Phân loại và đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Nguyễn Diệu Thảo

PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: SP Toán

Hà Nội - 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Nguyễn Diệu Thảo

PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
RIÊNG TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngành: Sư phạm Toán

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Bùi Kiên Cường

Hà Nội - 2017


Lời cảm ơn
Sau thời gian cố gắng làm việc, dưới sự hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ của
TS. Bùi Kiên Cường, khóa luận của em đã hoàn thành. Em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường, người đã giúp đỡ hướng dẫn
em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và làm khóa luận này.
Bằng sự nỗ lực hết sức của bản thân bài khóa luận này đã được hoàn
thành. Song trong khuôn khổ thời gian có hạn và năng lực bản thân còn
nhiều hạn chế nên bài khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót. Em rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô để bản thân có thể tiếp tục
hoàn thiện hơn nữa trong quá trình học tập.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 21 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Diệu Thảo

1


Lời cam đoan
Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài "Phân loại và đặc trưng
của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính" giúp em hiểu sâu sắc
hơn về bộ môn giải tích hiện đại, đặc biệt là phương trình đạo hàm riêng.
Qua đó cũng bước đầu giúp em làm quen với công tác nghiên cứu khoa

học.
Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện, đặc
biệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình của TS. Bùi Kiên Cường.
Em xin cam đoan kết quả của đề tài "Phân loại và đặc trưng của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính" không có sự trùng lặp với
kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 21 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Diệu Thảo

2


Mục lục
Mở đầu

5

1 Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở

8

1.1

Khái niệm đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Khái niệm phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . .

9

1.4

Phân loại phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . .

9

2 Sự phân loại và đặc trưng

11

2.1

Biểu trưng của một biểu thức vi phân . . . . . . . . . . . . 12

2.2

Phân loại và đặc trưng của phương trình bậc hai . . . . . . 14

2.3

Phân loại và đặc trưng của phương trình bậc cao hơn và hệ
phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4

Phân loại và đặc trưng của phương trình phi tuyến . . . . . 22

3 Định lý Cauchy-Kovalevskaya

24

3.1

Hàm giải tích thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2

Sự làm trội và định lý Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . 30

3.3

3.2.1

Sự làm trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.2

Định lý Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . . . 30

Phương trình đạo hàm riêng vô nghiệm . . . . . . . . . . . 33

3


MỤC LỤC

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38

Nguyễn Diệu Thảo

4


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển
của toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của toán học vào
việc giải quyết các bài toán thực tiễn. Trong lĩnh vực toán học ứng
dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến phương trình
đạo hàm riêng. Tuy ra đời khá muộn so với các ngành toán học khác
nhưng phương trình đạo hàm riêng đã nhanh chóng khẳng định được
vị trí và tầm quan trọng của mình trong khoa học nói chung và toán

học nói riêng.
Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng được khởi đầu
bởi việc nghiên cứu những phương trình đạo hàm riêng thường gặp
trong lĩnh vực vật lý và cơ học. Chẳng hạn như phương trình Laplace,
phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt... Đó là các
phương trình đại diện cho các lớp phương trình thuộc loại Elliptic,
Hyperpolic, và Parabolic. Để nghiên cứu sâu hơn về phân loại của
phương trình đạo hàm riêng và khái niệm đặc trưng cùng với một số
vấn đề về tính đặt đúng đắn, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán Cauchy, nên em đã chọn đề tài "Phân loại và đặc trưng của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính".
2. Mục đích nghiên cứu
Để nghiên cứu sâu hơn về phân loại của phương trình đạo hàm riêng
và khái niệm đặc trưng cùng với một số vấn đề về tính đặt đúng đắn,
5


MỤC LỤC

sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.
3. Đối tượng nghiên cứu
Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
4. Phạm vi nghiên cứu
Phân loại và đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận liên qua đến phân loại và đặc trưng của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

• Nghiên cứu các định nghĩa liên quan đến phân loại và đặc trưng
của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.

