Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận một số dạng tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Liên

ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI LŨY THỪA TIỆM CẬN
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Liên

Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận
một số dạng tích phân

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Văn Hào

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào
đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành khóa
luận này. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô
giáo trong bộ môn Giải tích nói riêng, các thầy cô giáo giảng dạy tại khoa
Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 nói chung đã tạo điều kiện thuận lợi
trong quá trình em học tập và nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia
đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để em có thể hoàn thành
bản khóa luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏi những
hạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã
nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô để khóa luận được hoàn
thành như hiện tại.

Hà Nội, tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Liên


Lời cam đoan
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, Khóa luận tốt
nghiệp chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI
LŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” được sự
hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất
cứ Khóa luận nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Khóa luận, tác
giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và
biết ơn!

Hà Nội, tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Liên


Mục lục
Mở đầu

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Một số tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Khai triển tiệm cận

20

2.1

Một số khái niệm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3

Khái niệm của Poincarés về khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . 22

2.4

Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5

2.4.1

Khái niệm về chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.2

Các phép toán với chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . 25

Tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1

Tính duy nhất

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2

Tính không duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.3

Tính trội nhỏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.4

Tính bằng nhau của các hệ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.5

Các phép toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.6

Tích phân của chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.7

Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

3 Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận một số dạng tích phân

35

3.1

Tính hàm giai thừa khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2

Tính hàm tích phân dạng mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3

Tính hàm siêu bội suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4

Tính hàm tựa Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài. Trong thực tế thường xảy ra rằng, những chuỗi phân
kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị số của một đại lượng mà theo
nghĩa nào đó có thể được xem như là “tổng” của chuỗi. Trường hợp điển hình
là đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi một số hạng đầu tiên của chuỗi

thực sự đem lại hiệu quả mong muốn. Trong hầu hết các trường hợp các số
hạng đầu tiên của chuỗi giảm nhanh (khi biến số độc lập tiến nhanh tới giá
trị giới hạn của nó), nhưng những số hạng sau bắt đầu tăng trở lại. Các chuỗi
như vậy gọi là chuỗi bán hội tụ, và việc tính toán giá trị số thường được thực
hiện bởi một số hạng đầu của chuỗi.
Giải tích tiệm cận được hình thành từ khá sớm, nó được hình thành từ các
công trình tính toán của L. Euler. Đến năm 1886, lý thuyết tiệm cận mới được
xây dựng một cách hệ thống bởi T. J. Stieltjes và H. Poincaré. Một trong các
hướng nghiên cứu của nó được gọi là lý thuyết chuỗi tiệm cận. Trong đó
người ta nghiên cứu các chuỗi mà nó được biểu diễn bởi các dãy hàm tiệm
cận. Thường thì các dãy hàm đó được biểu diễn dưới dạng tích phân, chuỗi
lũy thừa hoặc dưới dạng như nghiệm của phương trình vi phân.
Các bài toán về đạo hàm có vai trò quan trọng trong Toán học, trong thực
tế và các ngành khoa học khác có liên quan như Vật lý, Kĩ thuật, Sinh học,
Công nghệ thông tin,.... Ở đây phát sinh các bài toán gắn với việc tìm đạo
hàm của các hàm số đặc biệt.Bằng phương pháp tìm chuỗi lũy thừa tiệm cận
của các hàm số đó ta có thể đạo hàm chúng một cách dễ dàng hơn.
Với những lí do trên , được sự định hướng của người hướng dẫn em chọn đề
tài “ĐẠO HÀM CỦA CHUỖI LŨY THỪA TIỆM CẬN MỘT SỐ
DẠNG TÍCH PHÂN” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành
Toán giải tích. Bố cục của Luận văn được trình bày trong 03 chương
Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" được dành cho việc trình bày một
số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm số biến phức một biến.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

