Phân tích phi tuyến tĩnh và động khung thép phẳng bằng phần tử đồng xoay (tóm tắt)

Đ I H C QU C GIA TP. H CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐOÀN NG C T NH NGHIÊM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ ĐỘNG
KHUNG THÉP PHẲNG BẰNG PHẦN TỬ ĐỒNG XOAY

Chuyên ngành: K thu t Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp
Mã s chuyên ngành: 62582001

TÓM T T LU N ÁN TI N Sƾ K THU T

TP. H CHÍ MINH ậ NĂM 2016


Công trình được hoàn thành t i Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM

Người hướng d n khoa h c 1: PGS. TS. Ngô Hữu Cường
Người hướng d n khoa h c 2: PGS. TS. Chu Qu c Th ng

Phản biện độc l p 1:
Phản biện độc l p 2:

Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:

Lu n án s được bảo vệ trước Hội đ ng chấm lu n án h p t i
...............................................................................................................................
...............................................................................................................................

vào lúc
giờ
ngày
tháng
năm

Có thể tìm hiểu lu n án t i thư viện:
- Thư viện Khoa h c Tổng hợp Tp. HCM
- Thư viện Trường Đ i h c Bách Khoa ậ ĐHQG-HCM


CHƯƠNG 1
1.1

sự cân bằng giữa ngoại lực và nội lực ở mỗi bước tải nên khối lượng tính toán

MỞ ĐẦU

và dữ liệu lưu trữ của bài toán phân tích phi tuyến theo phương pháp này sẽ rất

Tính cấp thiết của đề tài

lớn, đặc biệt là với các khung nhiều tầng nhiều nhịp, có tính phi tuyến cao hoặc

Kết cấu thép được sử dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp xây dựng do có

cần phân tích hệ kết cấu theo lịch sử thời gian khi chịu tải trọng động.

nhiều ưu điểm như cường độ và độ tin cậy cao, tính dẻo dai cao, có tính công

Việc giảm được thời gian và khối lượng tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác

nghiệp hóa cao, trọng lượng nhẹ, dễ vận chuyển và lắp đặt, thời gian thi công

cao trong việc dự đoán ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu là rất cần thiết và có

nhanh, dễ gia cố sửa chữa, thân thiện với môi trường và có khả năng tái chế

tính thực tiễn cao. Trên cơ sở tránh chia cấu kiện thành nhiều phần tử nhằm rút

cao. Do cấu kiện có độ mảnh lớn và vật liệu bị chảy dẻo nên phản ứng của hệ

ngắn thời gian phân tích và nhu cầu thiết lập một phương pháp mới mạnh mẽ và

kết cấu thép khi chịu tải thường là phi tuyến. Khác với các phương pháp phân

chính xác trong kỹ thuật phân tích kết cấu, tác giả tập trung phát triển một phần

tích đàn hồi tuyến tính truyền thống với lời giải có thể tìm được trực tiếp, bài

tử mới theo phương pháp dầm-cột dựa vào công thức đồng xoay (co-rotational

toán phân tích phi tuyến cần dùng đến phương pháp gia tải từng bước để cập

formulation). Ưu điểm nổi bật của phương pháp đề xuất là chỉ cần sử dụng một

nhật dần sự thay đổi độ cứng của cấu kiện và hệ kết cấu nên quá trình phân tích

hoặc hai phần tử để mô phỏng một cấu kiện kết cấu là có thể dự đoán khá chính

cần phải trải qua nhiều bước giải lặp. Một phân tích phi tuyến hoàn chỉnh cho

xác ứng xử phi tuyến, đặc biệt là ứng xử chuyển vị lớn của hệ kết cấu, do đó

hệ kết cấu cần phải kể đến các yếu tố then chốt ảnh hưởng đến ứng xử của hệ

hiệu quả tính toán sẽ cao hơn nhiều so với phương pháp PTHH truyền thống.

như phi tuyến hình học, sự chảy dẻo của vật liệu, độ mềm và ứng xử trễ của

1.2

liên kết và tác động động của tải trọng. Trong quá trình chịu tải của hệ kết cấu,
ở mỗi bước gia tải, các thông số về hình học, vật liệu và độ cứng liên kết luôn
biến đổi, do đó ma trận độ cứng của các phần tử cần được cập nhật liên tục.

Mục tiêu của nghiên cứu

Phát triển phương pháp dầm-cột trong phân tích ứng xử phi tuyến khung thép
phẳng nửa cứng phi đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng tĩnh và động với các
nội dung sau: (i) Thiết lập các hàm ổn định từ việc đề xuất hàm chuyển vị có

Trong những năm gần đây, hai phương pháp phân tích cơ bản dựa vào phần tử

dạng đa thức bậc 7 cho lời giải xấp xỉ của phương trình vi phân cân bằng của

khung để mô phỏng ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu thép đã và đang được phát

phần tử dầm-cột đàn hồi chịu tải đầu mút để đơn giản hóa các phép biến đổi

triển. Phương pháp thứ nhất là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) tập trung

toán học trong việc thành lập công thức cho ma trận độ cứng phần tử có xét đến

vào sự mô phỏng chính xác ứng xử phi đàn hồi của vật liệu trong khi phương

các tác động phi tuyến; (ii) Đề xuất một ma trận độ cứng mới cho phần tử dầm-

pháp thứ hai là phương pháp dầm-cột (beam-column method) tập trung vào

cột có kể đến tác động bậc hai theo các hàm ổn định có xét đến hệ số chảy dẻo

việc mô phỏng chính xác tác động bậc hai. Để đảm bảo độ chính xác của kết

và độ mềm của liên kết tại vị trí đầu mút phần tử bằng phương pháp phần tử

quả phân tích phi tuyến, phương pháp PTHH cần chia nhỏ cấu kiện kết cấu

đồng xoay; (iii) Xây dựng một thủ tục số theo các thuật toán giải phi tuyến hiện

thành nhiều phần tử hữu hạn và mặt cắt ngang ở giữa phần tử hữu hạn cũng cần

đại và phát triển một chương trình ứng dụng tin cậy và hiệu quả trong phân tích

được chia nhỏ thành các điểm thớ hoặc các điểm tích phân để khảo sát sự lan

khung thép phẳng có kể đến đầy đủ các tác động phi tuyến.

truyền dẻo qua mặt cắt ngang và dọc theo chiều dài cấu kiện. Do quá trình phân
tích cần phải chia thành nhiều bước gia tải nhỏ và cần phải cập nhật liên tục ma

trận độ cứng và véc-tơ tải của hệ kết cấu cũng như cần phải giải lặp để đảm bảo
1

2


1.3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Phân tích ứng xử phi tuyến của khung thép dưới các tác

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

động của tải trọng tĩnh và động.

2.1

Phạm vi nghiên cứu: Khung thép phẳng phi đàn hồi có liên kết nửa cứng có

Những giả thiết sau đây được sử dụng trong việc thành lập ma trận độ cứng

xem xét ứng xử chuyển vị lớn làm việc trong và ngoài miền đàn hồi; Sự chảy

phần tử dầm-cột đồng xoay: (1) Phần tử ban đầu thẳng và có dạng lăng trụ; (2)

dẻo của tiết diện chỉ do ảnh hưởng của ứng suất pháp; Không xét đến ảnh

Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục phần

hưởng của biến dạng cắt trong cấu kiện; Không xét đến sự mất ổn định cục bộ

tử; (3) Bỏ qua biến dạng ngoài mặt phẳng và biến dạng cắt; (4) Bỏ qua ảnh

của tiết diện và sự mất ổn định tổng thể ngang-xoắn của cấu kiện.

hưởng của hệ số Poisson; (5) Không xét đến sự mất ổn định cục bộ của tiết diện

1.4

Các giả thiết

và sự mất ổn định tổng thể ngang-xoắn của cấu kiện; (6) Biến dạng của phần tử

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phương pháp lý thuyết: (i) phát triển
phương pháp dầm-cột trong phân tích nâng cao khung thép phẳng bằng việc áp
dụng công thức đồng xoay để thành lập ma trận độ cứng mới cho phần tử dầmcột có kể đến đầy đủ các tác động phi tuyến; (ii) áp dụng các thuật toán giải lặp

là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ kết cấu có thể lớn; (7) Sự chảy dẻo của tiết diện
chỉ do ảnh hưởng của ứng suất pháp.
2.2

Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đồng xoay

2.2.1 Nội lực phần tử dầm-cột có xét đến góc xoay hai đầu phần tử

phi tuyến để xây dựng chương trình ứng dụng và sử dụng chương trình này để

Xét phần tử dầm-cột đàn hồi điển hình chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai

khảo sát sự làm việc của khung thép phẳng nửa cứng dưới tác dụng của các

đầu như trong Hình 2.1.