• Nghiên cứu các định lý, bổ đề liên quan đến phân loại và đặc trưng
của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

• Nghiên cứu các ví dụ liên quan đến phân loại và đặc trưng của
phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
6. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tài liệu

• Căn cứ vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, em đã thu
thập, sưu tầm một số tài liệu, sách, báo, tạp chí, các công trình
nghiên cứu khoa học, thông tin trên mạng Internet để phục vụ cho
việc nghiên cứu.
7. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm có

• Phần 1: Mở đầu
• Phần 2: Nội dung
+Chương 1:Khái niệm mở đầu và các kiến thức cơ sở
Nguyễn Diệu Thảo

6


MỤC LỤC

+Chương 2: Sự phân loại và đặc trưng
+Chương 3: Định lý Kovalevskaya

• Phần 3: Kết luận

• Phần 4: Tài liệu tham khảo

Nguyễn Diệu Thảo

7


Chương 1

Khái niệm mở đầu và các kiến thức
cơ sở
1.1

Khái niệm đạo hàm riêng

Giả sử e1 , e2 , . . . , en là cơ sở chính tắc trng không gian Rn , U là một
tập mở trong Rn , và f : U −→ R là một hàm số của n biến số,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ U . Giới hạn
f (x + tei ) − f (x)
t→0
t

lim

(1.1)

nếu nó tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại x hay đạo
∂f
hàm riêng theo biến xi của hàm f tại x và kí hiệu là Di f (x) hay

(x)
∂xi
hoặc fxi (x).
Nếu hàm f có tất cả các đạo hàm riêng Di f (x) (i = 1, 2, . . . , n) tại mọi
điểm x ∈ U và các đạo hàm riêng này là những hàm liên tục trên U thì
ta nói rằng f thuộc lớp C 1 trên U kí hiệu là f ∈ C 1 (U ).

1.2

Không gian hàm

• Phần tử α = (α1 , α2 , . . . , αn ) được gọi là đa chỉ số. Cấp của α là:
|α| = α1 + α2 + · · · + αn

(1.2)

∂ |α| u
∂xα1 1 ∂xα2 2 . . . ∂xαnn

(1.3)

• Kí hiệu:
Dα u =

8


1.3. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Với k = 1, 2, 3, . . . ta kí hiệu Dk u là một tập hợp tất cả các đạo hàm

riêng cấp k của u.

Dk u = {Dα u | |α| = k} .

(1.4)

• Ta có Ω là miền trong Rn tức là một tập mở liên thông. Kí hiệu C k (Ω)
là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền

Ω, 0 ≤ k < ∞.
1.3

Khái niệm phương trình đạo hàm riêng

Phương trình vi phân đạo hàm riêng là phương trình liên hệ giữa ẩn
hàm u(x1 , x2 , . . . , xn ), các biến độc lập (x1 , x2 , . . . , xn ) và các đạo hàm
riêng của nó. Nó có dạng :

∂u
∂u
∂ku
F (x1 , x2 , . . . , xn , u,
,...,
,..., k
, . . .) = 0.
∂x1
∂xn
∂x1 , . . . ∂xknn

(1.5)

Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u, có mặt
trong phương trình, chẳng hạn:

• Phương trình cấp một của hàm hai biến có dạng
F (x, y, u,

∂u ∂u
, )=0
∂x ∂y

(1.6)

• Phương trình cấp hai của hàm hai biến có dạng
∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
F (x, y, u, , , 2 ,
,
)=0
∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y 2
1.4

(1.7)

Phân loại phương trình đạo hàm riêng

• Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu như nó tuyến
tính với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó.

• Phương trình đạo hàm riêng được gọi là phi tuyến tính nếu nó không
tuyến tính

Nguyễn Diệu Thảo

9


1.4. PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

• Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tựa tuyến tính (hay nửa tuyến
tính) nếu như nó tuyến tính đối với tất cả các hàm cao nhất của hàm
phải tìm.

