Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân và phương trình vi tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

NGÔ QUỐC TUẤN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP
NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
************

NGÔ QUỐC TUẤN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP
NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - Năm 2017


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán – Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em
theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn
Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người
trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong
suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn
sinh viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Ngô Quốc Tuấn


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Trong khi thực

hiện đề tài nghiên cứu này em đã tham khảo một số tài liệu đã được ghi
trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài
“Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi
phân và phương trình vi tích phân” là kết quả của việc nghiên cứu,
học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác.

Hà Nội, ngày 21 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Ngô Quốc Tuấn


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Tổ hợp lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1

Khái niệm phương trình vi phân thường . . . . .

7

1.5.2

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

8

2 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI

11

2.1

Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng luân . . .

11

2.2

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH
i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA LOẠI 2 24
3.1

Giới thiệu về phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra 24

3.2

Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.3

Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.4

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó phương trình vi phân,
phương trình vi - tích phân đóng vai trò quan trọng. Các kết quả của
lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, sinh học
cũng như trong ngành nghiên cứu các mô hình kinh tế, quân sự, tình
báo và một số ngành khác.
Chúng ta biết rằng, chỉ có một số ít các phương trình vi phân, phương

trình vi - tích phân là có thể tìm được nghiệm chính xác, trong khi đó
phần lớn các phương trình vi phân, phương trình vi - tích phân nảy sinh
từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do vậy,
một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương
trình vi phân, phương trình vi - tích phân. Xuất phát từ nhu cầu đó,
các nhà toán học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng chúng.
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu : “Ứng dụng
phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trinh vi phân và phương
trình vi – tích phân” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong
phú kiến thức của mình và ứng dụng giải toán đại học.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Giới thiệu khái quát về các kiến thức cơ bản, nghiên cứu phương pháp
nhiễu đồng luân để giải phương trinh vi phân, phương trình vi – tích
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

phân.
3. Phương pháp nghiên cứu
+Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
4. Nội dung chính
Luận văn gồm ba chương.
Chương 1 " Kiến thức chuẩn bị." Chương này nhắc lại một số kiến
thức về chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, số gần đúng, sai số, tổ hợp lồi, khái
niệm về phương trình vi phân.
Chương 2 "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân

phi tuyến cấp hai." Mục đích của chương này là giới thiệu về phương
pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai, và
một số ví dụ áp dụng.
Chương 3 "Phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích
phân tuyến tính Volterra loại 2." Mục đích của chương này là giới thiệu
về phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi - tích phân tuyến
tính Volterra loại 2, và một số ví dụ áp dụng.
Khóa luận được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt
kê trong phần Tài liệu tham khảo. Đóng góp của em thể hiện ở chỗ, áp
dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải các phương trình, tìm được ví
dụ minh họa cho các phương trình đó.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm, chuỗi
lũy thừa, số gần đúng, sai số, tổ hợp lồi, khái niệm về phương trình vi
phân.

1.1

Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1. Chuỗi hàm
Cho dãy hàm {un } cùng xác định trên một tập U ⊂ R. Chuỗi hàm là
một tổng hình thức
∞

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =

un (x)

(1.1)

n=1
∞

Nếu tại x0 ∈ U chuỗi số

un (x0 ) hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ
n=1
∞

un (x0 ) phân kì thì ta nói chuỗi hàm (1.1)

của chuỗi hàm (1.1), nếu
n=1

phân kì tại x0 .
Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ
của chuỗi hàm đó.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Giả sử A là một miền hội tụ của chuỗi hàm (1.1), khi đó với x ∈ A
∞

un (x) có tổng là S(x). Như vậy

chuỗi
n=1

∞

un (x), ∀x ∈ A

S(x) =

(1.2)

n=1

Định nghĩa 2. Chuỗi Taylor
Cho tập hợp mở U ⊂ R. Giả sử hàm f : U → R khả vi đến cấp n trong
một lân cận nào đó của x0 ∈ U và f (n) (x) liên tục tại x0 . Khi đó với x
ở trong lân cận nói trên của x0 ta có
f (x) = f (x0 ) +

f (n) (x0 )
f (x0 )
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + o((x − x0 )n ).
1!
n!

Công thức trên được gọi là công thức Taylor của hàm f (x) tại điểm x0 .
Nếu x0 = 0 thì chuỗi
f (0)
f (n) (0) n
f (0) = f (0) +
x + ... +
x + ...
1!
n!
được gọi là chuỗi khai triển Mac – Laurin của hàm f (x).

