Ứng dụng của lý thuyết toán tử tuyến tính trong lý thuyết phương trình tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐÀO THỊ HẠNH

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

ĐÀO THỊ HẠNH

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH
TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Bùi Kiên Cường

Hà Nội – Năm 2017


Mục lục

Lời cảm ơn

1

1 Một số kiến thức cơ sở về lý thuyết toán tử trong không
gian Hilbert

5

1.1

Một số khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Không gian vectơ (Không gian tuyến tính) . . . .

5

1.1.2

Không gian định chuẩn và không gian Banach . .

6

1.1.3

Toán tử tuyến tính (Ánh xạ tuyến tính) . . . . .

8

1.1.4

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . .

12

1.2.1

Ví dụ về toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Phiếm hàm song tuyến tính và dạng toàn phương

14

1.2.3

Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp . . . . .

17

1.2.4

Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử

1.2

đẳng cự và toán tử unita . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.5

Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.6

Toán tử chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.7

Toán tử Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.2.8

Giá trị riêng và vectơ riêng . . . . . . . . . . . . .

26

1.2.9

Toán tử không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . .

28

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2

ĐÀO THỊ HẠNH

Phương trình tích phân

31

2.1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2

Định lí cơ bản về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . .

32

2.3

Phương trình tích phân Fredholm . . . . . . . . . . . . .

36

2.4

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.5

Phương trình tích phân Volterra . . . . . . . . . . . . . .

43

2.6

Phương pháp tìm nghiệm với nhân tách được . . . . . .

49

2.7

Phương trình Volterra loại một và phương trình tích phân
Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

KẾT LUẬN

1

Tài liệu tham khảo

1

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Lời cảm ơn
Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sự

giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay,
khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân
thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Giải tích (Khoa Toán)- trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong khoa toán đặc biệt là thầy
giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện
giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn
thành khóa luận này.
Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nên
khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

ĐÀO THỊ HẠNH

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Lời cam đoan
Khoá luận tốt nghiệp "Ứng dụng của lý thuyết toán tử tuyến
tính trong lý thuyết phương trình tích phân" được hoàn thành
do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận
tình của thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường .
Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như đã

viết trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin cam đoan kết quả
trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của tác
giả nào khác.

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017
Tác giả khóa luận

ĐÀO THỊ HẠNH

1


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong rất nhiều vấn đề của toán học (phương tình vi phân với điều kiện
ban đầu hay điều kiện biên), cơ học, vật lí, dẫn đến những phương trình
trong đó hàm chưa biết ở dưới dấu tích phân. Những loại phương trình
đó được gọi là phương trình tích phân. Phương trình tích phân được xem
như là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh vực nên được quan tâm
nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như sự tồn tại nghiệm, sự
xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh hoá. Nó có ứng dụng
rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học
khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích phân với các điều kiện xác
định để giải quyết một số vấn đề vật lí mà phương trình vi phân không
thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền. Vì vậy
nghiên cứu giải phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong
lý thuyết toán học.

Phương trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong
Giải tích hàm được xây dựng từ các bài toán thực tế trong Vật lí, Hoá

học và những ngành khoa học ứng dụng khác.

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Trong khoá luận này, em tập trung nghiên cứu ứng dụng của Lý thuyết
toán tử tuyến tính trong không gian vào việc khảo sát các phương trình
tích phân thường gặp nhất đó là phương trình Fredholm, phương trình
Volterra, phương trình Abel.
2. Mục đích nghiên cứu
- Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư
duy logic đặc thù của bộ môn.
- Nhắc lại một số lý thuyết toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert.
- Vận dụng lý thuyết toán tử tuyến tính để giải một số phương trình
tích phân thường gặp: Phương trình Fredholm, phương trình Volterra,
phương trình Abel.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của Giải tích hàm.
- Nghiên cứu các phương trình tích phân: Fredholm, Volterra, Abel.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp lí luận: Đọc, nghiên cứu các tài liệu, giáo trình có liên
quan đến phương trình tích phân Fredholm, Volterra, Abel. Sau đó hệ
thống, phân hoá các kiến thức.
5. Đối tượng nghiên cứu
- Phương trình tích phân Fredholm, Volterra, Abel.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

6. Cấu trúc khoá luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, khoá
luận gồm 2 chương:
- Chương 1: Một số kiến thức cơ sở của Lý thuyết toán tử tuyến tính
trong không gian Hilbert.
- Chương 2: Phương trình tích phân.

