Nguyên lý cực đại toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHẠM THANH TÂN

NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

PHẠM THANH TÂN

NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường

Hà Nội – Năm 2017

Mục lục

1 Nguyên lý cực đại đối với phương trình Elliptic

6

1.1

Nguyên lý cực đại yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Nguyên lý cực đại mạnh

9

1.3

Ước lượng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet

14

2.1

Bài toán Dirichlet trong hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3

Định lý Arzela-Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Phép đối xứng xuyên tâm
3.1

24

Hai bổ đề phụ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Nguyên lý cực đại đối phương trình Parabolic

29

4.1

Nguyên lý cực đại yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2

Nguyên lý cực đại mạnh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

KẾT LUẬN

1

Tài liệu tham khảo

1

1


Lời cảm ơn
Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự
giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay, khóa
luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành,
sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Giải tích (Khoa Toán)- trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong khoa toán đặc biệt là thầy giáo - Tiến
Sĩ Bùi Kiên Cường người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện giúp đỡ, chỉ
bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa
luận này.
Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên khóa
luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được
sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

PHẠM THANH TÂN

2


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp "Nguyên lý cực đại" được hoàn thành do sự
cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của
thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường.
Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đã viết
trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin cam đoan kết quả trong
khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tác giả nào
khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

PHẠM THANH TÂN

3


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một đề tài được rất nhiều nhà toán học quan
tâm và nghiên cứu. Tuy nhiên, do sự phát triển không ngừng của khoa học
- kĩ thuật, phương trình vi phân trở thành một chủ đề được tìm hiểu và
phát triển rất mạnh. Trong đó, các vấn đề liên quan đến “Nguyên lý cực
đại” cũng là một đề tài hay và có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán

về xấp xỉ giá trị biên, giá trị ban đầu . . .
Trong những năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia và các
kì thi Toán Olympic sinh viên toàn quốc thường xuất hiện những bài toán
có liên quan đến cực đại mà với thời gian học tập trên lớp có hạn, khó có
thể đi sâu nghiên cứu một vấn đề nào đó của phương trình vi phân.
Vì vậy, với mong muốn được nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về bộ môn
này và bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, dưới góc độ là một
sinh viên chuyên ngành toán, trong phạm vi của khóa luận tốt nghiệp em
đã chọn đề tài:
"Nguyên lý cực đại"

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về Nguyên lý cực đại đối với phương trình Elliptic.
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

- Nghiên cứu về Nguyên lý cực đại đối với phương trình Parabolic.

3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ
cho mục đích nghiên cứu.

4. Đối tượng nghiên cứu
- Phương trình Elliptic, bài toán Dirichlet, đối xứng xuyên tâm.
- Phương trình Parabolic.

5. Phạm vi nghiên cứu
- Nguyên lý cực đại

6. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, khoá
luận gồm 4 chương:
Chương 1: Nguyên lý cực đại đối với phương trình Elliptic
Chương 2: Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet
Chương 3: Đối xứng xuyên tâm
Chương 4: Nguyên lý cực đại đối với phương trình Parabolic

5


Chương 1
Nguyên lý cực đại đối với phương
trình Elliptic
1.1

Nguyên lý cực đại yếu

Trong suốt phần này, chúng ta sẽ xem xét toán tử tuyến tính cấp 2
có dạng:
∂ 2u
∂u
Lu = aij (x).
+ bi (x).
+ c(x).u
∂xi .∂xj

∂xi

(1.1)

Các giả định sau đây được thực hiện và do đó sẽ không được nói đến
trong định lý: Ω là một miền trong Rn ; các hệ số aij , bi và c là liên tục
trên Ω và u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω): Ma trận aij là đối xứng và hoàn toàn xác
định tại mọi điểm x ∈ Ω, nghĩa là, L là Elliptic. Nguyên lý cực đại yếu
được thể hiện bởi các định lý sau:
Định lý 1.1. (Nguyên lý cực đại yếu)
Giả sử Lu