dạng tải trọng.
1.5

u2
u1

Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn của đề tài
u3

Đề tài luận án xây dựng một phần tử dầm-cột mới theo lý thuyết dầm-cột phi

M1

θ1

x

tuyến kết hợp với phương pháp đồng xoay và áp dụng nó trong việc phát triển

động một cách tin cậy và hiệu quả
1.6

δ

M2

u5
F

u6
u4

θ2

L0

Hình 2.1. Phần tử dầm-cột đàn hồi điển hình

một chương trình máy tính có thể mô phỏng ứng xử phi đàn hồi của hệ kết cấu
khung thép phẳng có liên kết dầm-cột cứng và nửa cứng chịu tải trọng tĩnh và

∆(x)

Quan hệ giữa mô-men và góc xoay được xác định từ điều kiện biên và phương
trình vi phân bậc 4 của phần tử dầm cột:

Cấu trúc của luận án

Luận án gồm có: Chương 1 (Mở đầu); Chương 2 (Cơ sở lý thuyết – Trình bày
những nội dung chính về lý thuyết của đề tài); Chương 3 (Chương trình ứng
dụng – Trình bày các thuật toán giải phi tuyến và lưu đồ của chương trình ứng
dụng); Chương 4 (Ví dụ số minh họa – Khảo sát các ví dụ số của các nghiên

cứu trước bằng phương pháp đề xuất); Chương 5 (Kết luận và kiến nghị - Nêu
những đóng góp chính và các kiến nghị của đề tài); Tài liệu tham khảo; Phụ lục.
3

 d 4∆ ( x) 
 d 2∆ ( x) 
 M 1  EI  s11
EI 
−F
 =0→ =

4
2
 M 2  L0  s21
 dx 
 dx 

với các giá trị s11 = s 22 , s12 = s 21 xác định theo λ = L 0
s11, 22 =

λ sin λ − λ 2 cos λ
2 − 2cos λ − λ sin λ

s12 , 21 =

s12  θ1 
 
s22  θ 2 
F
EI

λ 2 − λ sin λ
2 − 2cos λ − λ sin λ
4

(2.1)

(Balling [20]):

( F ≤ 0)

(2.2)


s11, 22 =

λ 2 cosh λ − λ sinh λ
2 − 2cosh λ + λ sinh λ

s12 , 21 =

λ sinh λ − λ 2
( F > 0)
2 − 2cosh λ + λ sinh λ

(2.3)

Hình 2.2 và Hình 2.3 cho thấy các hàm chuyển vị và hàm ổn định đề xuất có độ
chính xác cao so với các kết quả của lời giải giải tích.

Lực dọc có xét đến biến dạng của phần tử:
2
2
L
L
L
 EA
EA  d δ
1  d∆ 
EA  d ∆ 
F=
dx + ∫ 
δ+

 dx  =

 dx
L0  ∫0 dx
2 0  dx 
2L0 ∫0  dx 
 L0
0

0

0

(2.4)

Sử dụng MAPLE, tác giả chứng minh được quan hệ lực dọc với các chuyển vị

và các hàm ổn định theo q = λ 2 = F L20 / ( EI ) như sau:
F=

 1  ds 
 ds 
AE
1  ds  
δ ± EA   11 θ12 +  12 θ1θ 2 +  22 θ 22 
L0
2  dq  
 dq 
 2  dq 

(2.5)

(Biểu thức trên lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “–” khi F ≤ 0)

2.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 7
Để đơn giản hóa việc biến đổi toán học mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết,
hàm chuyển vị ∆ ( x ) được tác giả xấp xỉ thành đa thức bậc 7.

∆ ( x ) = a7 x7 + a6 x6 + a5 x 5 + a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0

(2.6)

Các hệ số a i ( i = 0 ~ 7 ) được xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết ở
trên thỏa các điều kiện tương thích và điều kiện cân bằng. Từ đây ta xác định
được các hàm ổn định s11 , s12 , s 21 , s 22 theo q = λ 2 = F L20 / ( EI ) như sau:

(F ≤ 0)

( F > 0)


5q 3 − 1404q 2 + 86400q − 1209600 )
(
 s11 = s22 = −
9 ( 40 − q )( 840 − 11q )


3
q + 252q 2 − 25920q + 1209600 )
(

 s12 = s21 =
18 ( 40 − q )( 840 − 11q )


(2.7)


5q 3 + 1404q 2 + 86400q + 1209600 )
(
 s11 = s22 =
9 ( 40 + q )( 840 + 11q )


3
q − 252q 2 − 25920q − 1209600 )
(


 s12 = s21 = −
18 ( 40 + q )( 840 + 11q )


(2.8)

5

Hình 2.2. Các hàm ổn định
Với các hàm ổn định đề xuất ta dễ dàng xác định được các giá trị ( dsij / dq ) với

(i, j = 1, 2 ) trong biểu thức của lực dọc F như đã trình bày ở phương trình (2.5).

Trường hợp đặc biệt, khi lực dọc rất nhỏ ( q → 0 ) , ta có:

 s11 = s22 = 4


s = s = 2
21
 12


 ds11   ds22

=
 dq   dq



2
=±
15


(" − " : F ≤ 0

 ds12   ds21 
1

=
=∓
30
 dq   dq 

(" + " : F ≤ 0

" +" : F > 0)

(2.9)
" −" : F > 0)

Các kết quả này trùng khớp với kết quả khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng hàm đa
thức bậc 3 thông thường của phần tử dầm.

6


2.2.4 Nội lực có xét đến độ cứng của liên kết ở hai đầu phần tử
Xét phần tử dầm-cột có liên kết nửa cứng ở vị trí các đầu mút được mô phỏng

thành một phần tử hữu hạn như Hình 2.4. Giả thiết chiều dài liên kết bằng 0.
θr1

0.0
0

0.00

( 0 ≤ η1 , η2 ≤ 1)

xuất hiện khớp dẻo), ta hiệu chỉnh lại các biểu thức nội lực như sau:

F=

s2 p  θ1 
 
s3 p  θ 2 

(2.11)

trong đó, s1p , s 2p , s3p được xác định theo các hàm ổn định s11 , s12 , s 21 , s 22 và các

7

0.00

EI
 s1 p (θ c1 − θ r 1 ) + s2 p (θ c2 − θ r 2 ) 
L0 

EI
 s2 p (θ c1 − θ r 1 ) + s3 p (θ c 2 − θ r 2 ) 
M2 =
L0 
F=

(2.13)

 1  ds 
EA
1  ds 
2  ds 
2
δ ± EA  1p (θc1 −θr1 ) + 2p (θc1 −θr1 )(θc2 −θr2 ) +  3p (θc2 −θr2 )  (2.14)
L0
2  dq 
 dq 
2  dq 


Quan hệ mô-men và góc xoay liên kết theo độ cứng tiếp tuyến R kt1 , R kt 2 :
(2.12)

Rõ ràng, với việc sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ bằng hàm đa thức, các phép
biến đổi toán học sẽ đơn giản hơn nhiều khi tính toán và xác định các giá trị
s1p , s 2p , s3p và ( ds1p / dq ) , ( ds 2p / dq ) , ( ds3p / dq ) .

L0

B

(Biểu thức trên lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “–” khi F ≤ 0)

hệ số chảy dẻo η1 , η2 được Liew và cộng sự [12][13] đề xuất như sau:




s2
s2
s1 p = η1  s11 − 12 ( 1 − η2 )  s2 p = η1η2 s12 s3 p = η2  s22 − 21 ( 1 − η1 ) 
s11
s22





θr2

Quan hệ nội lực khi có xét đến các góc xoay của liên kết θr1 , θr 2 được viết lại:
M1 =

(2.10)

 1  ds 
 ds 
AE
1  ds  
δ ± EA   1 p θ12 +  2 p θ1θ 2 +  3 p θ 22 

L0
2  dq  
 dq 
 2  dq 

θ2

Hình 2.4. Mô hình phần tử dầm-cột có liên kết nửa cứng

lần lượt là hệ số chảy dẻo ở hai đầu phần tử ( η1 , η2

có giá trị bằng 1 nếu còn đàn hồi và bằng 0 khi bị chảy dẻo hoàn toàn tại vị trí
 M 1  EI  s1 p
 =

 M 2  L0  s2 p

b)

a)

2.2.3 Nội lực có xét đến sự chảy dẻo ở hai đầu phần tử
Gọi η1 , η2

θc2

M1
Mc1

0.0

θc1

A

Hình 2.3. Các hàm chuyển vị theo λ (θ1 = 1, θ2 = 0)

M2

0

Mc2

θ1

∆ M c1 = Rkt 1 ∆θ r 1

∆ M c 2 = Rkt 2 ∆θ r 2

(2.15)

Bên cạnh đó, tại vị trí hai đầu phần tử, ta có: M c1 = M1 , M c2 = M 2 . Từ đây,
quan hệ mô-men tại vị trí liên kết được viết lại như sau:
8


