Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***********

NGUYỄN THỊ THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***********

NGUYỄN THỊ THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:

ThS. TRẦN THỊ THU

Hà Nội – Năm 2017

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS. Trần Thị
Thu đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận. Với những lời
chỉ dẫn, sự tận tình hướng dẫn của Cô đã giúp em vượt qua nhiều khó
khăn trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải
tích và các thầy giáo, cô giáo trong khoa toán đã quan tâm tạo điều
kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thiện khóa luận.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn bè đã
giúp đỡ, động viên em rất nhiều trong suốt quá trình học tập.
Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong có được những đóng góp, nhận xét quý
báu của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đọc quan tâm để đề tài được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thủy


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Các phương
pháp tìm giới hạn dãy số” là công trình nghiên cứu của em, kết quả
không trùng với kết quả nào. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm, kỷ luật của khoa và nhà trường đề ra.

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Thủy


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 Các kiến thức cơ bản có liên quan

4

1.1

Các khái niệm cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Các định lý về giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Một số kiến thức khác có liên quan . . . . . . . . . . .

9

2 Các phương pháp tìm giới hạn dãy số
2.1

Phương pháp 1. Sử dụng định nghĩa . . . . . . . . . . .

2.2

Phương pháp 2. Sử dụng các tính chất, giới hạn quen

14
14

thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Phương pháp 3. Sử dụng dãy đơn điệu . . . . . . . . .

22

2.4

Phương pháp 4. Sử dụng định lý Stolz . . . . . . . . .

25

2.5

Phương pháp 5. Sử dụng tích phân . . . . . . . . . . .

29

2.6

Phương pháp 6. Khảo sát độ lệch . . . . . . . . . . . .

35

2.7

Phương pháp 7. Phương pháp hàm số cho các dãy sinh
bởi phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.8

Phương pháp 8. Sử dụng dãy phụ để tính giới hạn . . .

40

2.9

Phương pháp 9. Giới hạn của các dãy tổng . . . . . . .

46

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

2.10 Phương pháp 10. Phương trình sai phân để xác định số
hạng tổng quát của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

50
54

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

LỜI NÓI ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Giải tích là một phần rất quan trọng của Toán học. Douglas (1986)
viết: “Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường, là
trung tâm của Toán học, là cở sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành

Khoa học và kỹ thuật khác”. Ta thấy lý thuyết giới hạn là một trong
những chủ đề quan trọng của Giải tích. Đề cập đến vai trò của giới
hạn, SGK Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) đã viết: “Không có giới
hạn thì không có Giải tích. Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều
liên quan tới giới hạn”. Hơn nữa, trong các đề thi công chức, giới hạn
dãy số xuất hiện nhiều và nó khiến cử nhân mới tốt nghiệp gặp lúng
túng. Ngoài ra các bài toán giới hạn dãy số còn được đưa vào các cuộc
thi Học sinh giỏi và cuộc thi Olympic toán hàng năm cho sinh viên và
học sinh. Các bài toán này được xem là dạng toán khó, đòi hỏi người
làm toán phải nắm chắc và hiểu rõ bản chất các kiến thức về giới hạn
biết vận dụng linh hoạt chúng để giải quyết dạng toán này.
Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn bồi dưỡng Học sinh
giỏi THPT, em chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định giới hạn
dãy số” để thực hiện khóa luận của mình.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Củng cố kiến thức về giới hạn cho học sinh. Từ đó, cung cấp một
số các phương pháp xác định giới hạn dãy số đề học sinh có thể vận
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

dụng giải quyết các bài toán tìm giới hạn dãy số một cách linh hoạt,
sáng tạo.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Sinh viên ngành Toán và học sinh cấp THPT.

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức trong chương trình Đại học,
một số kiến thức nâng cao ở THPT, mở rộng một số tài liệu bên ngoài.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan tới giới hạn dãy số.
Từ đó
- Nắm được những định nghĩa, tính chất và định lý về dãy số và
giới hạn dãy số.
- Tìm ra một số phương pháp xác định giới hạn dãy số và nêu được
ví dụ minh họa cụ thể cho từng phương pháp.
V. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, tra cứu tài liệu.
VI. Nội dung nghiên cứu
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo cấu trúc khóa
luận gồm 2 chương:
Chương 1. "Các kiến thức cơ bản có liên quan" trình bày các định
nghĩa, định lý và các kiến thức liên quan đến dãy số và giới hạn dãy
số.

