2
F12 
.  k 1 22 . 12 , độ lớn: F12 
 k 1 22
2
2
r
40 r
40 r
r
r r



 0  8,86.10 12 C 2 / Nm 2 - hằng số điện môi (hằng số điện môi tuyệt đối của chân không),  là hằng số điện
môi tỷ đối của môi trường.
2. Vectơ cường độ điện trường

 F
E
q

Cường độ điện trường gây ra bởi một điện tích điểm Q tại một điểm cách nó một khoảng r:




Q r
1 Q r
|Q|
Ek 2. 
. 2 . , độ lớn: E  k 2
r
r r 40 r r

Q>0: E hướng ra xa điện tích;

Q<0: E hướng vào điện tích.
3. Véc-tơ điện cảm (cảm ứng điện)


D  0 E


Q 
.r
4r 3
4. Cường độ điện trường gây bởi một sợi dây thẳng dài vô hạn mang điện đều tại một điểm cách dây một
khoảng r:

, trong đó  là mật độ điện dài của dây.
E

20r
5. Cường độ điện trường gây bởi một mặt phẳng mang điện đều:

, trong đó  là mật độ điện mặt.
E
2 0
6. Định lý Ostrogradski – Gauss:
Thông lượng cảm ứng điện gửi qua một mặt kín (S) bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích có trong mặt kín.
  n
   DdS   qi


Véc-tơ điện cảm do một điện tích điểm gây ra: D 

 S

i 1

7. Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích điểm q0 ừ điểm A đến điểm B trong điện trường:
A  q 0  VA  VB  , trong đó VA và VB lần lượt là điện thế tại điểm A và B.
8. Tính chất thế của trường tĩnh điện

 
Lưu số của véc-tơ E theo một đường cong kín bằng 0:  Ed l  0
9. Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B trong điện trường:
B
 
U AB  VA  VB   Edl
A

10. Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế


V
hay E   grad V
E
s
U
Trong trường hợp điện trường đều: E  , trong đó U  V1  V2 là hiệu điện thế, d là khoảng cách giữa 2
d
mặt đẳng thế tương ứng.
11. Điện thế gây bở một điện tích điểm Q tại một điểm cách nó 1 khoảng r:
1


Q
4 0 r
12. Hiệu điện thế giữa hai mặt cầu đồng tâm mang điện đều, bằng nhau, trái dấu:
Q  R 2  R1 
, trong đó R1 là bán kính của mặt cầu trong, R2 là bán kính của mặt cầu ngoài, Q là độ
V1  V2 
0R 1R 2
lớn điện tích trên mỗi mặt cầu.
13. Hiệu điện thế giữa 2 mặt trụ đồng trục dài vô hạn mang điện đều bằng nhau và trái dấu:

R
V1  V2 
ln 2 , trong đó R1 là bán kính mặt trong, R2 là bán kính mặt ngoài,  là mật độ điện dài trên
2 0 R 1
mặt trụ.

B. Phần bài tập
Bài 1.9. Tìm lực tác dụng lên một điện tích điểm q = (5/3).10-9 C đặt ở tâm nửa vòng xuyến bán kính r0 = 5
cm tích điện đều với điện tích Q = 3.10-7 C (đặt trong chân không).
Bài giải:
Xét một điện tích nguyên tố dq gây ra cường độ điện trường dF cho
điện tích q. Phân tích dF theo phương x và y như trên hình vẽ. Dễ
dàng thấy do tính chất đối xứng nên các thành phần dFy triệt tiêu
nhau.
kq
Như vậy: F   dF   dFx   2 dQ cos 
r
Q
Trong đó: dQ  dl (điện tích chia đều theo độ dài r ), dl  rd
r
(độ dài cung bằng bán kính nhân với góc chắn cung).
V

Thay vào trên ta được: F 


2

kq Q
r cos d
2
 r r


2

Từ hình vẽ dễ thấy góc  biến thiên từ
F


2


2

2

2



 khi lấy tích phân trên toàn bộ nửa vòng xuyến.
2
2

kqQ
kqQ
kqQ
 r 2 cos d  r 2  cos d  r 2 sin 


2

=

2

9
9
7
2kqQ 2.9.10 . 5 / 3 .10 .3.10

 1,146.103  N 
2
2
r
.0,05

Bài 1.10. Có hai điện tích điểm q1  8.108 C và q 2  3.10 8 C đặt cách nhau một khoảng d = 10 cm trong
không khí. Tính:
a) Cường độ điện trường gây bởi các điện tích đó tại các điểm A, B, C. Cho biết: MN = d = 10 cm, MA = 4
cm, MB = 5 cm, MC = 9 cm, NC = 7 cm.
b) Lực tác dụng lên điện tích q  5.1010 C đặt tại C.
Bài giải:

2




Tại điểm A: E1A và E 2A cùng chiều nhau như hình vẽ:
 q
q 
 8.108 3.108 

 525.103  V / m 

E A  E1A  E 2A  k  1 2  2 2   9.109. 
2
2 
NA 
0,06 
 0,04
 MA


Tại điểm B: E1B và E 2B ngược chiều nhau như hình vẽ:
 q
q 
 8.108 3.108 

 276.103  V / m 
E B  E1B  E 2B  k  1 2  2 2   9.109. 
2
2 
MB
NB
0,05
0,15






Tại điểm C: E1C và E 2C có chiều nhau như hình vẽ.
2

 E 22C  2E1CE 2C cos  , trong đó:
Ta có: E C  E1C

8
q2
8.108
3
9 3.10

88,9.10
V
/
m
E

k

9.10
.
 55,1.103  V / m 
và


2C
MC2
0, 092
NC2
0, 072
MC 2  NC2  MN 2 92  7 2  102 5


 ,   76, 20
cos  
2MC.NC
2.9.7
21

E1C  k

q1

 9.109.

Thay vào ta được: E C  103 88,92  55,12  2.88,9.55,1.(5 / 21)  92,8.103  V / m 
Cường độ điện trường tại C tạo với cạnh CN 1 góc: 90    90  76, 20  13,80

b) Lực FC  q E C  5.1010.92,8.103  4, 6.105  N 
Lực này ngược chiều với EC.
Bài 1.20. Một mặt phẳng vô hạn mang điện đều có mật độ điện tích mặt là 2.10-9 C/cm2 = 2.10-5 C/m2. Hỏi
lực tác dụng lên một đơn vị chiều dài của một sợi dây dài vô hạn mang điện đều. Cho biết mật độ điện dài của
dây là   3.108 C/cm  3.10 6 C/m .
Bài giải:
Lực tác dụng của mặt phẳng lên sợi dây bằng tổng lực tác dụng lên các phần tử của sợi dây. Ta đã biết điện

trường do 1 mặt phẳng gây ra là E 
không phụ thuộc vào khoảng cách từ mặt phẳng đến các phần tử
2 0
điện tích của sợi dây nên dù đặt sợi dây thế nào thì lực tác dụng lên 1 phần tử dq của sợi dây vẫn đều là
dq
dl
, trong đó dq  dl nên dF 

. Lực tác dụng lên mỗi đơn vị chiều dài của dây là:
dF  Edq 
2 0
2 0
dF 
2.105.3.106


 3, 4  N / m 
dl 20 2.1.8,86.1012
Bài 1.23. Cho 2 điện tích điểm q1  2.106 C , q 2  10 6 C đặt cách nhau 10 cm. Tính công của lực tĩnh điện
khi điện tích q2 dịch chuyển trên đường thẳng nối hai điện tích đó xa thêm một đoạn 90 cm.
Bài giải:
Ta coi đây là bài toán xác định công của lực tĩnh điện do điện tích q1 tác dụng để dịch chuyển điện tích điểm
q2 dịch chuyển trong điện trường mà nó gây ra.
3


Như vậy: A MN  q 2  VM  VN  , trong đó VM và VN lần lượt là điện thế tại 2 điểm MN trên đường thẳng nối 2
điện tích và cách nhau 1 khoảng 90 cm.
kq1
kq
Giả sử: VM  1 và VN 
  r  r 
r

9.109.2.106.  106  .0,9
 kq1
kq1  kq1q 2
r

Suy ra: A MN  q 2 



 0,162  J 
 r   r  r  
1.0,1.  0,1  0,9 
 r(r  r)


Dấu “-” có nghĩa là lực điện trường là lực cản, tức là ta phải thực hiện 1 công là +0,162 J để thắng lực điện
trường. Trong bài toán này, 2 điện tích là trái dấu nên hút nhau, vì thế muốn đưa 1 điện tích ra xa thêm thì
đương nhiên là phải thực hiện công thắng lại lực hút này.
1
Bài 1.24. Tính công cần thiết để dịch chuyển một điện tích q  .10 7 C từ một điểm M cách quả cầu tích
3
điện bán kính r = 1 cm một khoảng R = 10 cm ra xa vô cực. Biết quả cầu có mật độ điện mặt là
  10 11 C/cm 2  107 C/m 2 .
Bài giải:
Vẫn sử dụng công thức tính công của điện trường khi dịch chuyển điện tích từ điểm M đến N (trong trường
hợp này N ở vô cực): A MN  q  VM  VN  . Như vậy, cần phải tính điện thế tại các điểm M và N.
Nhân đây phải nói đến bài toán tính điện thế tại 1 điểm nằm bên ngoài và cách tâm quả cầu mang điện đều
1 khoảng là r>r0 (bài mà thầy chưa có dịp tính trên lớp trong giờ lý thuyết).
Ta có: dV  Edr (mối liên hệ giũa điện trường và điện thế)
kQ
Mặt khác sử dụng định lý Ostrogradski – Gauss ta dễ dàng tính được: E  2 , trong đó Q là điện tích của
r
quả cầu.
kQ
kQ

kQ
Thay vào ta được: dV   2 dr  V 
 C , chọn gốc điện thế tại vô cực ta có C = 0, suy ra: V 
r
r
r
Quay trở lại bài toán của chúng ta: A MN  q  VM  VN 
9
7
7
kQ
kqQ
kq4r 2  9.10 . 1/ 3 .10 .4  0, 01 .10
VM 
; VN  0  A MN 