0 (hoặc tương ứng Lu

0) trong một miền bị chặn Ω và

c(x) = 0 trong Ω. Khi đó, cực đại (hoặc tương ứng cực tiểu) của u đạt
được trên ∂Ω.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Chứng minh. Nếu Lu > 0 trong Ω, khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng u không đạt
được giá trị cực đại ở bất kì điểm nào trong Ω. Thật vậy,
Giả sử thỏa mãn tại điểm x0 . Khi đó, tất cả các đạo hàm cấp 1 của u
triệt tiêu tại điểm này và do đó:
Lu = aij

∂ 2u
∂xi .∂xj

(1.2)

Nhưng tại điểm cực đại, ma trận của đạo hàm cấp 2 là nửa xác định
âm và do đó Lu(x0 ) ≤ 0, mâu thuẫn.
Đối với trường hợp tổng quát (Lu ≥ 0), xem xét hàm số Uε = u +
ε.exp(γx1 ).
Chúng ta tìm thấy:
Luε = Lu + ε(γ 2 a11 + γb1 )exp(γx1 )

(1.3)

Bây giờ, chúng ta chọn γ đủ lớn sao cho γ 2 a11 + γb1 > 0 trong Ω (điều
này có thể là bởi a11 là dương và liên tục trên Ω). Khi đó, Luε > 0, ∀ε > 0.
Theo chứng minh phần trên, ta có:
max uε = max uε
∂Ω

Ω

(1.4)

Kết luận của Định lý suy ra bằng cách cho ε −→ 0
Nhận xét 1.1. Rõ ràng từ chứng minh trên ta suy ra rằng Nguyên lý
cực đại yếu sẽ đúng với giả thiết yếu hơn, tức là ma trận hệ số [aij (x)]
là không âm, miễn là có ít nhất một vecto ξ độc lập của x ∈ Ω sao cho
ξi .aij .ξj > 0.

Chúng ta có hệ quả của Định lý 1.1 sau đây:

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Hệ quả 1.1. Cho Ω bị chặn và giả sử c ≤ 0 trong Ω. Cho Lu ≥ 0 (hoặc
tương ứng Lu ≤ 0). Khi đó:
max u ≤ max u+ (hoặc tương ứng min u ≥ min u− )
Ω

∂Ω

Ω

∂Ω

(1.5)

Với u+ = max(u, 0), u− = min(u, 0). Đặc biệt: Nếu Lu ≤ 0 trong Ω,
khi đó:
max |u| = max |u|
∂Ω

Ω

(1.6)

Chứng minh. Nếu u ≤ 0 trong Ω, hệ quả trên là đúng.
Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng Ω+ = Ω ∩ {u > 0} = ∅. Trên Ω+ ,
chúng ta có −cu ≥ 0 và do đó:
aij .

∂ 2u
∂u
+ bi .
≥0
∂xi .∂xj
∂xi

(1.7)

Do đó, định lý trước đó ngụ ý rằng cực đại của u trên tập đóng Ω+ là
bằng cực đại của u trên ∂Ω+ . Vì u = 0 trên ∂Ω+ ∩ Ω, cực đại này phải
đạt được trên ∂Ω.
Hệ quả sau đây mà phép chứng minh là tầm thường cũng hay được
sử dụng trong ứng dụng. Nó mang lại một kết quả là tính duy nhất cũng
như là một nguyên lý so sánh.
Hệ quả 1.2. Cho Ω bị chặn và c ≤ 0. Nếu Lu = Lv trong Ω và u = v
trên ∂Ω, khi đó, u = v trong Ω. Nếu Lu ≤ Lv trong Ω và u ≥ v trong
∂Ω thì u ≥ v trong Ω.
Định nghĩa 1.1. Giả sử rằng c ≤ 0. Nếu Lu ≥ 0 (hoặc tương ứng
Lu ≤ 0), u được gọi là một nghiệm dưới (nghiệm trên) của phương trình
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Lu = 0. Nghiệm dưới của ∆u = 0 được gọi là điều hòa dưới, nghiệm
trên được gọi là điều hòa trên.