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Chương 2: "Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số" trình bày
một số phương pháp tìm giới hạn dãy số. Ở mỗi phương pháp em đưa
ra phương pháp vận dụng, ví dụ minh họa và các bài tập đề nghị. Nội

dung chương 2 được tham khảo trong các tài liệu số [1,2,3,4,5,6] mà
em đã nêu tại mục "Tài liệu tham khảo" ở trang cuối của khóa luận.

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

3


Chương 1
Các kiến thức cơ bản có liên quan
Trong chương này em sẽ hệ thống các khái niệm, định lí và các
các kiến thức liên quan đến dãy số và giới hạn dãy số.

1.1

Các khái niệm cơ bản về dãy số

Định nghĩa 1.1
Ánh xạ an :
N∗ −→ R
n −→ an = a(n)
được gọi là dãy số.
Kí hiệu {an } (hoặc (an )).
Phần tử an được gọi là số hạng tổng quát của dãy.
Nhận xét. Một dãy hoàn toàn xác định khi biết số hạng tổng quát
hoặc công thức truy hồi an = f (an−1 , ...).
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Định nghĩa 1.2
Dãy {an } gọi là bị chặn trên nếu ∃M : an ≤ M, ∀n ∈ N.
Dãy {an } gọi là bị chặn dưới nếu ∃M : an ≥ M, ∀n ∈ N.
Dãy {an } gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn
dưới. Tức là, dãy {an } bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên K > 0 sao cho
|an | ≤ K, ∀n ∈ N hoặc tồn tại M, m: m ≤ an ≤ M, n ∈ N∗ .
Định nghĩa 1.3
Số a được gọi là giới hạn hữu hạn của dãy số {an } nếu với mọi số
dương ε nhỏ, tùy ý, tồn tại số tự nhiên N = N (ε) sao cho với mọi
n > N , ta có |an − a| < ε.
Kí hiệu lim an = a (hoặc an → a (n → +∞)), hay
n→∞

lim an = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N ⇒ |an − a| < ε.

n→∞

Khi đó ta nói dãy {an } hội tụ và ngược lại được gọi là dãy phân kỳ.
Nhận xét. Để a là giới hạn của dãy {an } thì với lân cận bé bất kỳ
của điểm a tất cả các phần tử an của dãy bắt đầu từ một chỉ số nào
đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ có
thể có một số hữu hạn các phần tử an ).

Hình 1.1
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Định nghĩa 1.4
Dãy số {an } gọi là giảm (giảm ngặt) nếu an ≥ an+1 , ∀n ∈ N (tương
ứng an > an+1 , ∀n ∈ N).
Dãy số {an } gọi là tăng (tăng ngặt) nếu an ≤ an+1 , ∀n ∈ N (tương
ứng an < an+1 , ∀n ∈ N).
Các dãy tăng và giảm gọi chung là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1.5
Dãy {an } được gọi là có giới hạn dương vô cùng (+∞) nếu
∀M > 0 : ∃ n0 , ∀n > n0 ⇒ an > M.
Kí hiệu lim an = +∞.
n→+∞

Dãy {an } được gọi là có giới hạn âm vô cùng (−∞) nếu
∀M > 0 : ∃ n0 , ∀n > n0 ⇒ an > −M.
Kí hiệu lim an = −∞.
n→+∞

Định nghĩa 1.6
Cho dãy {an } và nk ∈ N : nk+1 > nk , ∀k ∈ N. Khi đó, dãy {ank } =
an1 , an2 , ..., ank , ... được gọi là dãy con của dãy {an } .
Tính chất
i, Nếu dãy {an } có giới hạn là a khi n → ∞ thì mọi dãy con {ank }
cũng có giới hạn là a.
ii, Mọi dãy số đều là dãy con của chính nó.

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

iii, Nếu dãy {amn } là dãy con của dãy {an } và dãy
con của dãy {amn } thì dãy amnk

amnk

là dãy

cũng là dãy con của dãy {an }.

Định nghĩa 1.7
Cho dãy {an } ∈ R, nếu tồn tại một dãy con {ank } ∈ {an } sao cho
lim ank = a (a có thể bằng ±∞) thì a được gọi là một giới hạn riêng

k→+∞

của dãy {an }.
Tính chất. Mọi dãy {an } đều có một giới hạn riêng lớn nhất và một
giới hạn riêng bé nhất.