4


Chương 1
Một số kiến thức cơ sở về lý thuyết
toán tử trong không gian Hilbert
1.1
1.1.1

Một số khái niệm mở đầu
Không gian vectơ (Không gian tuyến tính)

Định nghĩa 1.1. Cho V là tập hợp khác rỗng, K là trường số thực hoặc
trường số phức. Ta xác định hai phép toán:
(i) Phép tính cộng (+): u, v ∈ V, u + v ∈ V.
(ii) Phép nhân vô hướng (·): u ∈ V, k ∈ K, ku ∈ V.

V cùng với hai phép toán nói trên được gọi là không gian vectơ trên
trường K nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Tính giao hoán của phép cộng:
∀u, v ∈ V, u + v = v + u.
(ii) Tồn tại một phần tử không, kí hiệu là 0, thoả mãn:
∀u ∈ V, u + 0 = u.
(iii) Tính chất kết hợp của phép cộng:
∀u, v, w ∈ V, (u + v) + w = u + (v + w).
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

(iv) ∀u ∈ V , tồn tại một phần tử đối, kí hiệu là −u, thoả mãn:
u + (−u) = 0.
(v) ∀u, v ∈ V, ∀k ∈ K, k(u + v) = ku + kv.
(vi) ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ K, (h + k)u = hu + ku.
(vii) ∀u ∈ V , k, h ∈ K, h(ku) = (hk)u.
(viii) ∀u ∈ V , 1.u = u.
Phép tính trừ trong không gian vectơ được định nghĩa:
u − v = u + (−v).
Các phần tử của K gọi là các vô hướng và các phần tử của V được gọi
là các vectơ.
Tính chất
(i) Phần tử 0 trong (iii) và phần tử (−u) trong (iv) là duy nhất.
(ii) ∀u ∈ V , 0.u = 0, trong đó 0 ở vế phải là vectơ 0, còn 0 ở vế trái là
số 0.
(iii) ∀k ∈ K, 0 ∈ V , k.0 = 0.

(iv) Nếu ku = 0 thì hoặc k = 0 hoặc u = 0.
(v) −u = (−1).u.
1.1.2

Không gian định chuẩn và không gian Banach

Định nghĩa 1.2. Giả sử X là không gian vectơ trên trường K (R hoặc
C). Ta gọi chuẩn là một ánh xạ:

· :X→R
x→ x
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

thoả mãn 3 tiên đề:
i) x ≥ 0, ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = θ.
ii) αx = |α|. x , ∀α ∈ K, x ∈ X.
x + y , ∀x, y ∈ X.

iii) x + y

Định nghĩa 1.3. Không gian định chuẩn (không gian tuyến tính định
chuẩn)
Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trên trường K, cùng
với một chuẩn x trong X.
Nói cách khác, không gian định chuẩn là một cặp (X, x ), trong đó X

là không gian tuyến tính, x là một chuẩn trong X.
Ví dụ 1: Cho X là một tập hợp các dãy:
∞

X=

|ξn |p < ∞ , p ≥ 1

x = (ξn ), ξn ∈ C(R),
n=1

Với x = (ξn ), đặt :
m

1/p
p

|ξn |

x =

. Khi đó (X, . ) là một không gian định chuẩn.

n=1

Ký hiệu: lp = (X, . ) .
Ví dụ 2: Cho không gian vectơ L[a, b]


L [a, b] = x = x(t) : x =



b

a



|x(t)|dt < ∞ .


L [a, b] là một không gian định chuẩn.
b

Ví dụ 3: Cho X = {x = x(t) : ∃(L) |x(t)|p dt < +∞}, p ≥ 1
a

Với x = x(t) ∈ X , ta đặt:
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH


x

p

1/p

b

|x(t)|p dt

=
a

thì .

p

là một chuẩn trong X. Không gian X, .

p

kí hiệu Lp ([a, b]) .