1.2

Nguyên lý cực đại mạnh

Định lý 1.1 thừa nhận rằng u là cực đại ở trên biên. Tuy nhiên u có
thể là cực đại ở một số điểm và vì thế định lý không loại trừ khả năng
rằng một số điểm nằm bên trong. Nguyên lý cực đại mạnh cho rằng điều
này là không thể, trừ khi u là hằng số. Đối với việc chứng minh, chúng
ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Giả sử rằng Ω nằm trên một phía của ∂Ω. Giả sử Lu ≥ 0
và cho x0 là một điểm trên ∂Ω sao cho u(x0 ) > u(x) ∀x ∈ Ω. Cũng giả
thiết rằng, trong một lân cận của x0 , ∂Ω là một C 2 −mặt và u khả vi tại
x0 . Hơn nữa, giả sử rằng hoặc:
(1) c = 0;
(2) c ≤ 0 và u(x0 ) ≥ 0 hoặc;
(3) u(x0 ) = 0.
∂u
∂u
Khi đó,
(x0 ) > 0, ở đó ta kí hiệu
là đạo hàm theo hướng pháp
∂n
∂n
tuyến ngoài tới ∂Ω.

Chứng minh. Ta giả sử ∂Ω ∈ C 2 , chúng ta có thể lựa chọn hình cầu
BR (y) sao cho: BR (y) ⊂ Ω và x0 ∈ ∂BR (y). Ở đây, R và y là kí hiệu của
bán kính và tâm của hình cầu.
Với 0 ≤ r = |x − y| ≤ R xác định:
v(x) = exp(−α.r2 ) − exp(−α.R2 )
chúng ta tìm:
9

(1.8)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Lv(x) = exp(−αr2 ).[4α2 .aij (xi − yi )(xj − yj )−
−2α(aij + bi (xi − yi ))] + cv

(1.9)

Cho A = BR (y) ∩ BR (x0 ) với R nhỏ.
Cho α đủ lớn, chúng ta có ε > 0 đủ nhỏ, khi đó, u − u(x0 ) + εv ≤ 0 trên
∂A ∩ ∂BR (x0 ) và cũng trên ∂A ∩ ∂BR (y), khi v = 0. Do đó, chúng ta
tìm thấy L(u − u(x0 ) + εv) ≥ −cu(x0 ) ≥ 0 trong A và u − u(x0 ) + εv ≤ 0
trên ∂A.
Nếu c ≤ 0 Nguyên lý cực đại yếu ngụ ý rằng u = u(x0 ) + εv ≤ 0 trong
A. Chúng ta lấy đạo hàm bình thường tại x0 và thu được:
∂u
∂v
(x0 ) ≥ −ε (x0 ) = 2αεRexp(−αR2 ) > 0

∂n
∂n

(1.10)

điều này suy ra kết luận của bổ đề.
Nếu u(x0 ) = 0, khi đó, theo giả thiết, u là âm trong Ω. Bây giờ cho
c+ (x) = max(0, c(x)). Chúng ta thấy rằng (L − c+ )u = Lu − c+ u ≥ Lu ≥
0 và do đó chúng ta có thể áp dụng đối số trên L − c+ ở trong miền của
L.
Nhận xét 1.2. 1. Vì Ω được giả thiết là liên thông, nên có thể chỉ ra
rằng Ω là một phía đối với ∂Ω và nếu Ωlà bị chặn và ∂Ω là trơn toàn
cục.
2. Bổ đề trên nếu vẫn giữ nguyên ma trận aij là bán định dương và
n không phải là trong không gian không.
Như một hệ quả của Bổ đề 1.1, chúng ta có được nguyên lý cực đại
mạnh sau:
Định lý 1.2. (Nguyên lý cực đại mạnh)
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Giả sử Lu ≥ 0 (Lu ≤ 0) trong Ω (không cần thiết bị chặn) và giả sử
u không đồng nhất là hằng số. Khi đó, nếu c = 0 thì u không đạt được
cực đại (cực tiểu) ở bên trong Ω. Nếu c ≤ 0 thì u không thể đạt cực đại
không âm (cực tiểu không dương) tại phần trong. Bất chấp dấu của c, u
không thể bằng 0 tại một điểm cực đại (cực tiểu) ở bên trong của miền.

