Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
———————

DƯƠNG THỊ THU HUYỀN

ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM
CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội, năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
—————–

DƯƠNG THỊ THU HUYỀN

ĐẠO HÀM CỦA KHAI TRIỂN TIỆM
CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội, năm 2017

LỜI CẢM ƠN
Nhân dịp khóa luận được hoàn thành em xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã tận tình hướng dẫn em
trong quá trình thực hiện khóa luận.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Đào tạo, các thầy cô giáo trong nhà
trường và các thầy cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi
trong quá trình em học tập và nghiên cứu.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏi
những hạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định. Em xin chân thành
cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô
giáo và em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động
viên và tạo mọi điều kiện để em có thể hoàn thành bài khóa luận này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Dương Thị Thu Huyền


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ ĐẠO HÀM
CỦA KHAI TRIỂN TIỆM CẬN MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN” được
hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng
với bất cứ khóa luận nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện
khóa luận, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học
với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Dương Thị Thu Huyền


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Một số tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . .

4

1.3

Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Khai triển tiệm cận

16

2.1

Một số khái niệm bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Dãy tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3

Định nghĩa của Poincaré về khai triển tiệm cận . . . .

19

2.4

Chuỗi lũy thừa tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.5

Tính chất của khai triển tiệm cận . . . . . . . . . . . .

28

3 Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích
phân
3.1

33

Hàm F (u) phụ thuộc tuyến tính tại giới hạn của tích
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

e−F Gdu . . . . . . .

34

3.1.1

Đánh giá dạng tích phân
i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.1.2
3.2

Đánh giá dạng tích phân

Dương Thị Thu Huyền

e−F uσ Gdu . . . . . .

39

Hàm F (u) phụ thuộc toàn phương tại giới hạn của tích
phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.2.1

Đánh giá dạng tích phân

e−F Gdu . . . . . . .

42

3.2.2

Đánh giá dạng tích phân

e−F uσ Gdu . . . . . .

46

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

50

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

LỜI NÓI ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài. Trong thực tế thường xảy ra rằng, những chuỗi
phân kỳ có thể được sử dụng cho sự tính toán giá trị số của một đại
lượng mà theo nghĩa nào đó có thể được xem như là “tổng” của chuỗi.
Trường hợp điển hình là đối với các chuỗi hàm, bằng sự xấp xỉ bởi
một số hạng đầu tiên của chuỗi thực sự đem lại hiệu quả mong muốn.
Trong hầu hết các trường hợp các số hạng đầu tiên của chuỗi giảm
nhanh (khi giá trị độc lập tiến nhanh tới giá trị giới hạn của nó),

nhưng những số hạng sau bắt đầu tăng trở lại. Các chuỗi như vậy gọi
là chuỗi bán hội tụ, và việc tính toán giá trị số thường được thực hiện
bởi một số hạng đầu của chuỗi.
Đạo hàm có vai trò quan trọng trong Toán học, trong thực tế và các
ngành khoa học khác có liên quan như Vật lí,. . . . Nhờ đạo hàm mà ta
có thể giải quyết một khối lượng lớn các dạng bài tập khó mà bằng
cách giải bình thường ta không thể làm được. Thông thường, các bài
tập đó thường liên quan tới tích phân như tích phân suy rộng và một
số tích phân đặc biệt có cận vô cực, bằng phương pháp đạo hàm của
khai triển tiệm cận ta có thể giải được chúng.
Với những lí do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào
em chọn đề tài “ Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng
tích phân” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán
giải tích.
Bố cục của khóa luận được trình bày trong 03 chương
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

Chương 1. Được giành cho việc trình bày một số kiến thức căn bản
lý thuyết hàm số biến phức.
Chương 2. Để có thể giới thiệu mục đích chính của khóa luận về đạo
hàm của khai triển tiệm cận một số tích phân, trong chương này em
giới thiệu một số vấn đề căn bản về lý thuyết tiệm cận.
Chương 3. Đây là phần chính của khóa luận, em trình bày về đạo

hàm của khai triển tiệm cận hai dạng tích phân sau
e−F Gdu và

∞

e−F uσ Gdu

0

limit

2 Mục tiêu nghiên cứu. Khóa luận nghiên cứu về lý thuyết tiệm
cận và đạo hàm của khai triển tiệm cận của một số dạng tích phân
đặc biệt.
3 Phạm vi nghiên cứu. Đạo hàm của khai triển tiệm cận các tích
phân dạng
−F

e

∞

Gdu và

limit

e−F uσ Gdu

0

4 Các phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
5 Dự kiến các đóng góp của đề tài. Hệ thống hóa một số kiến
thức căn bản về lý thuyết xấp xỉ tiệm cận. Trình bày đạo hàm của
khai triển tiện cận hai dạng tích phân như đã nói trên.