1.2

Các định lý về giới hạn dãy số
Phần tiếp theo, em nêu các định lý cơ bản về giới hạn. Các chứng

minh chi tiết đã được trình bày rất rõ trong các tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin phép không trình bày các chứng minh chi tiết đó.
Định lý 1.1. Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
Định lý 1.2. Giả sử các dãy {an } và {bn } hội tụ. Khi đó
i, Dãy {an + bn } cũng hội tụ và lim (an + bn ) = lim an + lim bn .
n→∞

n→∞

n→∞

ii, Dãy {an − bn } cũng hội tụ và lim (an − bn ) = lim an − lim bn .
n→∞

n→∞

n→∞

iii, Dãy {an bn } cũng hội tụ và lim (an bn ) = lim an . lim bn .
n→∞

iiii, Nếu lim bn = 0 thì dãy
n→∞

an
bn

n→∞

n→∞

lim an
an
n→∞
cũng hội tụ và lim
=
.
n→∞ bn
lim bn
n→∞

Định lý 1.3. (Điều kiện cần của dãy hội tụ). Nếu dãy {an } hội tụ
thì nó bị chặn.
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Định lý 1.4. Nếu dãy số {an } hội tụ thì dãy {|an |} cũng hội tụ và
lim |an | =

n→∞

lim an .

n→∞

Định lý 1.5. Nếu lim |an | = 0 thì ta có lim an = 0.
n→∞

n→∞

Định lý 1.6. Nếu dãy {an } hội tụ về a, a ∈ (α, β) thì tồn tại µ ∈ N
sao cho với mọi n > µ ta đều có α < a < β.
Định lý 1.7. Nếu dãy {an } hội tụ về a và với mọi n > µ (µ ∈ N∗ )
ta có α < an < β thì α ≤ a ≤ β.
Định lý 1.8. (Nguyên lý kẹp). Nếu các dãy {an }, {bn } hội tụ thỏa
mãn lim an = lim bn , an ≤ cn ≤ bn thì dãy {cn } cũng hội tụ và
n→∞

n→∞

lim cn = lim an = lim bn .

n→∞

n→∞

n→∞

Định lý 1.9. (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)
i, Một dãy {un } tăng và bị chặn trên thì hội tụ và lim un = sup un .

n→∞

ii, Một dãy {vn } giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và lim vn = inf vn .
n→∞

Chú ý
i, Một dãy {un } tăng và không bị chặn trên thì lim un = +∞.
n→∞

ii, Một dãy {vn } giảm và không bị chặn dưới thì lim vn = −∞.
n→∞

Định lý 1.10. (Nguyên lý Cauchy). Điều kiện cần và đủ để dãy số
{an } hội tụ là: với mọi số ε dương nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên µ sao
cho nếu n, m ∈ N; n, m > µ thì |an − am | < ε.
Định lý 1.11. (Nguyên lý Bolzano - Weierstrass)
Từ một dãy bị chặn bất kỳ {an } ta đều có thể tách ra được một
dãy số con {ank } hội tụ.
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Chú ý. Nếu dãy không bị chặn thì tồn tại ít nhất một dãy con hội
tụ hoặc không có dãy nào hội tụ.

1.3

Một số kiến thức khác có liên quan

1.3.1. Định lý Stolz
Định lý Stolz thứ I. Cho {un }, {vn } là hai dãy thỏa mãn
i. {vn } tăng thực sự tới +∞;
un+1 − un
un
= l ∈ R. Khi đó, lim
= l.
n→∞ un+1 + un
n→∞ vn

ii. lim

Định lý Stolz thứ II. Cho {un }, {vn } là hai dãy sao cho
i. lim un = lim vn = 0;
n→∞

n→∞

ii. {un } giảm thực sự;
un
un+1 − un
= l ∈ R. Khi đó, lim
= l.
n→∞ vn
n→∞ un+1 + un

iii. lim

1.3.2. Định nghĩa tích phân xác định
Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a; b]. Phép phân hoạch T
chia đoạn [a; b] thành các đoạn con [xi−1 , xi ] (i = 1, . . . , n) bởi các
điểm chia tùy ý.
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b (1)
n

f (εi ) .∆xi , trong đó xi−1 ≤ εi ≤

Khi đó, tổng δf (T, ε) =
i=1

xi

∀i = 1, n ; ∆xi = xi − xi−1 được gọi là tổng tích phân của hàm

f (x) trên [a; b] ứng với cách chia (1) và cách chọn điểm ε = (ε1, ε2 , ...).
λ = max |∆xi | là đường kính của T .
[1,n]

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn không phụ thuộc vào cách chọn T, ε
n

lim

max|∆xi |→0

δf (T, ε) =

[1,n]

lim

max|∆xi |→0
[1,n]

f (εi ) ∆xi
i=1

thì ta nói f (x) khả tích trên đoạn [a; b] và giới hạn đó được hiểu là
b

b

f (x) dx hay

tích phân xác định
a

Trong đó:

n

f (x) dx =

lim

max|∆xi |→0

a

f (εi ) ∆xi .
i=1



a, b là cận trên, cận dưới của tích phân.

f (x) là hàm lấy tích phân.