Chương 2 "Khai triển tiệm cận".Để trình bày nội dung chính của khóa luận
về đạo hàm của một số chuỗi lũy thừa tiệm cận, trong chương này em giới
thiệu một số kiến thức căn bản về lý thuyết khai triển tiệm cận.
Chương 3 "Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận một số dạng tích phân".Đây
là phần chính của khóa luận, em trình bày bài toán xử lý hai dạng tích phân
∞ −u σ
e u A
0

u
du và
x

∞ u
(e
0

∓ 1)−1 uσ A

u
du
x

bằng phương pháp đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận.
2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu về lý thuyết
tiệm cận và đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm cận của một số dạng tích phân
đặc biệt.
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiệm
cận tích phân dạng
∞ −u σ

e u A
0

u
du và
x

∞ u
(e
0

∓ 1)−1 uσ A

u
du
x

4 Phương pháp nghiên cứu. Đọc sách, nghiên cứu tài liệu,tổng hợp kiến
thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
5 Dự kiến các đóng góp của đề tài. Hệ thống hóa các kiến thức căn
bản về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận. Trình bày đạo hàm của chuỗi lũy thừa tiện
cận một số dạng tích phân đặc biệt.
Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 vào tháng
4 năm 2017 dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào.

4


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Số phức và mặt phẳng phức

Số phức là số có dạng z = x + iy với x, y ∈ R và i2 = −1 và i là đơn vị ảo mà
i2 = −1.Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được ký hiệu tương ứng bởi
x = Rez, y = Imz.

Tập hợp các số phức được ký hiệu bởi C và được đồng nhất với mặt phẳng
R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y)

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực và Oy là trục ảo. Phép cộng
và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các
phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1 .Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )

và
z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 )
= x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).

Với mỗi số phức z = x + iy , ta xác định modul của số phức z là giá trị
|z| =

x2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ky hiệu va

xac đinh bơiz¯ = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Rez =
z + z¯
z − z¯
1
z¯
, Imz =
và |z|2 = z.¯
z , = 2 ; với z = 0.
2
2i
z
|z|
Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ ; với r > 0, θ ∈ R được

gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là argz (argument của số phức z
được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π ). Argument
của sô phưc z thỏa mãn 0 ≤ argz < 2π được gọi là argument chính ký hiệu là
phz. Ta có
eiθ = cosθ + i sin θ.

Bởi vì eiθ = 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục và nửa
đường thẳng xuất phát từ gốc toa độ đi qua điểm z . Cuối cùng, ta lưu ý rằng
nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .

1.2

Một số tập hợp trong mặt phẳng phức

Cho z0 ∈ C và r > 0 , ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} a.

Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r} .

Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} .

Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, kí hiệu là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}

Cho tập Ω ⊂ C điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại r > 0
sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là intΩ gồm tất cả các điểm
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
Tập Ω đươc gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm z ∈ C đươc
gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm zn ∈ C sao cho
zn = z và lim zn = z . Chúng ta có thể kiểm tra được rằng một tập Ω là đóng
n→∞

nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và
¯ . Biên của Ω ký hiệu là ∂Ω = Ω\intΩ
¯
các điểm giới hạn của nó, ký hiệu là Ω
.

Tập Ω là bị chặn nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho |z| ≤ M ; với mọi z ∈ Ω.
Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω} .

Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Ω ⊂ C được gọi
là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng Ω1 và Ω2 sao cho
Ω = Ω1 ∪ Ω2 . Một tập mở liên thông trong C được gọi là một miền. Tập đóng
F là liên thông nếu không thể viết F = F1 ∪ F2 ở đó F1 và F2 là các tập đóng

rời nhau.

1.3

Hàm chỉnh hình

Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω . Hàm f (z) được gọi là chỉnh hình
tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
h

(1.1)

khi h → 0,ở đó 0 = h ∈ với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f (z0 )

và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 . Như vây, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
h
h→0

f (z0 ) = lim

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω. Nếu M
là tập đóng của C ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên một
tập mở nào đó chứa M . Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

Hàm f là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f (z) = 1. Thật vậy
ta có
(z + h) − z
f (z0 + h) − f (z0 )
= lim
= 1.
h
h
h→0
h→0

f (z0 ) = lim

Từ đó ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n chỉnh hình trên mặt phẳng
C và
P (z) = a1 + 2a2 z + ... + nan z n−1 .

Trong khi đó, hàm f (z) = z¯ là không chỉnh hình trên toàn mặt phẳng. Thật
vậy, ta thấy
¯ − z¯ h
¯
z + h − z¯ z¯ + h
f (z0 + h) − f (z0 )
=
=
=
h
h
h
h

không có giới hạn khi h → 0. Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh
hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho
f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên, ta có
h→0

a = f (z0 ). Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm

hai biến có sự khác nhau đáng kể. Như ta đã thấy hàm f (z) = z¯ không khả vi
phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y)
khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo hàm của nó tại một điểm là
ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các
đạo hàm riêng của nó. Mối quan hệ giữa hai kết quả khả vi đó được phản ánh
qua kết quả dưới đây
Định lý 1.1. (Điều kiện Cauchy-Riemann). Điều kiện cần và đủ để hàm
phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại điểm đó tồn tại
các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng thời các đạo hàm đó
thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂u
∂v
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y), (x, y) = − (x, y)
∂x
∂y
∂y
∂x

8

(1.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4

Nguyễn Thị Liên

Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
∞

an z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n + ...