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Khai triển Mac – Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản
x2 x3 x4
1)e = 1 + x +
+
+
+ ... =
2!
3!
4!

∞

x

2)e

−x

2

3

4

x
x
x
=1−x+
−
+
+ ... =
2!
3!
4!

3) cos x = 1 −

x2 x4
+
+ ... =
2!

4!
3

5

x
x
+
+ ... =
4) sin x = x −
3!
5!

1.2

n=0
∞

∞

n=0
∞

n=0

xn
;
n!
n
nx

(−1)
n=0
n

n!

;

(−1) 2n
x ;
2n!
(−1)n 2n+1
x
;
(2n + 1)!

Số gần đúng

Định nghĩa 3. Ta nói rằng a là số gần đúng của số a∗ nếu a không sai
khác a∗ nhiều. Hiệu số ∆ = a∗ − a là sai số thức sự của a, nếu ∆ > 0
thì a là giá trị gần đúng thiếu, nếu ∆ < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa
của a∗ .
Nói chung, vì a∗ không biết nên cũng không biết ∆. Tuy nhiên có thể
thấy, tồn tại ∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:
|a∗ − a| ≤ ∆a .
Số ∆a thỏa mãn điều kiên trên được gọi là sai số tuyệt đối a, còn δa =
là sai số tương đối của a. Rõ ràng ∆a , δa càng nhỏ càng tốt.

5

∆a
|a|


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Sai số

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức
y = f (x1 , x2 , ..., xn )
Gọi x∗ = (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n ), y ∗ = f (x∗ ) là giá trị đúng còn x = (x1 , ..., xn ),
y = f (x) là giá trị gần đúng của y ∗ , ∆xi = |x∗i − xi |. Giả sử f (x1 , ..., xn )
là hàm số khả vi liên tục thì
n

∆y

∗

|y − y | = |f (x1 , ..., xn ) −

f (x∗1 , ..., x∗n )|

|f xi |.|xi − x∗i |

=
i=1

với f

xi

là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian. Vì f khả vi liên

tục, ∆xi khá bé nên
n

|f xi (x1 , ...,xn )|∆xi .

∆y =

(1.3)

i=1

Vậy
∆y
δy =
=
y

1.4

n

|
i=1

∂(ln f )
|∆xi
∂xi

(1.4)

Tổ hợp lồi

Định nghĩa 4. Một tổ hợp lồi của các điểm xi ∈ Rn (i = 1, 2, ..., m) là
x ∈ Rn có dạng
x = α1 x1 + α2 x2 + . . . + αm xm .

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán
m

trong đó αi ≥ 0(i = 1, m),

αi = 1.
i=1
n

Nếu có hai điểm x , x ∈ R thì điểm x = αx + (1 − α) x , (0 ≤ α ≤ 1)

là tổ hợp lồi của hai điểm x , x . Vậy tập tất cả các tổ hợp lồi của hai
điểm x , x chính là đoạn thẳng nối hai điểm đó.

1.5

Khái niệm về phương trình vi phân

1.5.1

Khái niệm phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân là một phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần
tìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó.
Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm
cần tìm được gọi là một phương trình vi phân.
Phương trình vi phân thường có dạng
F x, y (x) , y (x) , . . . , y (n) (x) = 0.
Trong đó y(x) là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp
nào đó) của ẩn y.
Cấp của phương trình vi phân là n nếu n là cấp cao nhất của đạo hàm
của ẩn y có mặt trong phương trình.

Định nghĩa 5. Phương trình vi phân thường cấp n
Phương trình vi phân thường cấp n có dạng
F x, y (x) , y (x) , . . . , y (n) (x) = 0

7

(1.5)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

hay
y (n) = f (x, y, y , ..., y (n−1) )

(1.6)

trong đó x là biến số độc lập, y(x) là hàm cần tìm và y (x) , y (x) , . . . ,
y (n) (x) là các đạo hàm của ẩn y.
Nghiệm của bài toán phương trình vi phân thường cấp n là hàm số y(x)
thỏa mãn phương trình này với những giá trị x ∈ (a; b) hữu hạn hoặc vô
hạn.
Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng
y = y (x, c1 , c2 , . . . , cn ) trong đó c1 , c2 , . . . , cn là các hằng số tùy ý, mỗi
giá trị của hằng số đều cho một nghiệm.
Trong bài toán Cauchy cần tìm nghiệm riêng thỏa mãn n điều kiện ban
đầu:
(n−1)

y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0
(n−1)

trong đó x0 , y0 , y 0 , ..., y0
1.5.2

,

(1.7)

là các giá trị cho trước.