1.3.3. Phương trình sai phân
Định nghĩa
Phương trình sai phân cấp k là một hệ thức tuyến tính chứa sai
phân các cấp tới cấp k có dạng
F xn , ∆xn , ∆2 xn , ..., ∆k xn = 0

(1.1)

trong đó:

∆xn = xn+1 − xn gọi là sai phân cấp 1,
∆2 xn = ∆xn+1 − ∆xn = ∆ (∆xn ) gọi là sai phân cấp 2,
∆k xn = ∆ ∆k−1 xn .
Quy ước ∆0 yn = y0 .
Vì sai phân các cấp đều có thể biểu diễn theo giá trị của hàm số nên
(1.1) có dạng
a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = f (n)
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

(1.2)

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

hay Lk [xk ] = f (n), trong đó Lk là toán tử tuyến tính tác động lên
hàm xn và a0 , a1 , ..., ak , f (n) đã biết, còn xn , xn+1 , ..., xn+k là các giá
trị chưa biết.
• Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
cấp k.
• Nếu f (n) = 0 thì phương trình (1.2) có dạng
a0 xn+k + a1 xn+k−1 + ... + ak xn = 0

(1.3)

hay Lk [xk ] = 0 được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất cấp k.

• Nếu f (n) = 0 thì phương trình (1.2) được gọi là phương trình
sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k.
• Nếu ai ∈ R, ∀i thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính với
hệ số hằng.
• Hàm số xn biến n thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương
trình sai phân tuyến tính (1.2).
• Hàm số xn = g (n) phụ thuộc k hằng số thỏa mãn (1.3) được gọi
là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính (1.3).
• Một nghiệm x∗n thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm riêng của (1.2).
Áp dụng lý thuyết của phương trình sai phân ta có
i, Giả sử xn là nghiệm tổng quát của (1.2) thì xn = xn + x∗n với xn là
nghiệm tổng quát của (1.3), x∗n là nghiệm riêng của (1.2).
ii, Giả sử xn1 , xn2 , ..., xnk là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3)
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

k

thì xn =

Ci xni được gọi là nghiệm tổng quát của (1.3). Như vậy
i=1

nghiệm tổng quát của phương trình (1.3) đóng vai trò quan trọng

trong lý thuyết giải phương trình sai phân. Hơn nữa, dãy số cho bởi
phương trình sai phân là rất nhiều và có ứng dụng lớn trong thực tiễn.
Vì vậy, phần tiếp theo, em sẽ trình bày sơ lược cách giải phương trình
sai phân (1.3). Việc giải phương trình sai phân (1.2), độc giả quan
tâm, có thể đọc trong tài liệu số [4].
Cách giải phương trình sai phân
Xét phương trình ak xn+k + ak−1 xn+k−1 + ... + a0 xn = 0 (1.3). Trong
đó, a0 , a1 , ..., ak là các số thực.
Ta tìm nghiệm tổng quát dưới dạng xn = Cλn , (C, λ = 0) thay vào
(1.3) ta được phương trình đặc trưng

ak λk + ak−1 λk−1 + ... + a0 λ = 0 (1.4)
Trường hợp 1: Nếu (1.4) có k nghiệm thực phân biệt λ1 , λ2 , ..., λk ⇒
ta có k nghiệm riêng độc lập tuyến tính x1n = λn1 , x2n = λn2 , ..., xkn = λnk .
Nghiệm tổng quát xn = C1 λn1 + C2 λn2 + ... + Ck λnk .
Trường hợp 2: Nếu (1.4) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 có bội s và
k − s nghiệm thực phân biệt: λ1 = λ2 = ... = λs , ta thay thế s nghiệm
riêng x1n , x2n , ..., xsn tương ứng bằng x1n = λn1 , x2n = nλn1 , ..., xsn = ns−1 λn1 .
Nghiệm tổng quát xn = C1 + nC2 + ... + ns−1 Cs λn1 + Cs+1 λn1 +
... + Ck λnk .