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

2


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Số phức và mặt phẳng phức

Số phức là số có dạng z = x + iy với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà
i2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được ký hiệu tương
ứng bởi
x = Rez, y = Imz.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C và được đồng nhất trong mặt
phẳng R2 bởi phép tương ứng
C → R2
z = x + iy → (x, y).
Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực và Oy là trục ảo. Phép
cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường
như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1. Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

và
z1 .z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 )
= x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 ).
Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá trị
|z| =

x2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được kí hiệu

và xác định bởi z¯ = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được
z − z¯
z + z¯
, Imz =
Rez =
2
2i
và
|z|2 = z.¯
z,

1
z¯

= 2 ; với z = 0.
z
|z|

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ ; với r > 0, θ ∈ R
được gọi là argument z và được kí hiệu là argz (argument của số phức
z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π).
Argument của số phức z thỏa mãn 0 ≤ argz < 2π được gọi là argument
chính, ký hiệu là phz. Ta có
eiθ = cos θ + i sin θ
Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục
Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối
cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .

1.2

Một số tập hợp trong mặt phẳng phức

Cho z0 ∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z0 bán kính r là tập hợp
Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | < r}.
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

Đĩa đóng tâm z0 bán kính r là tập hợp

Dr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | ≤ r}.
Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r}.
Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, kí hiệu là
D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Cho tập Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn
tại r > 0 sao cho Dr (z0 ) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là intΩ gồm
tất cả các điểm trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó
là điểm trong.
Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm
z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các
điểm zn ∈ C sao cho zn = z và lim zn = z. Chúng ta có thể kiểm
n→∞

tra được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của
nó. Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký
¯ Biên của Ω kí hiệu là ∂Ω = Ω\intΩ.
¯
hiệu là Ω.
Tập Ω là bị chặn nếu
M > 0 sao cho |z| ≤ M ; với mọi z ∈ Ω. Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta
xác định đường kính của nó bởi số
diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω}.
Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Ω ⊂ C
được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng
Ω1 và Ω2 sao cho Ω = Ω1 ∪Ω2 . Một tập mở liên thông trong C được gọi
là một miền. Tập đóng F là liên thông nếu không thể viết F = F1 ∪ F2
ở đó F1 và F2 là các tập đóng rời nhau.

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

Dương Thị Thu Huyền

Hàm chỉnh hình

Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω . Hàm f (z) được gọi là
chỉnh hình tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức
f (z0 + h) − f (z0 )
h

(1.1)

khi h → 0, ở đó 0 = h ∈ C với z0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được kí hiệu
bởi f (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 . Như vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
f (z0 ) = lim
.
h→0
h
Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của
Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là
chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M . Hàm f chỉnh hình trên
Ω được gọi là hàm nguyên.

Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và
f (z) = 1. Thật vậy, ta có
(z + h) − z
f (z0 + h) − f (z0 )
= lim
= 1.
f (z0 ) = lim
h→0
h→0
h
h
Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + ... + an z n chỉnh hình trên
mặt phẳng C và
P (z) = a1 + 2a2 z + ... + nan z n−1 .
Trong khi đó, hàm f (z) = z¯ là không chỉnh hình trên toàn mặt phẳng.
Thật vậy, ta thấy
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h
=
=
=
h
h
h
h
không có giới hạn khi h → 0. Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là
chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
h→0

ta có a = f (z0 ). Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi
thực của một hàm hai biến có sự khác biệt đáng kể. Như ta đã thấy
hàm f (z) = z¯ không khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó
tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai
biến thực. Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được
cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng
của các hàm tọa độ. Mối quan hệ giữa hai khái niệm khả vi đó được
phản ánh qua kết quả dưới đây
Định lý 1.1. (Điều kiện Cauchuy-Riemann.) Điều kiện cần và đủ để
hàm phức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại
điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y),
đồng thời các đạo hàm đó thỏa mãn điều kiện Cauchuy-Riemann
∂v
∂u
∂v
∂u