Chứng minh. Giả sử rằng u không là hằng số và đạt cực đại M ≥ 0 tại
một điểm trong của miền Ω và cho Ω− = Ω ∩ {u < M }. Nếu Ω− không
rỗng thì ∂Ω− ∩ Ω là không rỗng.
Cho y là một điểm trong Ω− mà gần ∂Ω− hơn so với ∂Ω và xét hình cầu
lớn nhất B ⊂ Ω− có x(0) là tâm chứa trong Ω− và có tâm là y. Lấy điểm
x0 thuộc ∂B ∩ ∂Ω− . Khi đó, ta có thể áp dụng bổ đề trên đối với B và
kết luận rằng ∇u là khác không tại x0 . Điều này mâu thuẫn với giả định
u cực đại tại x0 .

1.3

Ước lượng tiên nghiệm

Nguyên lý cực đại có thể sử dụng để ước lượng nghiệm của Lu = f
trong miền bị chặn. Để phát biểu tính bị chặn này, chúng ta đưa vào đại
lượng sau:
aij (x)ξi ξj
|b(x)|
,
β
=
max
|ξ 2 |
\0
x∈Ω λ(x)

λ(x) = min
n
ξ∈R

(1.11)

Chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.3. Giả sử rằng Ω bị chặn và chứa trong các dải giữa hai mặt
phẳng song song có khoảng cách d. Giả sử rằng c ≤ 0. Nếu Lu = f , khi
đó,
max |u| ≤ max |u| + c max
Ω

∂Ω

Ω

11

|f |
λ

(1.11)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Với c = exp((β + 1)d) − 1.
Chứng minh. Chúng ta phải giả sử Lu ≥ f và chứng minh rằng:
|f − |
max u ≤ max u + c. max
∂Ω

λ
Ω
+

(1.12)

Định lý sau được chứng minh bằng cách áp dụng bất đẳng thức trên
cho cả u và −u. Từ khi λ và β không thay đổi dưới sự xoay chuyển của
hệ tọa độ, ta có thể giả sử rằng Ω được chứa trong dải 0 < x1 < d .
Chúng ta thiết lập: L0 = L − C. Với α ≥ β + 1 , chúng ta có:
L0 exp(α.x1 ) = (α2 .a11 + α.b1 ) exp(αx1 ) ≥ λ.(α2 − αβ). exp(αx1 ) ≥ λ (1.13)
Cho
|f − |
v = max u + (exp(α.d)) − exp(αx1 ) max
∂Ω
λ
Ω
+

(1.14)

Khi đó, rõ ràng v ≥ u trên ∂Ω và v ≥ 0 trên Ω.
Chúng ta tính được:
|f − |
L(v − u) = L0 v + cv − Lu ≤ −λ max
−f ≤0
λ
Ω

(1.15)

Hệ quả 1.2 chỉ ra rằng u ≤ v, mang lại kết quả c = exp(α.d) − 1
Hệ quả sau đây cho rằng trong một số trường hợp nó có thể bỏ qua
yêu cầu c ≤ 0.
Hệ quả 1.3. Cho Lu = f trong miền bị chặn Ω cho C như trong Định
lý 1.3 và giả sử rằng:
C ∗ = 1 − C max
Ω

12

c+
>0
λ

(1.16)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Khi đó,
max |u| ≤

1
C∗

max |u| + C max
∂Ω

Ω

|f |
λ

(1.17)

Chứng minh. Chứng minh hệ quả trên bằng cách áp dụng các kết quả
của định lý trước cho phương trình (L0 + c− )u = f − c+ u.

13


Chương 2
Sự tồn tại nghiệm của bài toán
Dirichlet
Trong phần này, chúng ra sẽ thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán
Dirichlet. Cụ thể chúng ta sẽ chứng minh Định lý sau:
Định lý 2.1. Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên thuộc lớp
C 2 . Khi đó với mọi g ∈ C(∂Ω), tồn tại duy nhất u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) thỏa
mãn ∆U = 0 trong Ω và u = g trên ∂Ω.
Trước khi chứng minh điều này, đầu tiên chúng ta phải phát triển
một số điều kiện tiên quyết sau:

2.1

Bài toán Dirichlet trong hình cầu

Cách phổ biến nhất để chứng minh sự tồn tại một nghiệm là đưa ra

công thức nghiệm cho chúng. Bây giờ chúng ta có được sự tồn tại nghiệm
hiện của bài toán Dirichlet trong hình cầu.
Định lý 2.2. Cho B là hình cầu bán kính R tâm là gốc tọa độ và cho g
liên tục trên ∂B. Khi đó hàm số:
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