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Trường hợp 3: Nếu (1.4) có nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r (cos α + i sin α)
thì sẽ có nghiệm phức liên hợp λ2 = r (cos α − i sin α) và k − 2 nghiệm
thực phân biệt, khi đó tương ứng ta thay thế x1n = rn cos nα và
x2n = rn sin nα trong nghiệm tổng quát.
Nghiệm tổng quát xn = rn (C1 cos nα + C2 sin nα) + C3 λn3 + ... +
Ck λnk .

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

13


Chương 2
Các phương pháp tìm giới hạn dãy
số
Chương này, em sẽ hệ thống một số phương pháp xác định giới
hạn dãy số. Các phương pháp đều được trình bày theo trình tự nêu
phương pháp, ví dụ áp dụng và bài tập đề nghị.

2.1

Phương pháp 1. Sử dụng định nghĩa
Phương pháp 1 rất hữu ích để các bài toán chứng minh giới hạn

dãy số. Ta sẽ thực hiện theo các bước sau
Bước 1 : Dự đoán giới hạn a của dãy số nhờ việc tìm nghiệm của
phương trình liên quan.
Bước 2 : Chứng minh xn → a bằng định nghĩa. Tức là, lim xn =
n→∞

a ⇔ ∀ε > 0, ∃N = N (ε) : ∀n > N thỏa mãn |xn − a| < ε.
Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng lim q n = 0 với {q ∈ R : |q| < 1}.
n→∞

Lời giải
∀ε > 0 : |q n − 0| = |q n | = |q|n < ε ⇒ n > logε|q| , (|q| < 1).
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như vậy, nếu chọn n0 =

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

logε|q| + 1 (Trong đó [x] ký hiệu là phần

nguyên của số thực x), thì với mọi n > n0 ta có
n > logε|q| hay |q|n < ε.
Điều đó chứng tỏ rằng với |q| < 1, ∀ε > 0, ∃n0 =

logε|q|

+1 :

∀n > n0 ⇒ |q n | < ε.
Vậy theo định nghĩa lim q n = 0 nếu |q| < 1.
 n→∞



0 nếu |q| < 1


Mở rộng. lim q n =
1 nếu |q| = 1
n→∞



 +∞ nếu |q| > 1
√
Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng lim n a = 1, (a > 0).
n→+∞

Lời giải
Trước hết ta xét với a > 1, khi đó
√
n

√
n

a > 1 và ta có

n

a−1
√
n (n − 1) √
n

a−1
=1+n na−1 +
2

a= 1+

2

+ ··· +

√
n

n

a−1 .

√
√
a
Từ đó a > n ( n a − 1) suy ra 0 < n a − 1 < .
a
an
Với ε > 0 cho trước, để cho < ε thì n > .
n
ε
a
a
Vì thế chọn N =
+ 1 thì với mọi n > N, < ε.

ε
n
√
a
Do đó n a − 1 < ε. Nghĩa là ∀ ε > 0, ∃ N =
+ 1, ∀ n > N ⇒
ε
√
√
| n a − 1| < ε hay lim n a = 1.
n→+∞

Nếu 0 < a < 1 thì

1
> 1.
a

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Theo chứng minh phần trên, ta có
lim

n

n→∞

√
n

1
a

1
= lim
n→+∞
n→+∞ 1
n→+∞
√
n
a
√
Với a = 1 hiển nhiên lim n a = 1 .
n→+∞
√
n
Mở rộng. lim
n = 1.
Do đó lim

= 1.

1

a = lim

n

= 1.
1
a

n→+∞

Ví dụ 2.3. Dùng định nghĩa giới hạn dãy số tính
(−1)n−1
.
lim
n→∞
n
Lời giải
(−1)n−1
Ta sẽ chứng minh lim
=0
n→∞
n
Xét
(−1)n−1
(−1)n−1
1
−0 =
= .
n

n
n
Giả sử ε là số dương cho trước tùy ý. Khi đó
1
1
<ε⇔n> .
n
ε
Vì thế ta có thể lấy N là số tự nhiên bất kỳ, thỏa mãn điều kiện
1
1
N> ⇒
< ε.
ε
N
1
1
1
Chẳng hạn, ta lấy N =
trong đó,
là phần nguyên của .
ε
ε
ε
n−1
(−1)
1
1
Khi đó, mọi n ≥ N thì
−0 = ≤