Định nghĩa 1.4. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)
Cho X là không gian định chuẩn, dãy (xn ) gồm các phần tử của X gọi
là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu :
lim xn − x = 0,

n→∞

Định nghĩa 1.5. (Dãy Cauchy trong không gian định chuẩn)
Dãy (xn ) là dãy Cauchy trong không gian định chuẩn X nếu :
lim

m,n→∞

xm − xn = 0,

hay tương đương, ∀ε > 0, ∀n0 ∈ N, ∀m, n ≥ n0 : xm − xn < ε. Tương
đương: ∀ε ≥ 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , p ∈ N∗ : xn+p − xn < ε.
Định nghĩa 1.6. (Không gian Banach)
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy
cơ bản trong X đều hội tụ.
1.1.3

Toán tử tuyến tính (Ánh xạ tuyến tính)

Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian tuyến tính X, Y trên trường K.
Ánh xạ A : X −→ Y được gọi là tuyến tính nếu A thoả mãn:
i) ∀x, y ∈ X : A(x + y) = Ax + Ay.
ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ K : A(αx) = αAx.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Ánh xạ tuyến tính thường được gọi là toán tử tuyến tính.
A thoả mãn i) thì A được gọi là ánh xạ cộng tính.
A thoả mãn ii) thì A được gọi là ánh xạ thuần nhất.
Khi Y = K thì A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.8. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến
tính A : X −→ Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 :

Ax ≤ c. x , ∀x ∈ X,
hằng số c nhỏ nhất được gọi là chuẩn của toán tử A. Ký hiệu: A .
Định nghĩa 1.9. Định lí ba mệnh đề tương đương:
Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X và không gian
định chuẩn Y . Khi đó ba mệnh đề sau là tương đương:
i) A liên tục.
ii) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X.
iii) A bị chặn.
Định lý 1.1. (Định lí tính chuẩn của toán tử)
Cho toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn
Y . Nếu toán tử A bị chặn thì:
A = sup Ax
x ≤1

hay A = sup
x

1.1.4

Ax .

=1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.10. (Tích vô hướng)
Cho không gian X trên trường K (R hoặc C). Ta gọi tích vô hướng trên

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

không gian X là ánh xạ:
f: X × X → K
(x, y) → f (x, y)
Ký hiệu: f (x, y) = x, y thoả mãn các tính chất
i) ∀x, y ∈ X, y, x

=

x, y

ii) ∀x, y, z ∈ X : x + y, z
iii) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K :

=
αx, y

x, z + y, z
= α x, y

iv) ∀x ∈ X, x, x ≥ 0
x, x = 0 ⇔ x = θ.
Tính chất đơn giản của tích vô hướng
i) ∀x ∈ X, θ, x = 0
ii) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K : x, αy = α x, y
iii) ∀x, y, z ∈ X : x, y + z = x, y + x, z .

Định nghĩa 1.11. (Không gian tích vô hướng)
Không gian tích vô hướng là một cặp X, ., .

với X là không gian

tuyến tính, ., . là một tích vô hướng.
Định nghĩa 1.12. (Không gian Hilbert)
Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z... nào đấy là không
gian Hilbert, nếu tập H thoả mãn điều kiện:
i) H là không gian tuyến tính trên trường K.
ii) H được trang bị một tích vô hướng ., . .
iii) H là không gian Banach với chuẩn : x =

x, x , x ∈ H.

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con của không gian H.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Ví dụ: Kí hiệu Rk là không gian vectơ thực k chiều.
Với ∀x = (xn ), y = (yn ) ∈ Rk , ta đặt:
k

x, y =

xn .yn
n=1

Không gian vectơ thực Rk cùng với chuẩn:
k

x =

x2n

x, x =

1
2

n=1

là không gian Hilbert.
Định lý 1.2. (Định lí Riezs)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có
biểu diễn duy nhất dưới dạng:
f (x) = x, a , ∀x ∈ H
trong đó a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f , ta có:
f = a .
Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Schwarz)
Cho X là không gian tích vô hướng. Khi đó
∀x, y ∈ X :

x.y

≤ x . y .