R2 − |x|2
u(x) =
n.wn .R

g(y)
dSy
|x − y|n

(2.1)

∂B

là thuộc lớp C 2 (B) và thỏa mãn ∆u = 0. Hơn nữa, ∀y ∈ ∂B ta có:
lim u(x) = g(y)

x→y

(2.2)

Ở đây wn biểu thị thể tích của hình cầu đơn vị trong Rn và ký hiệu
dSy là vi phân mặt.
Phương trình (2.1) được coi là công thức tích phân Poisson. Chúng
ta chú ý trường hợp đặc biệt x = 0 dẫn đến tính chất: Giá trị của một
hàm điều hòa tại một điểm là bằng giá trị trung bình của nó trên bất
kỳ hình cầu nào có tâm là điểm đó.
Chứng minh. Kể từ khi chúng ta có thể lấy đạo hàm riêng. Trong thực
tế, u là lớp C ∞ trong B và nó là một phép tính đơn giản để cho thấy nó
là điều hòa. Nó còn thiết lập công thức (2.2). Cho:
K(x, y) =

R2 − |x|2
, x ∈ B, y ∈ ∂B
n.Wn .R.|(x − y)|n

(2.3)

Và
ψ(x) =

K(x, y)dSy

(2.4)

∂B

Rõ ràng công thức (2.4) chỉ là trường hợp đặc biệt g = 1 trong công
thức (2.1), do đó, ψ là điều hòa. Nó cũng rõ ràng rằng ψ là một hàm đối
xứng. Đối với bán kính của hàm đối xứng, phương trình Laplace:
15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

urr +

n−1
ur = 0
r

(2.5)

Và nghiệm duy nhất của phương trình này liên tục tại gốc tọa độ, là
hằng số. Do đó, ψ(x) = ψ(0) = 1.
Bây giờ cho x0 ∈ ∂B và cho ε > 0. Chọn δ > 0 sao cho
|g(y) − g(x0 )| < ε, ∀|y − x0 | < δ và cho M là cận trên của g trên ∂B.
δ
Đối với |x − x0 | < , ta có:
2

K(x, y)(g(y) − g(x0 ))dSy

|u(x) − g(x0 )| =
∂B

≤

K(x, y)|g(y) − g(x0 )|dSy

|y−x0 |≤δ

K(x, y)|g(y) − g(x0 )|dSy

+
|y−x0 |≥δ

≤

2M (R2 − |x|2 )Rn−2
+
(δ/2)n

(2.6)

Khi x −→ x0 , số hạng cuối cùng phía bên phải tiến đến 0 và ta có
định lý.

2.2

Hàm điều hòa dưới

Chúng ta cần chú ý nghiệm dưới của bài toán Dirichlet mà không đòi
hỏi nó thuộc lớp C 2 (Ω). Định nghĩa được mô tả bởi nguyên lý cực đại:

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Định nghĩa 2.1. Cho Ω là một miền trong Rn và u là một hàm trong
C 2 (Ω). Laplacian của u, kí hiệu ∆u được định nghĩa bởi:
n

∆u =
j=1

∂ 2u
∂x2j

Hàm u được gọi là hàm điều hòa dưới (điều hòa trên) trong Ω nếu nó
thỏa mãn ∆u(x) ≥ 0 (∆u ≤ 0), ∀x ∈ Ω.
Ví dụ. Trong R2 với x, y ∈ R ta có:
a, Hàm u = x2 + 2y 2 là một hàm điều hòa dưới vì:
∂u
∂ 2u
= 2x; 2 = 2
∂x
∂x
∂u
∂ 2u
= 4y; 2 = 4
∂y
∂y
⇒ ∆u = 6 ≥ 0
b, Hàm u = x2 − 8y 2 là một hàm điều hòa trên vì:
∂ 2u
∂u

= 2x; 2 = 2
∂x
∂x
2
∂u
∂ u
= −16y; 2 = −16
∂y
∂y
⇒ ∆u = −16 + 2 = −14 ≤ 0.