∆ M c1  EI  s1c

=


∆ M c2  L0  s2c

u = {δ θ c1 θ c 2 }

u = {u1

T

s2c  ∆θ c1 


s3c  ∆θ c 2 

(2.16)

u2

u3

u4

u6 }

T

u5

(2.19)

Chiều dài phần tử trước và sau khi biến dạng của phần tử:

trong đó, s1c , s 2c , s3c được xác định theo s1p , s 2p , s3p và R kt1 , R kt 2 :


EI
s1p s3 p − s22 p ) 
(
s1p +
Rkt 2 L0
 s = s2 p
s1c = 
2c
*
R
R*

L0 =



EI
s1 p s3 p − s22 p ) 
(
s3 p +
Rkt1 L0
 (2.17)
s3c = 
R*




  EI  EI  2
EI
EI
R* =  1 +
s1 p  1 +
s3 p  − 

 s2 p
Rkt 1 L0
Rkt 2 L0


  Rkt 1 L0  Rkt 1 L0 

(2.18)

2.2.5 Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đồng xoay

( xB − xA ) + ( zB − zA )
2

2

L=

( xB + u4 − xA − u1 ) + ( zB + u5 − zA − u2 )
2

2

(2.20)

Các thông số hình học của phần tử được xác định như sau:

δ = ( L − L0 )

θ c1 = u3 − (α − α 0 )

θ c2 = u6 − (α − α 0 )

(2.21)

 z + u5 − z A − u2 
 xB + u4 − x A − u1 
sin α =  B
 cos α = 

L
L





(2.22)

Quan hệ véc-tơ nội lực trong hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể:

Xét phần tử dầm-cột AB với tọa độ ban đầu A ( x A , z A ) , B ( x B , z B ) có các

thông số hình học trước và sau khi chuyển vị được trình bày như ở Hình 2.5.

fL = { F Mc1 Mc2}

T


fG = −F


( Mc1 + Mc2 )
L

M1 F −

( Mc1 + Mc2 )
L

T


M2  (2.23)


4

B
θr1

θc1

u3

α

L
A

u2

θr2

α0

0.00

L0
0.00

Hình 2.5. Vị trí ban đầu và sau khi chuyển vị của phần tử dầm-cột
Véc-tơ chuyển vị lần lượt theo hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể:
9

(2.24)

Ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ tọa độ tổng thể của phần tử:
B

0
0.0

A

θc2
u5

u6
u1

T

 ∂u 
fG =   fL = BT fL
 ∂u 

0
0.0



−cosα − sinα 0 cosα sinα 0


sinα cosα
sinα
cosα 

1
−
0

B= −
 L

L
L
L
 sinα cosα
sinα
cosα 
−
0
−
1
 L
L
L
L


T
rrT
∂f 
1
 ∂f   ∂B
KG =  G  = 
fL + BT L  = BT KL B + 1 1 F + 2 r1r2T + r2 r1T  ( Mc1 + Mc2 ) (2.25)
L
L
∂u 
 ∂u   ∂u

trong đó, K L là ma trận độ cứng tiếp tuyến trong hệ tọa độ địa phương.
 ∂F

 ∂δ
 ∂F
KL = 
 ∂θ c1
 ∂F

 ∂θ c2

∂M c1
∂δ
∂M c1
∂θ c1
∂M c1
∂θ c 2

∂M c2 

∂δ 
r1 = {sinα − cos α 0 − sinα cos α 0}T
∂M c2 
 và 
T
∂θ c1 
r2 = {− cos α − sinα 0 cos α sinα 0}
∂M c2 


∂θ c 2 

10


Do M c1 = M1 , M c2 = M 2 , sử dụng các phương trình (2.13), (2.14) ta xác định

Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh được phát triển bởi Liew cùng cộng sự [13]

được ma trận độ cứng trong tọa độ địa phương K L . Từ đây, theo phương trình

sử dụng hai đường dẻo (đường bắt đầu chảy dẻo khi α = 0.5 và đường chảy

(2.25) ta xác định được ma trận độ cứng K G . Ta thấy, K G có cập nhật sự thay

dẻo hoàn toàn, còn gọi là đường tương tác của tiết diện, khi α = 1 ) cho phép mô

đổi hình học của phần tử sau khi biến dạng, có xét đến ảnh hưởng phi tuyến vật

phỏng sự chảy dẻo dần dần tại vị trí đầu mút phần tử. Hệ số chảy dẻo tại nút

liệu thông qua các hệ số chảy dẻo η1 , η2 ở hai đầu phần tử trong các hàm

phần tử được xác định theo công thức: η = 4α (1 − α ) . Khi cặp nội lực tại đầu

s1p , s 2p , s3p ,

mút phần tử di chuyển bên trong hoặc ngay trên đường bắt đầu chảy dẻo thì vị

( ds

1p

/ dq ) , ( ds 2p / dq ) , ( ds3p / dq ) và có xét đến ảnh hưởng phi

tuyến liên kết thông qua việc cập nhật các góc xoay θr1 , θr 2 của liên kết ở hai

trí đầu mút phần tử vẫn còn đàn hồi (các hệ số chảy dẻo η = 1 ). Khi nội lực nút

đầu phần tử.

phần tử di chuyển bên ngoài đường bắt đầu chảy dẻo và bên trong đường chảy

2.3

Phân tích phi tuyến vật liệu

dẻo hoàn toàn, khớp dẻo hình thành và hệ số chảy dẻo giảm dần ( 0 < η < 1 ).

2.3.1 Phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh

Khi nội lực nút phần tử di chuyển ngay trên đường chảy dẻo hoàn toàn, hệ số

Tác động của ứng suất dư trong tiết diện dưới tác dụng của lực dọc được kể đến
bằng cách hiệu chỉnh mô-đun đàn hồi E thành mô-đun tiếp tuyến E t đã được
trình bày bởi: Liew và cộng sự [13], Hội đồng nghiên cứu về cột (CRC), …
Để xét ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mô-men uốn đến sự chảy dẻo của
tiết diện phần tử, khái niệm thông số dẻo α (hàm số phụ thuộc vào giá trị của
lực dọc và mô-men uốn tại đầu mút phần tử) đã được đề xuất bởi một số tác
giả: Orbison [11], ASIC-LRFD [13], Balling [20], … (Hình 2.6)

chảy dẻo η = 0 . Trong trường hợp α > 1 , cặp nội lực nút được đưa trở về
đường α = 1 ở vị trí có cùng giá trị của lực dọc cho bước tải tiếp theo.

2.3.2 Phương pháp khớp thớ
Để theo dõi sự chảy dẻo dần dần tại vị trí xuất hiện khớp dẻo, phương pháp
khớp thớ chia tiết diện tại các vị trí đầu mút phần tử thành nhiều thớ để dò theo
ứng xử phi đàn hồi. Mỗi thớ được đại diện bởi diện tích và vị trí tọa độ trọng
tâm của nó như trong Hình 2.7. Ứng suất dư ban đầu trong tiết diện dễ dàng
được gán cho các thớ trước khi tiến hành phân tích bài toán. Một số mô hình
ứng suất dư đã được đề xuất bới Lehigh Notes (US) ,Vogel (ESSC) [26], …

zj

yj

d

y

tf

tw

bf

Hình 2.6. Các đường tương tác của tiết diện thường dùng

Hình 2.7. Sơ đồ chia thớ tiết diện

11

12


Trong phương pháp khớp thớ, sự chảy dẻo được thể hiện thông qua việc cập
nhật ứng suất trong từng thớ sau mỗi bước gia tải mà không phụ thuộc vào các
đặc biệt là trong bài toán có xét đến ứng suất dư ban đầu trong tiết diện.

mút được xác định như sau:
AE
E
A

AE = ∑ Aj

ηi =

I Ei
I

I Ei = ∑ z 2j A j

(2.26)

j =1

( i = 1, 2 )

(2.27)






1
n

+ Rkp θ r

do tác động của lực dọc có xét đến ảnh hưởng của ứng suất dư, n Ei và Aj là số
thớ và diện tích thớ còn đàn hồi tại các tiết diện đầu mút phần tử.

trong đó: R ki là độ cứng ban đầu của liên kết; θ0 = M u / R ki với M u là mô-men
chiếu của liên kết; n là thông số hình dạng; θr là góc xoay của liên kết.

Ứng xử vòng trễ (hysteresis loop) của liên kết ảnh hưởng lớn đến kết quả phân
thời gian). Có ba phương pháp chính mô phỏng ứng xử vòng trễ của liên kết:
phương pháp tăng bền độc lập, phương pháp tăng bền động học và phương
pháp mặt biên. Tác giả áp dụng mô hình ứng xử tăng bền độc lập (Hình 2.8)
trong nghiên cứu của mình do tính đơn giản của nó.