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

Xét bài toán (1.6 –1.7):

 y (n) = f (x, y, y , ..., y (n−1) )
 y(x ) = y , y (x ) = y , ..., y (n−1) (x ) = y (n−1)
0
0
0
0
0
0
Trước khi sử dụng các phương pháp giải gần đúng, ta cần biết bài toán
trên có tồn tại nghiệm hay không và tính duy nhất của nghiệm, vì nếu
thiếu điều kiện duy nhất thì ta không xác định được đâu là nghiệm cần
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

tìm.

Điều kiện Lipschitz
Ta nói rằng trong miền G hàm f (x, u1 , u2 , ..., un ) thỏa mãn điều kiện

Lipschitz theo biến u1 , u2 , ..., un nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với
hai điểm (x, u1 , u2 , ..., un ) ∈ G, (x, u1 , u2 , ..., un ) ∈ G bất kỳ ta có bất
đẳng thức:
n

f (x, u1 , u2 , ..., un ) − f (x, u1 , u2 , ..., un ) ≤ L

ui − ui
i=1

Định lý tồn tại nghiệm
Xét bài toán (1.6 – 1.7).
Nếu f (x, u1 , u2 , ..., un ) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 thì tồn tại
ít nhất một nghiệm y = y (x, c1 , c2 , . . . , cn ) của phương trình (1.6) thỏa
mãn điều kiện (1.7) tức là y = y (x, c1 , c2 , . . . , cn ) là nghiệm của bài toán
(1.6 – 1.7).

Định lý duy nhất nghiệm
Xét bài toán (1.6 – 1.7).
Nếu hàm f (x, u1 , u2 , ..., un ) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và hàm
f (x, u1 , u2 , ..., un ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , ..., un tức là
n

f (x, u1 , u2 , ..., un ) − f (x, u1 , u2 , ..., un ) ≤ N

ui − ui
i=1

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

trong đó N là hằng số (gọi là hằng Lipschitz) thì nghiệm của bài toán
(1.6 –1.7) xác định là duy nhất.

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét bài toán (1.6 – 1.7).
Giả sử hàm f (x, u1 , u2 , ..., un ) liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , ..., un .
(n−1)

Khi đó với điểm trong (x0 , y0 , y 0 , ..., y0

) ∈ G bất kì tồn tại duy nhất

nghiệm y = y(x) của phương trình (1.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu
(n−1)

y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0

Kết luận Chương 1
Nội dung chính của Chương 1 nêu một số kiến thức về
1. Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa.
2. Số gần đúng.
3. Sai số.
4. Tổ hợp lồi.
5. Khái niệm về phương trình vi phân.

10

.


Chương 2
PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG
LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN PHI TUYẾN CẤP HAI
Chương này trình bày về phương pháp nhiễu đồng luân, phương
trình vi phân phi tuyến cấp hai, và một số ví dụ áp dụng.

2.1

Khái niệm cơ bản về phương pháp nhiễu đồng
luân

Phương pháp nhiễu đồng luân là một trong những phương pháp quan
trọng để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán phi tuyến của phương trình vi
phân trong ngành toán học. Để minh họa, ta xét phương trình vi phân
phi tuyến sau:
A(u) − f (r) = 0, r ∈ Ω.

11

(2.1)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

với điều kiên biên có dạng:
B u,

∂u
∂n

= 0,

(2.2)

ở đó A là một toán tử vi phân tổng quát, B là một toán tử biên, f (r)
là một hàm đã biết và Γ là biên của miền xác định Ω. Nói chúng, toán
tử A có thể được chia thành hai phần là L và N , ở đó L là tuyến tính
và N là phi tuyến. Phương trình (2.1) do đó được viết lại như sau:
L (u) + N (u) − f (r) = 0.