Định nghĩa 1.13. (Sự hội tụ mạnh)
Một dãy (xn ) các vectơ trong không gian tích vô hướng E được gọi là
hội tụ mạnh tới một vectơ x ∈ E nếu xn − x → 0, n → ∞.
Định nghĩa 1.14. (Sự hội tụ yếu)
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Một dãy (xn ) các vectơ trong không gian tích vô hướng E được gọi là
hội tụ yếu tới một vectơ x ∈ E nếu
xn , y → x, y khi n → ∞, ∀y ∈ E.
Để thuận tiện, ta kí hiệu
”xn → x” : hội tụ mạnh
w

”xn −
→ x” : hội tụ yếu.
Định lý 1.4. Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu.
w

Nghĩa là: xn → x ⇒ xn −
→ x.
Điều ngược lại chưa chắc đúng.
Định lý 1.5. Nếu xn → x, yn → y thì xn , yn −→

x, y .

w

Định lý 1.6. Nếu xn −
→ x và xn −→ x thì xn → x.

1.2
1.2.1

Lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert
Ví dụ về toán tử

Ví dụ 1: (Toán tử đồng nhất và toán tử 0)
Toán tử đồng nhất I biến mọi phần tử của E thành chính nó: Ix = x,
∀x ∈ E, I = 1.
Toán tử 0 biến mọi phần tử của E thành 0.
0.x = 0, ∀x ∈ E, 0 = 0.
Ví dụ 2: (Toán tử vi phân)
df
Toán tử vi phân (Df )(x) =
(x) = f (x) xác định trên không gian
dx
các hàm khả vi. Xét VD, toán tử vi phân trên không gian con của
L2 ([−π, π]), được xác định:
D(D) = { f ∈ L2 ([−π, π]) : f ∈ L2 ([−π, π])}
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Nếu L2 ([−π, π]) được trang bị một chuẩn:
π

f =

| f (x) |2 dx, thì toán tử vi phân không bị chặn. Thật vậy, cho

−π

fn (x) = sinnx, n = 1, 2, ... ta có:
π

π

2

| sinnx | dx và Dfn =

fn =
−π

√
| ncos nx |2 dx = n π.

−π

Ví dụ 3: (Toán tử tích phân)

Toán tử tích phân T được xác định bởi:
b

K(s, t)x(t)dt

(T x)(s) =
a

trong đó a, b là hữu hạn hoặc vô hạn, K là hàm xác định trên hình chữ
nhật (a, b) × (a, b). Hàm K được gọi là hạt nhân của toán tử. Miền xác
định của toán tử tích phân phụ thuộc vào K. Nếu
b

b
2

K(s, t) dtds < ∞,
a

a

thì T là toán tử tuyến tính bị chặn trên L2 ([a, b]) và
b

b
2

Tx ≤

K(s, t) dtds x

a

a

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Thật vậy, x ∈ L2 ([a, b]) bất kì, ta có:
b

b

Tx

2

2

K(s, t).x(t)dt ds

=
a

a
b

b

b
2

≤

2

K(s, t) dt.
a

a
b

x(t) dt ds
a

b

b
2

≤

2

K(s, t) dtds.
a

a

x(t) dt.
a

Vì vậy
b

b
2

Tx ≤

K(s, t) dtds. x .
a

a

Định lý 1.7. Tích A.B của toán tử bị chặn A và B là bị chặn và
AB ≤ A . B .
Chứng minh. Cho A, B là các toán tử tuyến tính bị chặn trên không
gian định chuẩn E, A = K1 , B = K2 . Khi đó
ABx ≤ K1 Bx ≤ K1 .K2 x , ∀x ∈ E.
1.2.2

Phiếm hàm song tuyến tính và dạng toàn phương

Định nghĩa 1.15. (Phiếm hàm song tuyến tính)
Một hàm song tuyến tính ϕ trên một không gian vectơ phức E là một
ánh xạ ϕ : E × E −→ C thoả mã hai điều kiện:

a) ϕ(αx1 + βx2 , y) = αϕ(x1 , y) + βϕ(x2 , y),
b) ϕ(x, αy1 + βy2 ) = αϕ(x, y1 ) + βϕ(x, y2 ),
với α, β là các vô hướng bất kì và x, x1 , x2 , y, y1 , y2 ∈ E bất kì.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Dễ thấy các hàm song tuyến tính trên E tạo thành không gian vectơ.
Ví dụ 1: Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính.
Ví dụ 2: Cho A, B là các toán tử trên không gian tích vô hướng E.
Khi đó, ϕ1 (x, y) = Ax, y , ϕ2 (x, y) = x, By ,
ϕ3 (x, y) = Ax, By là các hàm song tuyến tính trên E.
Định nghĩa 1.16. (Hàm đối xứng, hàm dương, hàm hoàn toàn dương,
hàm song tuyến tính bị chặn)
Cho ϕ là một hàm song tuyến tính trên E.
i) ϕ được gọi là đối xứng nếu ϕ(x, y) = ϕ(y, x), ∀x, y ∈ E.
ii) ϕ được gọi là dương nếu ϕ(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E.
iii) ϕ được gọi là hoàn toàn dương nếu ϕ dương và ϕ(x, x) > 0,
∀x = 0.
iv) Nếu E là không gian định chuẩn thì ϕ được gọi là bị chặn nếu
ϕ(x, y) ≤ K. x . y với K > 0, ∀x, y ∈ E. Chuẩn của hàm song tuyến
tính được xác định bởi
ϕ =

sup

ϕ(x, y) .

x = y =1

Chú ý, đối với hàm song tuyến tính bị chặn trên E, ta có
ϕ(x, y) ≤ ϕ . x . y , ∀x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.17. (Dạng toàn phương)
Cho Φ là hàm song tuyến tính trên không gian vectơ E.
Hàm
Φ : E −→ C

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

được xác định bởi
Φ(x) = ϕ(x, x)
được gọi là dạng toàn phương liên kết với Φ. Một dạng toàn phương Φ
trên không gian định chuẩn E được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số
K > 0 sao cho Φ(x) ≤ K. x 2 , ∀x ∈ E.
Chuẩn của dạng toàn phương bị chặn được xác định bởi:
Φ = sup Φ(x)
x =1

Chú ý, đối với dạng toàn phương bị chặn Φ trên không gian định chuẩn
ta có: |Φ(x)| ≤ Φ . x 2 .
Một hàm song tuyến tính và dạng toàn phương liên kết có những tính
chất tương tự với tích vô hướng x, y và bình phương của chuẩn được

xác định bởi tích vô hướng x

2

=

x, x .

Định lý 1.8. (Đồng nhất thức phân cực)
Cho ϕ là hàm song tuyến tính trên E và cho Φ là dạng toàn phương liên
kết với ϕ. Khi đó
4ϕ(x, y) = Φ(x + y) − Φ(x − y) + iΦ(x + iy) − iΦ(x − iy), ∀x, y ∈ E.
Hệ quả 1.1. Cho ϕ1 , ϕ2 là các hàm song tuyến tính trên E.
Nếu ϕ1 (x, x) = ϕ2 (x, x), ∀x ∈ E.
Tượng tự, nếu A và B là các toán tử trên E sao cho
Ax, x = Bx, x , ∀x ∈ E, khi đó A = B.
Định lý 1.9. Một hàm song tuyến tính ϕ trên E là đối xứng nếu và chỉ
nếu dạng toàn phương liên kết Φ là số thực.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Định lý 1.10. Một hàm song tuyến tính ϕ trên một không gian định
chuẩn E bị chặn nếu và chỉ nếu dạng toàn phương liên kết Φ bị chặn.
Hơn nữa, ta có:
Φ ≤ ϕ ≤ 2. Φ
.

Định lý 1.11. Cho ϕ là một không gian tuyến tính trên không gian định
chuẩn E và cho Φ là dạng toàn phương liên kết.
Nếu ϕ đối xứng và bị chặn thì ϕ = Φ .
Định lý 1.12. Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Khi
đó hàm song tuyến tính được xác định bởi ϕ(x, y) = Ax, y bị chặn và
A = ϕ .
Định lý 1.13. Cho ϕ là hàm song tuyến tính bị chặn trên không gian
Hilbert H. Khi đó tồn tại duy nhất toán tử bị chặn A trên H sao cho
ϕ(x, y) = x, Ay , ∀x, y ∈ H.
1.2.3

Toán tử liên hợp và toán tử tự liên hợp

Xét một toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Vì hàm song tuyến
tính ϕ(x, y) = Ax, y bị chặn và tồn tại duy nhất A∗ sao cho
Ax, y = ϕ(x, y) = x, A∗ y , ∀x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.18. (Toán tử liên hợp)
Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H.
Toán tử A∗ : H −→ H được xác định bởi:
Ax, y = x, A∗ y , ∀x, y ∈ H
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

được gọi là toán tử liên hợp của A.
Định lý 1.14. Toán tử liên hợp A∗ của toán tử bị chặn A là bị chặn.
Hơn nữa, ta có: A = A∗ và A∗ A = A 2 .