Phi tuyến liên kết

M

2.4.1 Liên kết nửa cứng

E ( θcE , M E ) G (θcG , MG )

Trong phân tích và thiết kế khung thép truyền thống, ứng xử của liên kết tại vị

A (θcA , MA )

trí dầm – cột được lý tưởng hóa thành các liên kết cứng hoàn toàn hoặc là liên

dM

dθr

của liên kết là phi tuyến do sự liên kết không chặt và sự chảy dẻo dần dần của
các thành phần cấu thành liên kết như các tấm, sườn gia cường, thép góc, bu-

Rkt

Rkt

kết khớp lý tưởng. Tuy nhiên, nhiều kết quả thực nghiệm đã chỉ ra rằng ứng xử
D (θpD , 0)

Rki

F
Rki

0

lông… Dạng liên kết này được gọi là liên kết nửa cứng. Quan hệ giữa mô-men

B ( θpB , 0)

và góc xoay của liên kết thường được biểu diễn bằng các hàm toán học có dạng
tổng quát M = f ( θr ) . Một số mô hình toán học của liên kết nửa cứng đã được

H
Rkt

đề xuất bởi Chen-Lui [6][8], Kishi-Chen, Richard-Abbott [21]…
Kishi-Chen (1986):

M=

(2.29)

tích phi tuyến của hệ kết cấu khi chịu tải lặp (tải tác dụng có sự đổi chiều theo

với n E và A E là số thớ và diện tích phần đàn hồi của tiết diện ở giữa phần tử

2.4





n

2.4.2 Mô hình ứng xử vòng trễ của liên kết nửa cứng

j =1

nEi

− Rkp ) θ r

cực hạn của liên kết; Rkp là độ cứng tăng bền của liên kết; M 0 là mô-men tham

nE

Et =

ki

  R −R θ
( ki kp ) r

1 + 
M0
 

đường tương tác của tiết diện nên mô phỏng được sự chảy dẻo chính xác hơn,
Mô-đun tiếp tuyến E t của phần tử và hệ số chảy dẻo η1 , η2 tại các vị trí đầu

(R

Richard-Abbott (1975): M =

Rkiθ r
1

  θ n  n
1 +  r  
  θ0  

13

Rki

(2.28)
I ( θ cI , M I )

C (θcC , M C )

Hình 2.8. Mô hình tăng bền độc lập
14

θr


CHƯƠNG 3

CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH

thống, thuật toán AL-MRD hiệu quả và có tốc độ hội tụ cao do có xét đến hệ số

Chương trình ứng dụng được phát triển bằng MATLAB dựa vào thuật toán giải

điều chỉnh tải ∆λ trong mỗi bước tải.

phi tuyến chiều dài cung (Arc-length Method – AL) kết hợp với thuật toán cực

tiểu hóa chuyển vị dư (Minimum Residual Displacement Method – MRD) cho
bài toán phân tích tĩnh và thuật toán Newmark-β kết hợp với thuật toán giải lặp
Newton-Raphson cho bài toán phân tích động khung thép phẳng phi đàn hồi có
liên kết nửa cứng.
3.1

Thuật toán AL-MRD

Phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp cực tiểu hóa chuyển vị
dư (AL-MRD), đã được Chan và Zhou [24] đề xuất để phân tích ứng xử phi
tuyến của hệ kết cấu chịu tải trọng tĩnh, được trình bày cụ thể như bên dưới.

(3.1)

trong đó: ∆F là véc-tơ lực không cân bằng, ∆F = F − Z ; ∆u là véc-tơ gia số
chuyển vị; ∆F là véc-tơ song song với véc-tơ ∆F ; ∆u là véc-tơ chuyển vị kết
hợp do ∆F gây ra; ∆λ là hệ số điều chỉnh tải.
Hệ số ∆λ ở bước lặp đầu tiên được xác định theo phương pháp chiều dài cung:

∆λi =

S

∆ u T ∆u

với S là chiều dài cung

(3.2)

Ở bước lặp thứ hai trở về sau của mỗi bước tải, hệ số điều chỉnh tải ∆λ được

xác định từ điều kiện cực tiểu hóa chuyển vị dư:
T
T
∂ ( ∆u + δλ∆u ) ( ∆u + ∆λ∆u ) 

 = 0 → ∆λ = − ∆u ∆u
∆u T ∆ u
∂∆λ

3.2

Thuật toán Newmark-β kết hợp với thuật toán Newton-Raphson

Phương trình cân bằng gia tăng chuyển động của hệ kết cấu:

Phương trình cân bằng gia tăng của hệ kết cấu:

( ∆u + ∆λ∆u ) = K T −1 ( ∆F + ∆λ∆F )

Hình 3.1. Thuật toán AL-MRD

(3.3)

Hình 3.1 trình bày cụ thể nội dung thuật toán AL-MRD. Thuật toán dừng lặp
(hội tụ) khi trị số (∆ui / u) ≤ [ε] . So với các thuật toán giải lặp phi tuyến truyền

ɺɺ + CT ∆U
ɺ + K T ∆U = ∆F
M ∆U

ɺ , ∆U
ɺɺ lần lượt là véc-tơ gia số chuyển vị, vận tốc và gia tốc;
trong đó: ∆U, ∆U
M, CT , K T lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản và ma trận độ cứng tiếp

tuyến của hệ kết cấu; ∆F là véc-tơ gia số của tải ngoài.
Các phương trình của Newmark [16] theo phương pháp gia tốc trung bình:

ɺɺ n +1 = 4 ∆U n +1 − 4 U
ɺ − 2U
ɺɺ n
∆U
∆t 2
∆t n

(3.5)

2
ɺn
∆U n +1 − 2U
∆t

(3.6)

ɺ n +1 =
∆U

Thay các phương trình (3.5), (3.6) vào (3.4), véc-tơ gia số chuyển vị ∆U n +1 của
bước tải thứ (n + 1) được xác định từ phương trình sau:
K Eff ( n+1) ∆U n +1 = ∆ FEff ( n+1)

(3.7)

trong đó,
K Eff ( n+1) =

15

(3.4)

4
2
M + CT ( n +1) + K T ( n +1)
2
∆t
∆t

(3.8)
16


 4
ɺ
ɺɺ
M + 2C T ( n + 1 )  U
n + 2 MU n
 ∆t


∆ FEff ( n+1) = ∆ Fn +1 + 

(3.9)

ɺ ,U
ɺɺ của bước tải thứ (n + 1):
Từ đây, ta xác định được véc-tơ U n +1 , U
n +1
n +1

động, chứa các dữ liệu tải động (hoặc gia tốc nền) theo thời gian.
Để phân tích một hệ kết cấu, ta tiến hành rời rạc hóa hệ kết cấu, đánh số nút,

U n +1 = U n + ∆U n +1

(3.10)

ɺ n +1 = −U
ɺ n + 2 ∆U n +1
U
∆t

(3.11)

ɺɺ n +1 = −U
ɺɺ n −
U

khung và dữ liệu tải tĩnh. Tập tin Input_dyna_load.txt, chỉ dùng cho bài toán

đánh số phần tử và nhập các thông tin của hệ khung vào các tập tin Input.txt và

Input_dyna_load.txt. Chương trình sẽ đọc các tập tin này để nhập liệu.
Chương trình phân tích không mặc định trước các hệ đơn vị tính, kết quả phân
tích được xuất ra theo cùng thứ nguyên với các dữ liệu đầu vào.

4 ɺ
4
U n + 2 ∆U n +1
∆t
∆t

(3.12)

Áp dụng thuật toán giải lặp Newton-Raphson để khư lực dư trong hệ kết cấu

3.4

Các lưu đồ thuật toán

Lưu đồ thuật toán bài toán tĩnh

Lưu đồ thuật toán bài toán động

cho đến khi đạt sai số cho phép. Các bước lặp được trình bày cụ thể như sau:
1

B1:

Xác định ∆U n +1 ở bước lặp đầu tiên theo phương trình (3.7).

B2:

Xác định véc-tơ chuyển vị dư δU n +1 tại bước lặp (k + 1):

k +1

k+1
k +1
k +1
k +1
K Eff
( n+1)δ U n + 1 = ∆ Rn +1 với ∆R n +1 là lực dư và k ≥ 1

B3:

(3.13)

Cập nhật véc-tơ gia số chuyển vị ∆U kn ++11 , từ đó cập nhật các véc-tơ

chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc theo (3.10), (3.11), (3.12).

∆U nk++11 = ∆U nk+1 + δ U nk++11
B4:

(3.14)

Kiểm tra các sai số. Dừng lặp khi đạt sai số cho phép ε ≤ [ ε ] , nếu

ε > [ ε ] trở lại các bước lặp từ B2 đến B3.