< ε.
n
n
N
(−1)n−1
= 0.
Điều đó có nghĩa là lim
n→∞
n
n
Ví dụ 2.4. Chứng minh rằng lim n = 0.
n→∞ 2
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Lời giải
Với n > 1 ta có
n (n − 1)
+ · · · + 1.
2
n (n − 1)
n
2
Nên 2n >

do đó 0 < n <
.
2
2
n−1
2
2
Vì thế với ε > 0 cho trước để cho
< ε thì n − 1 >
hay
n−1
ε
2
n > + 1.
ε
2
n
2
Nếu cho n0 =
+2 thì với mọi n > n0 :
< ε do đó n < ε.
ε
n−1
2
2
n
Vậy ∀ε > 0, ∃n0 =
+ 2, ∀n > n0 ⇒ n < ε.
ε
2

n
Theo định nghĩa lim n = 0.
n→∞ 2
Một số ví dụ khác.
2n = (1 + 1)n = 1 + n +

Dùng trực tiếp định nghĩa giới hạn hãy chứng minh trực tiếp các
đẳng thức sau
2n
Bài 1: lim 3
= 0.
n→∞ n + 1
cos n
Bài 2: lim
= 0.
n→∞ n
1
Bài 3: lim
= 0.
n→∞ n!

2.2

Phương pháp 2. Sử dụng các tính chất, giới
hạn quen thuộc
Phương pháp 2 sử dụng công cụ đó là định lý 1.2, định lý 1.8 và

nó được áp dụng trong những bài toán tính giới hạn dãy số.
Ngoài ra, ta có thể áp dụng một số giới hạn đặc biệt, chẳng hạn
1

+ lim k = 0 với k = 1, 2, 3, ...
n→∞ n
Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

+ lim c = c với c là hằng số.
n→∞

Hoặc dùng nguyên lý kẹp trong việc tìm giới hạn của dãy {wn } ta phải
tìm được hai dãy {un }, {vn } thỏa mãn
+ un ≤ wn ≤ vn .
+ {un } và {vn } đều dễ tìm giới hạn của chúng.
+ {un } và {vn } có chung giới hạn.
Hơn thế nữa, từ việc tìm giới hạn của một dãy số thực liên quan đến
giá trị lượng giác ta có thể chuyển về tìm giới hạn của một dãy số
phức, trong đó giới hạn cần tìm là phần thực (hoặc ảo) của giới hạn
của dãy số phức.
Ví dụ 2.5. Tìm giới hạn của dãy:
√
an = n2 + n − n.
Lời giải
Ta biến đổi an bằng cách nhân và chia cho đại lượng liên hợp nhằm
xuất hiện dãy đặc biệt
√

√
n2 + n − n
n2 + n + n
n
√
an =
=√
=
n2 + n + n
n2 + n + n
1

Do đó lim an = lim
n→∞

n→∞

1
1+ +1
n

=
lim

n→∞

1

1
1+ +1

n
lim 1
1
n→∞
= .
2
1
1+ +1
n

.

1
Vậy lim an = .
n→∞
2
Ví dụ 2.6. Tính
A = lim

n→∞

n

2000
2n

10sin

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

ln n

+

cos2

n2000
.
ln n
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Thu Thủy - K39B Sư phạm Toán

Lời giải
Ta có
n

A = lim

n→∞

1 + 9sin

2000
2n

ln n

.

Mặt khác
√
n

2n

2000

1 + 9sin
1≤
ln n
√
√
Mà lim n 1 = lim n 10 = 1.
n

≤

√
n

10.

n→∞

n→∞

Do đó, theo nguyên lý kẹp suy ra
lim

n

n→∞
2000

1 + 9sin

2000
2n

ln n

= 1.

n2000
Vậy lim 10sin
+
= 1.
n→∞
ln n
ln n
Ví dụ 2.7. Chứng minh sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy với số hạng
2n

n

cos2

tổng quát là:
n

√
k=1

1
.
n2 + 2k

Lời giải
Ta có
1
1
1
≤√
≤√
với 1 ≤ k ≤ n
n2 + 2n
n2 + 2k
n2 + 2
n
n
1
n
√
⇒√
≤
≤√

.
2 + 2k
2+2
n2 + 2n
n
n
k=1
√

Mà
lim √

n→∞

n
= lim
n2 + 2n n→∞

lim √

n→∞

n
= lim
n2 + 2 n→∞

Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số

1

= 1.
2
1+
n
1
= 1.
2
1+ 2
n
19