(2.3)

Bằng phương pháp đồng luân, ta dựng một đồng luân
H (v, p) : Ω × [0, 1] → R
thỏa mãn:
H (v, p) = (1 − p) [L (v) − L (u0 )] + p [A (v) − f (r)] = 0,

(2.4)

H (v, p) = L (v) − L (u0 ) + pL (u0 ) + p [N (v) − f (r)] = 0,

(2.5)

trong đó
v(r, p) : Ω × [0, 1] → R,
ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số nhúng, u0 là một xấp xỉ ban đầu của
phương trình (2.1), thỏa mãn điều kiện biên (2.2). Rõ ràng, từ phương
trình (2.4),(2.5) ta có:
H (v, 0) = L (v) − L (u0 ) = 0,
12

(2.6)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

H (v, 1) = A (v) − f (r) = 0.

(2.7)

Theo phương pháp nhiễu đồng luân, đầu tiên chúng ta sử dụng tham số
nhúng p như một tham số nhỏ, và giả định rằng nghiệm của các phương
trình (2.4) và (2.5) có thể được viết như là một chuỗi lũy thừa của p như
sau:
v = v0 + pv1 + p2 v2 + . . . ,

(2.8)

Khi p = 1, u là nghiệm gần đúng của phương trình (2.3), ta có:

u = lim v = v0 + v1 + v2 + . . .
p→1

(2.9)

Sự kết hợp của các phương pháp nhiễu và phương pháp đông luân được
gọi là phương pháp nhiễu đồng luân. Phương pháp này đã loại bỏ những
hạn chế của phương pháp nhiễu truyền thống, trong khi vẫn giữ được
những ưu điểm của phương pháp. Dãy (2.9) là hội tụ hầu hết trong các
trường hợp. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ phụ thuộc vào toán tử phi tuyến
A(v).

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Phương pháp giải

Sau đây ta sẽ trình bày phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương
trình vi phân phi tuyến cấp hai dạng
mu + ω 2 u + εf (u, u , u ) = 0,

(2.10)

trong đó m và ω 2 là hằng số, f là hàm ba biến phi tuyến.

Với nghiệm u(x). Bằng cách này chúng ta có thể xây dựng đồng luân
H (v, p) bởi
H(u, 0) = mu + ω 2 u,
H(u, 1) = mu + ω 2 u + εf (u, u , u ).
trong đó mu + ω 2 u là toán tử vi phân tuyến tính đối với u.
Thông thường chúng ta chọn đồng luân lồi được xác định như sau
H(u, p) = (1 − p)(mu + ω 2 u) + p[mu + ω 2 u + εf (u, u , u )], (2.11)
và liên tục tìm ra đường cong ẩn được xác định từ điểm khởi đầu H(v0 , 0)
đến H(u, 1).
Khi tham số p tăng dần đều từ 0 đến 1. Bài toán tuyến tính đơn giản
mu + ω 2 u = 0 được biến đổi liên tục thành bài toán gốc
mu + ω 2 u + εf (u, u , u ) = 0. Tham số p ∈ [0; 1] có thể xem là một
tham số mở rộng.
Phương pháp nhiễu đồng luân sử dụng tham số đồng luân p là một tham
số mở rộng để có được
up = v0 + pv1 + p2 v2 + . . .

14

(2.12)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Khi p → 1, nghiệm u trở thành nghiệm gần đúng của (2.11), tức là
u = lim up = v0 + v1 + v2 + . . .
p→1

(2.13)

Dãy (2.13) hội tụ hầu hết trong các trường hợp, và sự hội tụ phụ thuộc
vào toán tử H(u, 1) = mu + ω 2 u + εf (u, u , u ).

2.3

Ví dụ

Ví dụ 1. Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán Cauchy
sau
u + εu3 = 0, u(0) = a, u (0) = 0.

(2.14)

Phương trình (2.14) có thể được viết lại dưới dạng
u + ω 2 u − ω 2 u + εu3 = 0, u(0) = a, u (0) = 0,

(2.15)

trong đó ω là tham số được chọn một cách thích hợp.
Từ phương trình (2.15), có thể lập một đồng luân sau
u + ω 2 u + p[ − ω 2 u + εu3 ] = 0, p ∈ [0, 1],

(2.16)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số đồng luân.
Khi p = 0, phương trình (2.16) trở thành phương trình vi phân tuyến
tính u + ω 2 u = 0, có nghiệm tổng quát u = C1 cos ωt + C2 sin ωt,
(C1 , C2 là các hằng số bất kì).