Các véc-tơ chuyển vị, véc-tơ vận tốc và véc-tơ gia tốc xác định được ở cuối

bước tải sẽ là điều kiện ban đầu cho bước tải kế tiếp.
3.3

Chương trình phân tích

Dựa vào các thuật toán đã trình bày ở trên, một chương trình ứng dụng được
viết bằng ngôn ngữ MATLAB để phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải
trọng tĩnh và động. Các tập tin nhập liệu Input.txt và Input_dyna_load.txt được
thiết lập riêng ngoài chương trình. Tập tin Input.txt chứa các dữ liệu của hệ
Hình 3.2. Các lưu đồ thuật toán
17

18


4.1

VÍ DỤ SỐ MINH HỌA

Ví dụ này cho thấy sự hiệu quả của phương pháp đồng xoay trong việc dự đoán
ứng xử chuyển vị lớn của cấu kiện chịu uốn khi chịu tải trọng tĩnh. Với ví dụ

Phân tích chuyển vị lớn

tương tự, Nanakorn và Vu [17] cần phải mô phỏng cấu kiện bằng 05 phần tử

4.1.1 Dầm công-xôn chịu lực tập trung đầu mút
Phân tích chuyển vị lớn của dầm công-xôn đàn hồi chịu tải tập trung đầu mút
với các thông số như trong Hình 4.1. Trong ví dụ này tác giả chia cấu kiện
thành 02 phần tử đề xuất và so sánh với kết quả của phần mềm ANSYS (chia

cấu kiện thành 02 và 20 phần tử BEAM3) và với lời giải của Mattiasson [14].
L = 10m

P

xoay và tịnh tiến với phần tử đã hạn chế được số lượng phần tử cần mô phỏng
cho cấu kiện trong phân tích nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết cho bài
toán chuyển vị lớn.

4.1.2 Khung Williams
Khung Williams như Hình 4.3 thường được dùng như một ví dụ chuẩn để kiểm

W8×67
E = 200 GPa

khi dùng công thức tổng Lagrange. Việc gắn thêm hệ tọa độ địa phương cùng

v
u

Hình 4.1. Dầm công-xôn chịu tải tập trung đầu mút
Chuyển vị tại vị trí đầu mút dầm (u/L) và (v/L) theo hệ số tải (PL²/EI) được
trình bày ở Hình 4.2. Với việc mô phỏng cấu kiện chỉ bằng 02 phần tử đề xuất,
đường quan hệ tải – chuyển vị của tác giả gần như trùng khớp với kết quả của

tra độ chính xác của các chương trình phân tích khung có chuyển vị lớn. Wood
và Zienkiewicz [18] sử dụng 10 phần tử hữu hạn đẳng tham số, Nanakorn và
Vu [17] sử dụng 02 phần tử và Nguyen [5] sử dụng 02 phần tử dầm đồng xoay
phi tuyến B2CS cho một cấu kiện để phân tích. Ở ví dụ này, tác giả chỉ sử dụng
01 phần tử cho mỗi cấu kiện. Kết quả phân tích của chương trình đề xuất và các

tác giả khác được thể hiện trong Hình 4.4.
P
(9.804 mm)
0.386 in

ANSYS (sử dụng 20 phần tử BEAM3) và lời giải của Mattiasson. Khi sử dụng
02 phần tử BEAM3 cho một cấu kiện, kết quả của ANSYS cho sai số khá lớn.

(19.126 mm)
0.753 in

0.243 in
(6.172 mm)

CHƯƠNG 4

E = 10.3×106 psi = 71016 MPa
12.943 in
12.943 in
(328.75 mm)

(328.75 mm)

Hình 4.3. Khung Williams
Ảnh hưởng phi tuyến bậc cao được thể hiện rõ rệt trong ví dụ này khi việc sử
dụng đến 08 phần tử tuyến tính B2CL (bỏ qua ảnh hưởng phi tuyến của biến
dạng dọc trục) của Nguyen [5] vẫn cho kết quả có độ sai khác lớn so với các kết
quả chính xác. Bên cạnh đó, thuật toán giải lặp phi tuyến AL-MRD được áp
dụng trong luận án này cũng có thể mô phỏng được ứng xử phi tuyến phức tạp
của hệ bằng thuật toán điều khiển chuyển vị để tránh được hiệu ứng “nhảy đột

ngột” (snap-through) thường thấy trong các thuật toán điều chỉnh lực thông
Hình 4.2. Chuyển vị dầm công-xôn chịu lực tập trung đầu mút
19

thường.
20


Cột đàn hồi
liên kết nửa cứng
u
P
0.01P

b = 0.1m
h = 0.1m
E = 210 GPa

Hình 4.4. Chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực khung Williams

4.1.3 Cột đàn hồi chân liên kết nửa cứng
Phân tích phi tuyến hình học được thực hiện cho cột có chân liên kết nửa cứng
tuyến tính như Hình 4.5 với độ cứng liên kết Sc = 10EI/L . So và Chan [2] đã

L = 3.2m

v

Hình 4.5
4.2

Hình 4.6. Chuyển vị đầu mút cột chân liên kết nửa cứng

Phân tích tĩnh

4.2.1 Cột hai đầu khớp chịu nén đúng tâm

khảo sát kết quả phân tích bài toán khi mô phỏng cấu kiện từ 01 đến 04 phần tử

Cột thép hai đầu khớp như Hình 4.7 đã được Ngo-Huu và Kim [4] phân tích

và bài toán hội tụ khi chỉ sử dụng 02 phần tử. Tác giả cũng chia cấu kiện thành

bằng phương pháp phần tử khớp thớ. Chiều dài L của cột được thay đổi để khảo

02 phần tử đề xuất.
Quan hệ giữa hệ số tải với các chuyển vị tại đầu cột được trình bày ở Hình 4.6
rất khớp với kết quả của So và Chan [2]. Điều này cho thấy việc thiết lập hàm
chuyển vị từ các phương trình vi phân cân bằng và có ràng buộc thêm các điều
kiện cân bằng và tương thích tại các điểm dọc theo chiều dài phần tử đã giúp
hạn chế được số lượng phần tử cần mô phỏng cho cấu kiện trong phân tích
chuyển vị lớn cho hệ kết cấu kể cả khi phân tích mở rộng cho trường hợp có

sát khả năng chịu lực của cột khi độ mảnh λ c = (1.0L 0 / ry ) σ y / ( π2 E ) thay
đổi. Lực tập trung P được tăng dần cho đến khi cột phá hoại. Bài toán được
phân tích trong trường hợp có và không có kể đến ứng suất dư (ƯSD) ban đầu
trong cấu kiện để so sánh với các kết quả của lời giải Euler và của Hội đồng
nghiên cứu về cột (CRC). Ứng suất dư ban đầu được lấy theo ESSC [26]. Ở ví
dụ này, tác giả mô phỏng cột bằng 01 phần tử khớp dẻo sử dụng đường tương
tác của tiết diện theo AISC-LRFD [12].

Kết quả đường cường độ cột được thể hiện ở Hình 4.8 trùng khớp với các kết

liên kết nửa cứng.

quả của Euler và CRC. Trong trường hợp không xét ƯSD ban đầu trong cấu
kiện, khi λ c ≥ 1 cột bị phá hoại do mất ổn định đàn hồi nên kết quả phân tích
trùng với kết quả lời giải giải tích của Euler, khi λ c < 1 cột bị phá hoại bền khi
tải đạt đến tải giới hạn dẻo của tiết diện (P / Py ≈ 1). Trong trường hợp có xét
21

22


đến ƯSD, sự chảy dẻo xảy ra trong cấu kiện làm giảm diện tích chịu lực của tiết

(Inelastic Buckling Analysis – IBA) để xác định tải giới hạn của khung. Lực

diện và từ đó làm giảm rõ rệt giá trị tải giới hạn của cột khi cột có độ mảnh nhỏ;

đứng P = 133.4 kN và lực ngang H = rP với r lần lượt bằng 0.10, 0.24 và 0.50.

tuy nhiên, kết quả phân tích với cột có độ mảnh lớn trong trường hợp này trùng

Tác giả chia mỗi dầm thành 02 phần tử tại vị trí đặt lực, và mô phỏng mỗi cột

với kết quả lời giải giải tích Euler do sự mất ổn định xảy ra khi tiết diện chưa bị

bằng 01 phần tử. Ứng xử phi tuyến vật liệu dùng phương pháp khớp thớ (FH).

chảy dẻo.

0.5P

Cột hai đầu khớp

Hình 4.8. Đường cường độ cột theo λc

W12×79

H

P

0.5P

W16×40
0.5P

P
W16×40
E = 201 GPa

σy = 236 MPa

0.5P

W10×60

3.66 m
3.66 m

0.5P

3.66 m

W16×40

H

ry = 51.2 mm

0.5P

3.66 m

W10×60

σy = 250 MPa

W10×60

W8×31

E = 200 GPa

P

W10×60

0.5P

W10×60

W16×40

H

L

0.5P

W12×79

W10×60

P

Hình 4.7

P

0.5H

9.15 m

Bên cạnh đó, tác giả cũng phân tích lại bài toán khi mô phỏng 01 phần tử có ma
trận độ cứng sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 3 được đề xuất bởi
Balling và Lyon [19] trong trường hợp có xét đến ảnh hưởng của ƯSD. Kết quả
của phân tích này có sai lệch khá lớn so với kết quả phân tích đề xuất với sai số
lớn nhất đến 21.6% (Hình 4.8) chứng tỏ tầm quan trọng của việc mô phỏng tác
động phi tuyến hình học trong bài toán ổn định kết cấu. Ví dụ này cho thấy độ

chính xác của phương pháp đề xuất trong bài toán phân tích sự mất ổn định đàn
hồi và phi đàn hồi của cấu kiện theo các tham số gồm ứng suất dư ban đầu,
cường độ vật liệu và độ mảnh của cấu kiện.