Nguyễn Diệu Thảo

10


Chương 2

Sự phân loại và đặc trưng
Bài toán điển hình trong phương trình vi phân đạo hàm riêng bao gồm
tìm nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng (hoặc một hệ các phương
trình đạo hàm riêng) đã biết điều kiện biên và/hoặc điều kiện ban đầu.
Bản chất của điều kiện biên và điều kiện ban đầu dẫn đến các bài toán về
tính đặt đúng phương trình đạo hàm riêng phụ thuộc một cách thiết yếu
dưới sự xem xét phương trình đạo hàm riêng đặc biệt. Ví dụ, ta thấy một
sự lựa chọn tự nhiên của các điều kiện đối với phương trình Laplace,

uxx + uyy = f (x, y), 0 < x < 1, 0 < y < 1

(2.1)

với điều kiện biên,

u(x, 0) = φ0 (x), u(x, 1) = φ1 (x), u(0, y) = ψ0 (y), u(1, y) = ψ1 (y)
(2.2)
Cho phương trình sóng,

uxx − uyy = f (x, y)

(2.3)

đặt trên cùng miền xác định (với y được coi như thời gian), một sự lựa
chọn tự nhiên của điều kiện là, ví dụ,

u(0, y) = φ0 (y), u(1, y) = φ1 (y), u(x, 0) = ψ0 (x), u(x, 1) = ψ1 (x)
(2.4)
Kết quả của các bài toán không được đặt đúng nếu cố đặt điều kiện (2.2)
lên phương trình sóng hoặc điều kiện (2.4) lên phương trình Laplace.
11


2.1. BIỂU TRƯNG CỦA MỘT BIỂU THỨC VI PHÂN

Phương trình Laplace và phương trình sóng phân biệt với nhau ở những
khía cạnh khác nhau.Ví dụ, nghiệm của (2.1) sẽ luôn luôn trơn trong phần
trong của miền, miễn là miền f là trơn. Mặt khác, nghiệm của (2.3) có
thể có gián đoạn ngay cả tại f = 0. Ta đã biết, bất kỳ hàm số vi phân hai
lần của dạng u = F (x − y) + G(x + y) là một nghiệm của (2.3), và ta sẽ
đưa vào muộn hơn các nghiệm suy rộng mà bỏ qua nhu cầu F và G phải
vi phân 2 lần.

Thành phần quan trọng của một hệ thống lý thuyết của các phương trình
đạo hàm riêng là sự phân loại đồ thị mà các lớp xác định của các phương
trình với các tính chất thông thường. Loại của một phương trình quy định
bản chất của điều kiện biên và điều kiện ban đầu mà có thể bị đặt, những
điểm kì dị tự nhiên mà các nghiệm có thể có và các phương pháp tự nhiên
có thể được sử dụng để xấp xỉ một nghiệm. Trong chương này, ta sẽ cung
cấp các định nghĩa cơ bản về sự phân loại dưới của các phương trình đạo
hàm riêng.

2.1

Biểu trưng của một biểu thức vi phân

Nhắc lại một số kí hiệu.
Kí hiệu đa chỉ số là rất thuận tiện trong việc tránh các kí kiệu vô cùng
công kềnh của các phương trình đạo hàm riêng. Một đa chỉ số là một vecto

|α| = α1 + α2 + · · · + αn ,

α! = α1 !α2 ! · · · α3 !;

(2.5)

hơn nưa cho vecto bất kì x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , ta lập
xα = xα1 1 xα2 2 · · · xαnn

(2.6)

Theo dõi kí hiệu đối với các đạo hàm riêng từng phần là cực kỳ thuận tiện
trong việc viết các phương trình đạo hàm riêng:

∂ |α|
D = α1 α2
∂x1 ∂x2 · · · ∂xαnn
α

Nguyễn Diệu Thảo

(2.7)
12


2.1. BIỂU TRƯNG CỦA MỘT BIỂU THỨC VI PHÂN

Ví dụ nếu α = (1, 2). Khi đó

∂ 3u
D u=
∂x1 ∂x22
α

(2.8)

Bây giờ ta xét một biểu thức vi phân tuyến tính có dạng

aα (x)Dα u

L(x, D)u =

(2.9)

|α|≤m

với u ∈ Rn . Với phép toán giải tích này trên các hàm số ta liên kiết với
một phép toán đại số được gọi là biểu trưng
Định nghĩa 2.1. Biểu trưng của biểu thức L(x, D) như được cho bởi
(2.9) là

Lp (x, iξ) :=

aα (x)(iξ)α

(2.10)

aα (x)(iξ)α

(2.11)

|α|≤m

Phần chính của biểu trưng là

Lp (x, iξ) :=
|α|=m

Ví dụ 2.2.