(1.4)

n=0

trong đó
an ∈ C; n = 0, 1, 2, ...

Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z0 nào đó, thì nó
cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0 |. Hơn nữa, ta cũng phân biệt rằng
luôn luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối.

∞

Định lý 1.2. (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

an z n . Khi đó, tồn tại số

n=0

0 ≤ R ≤ +∞ sao cho
(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối.

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.
1
1
Hơn nữa nếu ta sử dụng qui ước = ∞ và
= 0 thì số R được tính bởi công
0
∞

thức
1
1
= lim sup |an | n .
R n→∞

Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi và miền |z| < R được gọi là đĩa
hội tụ.
Các ví dụ thêm nữa về chuỗi lũy thừa hội tụ trong toàn mặt phẳng phức là
các hàm lượng giác
∞

cos z =

(−1)n

n=0

∞
z 2n
z 2n+1

và sinz =
(−1)n
.
(2n)!
(2n + 1)!
n=0

Bằng tính toán đơn giản ta nhận được các công thức Euler dưới dạng mũ
phức
cosz =

eiz + e−iz
eiz − e−iz
và sinz =
.
2
2
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên
∞

Định lý 1.3. Chuỗi lũy thừa f (z) =

an z n xác định một hàm chỉnh hình

n=0

trong đĩa hội tụ của nó. Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi lũy thừa thu
được bằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi hàm f (z), tức là
∞

nan z n−1 .

f (z) =
n=0

Hơn nữa, f (z) có cùng bán kính hội tụ với f (z).
1

Chứng minh. Bởi vì lim n n = 1, nên ta có
n→∞

1

1

lim sup |an | n = lim sup |nan | n .

n→∞
∞

Do đó, chuỗi

an z n và

n=0

n→∞

∞

nan z n−1 có cùng bán kính hội tụ. Để chứng minh

n=0

khẳng định thứ nhất, chúng ta phải chứng minh chuỗi
∞

g(z) =

nan z n−1

n=1

bằng đạo hàm của f (z). Ký hiệu R là bán kính hội tụ của f (z) và giả sử
|z0 | < r < R. Ta viết

f (z) = SN (z) + EN (z)

với
N

SN (z) =

∞

an z n và EN (z) =

n=0

an z n .

n=N +1

Khi đó, nếu chọn h sao cho |z0 + h| < r, thì ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
− g(z0 ) =
h

SN (z0 + h) − SN (z0 )
−S
h
+ (S N (z0 ) − g(z0 ))+

Ta thấy

10

N (z0 )

EN (z0 + h) − EN (z0 )
.
h


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

∞
∞
(z0 + h)n − z0 n
EN (z0 + h) − EN (z0 )
≤
|an |
≤
|an |nrn−1
h
h
n=N +1
n=N +1

Ở đó ta đã sử dụng |z0 | < r và |z0 + h| < r . Biểu thức ở vế phải là phần dư
của một chuỗi hội tụ, từ g(z) là hội trụ tuyệt đối với mọi |z| < R. Do đó, với
mọi ε > 0 tồn tại N1 sao cho với mọi N ≥ N1 ta có
EN (z0 + h) − EN (z0 )
ε
< .
h
3

Từ lim SN (z0 ) = g(z0 ) nên tìm được N2 mà với mọi N ≥ N2 ta có
N →∞

|S

N (z0 ) − g(z0 )|

ε
< .
3

Cố định N > max {N1 , N2 } thì ta có thể tìm được δ > 0 sao cho |h| < δ thì

SN (z0 + h) − SN (z0 )
−S
h

Do đó

N (z0 )

ε
< .
3

f (z0 + h) − f (z0 )
− g(z0 ) < ε khi |h| < δ.
h

Hệ quả 1.1. Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó. Đạo
hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách lấy đạo hàm
của từng số hạng của nó.
Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc có khai
∞

triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa

an (z − z0 )n

n=0

tâm tại z0 với bán kính hội tụ dương sao cho
∞

an (z − z0 )n

f (z) =
n=0

với mọi z trong lân cận của điểm z0 . Nếu f (z) có khai triển lũy thừa tại mọi
z ∈ Ω thì ta nói rằng f (z) giải tích trên Ω.