Chúng ta lưu ý các thuộc tính sau:
1. Nếu u là điều hòa dưới trong một miền Ω, thì nó thỏa mãn Nguyên
lý cực đại mạnh trong Ω, và nếu v là điều hòa trên trong một miền bị
chặn Ω với v ≥ u trên ∂Ω thì hoặc v > u khắp Ω hoặc u = v.
Để chứng minh khẳng định trên, giả sử ngược lại thì tại một điểm
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

x0 ∈ Ω chúng ta có:
(u − v)(x0 ) = max(u − v) = M ≥ 0,
Ω

và chúng ta có thể giả thiết có một hình cầu B = B(x0 ) sao cho u−v = M
trên ∂B. Giả sử u, v kí hiệu hàm điều hòa lần lượt bằng u, v trên ∂B.
Khi đó, ta có:

M ≥ max(u − v) ≥ (u − v)(x0 ) ≥ (u − v)(x0 ) = M
∂B

và do đó đẳng thức xảy ra, tức là:
M = (u − v)(x0 ) ≤ (u − v)(x0 )

(2.7)

Bằng Nguyên lý cực đại mạnh cho hàm điều hòa nên u − v ≡ M trong
B và hơn nữa u − v ≡ M trên ∂B, mâu thuẫn với sự chọn B.
2. Giả sử u là nghiệm điều hòa dưới trong Ω và B là quả cầu bên
trong Ω. Kí hiệu u là hàm điều hòa trong B thỏa mãn u = u trên ∂B.
Khi đó hàm số:

U (x) =



u(x) , x ∈ B

(2.8)


u(x) , x ∈ Ω B
chỉ là một hàm điều hòa dưới trong Ω. U được gọi là hàm nâng điều hòa
của u trong B. Khi đó, hàm U (x) cũng gọi là điều hòa dưới trong Ω.
Để chứng minh ta xét một quả cầu bất kì B ⊂⊂ Ω và giả sử h là
một hàm điều hòa trong B sao cho: h ≥ U trên ∂B . Từ u ≤ U trong
B chúng ta có u ≤ h trong B và hơn nữa, U ≤ h trong B − B. Cũng vì
U là điều hòa trong , chúng ta có nguyên lý cực đại U ≤ h trong B ∩ B .

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Do đó U ≤ h trong B và U là điều hòa dưới trong Ω.
3. Nếu u1 , u2 , ...., uN là điều hòa dưới trong Ω. khi đó, hàm u(x) =
max {U1 (x), U2 (x), ...., UN (x)} cũng là điều hòa dưới trong Ω.
Tương tự, các kết quả của hàm điều hòa trên sẽ nhận được bằng cách
thay u bới −u trong tính chất 1,2 và 3.
4. Một tính chất tương đương với Định nghĩa 2.1 là hàm u ∈ C 0 (Ω)
là điều hòa dưới (điều hòa trên) nếu với mọi hình cầu B với B ⊂ Ω và
với mọi hàm h ∈ C(B) với h là hàm điều hòa trong B và u ≤ h(u ≥ h)
trên ∂B ta có u ≤ h(u ≥ h) trong B.

2.3

Định lý Arzela-Ascoli

Định lý Arzela-Ascoli phát biểu rằng một dãy các hàm số trên một
tập compact thỏa mãn một số điều kiện sẽ có dãy con hội tụ đều. Kết
quả bản chất này thường hữu ích cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm.
Để nêu định lý chúng ta cần định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2. Cho (fm ) là một dãy các hàm số thực có giá trị xác
định trong một tập con D của Rn . Cho x ∈ D. Dãy (fm ) được gọi là liên
tục đồng bậc tại x nếu ∀ε > 0, δ > 0 không phụ thuộc vào m sao cho
|fm (y) − fm (x)| < ε với mọi y ∈ D thỏa mãn |y − x| < δ.
Nếu dãy (fm ) là liên tục đồng bậc ở mỗi điểm của một tập hợp

compact S, nó là liên tục đồng bậc đều, nghĩa là, δ trong định nghĩa
trên có thể chọn độc lập của x ∈ S. Chúng ta lưu ý rằng một dãy các
hàm số là liên tục đồng bậc tại x nếu tồn tại một rằng buộc (độc lập
của m) cho các đạo hàm trong lân cận của x.