∂2
∂2
• Biêu trưng của toán tử Laplace

+ 2 là −ξ12 − ξ22
2
∂x1 ∂x2

∂
∂2
• Biểu trưng của toán tử nhiệt
− 2 là iξ1 + ξ22
∂x1 ∂x2
∂2
∂2
• Biểu trưng của toán tử sóng
− 2 là −ξ12 + ξ22
2
∂x1 ∂x2
Đối với toán tử Laplace và toán tử sóng, biểu trưng của chúng có phần
chính bằng nhau, phần chính của toán tử nhiệt là ξ22
Tương tự, ta có thể liên kiết một biểu trưng giá trị ma trận với một hệ
các phương trinh vi phân đạo hàm riêng. Định nghĩa của phần chính trong
trường hợp này là phức tạp hơn, ta sẽ nói rõ điều này trong mục sau.
Nếu hệ số của phương trình đạo hàm riêng là không đổi và ta đang tìm

Nguyễn Diệu Thảo

13


2.2. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

các nghiệm trên tất cả các miền, biểu trưng dễ dàng được giải thích trong

các hệ số của biến đổi Fourier: Nếu,

uˆ(ξ) := (2π)−n/2

u(x) exp(−iξ · x)dx

(2.12)

Rn

là biến đổi Fourier của u(x), do đó L(iξ)ˆ
u(ξ) là biến đổi Fourier của

L(D)u(x).
Nói chung, biểu trưng của một biểu thức vi phân cho chúng ta biết làm
thế nào một biểu thức vi phân nhiều lần theo các hàm số mà có sự hỗ trợ
của chúng được chứa trong miền lân cận nhỏ của một điểm x đã cho. Nếu
các hệ số là trơn, chúng xấp xỉ hằng số trong một lân cận nhỏ. Hơn nữa,
nếu u biến thiên rất nhanh, các đạo hàm bậc cao nhất ưu thế hơn các đạo
hàm bậc thấp hơn và do đó phần chính chứa các số hạng quan trọng nhất.
Điều gì ảnh hưởng biểu thức vi phân nhiều lần trên hàm biến thiên nhanh
của hỗ trợ nhỏ là quyết định quan trọng cho một vài tính chất cơ bản của
các phương trình đại hàm riêng từng phần. Sự phân loại dựa vào loại cơ
bản trên phần chính của biểu trưng.

2.2

Phân loại và đặc trưng của phương trình bậc hai

Xét một phương trình đạo hàm riêng bậc hai trong không gian hai chiều,

Lu = a(x, y)uxx + b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy = g(x, y)
(2.13)
Phần chính của biểu trưng của L là

Lp (x, y; iξ, iη) = −a(x, y)ξ 2 − b(x, y)ξη − c(x, y)η 2

(2.14)

Các phương trình đạo hàm riêng bậc hai được phân loại tùy theo dáng
điệu của Lp , xem như một dạng toàn phương đối với ξ và η . Dạng toàn

Nguyễn Diệu Thảo

14


2.2. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

phương được cho bởi (2.14) có thể được miêu tả dưới dạng ma trận như

 
1
−a(x, y) − 2 b(x, y)
ξ
 
Lp (x, y; iξ, iη) = (ξ, η) 
(2.15)
− 12 b(x, y) −c(x, y)
η

Nhắc lại rằng một dạng toàn phương được gọi là xác định nếu ma trận đối
xứng liên kết là xác định (dương, âm), nó được gọi là không xác định nếu
ma trận có các giá trị riêng mang cả hai dấu và nó được gọi là suy biến
nếu ma trận suy biến.
Định nghĩa 2.3. Phương trình vi phân (2.13) Được gọi là elliptic nếu
dạng toàn phương được cho bởi (2.14) là hoàn toàn xác định, là hyperbolic nếu nó là không xác định và là parabolic nếu nó là suy biến.
Các thuật ngữ elliptic, parabolic và hyperbolic được thúc đẩy bởi sự tương
tự với sự phân loại của mặt cắt hình nón.
Ví dụ 2.4. Phương trình Laplace là elliptic, phương trình nhiệt là parabolic,
phương trình sóng là hyperbolic. Với ba trường hợp này, các ma trận liên
kết với phần chính lần lượt theo thư tự sau

 
 

−1 0
−1 0
0 0

,
,

0 −1
0 1
0 1

(2.16)

Ví dụ 2.5. Nói chung, các phương trình có thể có dạng khác nhau trong
các phần khác nhau của miền mà ta tìm được. Một ví dụ điển hình của

điều này là phương trình Tricomi

yuxx + uyy = 0.

