Báo cáo nghiên cứu khoa học: "VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC" ppt

VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT
CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
CẤP HAI LOẠI PARABOLIC
ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER
PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS


NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng


TÓM TẮT
Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được
khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên
lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày
một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo
hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát.
ABSTRACT
The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second
order has been considered by M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] which
provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence
theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of
a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second
order.



1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng:
F(x, u, Du,
2

D
u) = 0,
trong đó, F:
n
R
 R 
n
R
 S(n)  R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông
đối xứng cấp n. Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F(x, u, Du,
2
D
u) = 0 với u là một
hàm số giá trị thực xác định trong một tập con  của
n
R
, Du là ký hiệu gradient của u và
uD
2
ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của
bài toán sau đây, Du và
2
D
u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi
liên tục đến cấp hai.
Ta sẽ áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F = 0, trong đó F phải thỏa
mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):
F(x,r,p,X)

F(x,s,p,Y) với r


s và Y

X (1.1)
trong đó r, s

R, x, p


n
R
, X, Y

S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.
Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:
F(x,r,p,X)

F(x,s,p,X) với r

s (1.2)
F(x,r,p,X)

F(x,r,p,Y) với Y

X. (1.3)
Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) nếu (1.3) là đúng.
2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT
Bây giờ ta xét u là một hàm của (t, x), tức là u = u(t,x), và xét phương trình đạo hàm
riêng cấp hai phi tuyến loại parabolic:
t

u + F(t, x, u, Du,
2
D
u) = 0, (2.1)
trong đó Du và uD
2
có nghĩa là ),( xtuD
x
và ),(
2
xtuD
x
và F thỏa mãn điều kiện (1.1) (với x
được thay bởi (t,x)).
Cho  là một tập con compact địa phương của
n
R
, T > 0, và ký hiệu
T
 = (0,T)


.
Ta ký hiệu


,2
P và



,2
P của hàm số u:
T
  R như sau:


,2
P u(s,z) = {(a,p, X)

R

n
R

S(n) | (s,z)


T
 và u(x,t)

u(s,z) + a(t-s) + zxp ,
+
2
1
zxzxX  ),( + o(|t-s|+
2
|| zx  ) khi (t,x)

(s,z) trong
T

 }

và


,2
P u = -


,2
P (-u).

Ta định nghĩa:


,2
P u(t,x) ={(a,p, X)

R

n
R

S(n) |

(
n
t ,
n
x ,

n
a ,
n
p ,
n
X )


T


R

n
R

S(n),
(
n
a ,
n
p ,
n
X )



,2
P u(
n

t ,
n
x ) và (
n
t ,
n
x , u(
n
t ,
n
x ),
n
a ,
n
p ,
n
X )

(t, x, u(t,x), a, p, X)}


,2
P u(t,x) ={(a,p, X)

R

n
R

S(n) |


(
n
t ,
n
x ,
n
a ,
n
p ,
n
X )


T


R

n
R

S(n),
(
n
a ,
n
p ,
n
X )




,2
P u(
n
t ,
n
x ) và (
n
t ,
n
x , u(
n
t ,
n
x ),
n
a ,
n
p ,
n
X )

(t, x, u(t,x), a, p, X)}.

ĐỊNH NGHĨA:
a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (2.1) là một hàm u

C(

T
 ) sao cho:
a + F(t, x, u(t,x), p, X)

0 với (t,x)

T
 và (a, p, X)



,2
P u(t,x) ;

b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1) là một hàm v

C(
T
 ) sao cho:
a + F(t, x, v(t,x), p, X)

0 với (t,x)

T
 và (a, p, X)



,2
P v(t,x) ;

c. Một nghiệm nhớt của phương trình (2.1) là một hàm u

C(
T
 ) sao cho u vừa là
nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1).

3. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.1)








.x ),(),0(
xT,t0 ,0),(
T)(0, trong0u)D Du, u, x,F(t,
2
xxu
xtu
u
t

(3.1)

Trong đó

n
R


là một tập mở, T > 0 và )( C

là một hàm số cho trước.
Định lý: Cho
n
R


là một tập mở bị chặn. Cho F ))(],0([ nSRRTC
n
 thỏa mãn
(1.1) với mỗi t cố định và thỏa mãn các điều kiện sau đây cho mỗi t:

F(t, y, r, )( yx


, Y) - F(t, x, r, )( yx


, X) |)|||(
2
yxyx 

với mọi x, y



, r
R

,
và X, Y )(nS

thỏa điều kiện sau:
-3









I
I
0
0











 Y
X
0
0


3









 II
II

-


trong đó ),0[),0[:




là một hàm liên tục thỏa mãn .0)0(





Khi đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (3.1) và v là nghiệm nhớt trên của (3.1) thì u
v

trên
[0,T)


.
Để chứng minh định lý trên ta xét các bổ đề sau đây:

Bổ đề 1: Cho

là một tập con của
n
R
, )(,


UCvu và
}||
2
)()({sup
2
yxyvxuM 




với
.0


Cho 

M với

lớn và ),(

yx là một điểm sao cho

0)]||
2
)()(([lim
2





yxyvxuM .
Khi đó, ta có:

(i) 0||lim
2






yx và

(ii) ))()((sup)()(lim xvxuxvxuM
x





miễn là
x
là điểm giới hạn của

x khi
.