4.2.2 Khung 4 tầng 1 nhịp

Hình 4.9. Khung 4 tầng 1 nhịp
Chuyển vị của đỉnh bên phải khung và hệ số tải giới hạn λu được trình bày như
trong Hình 4.10 và Bảng 4.1. Kết quả đường tải trọng – chuyển vị của phương
pháp đề xuất và kết quả của Yoo và Choi nằm khá sát nhau khi r = 0.24 và 0.5
và đều nằm thấp hơn kết quả của Kassimali chứng tỏ phương pháp khớp dẻo
cứng của Kassimali cho ra kết quả ứng xử của hệ cứng hơn do chưa phản ánh
đúng sự chảy dẻo dần dần. Thêm nữa, kết quả ứng xử tải trọng – chuyển vị của
tác giả dùng phương pháp khớp thớ trong trường hợp r = 0.1 sai lệch khá nhiều
so với hai tác giả còn lại do các phương pháp này dựa trên giả thuyết khớp dẻo
với đường tương tác chưa phản ánh đúng sự chảy dẻo của tiết diện. Bên cạnh

Khung trong Hình 4.9 đã được Kassimali [3] phân tích với phương pháp khớp

đó, ta có thể nhận thấy khi lực ngang có giá trị lớn (r = 0.5), kết quả hệ số tải λu

dẻo cứng (EPH), sau đó Yoo và Choi [10] phân tích lại bằng phương pháp khớp

theo phương pháp IBA của Yoo và Choi có sai lệch khá lớn so với phương

dẻo hiệu chỉnh (RPH) và phương pháp phân tích tải mất ổn định phi đàn hồi

pháp phân tích từng bước cho thấy nhược điểm của phương pháp này.

23

24


tích ứng xử phi tuyến toàn phần cho hệ khung thép phẳng chịu tải tĩnh. Một lần
nữa, phương pháp đề xuất cho thấy sự hiệu quả và độ tin cậy trong các bài toán
phân tích nâng cao.

P

P

E = 29000 ksi = 199.95 GPa

σy = 36 ksi = 248.21 MPa

H = rP
r = 0.10
r = 0.24
r = 0.50

Kassimali
(EPH)
1.687
1.502
1.075

Yoo & Choi
(RPH)
1.660

1.479
1.062

Yoo & Choi
(IBA)
1.642
1.469
0.941

Tác giả
(FH)
1.672
1.475
1.061

12 ft
(3.658 m)

W14×48

Hình 4.10. Chuyển vị đỉnh khung 4 tầng 1 nhịp
Bảng 4.1. Hệ số tải giới hạn λu của khung 4 tầng 1 nhịp

12 ft
(3.658 m)

P

W12×96

W12×96
W12×96

0.02P

P

W12×96

W14×48

0.01P

20 ft
(6.096 m)

Sai số

Hình 4.11. Khung hai tầng một nhịp có liên kết nửa cứng

0.89%
1.80%
1.30%

4.2.3 Khung 2 tầng 1 nhịp có liên kết nửa cứng
Ứng xử của khung như Hình 4.11 đã được Lui và Chen [7], Chan và Chui [23]
phân tích dưới các dạng khác nhau của liên kết nửa cứng (loại A, B, C và D)
được lấy theo mô hình hàm mũ Chen-Lui. Tác giả sử dụng phương pháp khớp
thớ và mô phỏng mỗi cấu kiện bằng 01 phần tử đề xuất.
Chuyển vị ngang đỉnh khung dưới các dạng liên kết được thể hiện ở Hình 4.12.

Dựa vào các kết quả phân tích ta thấy rằng ứng xử của hệ sẽ thay đổi theo cấu
tạo của liên kết dầm – cột, tải trọng giới hạn và độ cứng ngang của hệ tăng khi
độ cứng xoay của liên kết tăng. Do đó, việc kể đến độ mềm của liên kết là điều
rất cần thiết để đánh giá đúng ứng xử của hệ. Ví dụ này là sự tổng hợp của phân

Hình 4.12. Chuyển vị đỉnh khung 2 tầng 1 nhịp

25

26


4.3

Phân tích động

nguyên cho đến hết thời gian khảo sát 20s. Ở ví dụ này, tác giả mô phỏng mỗi

4.3.1 Khung 11 tầng 2 nhịp chịu tải trọng động

cấu kiện bằng 01 phần tử đề xuất.

Hình 4.13 trình bày các thông số khung 11 tầng 2 nhịp có liên kết nửa cứng
tuyến tính với tải trọng đứng q1 = 74.14 kN / m , q 2 = 59.45 kN / m . Ví dụ này
đã được Rezaiee-Pajand và cộng sự [15] phân tích ảnh hưởng hiệu ứng P − ∆
dưới tác động của các lực động theo phương ngang. Hệ số độ cứng của liên kết
ở hai đầu dầm r = 1/(1 + 3EI/LRki) được khảo sát với các giá trị bằng 1.0 (liên

43.2 kN

q1

q1

43.2 kN

q1

q1

43.2 kN

q1

q1

40.5 kN

q1

q1

40.5 kN

q1

q1

38.7 kN

q1

q1

36.9 kN

q1

q1

33.3 kN

q1

q1

44.1 kN

q1

q1
E = 200 GPa

8.7 m

4.0 × 10 = 40.0 m

q1

C1

C2
C3
C4
C5
B

A
(mm²)
52200
35000
34800
31000
22700
15700

I
(mm4)
1.89×109
1.30×109
1.00×109
8.94×108
6.86×108
7.61×108

Hình 4.14. Chuyển vị đỉnh khung 11 tầng 2 nhịp
Chuyển vị ∆ của đỉnh khung so với kết quả của Rezaiee-Pajand và cộng sự
được thể hiện ở Hình 4.14. Ta thấy, hệ số độ cứng của liên kết ảnh hưởng lớn
đến ứng xử của hệ khung. Trong trường hợp này, chuyển vị tăng khi hệ số độ

λF(t)

cứng của liên kết giảm. Bên cạnh đó, ví dụ này cũng minh họa rõ ảnh hưởng

1.0

của tải trọng tĩnh sẵn có trong hệ kết cấu đến kết quả phân tích ứng xử động của
t(s)
6.4 m

q1

B, C4

46.8 kN

B, C3

q2

B, C2

q2

B, C1

23.4 kN

B, C5

kết cứng), 0.8 và 0.5.

0

10

20

8.7 m

Hình 4.13. Khung 11 tầng 2 nhịp chịu tải động

hệ kết cấu. Hiệu ứng P − ∆ làm tăng chuyển vị ngang của đỉnh khung khi chịu
tác động của lực động theo phương ngang.

4.3.2 Khung 6 tầng 2 nhịp chịu tải trọng động
Khung thép phẳng 6 tầng 2 nhịp liên kết cứng trình bày bởi Vogel [26] đã được

Tải trọng đứng phân bố lên dầm giả định tạo ra các khối lượng tập trung tại hai

Chan & Chui [23] hiệu chỉnh thành liên kết nửa cứng như Hình 4.15 để phân

đầu dầm. Hiệu ứng P − ∆ được khảo sát thông qua việc có hay không có xét

tích ứng xử động phi tuyến của liên kết. Trong đó, các lực tĩnh theo phương

đến ảnh hưởng của tải tĩnh theo phương đứng tác dụng đồng thời với tải động

ngang F1 và F2 được thay thế bằng các lực động F1(t) và F2(t) có dạng hình sin

theo phương ngang. Các tải động theo phương ngang có giá trị ban đầu bằng 0

và cùng biên độ với giá trị tải của bài toán tĩnh. Tần số ω của lực ngang lần lượt

và tăng tuyến tính đến giá trị lớn nhất sau 10s, sau đó giá trị tải được giữ

được lấy bằng 1.00, 1.66, 2.41 và 3.33 rad/s. Liên kết nửa cứng thuộc loại C
theo mô hình hàm mũ Chen-Lui. Giả thiết tải trọng phân bố trên dầm chỉ tạo ra

27

28


các khối lượng tập trung mà không gây ra các chuyển vị ban đầu trong khung.