(2.17)

Biểu trưng là −yξ12 − ξ22 ; do đó phương trình là elliptic với y > 0,
parabolic với y = 0 và hyperbolic với y < 0. Các phương trình mà dạng
thay đổi xảy ra trong một vài ứng dụng vật lý, nghiên cứu ví dụ của dòng
transonic. Các bài toán như vậy rất khó để phân tích.
Nguyễn Diệu Thảo

15


2.2. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bây giờ ta xét một phương trình đạo hàm riêng bậc hai trong không gian

n chiều
∂ 2u
∂u
Lu = aij (x)
+ bi (x)
+ c(x)u = 0.
∂xi ∂xj
∂xi

(2.18)

Vì ma trận của các phần thứ hai của u là đối xứng. Không làm mất tính
tổng quát ta có thể giả sử rằng aij = aji . Các biểu trưng chính của phương
trình đạo hàm riêng bậc hai chỉ là một dạng toàn phương đối với ξ . Ta
có thể biểu diễn dạng phương trình bậc hai này là ξ T A(x)ξ , với A là ma
trận n × n với các phần tử aij .
Định nghĩa 2.6. Phương trình (2.18) được gọi là elliptic nếu tất cả các
giá trị riêng của A có cùng dấu, parabolic nếu A suy biến và hyperbolic
nếu tất cả các giá trị riêng của A có cùng dấu ngoại trừ một giá trị riêng
trái dấu. Nếu A không suy biến và có nhiều hơn một giá trị riêng giữ mỗi
dấu thì phương trình được gọi là ultrahyperbolic.
Trong định nghĩa này, ngầm hiểu các giá trị riêng được tính kể cả số bội
của nó.
Khái niệm mặt đặc trưng được liên quan chặt chẽ với các loại. Ta theo dõi
định nghĩa được đưa ra dưới đây:
Định nghĩa 2.7. Mặt được mô tả bởi φ(x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 là đặc trưng
tại điểm x
ˆ, nếu φ(ˆ
x) = 0 và, ngoài ra

aij (ˆ
x)

∂φ
∂φ
(ˆ
x)
(ˆ
x) = 0.
∂xi
∂xj

(2.19)

Một mặt được gọi là đặc trưng nếu mặt đó là đặc trưng tại mỗi điểm của
nó.
Ở dạng ma trận, điều kiện (2.19) có nghĩa là (∇φ)T A(∇φ) = 0. Ma
trận A là xác định ngặt, nghĩa là (2.18) là eliptic khi và chỉ khi không có
vecto thực khác không với các tính chất này. Vì vậy phương trình eliptic
Nguyễn Diệu Thảo

16


2.2. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

không có mặt đặc trưng (thực).
Với phương trình hyperbolic, có n giá trị riêng khác 0 của A, trong đó

n − 1 là cùng dấu và 1 giá trị riêng trái dấu, chẳng hạn một giá trị riêng
là âm còn lại là dương. Cho n là một vecto riêng đơn vị tương ứng đến giá
trị riêng âm. Bao tuyến tính của n và phần bù trực giao của nó đều là các
không gian con bất biến của A và sử dụng cách phân tích

∇φ = (n · ∇φ)n + (∇φ − (n · ∇φ)n),

(2.20)

ta thấy

(∇φ)T A(∇φ) = −Λ(n · ∇φ)2 + [∇φ − (n · ∇φ)n]T B[∇φ − (n · ∇φ)n] = 0

(2.21)
với −Λ là giá trị riêng âm của A và B là xác định dương trên không gian

(n − 1) chiều trực giao với n. Bây giờ ta đề cập đến ∇φ − (n · ∇φ)n, nghĩa
là phần của ∇φ mà là vuông góc vơi n, như đã đưa ra. Khi đó n · ∇φ có
thể được xác định bởi (2.21). Với bất kỳ sự lựa chọn khác không của phần
vuông góc với ∇φ, ta được hai nghiệm thực và phân biệt đối với n · ∇φ.
Chú ý rằng nếu ta lấy bất kỳ C 2 hàm u : R −→ R và hợp nó với φ, hàm
kết quả thỏa mãn