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Khi p = 1, phương trình (2.16) trở thành bài toán ban đầu. Lúc này
tham số đồng luân p được sử dụng để tìm nghiệm u(t).Giả sử nghiệm có
dạng
up = v0 + pv1 + p2 v2 + . . . ,

(2.17)

Thay (2.17) vào (2.16):
v0 + pv1 + p2 v2 + ... + ω 2 (v0 + pv1 + p2 v2 + . . .)
+ p[ − ω 2 (v0 + pv1 + p2 v2 + . . .) + ε(v0 + pv1 + p2 v2 + . . .)3 ] = 0.

⇔ v0 + pv1 + p2 v2 + ω 2 v0 + pω 2 v1 + p2 ω 2 v2 − pω 2 v0 − p2 ω 2 v1
− p3 ω 2 v2 + pεv03 + p2 εv0 v1 + ... = 0.
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu
ta có:
p0 : v0 + ω 2 v0 = 0, v0 (0) = a, v0 (0) = 0.

p1 : v1 + ω 2 v1 − ω 2 v0 + εv03 = 0, v1 (0) = 0, v1 (0) = 0.

(2.18)

(2.19)

..
.
Giải (2.18) ta có:
v0 = a cos ωt.

16

(2.20)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Thay (2.20) vào (2.19), ta nhận được:
3
1
v1 + ω 2 v1 + a( εa2 − ω 2 ) cos ωt + εa3 cos 3ωt = 0,
4
4

(2.21)

v1 (0) = 0, v1 (0) = 0.
Loại bỏ số hạng thứ ba, ta thu được:
3 2
εa − ω 2 = 0.
4

(2.22)

Từ phương trình (2.22), ta dễ dàng thấy rằng
√

3ε
a.
2

ω=

(2.23)

Suy ra
√
v0 = a cos

3ε
at.
2

(2.24)

Thay (2.23) vào (2.21) ta được
√
1
3
3ε
v1 + ω 2 v1 + εa3 cos
at = 0, v1 (0) = 0, v1 (0) = 0.

4
2

(2.25)

Giải (2.25) ta thu được
√
√
3ε
a
3 3ε
a
at + cos
at.
v1 = − cos
24
2
24
2

(2.26)

Vì vậy nghiệm gần đúng của phương trình (2.14) là:
uapp (t) = v0 + v1

√
√
23
3ε
1

3 3ε
= acos
at + acos
at.
24
2
24
2
17

(2.27)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

Ví dụ 2. Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải bài toán Cauchy
sau
u + εu + u = 0, u(0) = 0, u (0) = a.

(2.28)

Từ phương trình (2.28), có thể lập một đồng luân sau
u + u + p[εu ] = 0, p ∈ [0, 1],

(2.29)

ở đó p ∈ [0, 1] là một tham số đồng luân.
Khi p = 0, phương trình (2.29) trở thành phương trình vi phân tuyến

tính u + u = 0, có nghiệm tổng quát u = C1 cos t + C2 sin t,
(C1 , C2 là các hằng số bất kì).
Khi p = 1, phương trình (2.29) trở thành bài toán ban đầu. Lúc này tham
số đồng luân p được sử dụng để tìm các nghiệm u(t).Giả sử nghiệm có
dạng
up = v0 + pv1 + p2 v2 + . . . ,

(2.30)

Thay (2.30) vào (2.29):
v0 + pv1 + p2 v2 + ... + (v0 + pv1 + p2 v2 + . . .)
+ (v0 + pv1 + p2 v2 + . . .)] = 0.
1
⇔ v0 + pv1 + v0 + pv1 + pε( v 3 0 − v0 ) + ... = 0.
3
Cân bằng hệ số các lũy thừa cùng bậc của p và đặt điều kiện ban đầu
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Quốc Tuấn - K39A Sư phạm Toán

ta có:
p0 : v0 + v0 = 0, v0 (0) = 0, v0 (0) = a.

(2.31)

p1 : v1 + v1 + εv0 = 0, v1 (0) = 0, v1 (0) = 0.

(2.32)

..
.
Giải (2.31) ta có:
v0 = a sin t.

(2.33)

Thay (2.33) vào (2.32), ta nhận được:
v1 + v1 + εa cos t = 0, v1 (0) = 0, v1 (0) = 0.

(2.34)

Giải (3.34) ta thu được
1
v1 = − εat sin t.
2

(2.35)

Vì vậy nghiệm gần đúng của phương trình (2.28) là:
uapp (t) = v0 + v1
1
= a sin t − εat sin t.
2

19

(2.36)