hơn hay nhỏ hơn các hệ có liên kết cứng và liên kết nửa cứng tuyến tính (tùy

Khung được phân tích trong trường hợp liên kết cứng (RC), liên kết nửa cứng

thuộc vào tần số của lực kích động) nhưng trong trường hợp tần số lực kích

tuyến tính (LC) và liên kết nửa cứng phi tuyến (NC). Tần số dao động riêng của

động trùng với tần số dao động riêng, hệ vẫn không xảy ra cộng hưởng. Điều

hệ với liên kết cứng và liên kết nửa cứng lần lượt là 2.41 và 1.66 rad/s.

này cho thấy ứng xử vòng trễ của liên kết nửa cứng phi tuyến làm tăng độ dẻo

49.1 kN/m

IPE400

6.0 m

HEB220

IPE330
49.1 kN/m
IPE360

HEB260

IPE360

49.1 kN/m

ψ

6 × 3.75 m = 22.5 m

49.1 kN/m

HEB220

49.1 kN/m

HEB220

IPE300

HEB240

IPE330

HEB160

49.1 kN/m

IPE400

"J"

HEB220

HEB200

IPE300

HEB240

49.1 kN/m

ψ

49.1 kN/m

HEB200

HEB160
HEB220

F2(t)

IPE300

HEB260

F2(t)

49.1 kN/m

HEB220

F2(t)

IPE240

IPE300

HEB220

F2(t)

IPE240
49.1 kN/m

HEB220

F2(t)

HEB160

F1(t)

31.7 kN/m
HEB160

dai và khả năng tiêu tán năng lượng của hệ kết cấu khi chịu tải trọng động.
31.7 kN/m

Hình 4.16. Chuyền vị đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp (ω = 1.00)
ψ

6.0 m

E = 205 × 10 kN/m²

ψ = 1/450

F1(t) = 10.23sinωt kN

F2(t) = 20.44sinωt kN

6

Hình 4.15. Khung Vogel 6 tầng chịu tải động
Chuyển vị đỉnh khung ∆ trong các trường hợp khảo sát theo tần số lực kích
thích ω được thể hiện từ Hình 4.16 đến Hình 4.18. Ứng xử vòng trễ của liên
kết “J” trong trường hợp tần số ω = 1.66 được trình bày ở Hình 4.19. Các kết
quả phân tích khá chính xác so với kết quả của Chan và Chui. Ví dụ này cho

thấy, hệ có liên kết nửa cứng phi tuyến sẽ có chuyển vị lớn hơn khi lực kích
động có tần số thấp và ngược lại sẽ làm giảm chuyển vị khi lực kích động có
tần số cao. Mặc dù hệ có liên kết nửa cứng phi tuyến có thể có chuyển vị lớn
29

Hình 4.17. Chuyền vị đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp (ω = 1.66)
30


∆
M

M

5.0 m

M = 10 Ns²/mm
E = 200000 MPa
σy = 300 MPa

W8×31

W8×31

W8×31

:

ug(t)

5.0 m

Hình 4.20. Khung đàn-dẻo 1 tầng 1 nhịp chịu động đất
Hình 4.18. Chuyền vị đỉnh khung 6 tầng 2 nhịp (ω = 2.41)

Hình 4.21. Gia tốc nền các trận động đất

Hình 4.19. Ứng xử vòng trễ của liên kết “J” (trường hợp ω = 1.66)

4.3.3 Khung 1 tầng 1 nhịp chịu động đất
Khung cổng như Hình 4.20 đã được Thai & Kim [9] phân tích dưới tác dụng
của các trận động đất Northrigde, San Fernando (Hình 4.21) và so sánh với kết
quả của ABAQUS khi mô phỏng mỗi cấu kiện thành 10 phần tử dầm B22.
31

Hình 4.22. Chuyển vị đỉnh ∆ (Northridge – Phân tích đàn hồi)
32


giả sử dụng 01 phần tử đề xuất cho mỗi cấu kiện và phân tích phi tuyến vật liệu
theo phương pháp khớp thớ.

Hình 4.23. Chuyển vị đỉnh ∆ (Northridge – Phân tích phi đàn hồi)
Hình 4.25. Chuyển vị đỉnh ∆ (San Fernando – Phân tích phi đàn hồi)
Bảng 4.2. Chuyển vị đỉnh khung 1 tầng 1 nhịp dưới các trận động đất
Động đất

Max
Min
Max

Northridge
Min
San
Fernando

Hình 4.24. Chuyển vị đỉnh ∆ (San Fernando – Phân tích đàn hồi)

Max
Min

Trường
hợp
phân tích
Đàn hồi
Phi đàn hồi
Đàn hồi
Phi đàn hồi
Đàn hồi
Phi đàn hồi
Đàn hồi
Phi đàn hồi

Chuyển vị (mm)
ABAQUS

Tác giả

Sai số
(%)

123.636
126.865
-113.722
-80.012
118.745
121.073
-92.390
-78.846

124.651
129.004
-112.841
-79.500
116.085
119.922
-89.381
-79.158

0.82
1.69
0.77
0.64
2.24
0.95
3.26
0.40

Chuyển vị đỉnh ∆ dưới các trận động đất được thể hiện từ Hình 4.22 đến Hình
4.25 và Bảng 4.2. Ta thấy, kết quả phân tích của phương pháp đề xuất rất khớp

Chu kỳ dao động của 2 dạng dao động đầu tiên là T1 = 0.8162 s, T2 = 0.0290 s.

với phần mềm ABAQUS, kể cả biến dạng dư trong các phân tích phi tuyến vật

Tỷ số cản ξ = 5%. Ma trận cản được xác định theo Chopra [1]. Ở ví dụ này, tác

liệu. Ưu điểm của phương pháp đề xuất là chỉ cần mô phỏng mỗi cấu kiện trong
hệ kết cấu bằng 01 phần tử đề xuất nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết.

33

34


CHƯƠNG 5
5.1

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kết luận

cơ sở lý thuyết đề xuất và các thuật toán giải lặp phi tuyến đã lựa chọn. Từ
đây, một chương trình ứng dụng được phát triển và được sử dụng trong việc
khảo sát những ví dụ số từ các nghiên cứu trước để chứng minh sự hiệu quả

Từ các kết quả nghiên cứu đạt được, đối chiếu với mục tiêu nghiên cứu và

và độ tin cậy của phương pháp đề xuất.

phạm vi nghiên cứu đề ra, có thể rút ra các đóng góp chính của luận án như sau:

5. Chương trình đã phát triển có thể được ứng dụng trong công tác phân tích

1. Thiết lập được các quan hệ giữa nội lực nút phần tử dầm-cột đàn hồi với các

phi tuyến cho thiết kế trực tiếp của hệ kết cấu khung thép như được đề xuất

ẩn số chuyển vị theo các hàm ổn định và hiệu chỉnh lại các quan hệ này bằng

gần đây trong các tiêu chuẩn Châu Âu và Mỹ, đặc biệt là theo phương pháp

việc thêm vào các hệ số chảy dẻo và góc xoay của liên kết để kể đến tác

phân tích đẩy dần và phân tích động phi tuyến theo lịch sử thời gian trong

động phi tuyến vật liệu và độ mềm của liên kết.

thiết kế kháng chấn.

2. Đề xuất một hàm chuyển vị xấp xỉ mới dạng đa thức bậc 7 cho lời giải của

5.2

Kiến nghị

phương trình vi phân cân bằng của phần tử dầm-cột chịu lực dọc trục và mô-

Trong giới hạn của phạm vi nghiên cứu, đề tài có thể phát triển mở rộng theo

men uốn hai đầu để có thể kể đến chính xác tác động của lực dọc trục lên độ

các hướng sau:

cứng uốn. Từ đó, các hàm ổn định mới cho phần tử dầm-cột đã được thiết

1. Việc xây dựng phần tử dầm-cột với tải phân bố theo chiều dài cấu kiện được

lập và đã được chứng minh có độ chính xác cao so với hàm ổn định truyền

quy về các tải nút ở hai đầu phần tử như đã thực hiện trong đề tài này chưa

thống có được từ lời giải giải tích. Một điểm quan trọng là hàm ổn định mới

phản ánh chính xác hoàn toàn ứng xử của cấu kiện. Trong trường hợp nếu

này có thể giúp việc khai triển và biến đổi công thức toán học đơn giản và

khớp dẻo xuất hiện ở giữa cấu kiện, ta phải chia cấu kiện thành hai phần tử

tiện lợi hơn nhiều so với các hàm truyền thống, đặc biệt là khi thiết lập công

con. Do đó, để đảm bảo ưu điểm của phương pháp là sử dụng một phần tử

thức theo phương pháp đồng xoay.

trên một cấu kiện, ta có thể phát triển hướng nghiên cứu bằng việc xây dựng

3. Phát triển phương pháp đồng xoay trong việc thành lập ma trận độ cứng tiếp

lại ma trận độ cứng phần tử có kể đến tải phân bố dọc theo chiều dài cấu

tuyến cho phần tử dầm-cột phi đàn hồi có liên kết nửa cứng. Dựa vào các

kiện và sử dụng khớp dẻo di động tại vị trí có nội lực lớn ở giữa phần tử.