∂ 2u
∂φ ∂φ
∂ 2φ
L u(φ) = aij (x)
= u (φ) aij (x)
+ u (φ)aij (x)
∂xi ∂xj
∂xi ∂xi
∂xi ∂xj
p

(2.22)
và nếu mặt φ= const là đặc trưng, hệ số của u (φ) trong vế phải triệt tiêu.
Nghĩa là, hàm u (φ) thoả mãn phương trình Lu = 0 bậc cao nhất. Vì tính
chất này, đặc trưng là quan trọng trong việc nghiên cứu các nghiệm kì dị
của các phương trình đạo hàm riêng. Phương trình đạo hàm riêng có thể
có các nghiệm là không liên tục qua mặt đặc trưng.
Một tính chất có liên quan sẽ quan trọng trong sự liên hệ với định lý
Cauchy-Kovalevskaya. Giả sử u và đạo hàm pháp tuyến của nó ∇u∇φ
Nguyễn Diệu Thảo

17


2.2. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

được mô tả trên một mặt được cho bởi φ(x) = 0 (Chú ý rằng điều này có
nghĩa là đạo hàm tiếp tuyến mọi các bậc tự được xác định tự nhiên). Liệu
ta có thể sử dụng (2.18) phối hợp với các dữ liệu đã đưa ra, để tìm đạo
hàm bậc hai của u theo hướng của ∇φ hay không? Để có quyết định này,
cho q1 , q2 , . . . , qn là một hệ cơ sở trực chuẩn sao cho q1 là một phương
của ∇φ để đơn giản hóa các kí hiệu ta có thể viết q thay cho q1 . Ta có
A = (qT Aq)qqT + B,

(2.23)

qT Bq = 0

(2.24)

với

Ma trận B có thể được trình bày như sau
n

(qT Aqi )qqTi + (qTi Aq)qi qT

B=

(2.25)

i=2
n

qTi Aqj qi qTj

+

(2.26)

i,j=2

∂ 2u
. Từ (2.23), ta thấy
Cho D u chỉ ma trận của đạo hàm bậc hai
∂xi ∂xj
2

A : D2 u := −aij

∂ 2u
= (qT Aq)qT (D2 u)q + · · · ,
∂xi ∂xj

(2.27)

Với các đạo hàm bậc hai của u được chỉ ra bởi các dấu chấm liên quan
đến ít nhất một phép tìm vi phân theo hướng vuông góc với q (được chỉ
rõ từ (2.26)). Nếu u và đạo hàm pháp tuyến của nó được xác định, các số
hạng này có thể được coi là đã biết. Điều kiện là có thể để xác định đạo

hàm pháp tuyến bậc hai do đó là qT Aq = 0, nghĩa là mặt φ = 0 là không
đặc trưng .

Nguyễn Diệu Thảo

18


2.3. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HƠN VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH

2.3

Phân loại và đặc trưng của phương trình bậc cao hơn và
hệ phương trình

Định nghĩa 2.8. Cho L là toán tử bậc m được xác định trong (2.9). Mặt
đặc trưng được xác định bởi phương trình

Lp (x, ∇φ) = 0

(2.28)

Một phương trình được gọi là elliptic tại x nếu không thực sự đặc trưng
tại x hoặc tương đương, nếu

Lp (x, iξ) = 0

∀ξ = 0

(2.29)

Một phương trình được gọi là hyperbolic tuyệt đối theo hướng của n nếu
1. Lp (x, in) = 0 , và
2. tất cả các nghiệm ω của phương trình

Lp (x, iξ + iω n) = 0

(2.30)

là thực và phân biệt với mọi ξ ∈ Rn mà không cộng tính với n.
Trong các ứng dụng, n thường là một tọa độ có hướng liên kết với
thời gian. Trong trường hợp này, ta đặt x = (x1 , x2 , · · · , xn−1 , t) và ξ =