Từ định lý 1.3 ta thấy rằng một hàm giải tích trên Ω thì cũng chỉnh hình trên
đó.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Nguyễn Thị Liên

Tích phân phức

Đường cong tham số. Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).

Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên đoạn [a, b]
và z (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b được hiểu như các
giới hạn một phía

z (a) = lim

z(a + h) − z(a)
h

z (b) = lim

z(b + h) − z(b)
.
h

h→0+

và

h→0−

Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và tồn tại
các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi đoạn [ak , bk+1 ].
Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thể khác nhau với mọi
k = 1, 2, ..., n − 1.

Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là tương đương
nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến [a, b] sao cho t (s) > 0
và z¯(s) = z (t(s)) . Điều kiện t (s) > 0 đảm bảo hướng của đường cong, khi s
chạy từ c đến d thì t(s) chạy a từ b đến. Họ của tất cả các đường cong tham
số tương đương với z(t) xác định một đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong
γ − là đường cong thu được từ γ bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa

của γ − được xác định như sau
z − : [a, b] → R2 , z − (t) = z(b + a − t).

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b); được
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu t = s thì
z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra s = a và s = b. Để ngắn

gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là một đường cong.
Ví dụ 1.5.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C: |z − z0 | = r} .

Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit ;t ∈ [0, 2π]

và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it ;t ∈ [0, 2π].

Định nghĩa 1.1. Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương. Cho đường
cong trơn γ được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C và f là hàm liên
tục trên γ. Tích phân của hàm f dọc theo γ được xác định bởi
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương trình
tham số đối với γ. Giả sử z¯ là một tham số hóa tương đương xác định như
trên thì

d

b

f (z(t)) .z (t)dt =
a

f (z(t(s))) .z (t(s)) .t (s)ds
c
d

=

f (¯
z (s)) z¯ (s)ds.
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
n−1 ak+1

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
k=0 ak

Từ định nghĩa 1.6, ta suy ra độ dài của đường cong γ là

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

b

length(γ) =

z (t) dt.
a

Ví dụ 1.5.2. Tính tích phân
(z − z0 )n dz, n = 0, ±1, ±2, ...
γ

trong đó γ là đường tròn
z = z0 + reit , t ∈ [0, 2π].

Ta có

2π

(re ) (ireit )dt = i

(z − z0 ) dz =
γ

2π
it n

n

0

rn+1 ei(n+1)t dt.
0

Nếu n = −1, thì tích phân trên trở thành
2π

dz

=i
z − z0
γ

dt = 2πi.
0

Nếu n = −1 thì ta có

(z − z0 )n dz = irn+1 
γ



2π

[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt = 0.
0

Ví dụ 1.5.3. Giả sử γ là đường cong trơn tuỳ ý có phương trình tham số
z = z(t), t ∈ [a, b]. với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

b

dz =
γ

b

z (t)dt =
a

b

dx(t) + i
b

dy(t)
b

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a).

và

b

zdz =
γ

b

1

z(t).z (t)dt =
2
a

d z 2 (t) =

1 2
z (b) − z 2 (a) .
2

a

Nếu hàm f (z) liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và γ là một đường
cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2 , thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Chứng minh. Nếu γ là một đường cong trơn và z(t) : [a, b] → C là phương
trình tham số của đường cong γ thì
b

f (z(t)) .z (t)dt

f (z)dz =
γ

a
b

=

F (z(t)) .z (t)dt
a

b

=
a

d
F (z(t)) dt
dt

= F (z(b)) − F (z(a)) = F (ω2 ) − F (ω1 ).

Nếu γ trơn từng khúc thì ta có

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

n−1

[F (z(ak+1 )) − F (z(ak ))]

f (z)dz =
k=0

γ

= F (z(an )) − F (z(a0 ))
= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2 ) − F (ω1 ).