quan hệ đã được thiết lập giữa nội lực nút và các chuyển vị, một ma trận độ

2. Ảnh hưởng của sai lệch ban đầu (initial imperfection) trong cấu kiện cũng

cứng mới cho phần tử dầm-cột đồng xoay đã được thiết lập dựa trên việc đạo

cần được xem xét để phản ánh sát hơn cấu hình thực của cấu kiện trong thực

hàm nội lực nút theo các ẩn số chuyển vị dựa vào lý thuyết dầm-cột phi

tiễn. Thêm nữa, phần tử cong cũng có thể được phát triển dựa trên phương

tuyến. Ma trận độ cứng này có thể phản ánh được tất cả các yếu tố ảnh

pháp đã phát triển để mô phỏng các cấu kiện và các khung cong.

hưởng đến ứng xử phi tuyến của phần tử như sự thay đổi hình học, kể cả
chuyển vị lớn, sự chảy dẻo dần dần tại đầu mút phần tử, độ mềm và ứng xử
vòng trễ của liên kết dầm − cột.
4. Thiết lập được thủ tục phân tích số tin cậy cho phân tích phi tuyến phi đàn
hồi hệ khung thép phẳng nửa cứng chịu tải trọng tĩnh và động dựa trên các
35

3. Đề tài này chỉ xét đến bài toán khung thép phẳng, ta có thể phát triển hướng

phân tích cho bài toán khung thép không gian chịu tải tĩnh và động.
4. Đề tài cũng có thể được phát triển theo hướng nghiên cứu khung thép chịu
tải nhiệt, sự lan truyền nhiệt do cháy, tải trọng nổ …
36


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]

[3]
[4]
[5]

[6]
[7]
[8]
[9]

[10]
[11]

[12]

[13]

[14]

A. K. Chopra, “Dynamics of Structures (Theory and Applications to Earthquake
Engineering),” 3rd edition, Pearson Prentice Hall, New Jersey, 2007.

A. K. W. So, S. L. Chan, “Buckling and geometrically nonlinear analysis of
frame using one element member,” Journal of Constructional Steel Research,
Reply to Discussion, Vol. 32(2), pp. 227-30, 1995.
A. Kassimali, “Large deformation analysis of elastic–plastic frames,” Journal of
Structural Engineering, Vol. 109(8), pp. 1869-86, 1983.
C. Ngo-Huu and S. E. Kim, “Practical advanced analysis of space steel frames
using fiber hinge method,” Thin-Walled Structures, Vol. 47(4), pp. 421-30, 2009.
D. K. Nguyen, “A Timoshenko beam element for large displacement analysis
of planar beam and frames,” International Journal of Structuaral Stability and
Dynamic, Vol. 12(6), 1250048 (9 pages), 2012.
E. M. Lui and W. F. Chen, “Analysis and behaviour of flexibly-jointed
frames,” Engineering Structures, Vol. 8(2), pp. 107-18, 1986.
E. M. Lui and W. F. Chen, “Behavior of braced and unbraced semi-rigid frames,”
International Journal of Solids and Structures, Vol. 24(9), pp. 893-913, 1988.
E. M. Lui and W. F. Chen, “Steel frame analysis with flexible joints,” Journal
of Constructional Steel Research, Vol. 8, pp. 161-202, 1987.
H. T. Thai and S. E. Kim, “Second-order inelastic dynamic analysis of steel
frames using fiber plastic hinge method,” Journal of Constructional Steel
Research, Vol. 67(10), pp. 1485-94, 2011.
H. Yoo and D. H. Choi, “New method of inelastic buckling analysis for steel
frames,”. Journal of Constructional Steel Research, Vol. 64(10), pp.1152-64, 2008.
J. G. Orbison, W. McGuire, J. F. Abel, “Yield surface applications in nonlinear
steel frame analysis,” Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, Vol. 33(1-3), pp. 557-73, 1982.
J. Y. R. Liew, D. W. White, W. E. Chen, “Second-order refined plastic hinge
analysis of frames,” Structural Engineering Report, CE-STR-92-12, Purdue
University, West Lafayette, IN, 1992.
J. Y. R. Liew, D. W. White, W. F. Chen, “Second-order refined plastic-hinge
analysis for frame design, Part 1 and 2,” Journal of Structural Engineering, Vol.
119(11), pp. 3196-237, 1993.

K. Mattiasson, “Numerical results from large deflection beam and frame
problems analysed by means of elliptic integrals,” International Journal for
Numerical Methods in Engineering, Vol. 17(1), pp. 145-53, 1981.
37

[15] M. Rezaiee-Pajand, M. Bambaeechee, S. R. Sarafrazi, “Static and dynamic
nonlinear analysis of semi–rigid steel frames with new beam-column element,”
International Journal of Engineering, Vol. 24 (3), pp. 203-21, 2011.
[16] N. M. Newmark, “A method of computation for structural dynamics,” Journal
of Engineering Mechanics Division, Vol. 85, pp. 67-94, 1959.
[17] P. Nanakorn, L. N. Vu, “A 2D field-consistent beam element for large
displacement analysis using the total Lagrangian formulation,” Finite Elements
in Analysis and Design, Vol. 42(14-15), pp. 1240-7, 2006.
[18] R. D. Wood and O. C. Zienkiewicz, “Geometrically nonlinear finite element
analysis of beams, frames, arches and axisymmetric shells,” Computers and
Structures, Vol. 7(6), pp. 725-35, 1977.
[19] R. J. Balling and J. W. Lyon, “Second-order analysis of plane frames with one
element per member,” Journal of Structural Engineering, Vol. 137(11), pp.
1350-8, 2011.
[20] R. J. Balling, “Computer Structural Analysis,” Brigham Young University
Bookstore, Provo, Utah, 2012.
[21] R. M. Richard and B. J. Abbott, “Versatile elastic-plastic stress-strain formula,”
Journal of The Engineering Mechanics Division, Vol. 101(4), pp. 511-5, 1975.
[22] S. E. Kim and S. H. Choi, “Practical advanced analysis for semi-rigid space
frames,” International Journal of Solids and Structures, Vol. 38(50-51), pp.
9111-31, 2001.
[23] S. L. Chan and P. P. T. Chui, “Nonlinear static and cyclic analysis of steel
frames with semi-rigid connections,” Elsevier, 2000.
[24] S. L. Chan and Z. H. Zhou, “Pointwise equilibrating polynomial element for
nonlinear analysis of frames,” Journal of Structural Engineering, Vol. 120(6),

pp. 1703-17, 1994.
[25] T. N. Le, J. M. Battini, M. Hjiaj, “Efficient formulation for dynamics of corotational
2D beams,” Computational Mechanics, Vol. 48(2), pp. 153-61, 2011.
[26] U. Vogel, “Calibrating frames,” Stahlbau, Vol. 10, pp. 295-301, 1985.

38


DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
1. Tinh-Nghiem Doan-Ngoc, Xuan-Lam Dang, Quoc-Thang Chu, Richard J.
Balling, Cuong Ngo-Huu, ắSecond-order plastic-hinge analysis of planar steel
frames using corotational beam-column element,” Journal of Constructional
Steel Research, Vol. 121, pp. 413-26, 2016.
2. Nguyen Phu-Cuong, Doan Ngoc Tinh Nghiem, Ngo-Huu Cuong, Kim SeungEock, ắNonlinear inelastic response history analysis of steel frame structures
using plastic-zone method,” Thin-Walled Structures, Vol. 85, pp. 220-33, 2014.
3. Đoàn Ng c T nh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Lê Văn Bình, Ngô Hữu
Cường, ắPhân tích đàn h i b c hai khung thép phẳng ch u tải tr ng tƿnh và động
bằng phần tử đ ng xoay,” T p chí Xây dựng, 10/2016, 89-94, 2016.
4. Đoàn Ng c T nh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Th Thùy Linh,
Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường, ắPhân tích phi tuy n khung thép phẳng
dùng hàm chuyển v đa thức b c năm,” Tạp chí Xây dựng, 10/2015, 131-7, 2015.
5. Đoàn Ng c T nh Nghiêm, Đặng Xuân Lam, Ngô Trường Lâm Vũ, Nguyễn
Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường, ắPhân tích khớp thớ khung thép phẳng bằng phần tử
đ ng xoay,” Tạp chí Xây dựng, 11/2014, 61-5, 2014.
6. Đoàn Ng c T nh Nghiêm, Đặng Xuân Lam, Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu
Cường, ắPhân tích khớp dẻo b c hai khung thép phẳng bằng phần tử đ ng xoay,”
Tạp chí Xây dựng, 04/2014, 93-6, 2014.
7. Đoàn Ng c T nh Nghiêm, Ngô Hữu Cường, ắPhân tích phi tuy n khung thép phẳng
ch u tải tr ng động,” Tạp chí Kết cấu và Công nghệ Xây dựng, 12/2013, 29-35, 2013.