(ξ1 , ξ2 , · · · , ξn−1 , 0) là một vecto con.
Với các hàm số dao động nhanh có giá nhỏ ta có thể cho rằng hệ số của Lp
như xấp xỉ hằng số; ta cho rằng chúng là hằng số. Nếu ω là một nghiệm của
(2.30), khi đó u = exp(i(ξ · x) + iωt) là nghiệm của Lp (u) = 0. Nếu ω có
phần ảo âm khi đó nghiệm này phát triển lũy thừa theo thời gian. Hơn nữa
vì Lp là thuần nhất bậc m , nghĩa là Lp (x, λ(iξ+iω n)) = λm Lp (x, iξ+iω n)
với bất kì vô hướng Λ, ta luôn có nghiệm với phần ảo âm nếu có nghiệm
bất kì không thực (nếu ta thay đổi dấu của ξ ta cũng thay đổi dấu của ω ).
Hơn nữa nếu ta nhân ξ với một vô hướng λ, khi đó ω cũng được nhân với
cùng một nhân tố λ đó và do đó nghiệm sẽ trở lên dao động càng nhanh
Nguyễn Diệu Thảo

19


2.3. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HƠN VÀ HỆ PHƯƠNG

TRÌNH

hơn trong không gian. Vì vậy điều kiện nghiệm trong (2.30) là thực là điều
kiện cần đối với phép đặt chỉnh của các bài toán giá trị ban đầu.
Bây giờ ta chuyển sự chú ý đến hệ k phương trình đạo hàm riêng bao gồm

k ẩn uj , j = 1, 2, 3, . . . , k :
Lij (x, D)uj = 0,

i = 1, 2, 3, . . . , k.

(2.31)

Như hệ các phương trình đại số, vấn đề đặt chỉnh đòi hỏi số các phương
trình bằng số ẩn, nên ta giả sử rằng các toán tử Lij từ một ma trận vuông
L. Sự tổng quát của các khái niệm trên là khá đơn giản.
Định nghĩa 2.9. Các mặt đặc trưng được xác định bởi phương trình

det Lp (x, ∇φ) = 0,

(2.32)

và các phương trình không có các mặt đặc trưng thực được gọi là elliptic.
hyperbolic tuyệt đối cũng được xác định như trên với Lp trong định
nghĩa được thay thế bởi det Lp . Một hệ mà tất cả các thành phần của Lp
là các toán tử bậc một được gọi là hyperbolic (không nhất thiết tuyệt đối)
n chiều, nếu
1. det Lp (x, n) = 0, và
2. với ξ không cộng tuyến với n, tất cả các giá trị riêng của bài toán
Lp (x, iξ + iω n) = 0

(2.33)

là thực và có một tập hoàn chỉnh các vecto riêng.
Chú ý rằng, vì ta giả sử rằng hợp của Lp là bậc nhất, ta có
Lp (x, iξ + iω n) = Lp (x, iξ) + ω n) = Lp (x, in); do đó bài toán giá trị
riêng là một bài toán giá trị riêng của ma trận đối với ω . Nếu các giá trị
riêng là phân biệt thì luôn luôn có một tập đầy đủ các vecto riêng, do đó
hyperbolic tuyệt đối cũng là hyperbolic.
Nguyễn Diệu Thảo

20


2.3. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO HƠN VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH

Nói chung, ta cần cẩn thận để xác định phần chính của một hệ. Một cách
tiếp cận đơn giản là lấy số hạng bậc cao nhất là không đúng.
Ví dụ 2.10. Để thấy rõ vấn đề, ta xét phương trình Laplace trong không
gian hai chiều

uxx + uyy = 0,

(2.34)

và viết lại nó như một hệ các phương trình bậc một bằng cách lập v =

ux , ω = uy . Thu được hệ là
ux = v,

uy = ω,

v x + ωy = 0

(2.35)

Nếu ta xác định Lp là phần bao gồm số hạng bậc nhất, dễ dàng thấy rằng
det Lp đồng nhất bằng 0. Mặt khác, do phương trình Laplace là ví dụ mẫu
của một phương trình elliptic, nó sẽ được kì vọng để tương đương với hệ
bậc nhất cũng đ elliptic. Rõ ràng, khi đó ta không thể bỏ các số hạng v
và ω trong hai phương trình đầu của (2.35).
Điều khó khăn được giải quyết bằng cách gán trọng số si đến mỗi phương
trình và tj đến mỗi biến phụ theo cách bậc của mỗi toán tử Lij không vượt
quá si + tj . Phần chính của Lpij được xác định bao gồm những số hạng mà
có bậc chính xác bằng si + tj . Ta giả sử rằng các trọng số có thể được gán
trong một cách như vậy, cách mà det Lp không triệt tiêu lẫn nhau; trong
trường hợp này det Lp bao gồm tất cả số hạng bậc