 3, 42.10 7  J  ,
 r  R 
 r  R   r  R 
1 0, 01  0,1
2

trong đó Q  4r 2 .
Bài 1.25. Một vòng dây tròn bán kính 4 cm tích điện đều với điện tích Q = (1/9).10-8 C. Tính điện thế tại:
a) Tâm vòng dây;
b) Tại một điểm M trên trục vòng dây, cách tâm của vòng dây 1 đoạn là h = 3 cm.
Ta làm 1 bài tổng quát, tìm điện thế tại 1 điểm M trên trục vòng dây,
cách tâm vòng dây 1 đoạn là h.
kdQ

Ta có: dV 
 R2  h2
kdQ
kQ
Suy ra: V   dV  

2
2
 R h
 R 2  h2
a) Điện thế tại tâm vòng dây h = 0
9
8
kQ 9.10 . 1/ 9  .10
VO 

 250  V 
1.0, 04
R
9.109. 1/ 9  .108
kQ
b) Tại điểm M: VH 

 200  V 
 R 2  h 2 1. 0, 042  0, 032
Bài 1.32. Tại hai đỉnh C, D của một hình chữ nhật ABCD (có các cạnh AB = 4 m, BC = 3 m) người ta đặt hai
điện tích điểm q1  3.108 C (tại C) và q 2  3.108 C (tại D). Tính hiệu điện thế giữa A và B.
Bài giải:
4

AC = BD = 5 m

VA  VCA  VDA 

k  q1
q 2  9.109  3.108 3.108 



  36  V 


  CA DA 
1  5
3 

VB  VCB  VDB 

q 2  9.109  3.108 3.108 
k  q1



  36  V 


  CB DB 
1  3
5 

Hiệu điện thế giữa A và B là: U AB  VA  VB  72  V 

Bài 1.33. Tính công của lực điện trường khi chuyển dịch điện tích q = 10-9 C từ điểm C đến điểm D nếu a = 6
cm, Q1 = (10/3).10-9 C, Q2 = 2.10-9 C.
Bài giải:
Nhớ là muốn tính công của lực điện trường thì có công thức:
A CD  q  VC  VD 
Ta có:
kQ1 kQ 2 9.109  10 / 3
2  9



VC 
.10  200  V 

AC BC
1  0, 06 0, 06 

VD 

kQ1 kQ2 9.109  10 / 3
2  9




 .10  141 V 
AD BD

1  0, 06 2 0, 06 2 

Công của lực điện khi đó: A  q  VC  VD   109  200  141  59.109  J 
Bài 1.37. Cho hai mặt trụ đồng trục mang điện đều bằng nhau và trái dấu có bán kính lần lượt là 3 cm và 10
cm, hiệu điện thế giữa chúng là 50 V. Tính mật độ điện dài trên mỗi mặt trụ và cường độ điện trường tại điểm
ở khoảng cách bằng trung bình cộng của hai bán kính.
Bài giải:
Trước tiên quay trở lại bài toán tính điện trường gây ra bởi một mặt trụ dài vô hạn tích điện đều.
Xét 1 mặt Gauss có dạng mặt trụ có độ cao là h, diện tích đáy là S.
Thông lượng điện:
 e   D n dS   D n dS   D n dS
mÆt trô

trong đó

mÆt bªn



hai ®¸y

D n dS  0 vì Dn = 0 nên:

hai ®¸y

e 



D n dS  D2rh  2 0 Erh

mÆt bªn

Điện tích của khối trụ: Q  h , trong đó  là mật độ điện dài của khối trụ theo chiều cao.

Theo định lý O – G: Q   e  h  2 0 Erh  E 
2 0 r
Đối với những điểm nằm giữa 2 mặt trụ thì chỉ có mặt trụ ở phía trong gây ra điện trường. Ta tính điện thế tại
1 điểm cách trục của mặt trụ trong 1 khoảng là r.
dr
 ln r
V
C
dV  Edr  dV  
2 0 r
2 0
Như vậy hiệu điện thế giữa 2 mặt trụ R1 = 3 cm và R2 = 10 cm là:
20 V 21.,86.10 12.50

R
V
ln 2   

 2,3.109  C 
R
10
2 0 R 1
ln 2
ln
R1

3

5