Hệ quả 1.2. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω Nếu hàm f (z) liên
tục và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.3. Nếu f (z) chỉnh hình trong miền Ω và f (z) = 0 thì f (z) là hàm
hằng.
Chứng minh. Cố định điểm ω0 ∈ Ω. Bởi vì Ω liên thông nên với điểm ω0 ∈ Ω
tồn tại đường cong γ nối ω với ω0 . Ta có
f (z)dz = f (ω) − f (ω0 ).
γ

Bởi vì f (z) = 0 nên

f (z)dz = 0.Do đó f (ω) = f (ω0 ).
γ

Từ các ví dụ 1.7 và 1.8, chúng ta thấy rằng các tích phân trên không phụ
thuộc và hình dạng của đường cong và tích phân bằng 0 theo đường cong
đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc theo đường cong đối với
hàm chỉnh hình là
Định lý 1.4. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên trong C với
biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f (z) là hàm chỉnh hình

trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
f (z)dz = 0.
∂D

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

Chứng minh. Chúng ta viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi đó
(udx − vdy) + i(vdx + udy).

f (z)dz =
∂D

∂D

Theo định lý Green, ta có
F =

dF .
D

∂D

Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta có
udx − vdy =

−

∂v ∂u
−
∂x ∂y

dxdy = 0.

D

∂D

Tương tự, tích phân của phần ảo trong cũng bằng 0 và định lý được chứng
minh.
Định lý 1.5. (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f (z) là hàm chỉnh hình
trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến đóng bất kỳ γ ⊂ D
mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z) =

1
2πi

γ

f (ζ)
dζ với mọi z0 ∈ Dγ .
ζ − z0

¯ với ∂D là một chu tuyến đóng thì với mọi
Hơn nữa, nếu f (z) liên tục trên D

z ∈ D ta có
f (z0 ) =

f (ζ)
dζ.
ζ −z

1
2πi
∂D

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tuỳ ý vây quanh điểm z0 sao cho Dγ ⊂ D.
Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0 , ρ) tâm z0 bán kính ρ chứa trong Dγ . Ký
hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0 , ρ) và Dγ, ρ = Dγ \S(z0 , ρ). Bởi vì f (ζ)/ζ − z0 là
hàm chỉnh hình với mọi z ∈ Dγ \S(z0 , ρ) nên chúng ta có
f (ζ)
dζ = 0.
ζ − z0
γ+Cρ−

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

Từ đó, chúng ta suy ra
f (ζ)
dζ.

ζ − z0

f (ζ)
dζ =
ζ − z0
γ

Cρ

Thực hiện phép đổi biến đối với tích phân ở vế phải ζ − z0 = ρeit ; 0 ≤ t < 2π
thì dζ = iρeit dt và chúng ta nhận được
2π

f (ζ)
dζ =
ζ − z0

f (z0 + ρeit ) it
iρe dt
ρeit

0

Cρ

2π

f (z0 + ρeit ) dt

=i

0
2π

f (z0 + ρeit ) − f (z0 ) dt − 2πif (z0 ).

=i
0

Bởi vì f (z) liên tục, nên khi ρ → 0 thì
f (ζ)
dζ = 2πif (z0 ).
ζ − z0

lim

ρ→0
Cρ

Từ đó, chúng ta suy ra
f (z) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
γ

¯ thì ta có thể thay ∂D cho γ trong chứng minh

Trường hợp f (z) liên tục trên D

trên và nhận được kết quả mong muốn.
Định lý 1.6. (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu f (z) là
hàm chỉnh hình trong một miền D thì f (z) khả vi vô hạn lần trong D Hơn
nữa, nếu γ là chu tuyến đóng nằm trong D, thì
f (n) (z0 ) =

n!
2πi

f (z)
γ

(z − z0 )n+1

dz; với mọi z0 ∈ Dγ .

Chứng minh. Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n. Trường
hợp n = 0, ta nhận được từ công thức tích phân Cauchy. Giả sử công thức
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

đúng cho trường hợp n − 1, tức là
f (n−1) (z0 ) =

(n − 1)!
2πi

f (z)
dz.
(z − z0 )n
γ

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0 +h ∈ Dγ , thương vi phân đối với hàm f (n−1) (z)
được cho bởi công thức
f (n−1) (z0 + h) − f (n−1) (z0 )
(n − 1)!
=
h
2πi

f (ζ)

1
1
1
dζ.
n −
h (ζ − z0 − h)
(ζ − z0 )n

γ

Đặt
A=

1
1
,B=
ζ − z0 − h
ζ − z0

chúng ta nhận được
1

n−

(ζ − z0 − h)

1
1
(An−1 +An−2 B+...+AB n−2 +B n−1 ).
n =
(ζ − z0 − h)(ζ − z0 )
(ζ − z0 )

Do đó, khi h → 0, thương vi phân hội tụ đến
(n − 1)!
2πi

f (ζ)
γ

1
2

.

n
n−1

(ζ − z0 ) (ζ − z0 )

Định lý được chứng minh.