i,i si

+ tj xuất hiện

trong det L. Trong (2.35),ta sẽ đặt s1 = s2 = t2 = t3 = 0 và t1 = s3 = 1.
(Ở đây, nó được thỏa mãn bậc của các biến là u, v, ω .) Với các trọng số
này, phần chính của (2.35) thực tế là đồng nhất với (2.35), và ta tính toán


iξ −1 0
 1




p
L (iξ) = iξ2 0 −1 = −ξ12 − ξ22 ,
(2.36)


0 iξ1 iξ2

Nguyễn Diệu Thảo

21


2.4. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

bằng biểu trưng của phuong trình Laplace.
Thuật ngữ "bậc" đối với các hệ được sử dụng với hai nghĩa khác nhau.
Những thuật ngữ như hệ "bậc 1", "bậc 2" thường chỉ các phương trình
trong đó hệ được tạo thành. Tuy nhiên, nó cũng có thể được gán một bậc
đến một hệ nói chung. Bậc này được xác định như bậc của biểu trưng của
det Lp , bằng

si + tj
i,j

Chú ý 2.11. Ta lưu ý rằng các trọng số không nhất thiết là duy nhất.
Theo dõi một ví dụ đơn giản của hệ là elliptic dưới đây có nhiều hơn một
cách chọn trọng số. Cả các lực chọn hữu ích và đưa đến các kết quả khác

nhau của elliptic. Xét hệ

∆u − v = 0,

∆v = 0

(2.37)

Ta có thể chọn các trọng số s1 = s2 = 2, t1 = t2 = 0. Với các lựa chọn
này, phần chính của biểu trưng là


2
− |ξ|
0
.
Lp (iξ) = 
2
0
− |ξ|

(2.38)

Nhưng ta cũng có thể chọn các trọng số t1 = 2, t2 = 0, s1 = 0, s2 = 2.
Bây giờ phần chính là


2
− |ξ|
0

.
Lp (iξ) = 
2
1
− |ξ|

(2.39)

Trong tất cả các trường hợp đều có det Lp = |ξ|4 .

2.4

Phân loại và đặc trưng của phương trình phi tuyến

Đối với các phương trình và hệ phi tuyến, các loại có thể phụ thuộc
không chỉ vào điểm trong không gian mà còn phụ thuộc vào nghiệm của
chính nó. Đơn giản ta tuyến tính hóa phương trình tại một nghiệm cho
trước và xác định kiểu của phương trình, hệ phương trình là nhờ phần
Nguyễn Diệu Thảo

22


2.4. PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

tuyến tính hóa. Mặt đặc trưng của phương trình, hệ phương trình phi
tuyến được xác định tương tự như mặt đặc trưng của phương trình đã
được tuyến tính hóa.
Sau này để sử dụng ta đưa ra định nghĩa của tựa tuyến tính và nửa tuyến
tính.

Định nghĩa 2.12. Một hệ được gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến tính
đối với đạo hàm bậc cao nhất (với các hệ số mà có thể phụ thuộc các đạo
hàm bậc thấp hơn).
Một hệ được gọi là nửa tuyến tính nếu nó là tựa tuyến tính và hệ số
của các số hạng của bậc chính chỉ phụ thuộc x, nhưng không phụ thuộc
nghiệm.
Ví dụ 2.13. Phương trình

α(ux )uxx + uyy = 0,

(2.40)

là tựa tuyến tính, nó là elliptic nếu α(ux ) > 0 và hyperbolic nếu α(ux ) < 0.
Phương trình

φ(uxx ) + uyy = 0,

(2.41)

là không tựa tuyến tính; nó là elliptic nếu φ, (uxx ) > 0 và hyperbolic nếu

φ, (uxx ) < 0. Phương trình
(x2 + 1)uxx + uyy + φ(ux , uy ) = 0

(2.42)

là elliptic nửa tuyến tính.

Nguyễn Diệu Thảo

23