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Định lý 2.3. (Arzela-Ascoli)
Cho (f m) là một dãy các hàm số thực có giá trị xác định trong một
tâp compact S của Rn . Giả sử rằng có hằng số M sao cho |fm (x)| ≤
M ∀m ∈ N và ∀x ∈ S. Hơn nữa, giả sử rằng fm là liên tục đồng bậc với
mọi x của S. Khi đó tồn tại một dãy con mà sự hội tụ đều trên S.
Chứng minh. Cho xi , i ∈ N là một dãy các điểm dày đặc trong S. Dãy
(fm (x1 )) là bị chặn; do đó nó có một dãy con hội tụ. Đó là, chúng ta
có thể chọn dãy (m1j ) sao cho (fm1j (x1 )) hội tụ khi j −→ ∞. Tương tự
như vậy chúng ta có thể chọn dãy con (m2j ) của (m1j ) , (fm2j (x2 )) hội
tụ. Khi (m2j ) là một dãy con của (m1j ), (fm2j (x1 )) hội tụ tuyệt đối.
Tiếp theo chúng ta chọn dãy con (m3j ) của dãy (m2j ) sao cho (fm3j )
hội tụ tại x3 . Chúng ta tiến hành đến vô cùng.
Cuối cùng, xét xem các "đường chéo" dãy (fmjj ). Ngoại trừ các i − 1
điều kiện đầu tiên, (mjj ) là một dãy con của (mij ), do đó (fmjj (xi )) hội
tụ với mọi i ∈ N. Để đơn giản hóa các ký hiệu, chúng ta đặt gj = fmjj (xi )
trong phần sau:
Để chứng minh các kết luận, chúng ta thấy rằng dãy (gm ) thỏa mãn
trong Cauchy. Cho ε > 0, (gm ) là một dãy con của (fm ) là liên tục đồng

ε
bậc trên S. Do đó δ > 0 sao cho: |gm (y)−gm (x)| < khi |y −x| < δ . Khi
3
S là compact, K ∈ N sao cho ∀x ∈ S, ∃i ∈ {1, 2, ...., K} với |xi − x| < δ.
ε
Bây giờ chọn N đủ lớn sao cho |gm (xi ) − gk (xi)| < , ∀m, k > N và
3
∀i ∈ {1, ..., K}. Đối với m, k > N và x ∈ S là tùy ý, chúng ta có:

|gm (x) − gk (x)| ≤ |gm (x) − gm (xi )|
+|gm (xi ) − gk (xi )| + |gk (xi ) − gk (x)|
20

(2.9)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

< ε, với i ∈ {1, ...., K}.

Dưới đây chúng ta có ứng dụng của Định lý Arzela-Asoli với dãy của
hàm điều hòa. Trong trường hợp này, chúng ta có kết quả sau:
Định lý 2.4. Cho Ω là miền xác định trong Rn . Cho fm là một dãy
của một hàm điều hòa trên Ω mà nó bị chặn đều, nghĩa là: |fm (x)| ≤
M ∀x ∈ Ω và m ∈ N. Khi đó, fm chứa một dãy con hội tụ đều trên mọi
miền compact của Ω tới một hàm điều hòa.
Chứng minh. Cho Ωk =

x ∈ Ω | |x| ≤ k, d(x,∂Ω) ≥

1
. Khi đó, Ωk là
k

tập compact và Ω = ∪∝
k=1 Ωk .
Nếu x trong Ωk , khi đó trong một lân cận của x, chúng ta có thể trình
bày công thức fm bằng Poisson’s. Sử dụng một hình cầu tâm x với bán
1
kính
. Điều này mang lại tính thống nhất cho các đạo hàm của fm
2k
trên Ωk . Đặc biệt, fm trên Ωk . Theo định lý Arzela-Ascoli chúng ta có
thể rút ra có dãy con hội tụ đều trên Ωk ,và sử dụng đối số đường chéo
tương tự như chứng minh trên, chúng ta có được một dãy con hội tụ
trên tất cả của Ω, đồng dạng trên mỗi Ωk .
Nó vẫn có thể thấy rằng, giới hạn của dãy con này là điều hòa. Để
thấy điều này, chúng ta cần lưu ý rằng, các hàm điều hòa đặc trưng bởi
tính chất mà họ tuân theo công thức Poisson’s được tuân thủ bởi tất cả
hàm trong một dãy hội tụ, nó cũng được dùng cho các giới hạn. Vì vậy
ta có điều phải chứng minh.
Chúng ta đã tìm hiểu xong các điều kiện tiên quyết, sau đây chúng
ta sẽ vận dụng những kiến thức đó để chứng minh Định lý 2.1 Cho Sg