19

dζ =

n!
2πi

f (z)
γ

(z − z0 )n+1

dz.


Chương 2

Khai triển tiệm cận
2.1

Một số khái niệm bậc

Các ký hiệu O, o và ∼ được sử dụng lần đầu tiên bởi E. Landau và P. D. B.
Reymond và chúng được định nghĩa như sau
Định nghĩa 2.1. Giả sử f (z) và φ(z) là các hàm số liên tục của biên phức
xác định trên một miền D ⊂ C và có giới hạn khi z → z0 trong D. Ta định
nghĩa và ký hiệu tương ứng các mối quan hệ giữa hai hàm này khi z → z0 như
sau Cho f (z) và φ(z) là hai hàm số xác định trên một tập R trong mặt phẳng
phức và cho z0 là một điểm giới hạn của R , có thể là điểm vô cùng.
Ví dụ có thể R là hình quạt
0 < |z| < ∞; α < phz < β

và có thể là gốc tọa độ hoặc là điểm vô cùng. Cho một lân cận của z0 (chính
xác hơn là cho một lân cận cầu), nghĩa là một hình cầu mở |z − z0 | < δ nếu z0
là một điểm hữu hạn, hoặc là miền |z| > δ nếu z0 là điểm vô hạn. Ta thường
sử dụng ký hiệu f (z) = O (φ(z)) trên R, nếu tồn tại một hằng số dương A sao
cho |f (z)| ≤ A |φ(z)| với mọi z ∈ R. Đơn giản hơn, nếu φ không triệt tiêu trên
R, thì f (z) = O (φ(z)) nghĩa là tồn tại một hằng số sao cho
f (z)
≤ A; với mọi z ∈ R.
φ(z)

Định nghĩa 2.2. (Tiệm cận bị chặn) Hàm f (z) được gọi là tiệm cận bị chặn
20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Liên

( hoặc bậc O lớn) đối với hàm φ(z) khi z → z0 viết là f (z) = O (φ(z)) khi z → z0
nếu tồn tại hằng số A một lân cận U của z0 sao cho
|f (z)| ≤ A |φ(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ R.

Định nghĩa 2.3. (Tiệm cận nhỏ hơn) Hàm f (z) được gọi là tiệm cận nhỏ
hơn ( hoặc bậc o nhỏ) đối với hàm φ(z) khi z → z0 viết là f (z) = o (φ(z)) khi
z → z0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận U của z0 sao cho
|f (z)| ≤ ε |φ(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ R.

Cũng đơn giản hơn, nếu φ(z) không triệt tiêu trong lân cận của z0 có thể trừ
ra tại điểm này thì f (z) = o (φ(z)) , nghĩa là
lim

z→z0

f (z)
= 0.
φ(z)

Định nghĩa 2.4. (Tiệm cận tương đương) Ta nói f (z) là tiệm cận tương
đương với φ(z) khi z → z0 nếu f (z) ∼ φ(z); khi z → z0 .
Điều đó có nghĩa là, nếu φ(z) khác 0 trong lân cận của z0 có thể trừ ra tại
điểm này thì ta có
lim

z→z0

f (z)
= 1.
φ(z)

Điều này tương đương với, khi z → z0 thì
f (z) = φ(z) + o (φ(z)) .

Một số ví dụ
Ví dụ 2.1.1. f (t) = O(1) khi t → t0 , có nghĩa là f (t) là bị chặn khi t tiến tới
t0 .

Ví dụ 2.1.2. f (t) = o(1) ⇒ f (t) → 0 khi t → t0 .
Ví dụ 2.1.3. Nếu f (t) = 5t2 + t + 3, khi f (t) = o(t3 ), f (t) = O(t2 ) và f (t) ∼ 5t2
khi t → ∞, nhưng f (t) ∼ 3 khi t → t0 , và f (t) = o

1
t

khi t → ∞.

Ví dụ 2.1.4. Khi t → ∞, t1000 = o(et ), cos t = O(1).
1
Ví dụ 2.1.5. Khi t → 0+ , t2 = o(t), e t = o(1), tan t = O(t), sin t ∼ t.
−

21