Bổ đề 2: Cho )),0((
ii
TUCu  với i=1,…,k, trong đó
i
 là một tập con compact địa
phương của
i

N
R
. Cho

là một hàm số xác định trong một lân cận của
k1
),0( T
sao cho (t,
1
x ,…, )
k
x


(t,
1
x ,…, )
k
x khả vi cấp một theo t và khả vi cấp hai theo
(
1
x ,…, )
k
x

k1
 . Giả sử ),,0(
_
Tt 
ii

x 
_
với i=1,…,k và
w(t,
1
x ,…, )
k
x  ),( ),(
11 kk
xtuxtu

(t,
1
x ,…, )
k
x ), ,,(
__
1
_
k
xxtw
với 0 < t < T và
i
x

i
 . Ngoài ra giả sử tồn tại một r > 0 sao cho với mọi M > 0 tồn tại
một hằng số C sao cho với i=1,…,k ta có:

Cb

i
 khi (
i
b ,
i
q ,
i
X )



,2
P
i
u (t ,
i
x )
||
_
ii
xx  + rtt  ||
_
và |),(|
ii
xtu + ||
i
q +
i
X
.M




Khi đó, với mỗi
0


, tồn tại )(
ii
NSX  sao cho:
(i)

)),, ,,(,(
__
1
_
ikxi
XxxtDb
i



,2
P ),(
__
ii
xtu với i=1,…,k,
(ii) - IA









1









k
X
X 0
0
1

A+
2
A

,
(iii) ),, ,,(
__
1

_
1 ktk
xxtbb



trong đó )(
2

x
DA  ), ,,(
__
1
_
k
xxt và chuẩn của ma trận đối xứng A là:

|:sup{|A là giá trị riêng của A}= }.1||:|,sup{| 

A
Chứng minh các bổ đề này hoàn toàn tương tự như trong chứng minh cho trường hợp
ellitic[1].

Chứng minh định lý:
Trước hết ta lưu ý rằng với
0


, )/(
_

tTuu 

cũng là một nghiệm nhớt dưới
của (3.1) và thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng với bất đẳng thức ngặt; thật vậy,
2
_
2
___
)(
),,,,(
tT
uDuDuxtFu
t




Vì
v
u

kéo theo vu 
_
trong giới hạn khi
0


, nên ta sẽ chứng minh nguyên lý so sánh
với giả thiết phụ:

(i)
t
u ,/),,,,(
22
TuDDuuxtF


(ii) 

),(lim xtu
Tt
đều trên

.

Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại một




),0(),( Tzs và 0),(),(




zsvzsu (3.2)

Ta có thể giả thiết u, -v là bị chặn trên. Cho ),,( yxt là điểm cực đại của
2
||)2/(),(),( yxytvxtu 


trên ),0[ T trong đó
0


. Điểm cực đại này tồn tại
vì tính bị chặn trên của u, -v, tính compact của

và giả thiết phụ (ii). Đặt:

.||
2
),(),(
2
yxytvxtuM 



Theo (3.2),


M . Nếu
0t
, ta có:
0< );||
2
)()((sup
2
yxyxM 






ta thấy rằng vế phải dần về không khi



theo Bổ đề 1. Vì vậy
0t
với

lớn. Hơn
nữa, yx, với

lớn vì
v
u

trên



),0[ T . Do đó ta có thể áp dụng Bổ đề 2 tại điểm
),,( yxt và nhận được các số thực a, b và S(n),

YX sao cho:

 )),(,( Xyxa




,2
P ),(
__
xtu ,
 )),(,( Yyxb




,2
P ),(
__
ytv

sao cho
a - b = 0 và -3









I
I

0
0









 Y
X
0
0

3









 II
II

-

. (3.3)
Các quan hệ:
a + ,)),(),,(,,tF( cXyxxtux 



b + ,0)),(),,(,,tF(  Yyxytvy



và (3.3) kéo theo

c

)),(),,(,,tF( Yyxytvy 

- )),(),,(,,tF( Xyxxtux 

|)|||(
2
yxyx 

.

Cho



, ta được điều mâu thuẫn và định lý được chứng minh.

4. KẾT LUẬN
Từ nguyên lý so sánh ta thấy rằng mọi nghiệm nhớt của bài toán Dirichlet (3.1) phải
trùng nhau và từ đó ta thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán. Mặt dù khái niệm và các
tính chất của nghiệm nhớt đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, bài báo này khảo sát cho loại
phương trình parabolic và có thể áp dụng cho các phương trình xuất hiện trong hình học vi
phân như phương trình chuyển động mặt, phương trình mặt cực tiểu,…


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second
order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.
[2] M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions,
Diff. Int. Equ. [3], 1990.
[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.