Định nghĩa 1.19. (Toán tử tự liên hợp)
Nếu A = A∗ thì A được gọi là tự liên hợp.
Nói cách khác, nếu A là toán tử tự liên hợp thì Ax, y = x, Ay ,
∀x, y ∈ H.
Ví dụ 1: Cho T là toán tử Fredholm trên L2 ([a, b]) xác định bởi:
b

K(x, t)x(t)dt,

(T x)(s) =
a

trong đó K là hàm số xác định trên hình chữ nhật [a, b] × [a, b], sao cho
b

b

2

K(s, t) dsdt,
a

a

chú ý điều kiện được thoả mãn nếu K liên tục. Ta có:
b

b

K(s, t).x(t).y(s)dsdt

T x, y =
a

a
b

b

=

K(s, t).x(t).y(s)dsdt
a

a
b

=

b

x(t)
a

K(s, t).y(s)dsdt
a

18

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Điều này chỉ ra rằng
b

(T ∗ x)(s) =

K(t, s).x(t)dt.
a

Vì vậy, toán tử Fredholm là tự liên hợp nếu Ker thoả mãn phương trình
K(s, t) = K(t, s)
Ví dụ 2: Cho A là toán tử trên L2 [a, b] xác định bởi (Ax)(t) = t.x(t)
b

t.x(t).y(t)dt = x, Ay , A là tự liên hợp.

Vì Ax, y =
a

Ví dụ 3: Cho toán tử A xác định trên L2 (R) xác định bởi
(Ax)(t) = e−|t| .x(t).
Đây là toán tử tự liên hợp bị chặn. Hơn nữa, ta có
+∞

+∞

e−|t| .x(t).y(t)dt =

Ax, y =
−∞

x(t).[e−|t| .y(t)]dt = x, Ay .
−∞

Vì vậy A là toán tử tự liên hợp.
Định lý 1.15. Cho ϕ là hàm song tuyến tính bị chặn trên H và cho A
là toán tử trên H sao cho ϕ(x, y) = x, Ay , ∀x, y ∈ H. Khi đó, A là
toán tử tự liên hợp nếu và chỉ nếu ϕ là đối xứng.
Định lý 1.16. Cho A là toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Khi
đó các toán tử T1 = A∗ A và T2 = A + A∗ là tự liên hợp.
Định lý 1.17. Tích của hai toán tử tự liên hợp A, B là toán tử tự liên hợp
nếu và chỉ nếu các toán tử giao hoán được với nhau, nghĩa là AB = BA.
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ĐÀO THỊ HẠNH

Định lý 1.18. Với mỗi toán tử bị chặn T trên không gian Hilbert H,
tồn tại duy nhất các toán tự tử liên hợp A, B sao cho T = A + iB và
T ∗ = A − iB.
Định lý 1.19. Cho T là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert H.
Khi đó
T = sup

T x, x .

x =1

1.2.4

Toán tử khả nghịch, toán tử trực giao, toán tử đẳng cự
và toán tử unita

Định nghĩa 1.20. (Toán tử nghịch đảo)
Cho A là một toán tử xác định trên không gian vectơ con của E. Một
toán tử B xác định trên R(A) được gọi là nghịch đảo của A nếu
ABx = x, ∀x ∈ R(A) và BAx = x, ∀x ∈ D(A).
Một toán tử có nghịch đảo được gọi là khả nghịch.
Nghịch đảo của A được kí hiệu bởi A−1 .
Định lý 1.20. a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử
tuyến tính.
b) Một toán tử A là khả nghịch nếu và chỉ nếu
Ax = 0 ⇒ x = 0
c) Nếu một toán tử A khả nghịch và các vectơ x1 , x2 , ..., xn độc lập
tuyến tính thì Ax1 , Ax2 , ..., Axn là độc lập tuyến tính.
d) Nếu toán tử A và B khả nghịch thì toán tử AB là khả nghịch và
ta có (AB)−1 = B −1 .A−1 .

20