21


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

là tập tất cả các nghiệm dưới của bài toán Dirichlet, và cho:
u(x) = sup v(x)

(2.10)

v∈Sg

Vì mỗi nghiệm dưới là nhỏ hơn hoặc bằng nghiệm trên và tồn tại
nghiệm dưới, nghiệm trên nên các cận trên trong công thức (2.10) là
hữu hạn và u được xác định rõ.
Bổ đề 2.1. Hàm số u là điều hòa trong Ω.
Chứng minh. Cho x là một điểm tùy ý trong Ω và (vm ) là một dãy trong
Sg sao cho vm (x) −→ u(x). Rõ ràng vm là bị chặn trên (bởi mỗi nghiệm
trên), chúng ta có thể giả sử rằng nó là chặn dưới, nếu cần thiết, thay
vm bởi max(vm , v0 ), với v0 là nghiệm dưới bất kì.
Chọn R sao cho B = BR (x) là tập đóng chứa trong Ω và Vm được gọi
là hàm điều hòa của vm đối với B. Khi đó Vm (x) −→ u(x) và theo Định
lý 2.4, Vmk là dãy con của vm mà hội tụ đều trên B đến một hàm điều
hòa v, sự hội tụ đều trên tất cả các tập compact của B. Rõ ràng v ≤ u
trong B. Thực tế, v = u trong B. Điều này chỉ rõ bổ đề.
Giả sử ngược lại, v(y) < u(y) với mọi y ∈ B. Khi đó, tồn tại một hàm
số W ∈ Sg sao cho v(y) < W (y). Cho W (y) = max(W, Vmk ) và cho Wk
hội tụ tới một hàm w, điều hòa trong B. Khi đó v ≤ w trên B, ngược
với sự lựa chọn của W .
Nó vẫn còn thấy rằng u là liên tục thực sự tới ∂Ω và giả sử nó bị
chặn. Cho ξ là một điểm trên ∂Ω. Khi đó, giả sử ∂Ω thuộc lớp C 2 , có
một hình cầu B = BR (y) bên ngoài của Ω sao cho B ∩ Ω = ξ.

22


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thanh Tân

Chúng ta định nghĩa:

W (x) =



R2−n − |x − y|2−n

,n ≥ 3


log |x − y|
R

,n = 2

(2.11)

Khi đó,
1. W là điều hòa trên (Điều hòa thực sự) trong Ω.
2. W > 0 trên Ω \ ξ, w(ξ) = 0.
Một hàm điều hòa với tính chất (1) và (2) được gọi hàm rào cản tại ξ

so với Ω.
Chúng ta có kết quả sau:
Bổ đề 2.2. Cho u là một hàm điều hòa trong Ω xây dựng ở trên và cho
ξ ∈ ∂Ω. Khi đó u(x) −→ g(ξ) khi x → ξ.
Chứng minh. Chọn ξ > 0 và cho M = max |g|. Cho W là một hàm rào
∂Ω

cản tại ξ và cho δ, k sao cho: |g(x) − g(ξ)| < ε với x ∈ ∂Ω, |x − ξ| < δ
và k.w(x) ≥ 2M với x ∈ Ω, |x − ξ| ≥ δ. Hàm g(ξ) + ε + Kw(x) và
g(ξ) − ε − k.w(x), tương ứng, điều hòa trên và điều hòa dưới đối với g.
Do đó:
g(ξ) − ε − k.w(x) ≤ u(x) ≤ g(ξ) + ε + k.w(x)

(2.12)

Từ w(x) −→ 0 khi x −→ ξ, chúng ta đạt được u(x) −→ g(ξ) khi
x −→ ξ
Từ các chứng minh ta thấy, các giả định trên ∂Ω có thể dễ dàng, miễn
là có thể xây dựng được màn chắn. Việc xây dựng trên cho tất cả miền
lồi. Trong trường hợp khác, các màn chắn thường có sẵn.
23