(x, y) =
(x, y), (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y
∂y
∂x

1.4

(1.3)

Tích phân phức

Đường cong tham số. Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z (t) liên tục trên
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

đoạn [a, b] và z (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b
các đại lượng z (a) và z (b) được hiểu như các giới hạn một phía
z(a + h) − z(a)
z(b + h) − z(b)

z (a) = lim+
và z (b) = lim−
.
h→0
h→0
h
h
Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên
mỗi đoạn [ak , bk+1 ]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm có thể
khác nhau với mọi k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến
[a, b] sao cho t (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Điều kiện t (s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b.
Họ của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định
một đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được
từ γ bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác
định như sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t)
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường
cong. Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) =
z(b); được gọi là đường cong đóng nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa
là nếu t = s thì z(t) = z(s). Trường hợp đường cong đóng thì trừ ra
s = a và t = b. Để ngắn gọn ta sẽ gọi đường cong trơn từng khúc là
một đường cong.
Ví dụ 1.4.1. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 bán kính r
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

Cr (z0 ) = {z ∈ C: |z − z0 | = r}.
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit ;t ∈ [0, 2π].
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it ;t ∈ [0, 2π].
Định nghĩa 1.1. Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương. Cho
đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương trình z : [a, b] → C
và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f dọc theo γ được
xác định bởi
b

f (z)dz =
γ

f (z(t)) z (t)dt.
a

Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn
phương trình tham số đối với γ. Giả sử z¯ là một tham số hóa tương
đương xác định như trên thì
b

d

f (z(t)) · z (t)dt =
a

f (z(t(s))) · z (t(s)) · t (s)ds
c
d

=

f (¯
z (s)) z¯ (s)ds.
c

Từ định nghĩa 1.1, ta suy ra độ dài của đường cong γ là
b

|z (t)| dt.

length(γ) =
a

Ví dụ 1.4.2. Tính tích phân
(z − z0 )n dz, n = 0, ±1, ±2, ...
γ

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

trong đó γ là đường tròn z = z0 + reit , t ∈ [0, 2π].
Ta có
2π
n

(z − z0 )n dz =
γ

2π

(reit ) (ireit )dt = i
0

rn+1 ei(n+1)t dt.
0

Nếu n = −1, thì tích phân trên trở thành
2π

dz
=i
z − z0
γ

dt = 2πi.

0

Nếu n = −1 thì ta có

(z − z0 )n dz = irn+1 
γ



2π

[cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt = 0.
0

Ví dụ 1.4.3. Giả sử γ là đường cong trơn tùy ý có phương trình tham
số z = z(t), t ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b). Khi đó
b

dz =
γ

b

z (t)dt =
a

b

dx(t) + i
b

dy(t)
b

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a).

Định lý 1.2. Nếu hàm f (z) liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω,
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

và γ là một đường cong trong Ω có điểm đầu là ω1 và điểm cuối ω2 ,
thì
f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).
γ

Chứng minh. Nếu γ là một đường cong trơn và z(t) : [a, b] → C là
phương trình tham số của đường cong γ thì
b

f (z(t)) · z (t)dt

f (z)dz =
γ

a
b

F (z(t)) · z (t)dt

=
a
b

d
F (z(t)) dt
a dt
= F (z(b)) − F (z(a)) = F (ω2 ) − F (ω1 ).
=

Nếu γ trơn từng khúc thì ta có
n−1

[F (z(ak+1 )) − F (z(ak ))]

f (z)dz =
γ

k=0

= F (z(an )) − F (z(a0 ))
= F (z(b)) − F (z(a))
= F (ω2 ) − F (ω1 ).
Hệ quả 1.1. Giả sử γ là đường cong đóng trong tập mở Ω. Nếu hàm

f (z) liên tục và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.2. Nếu f (z) chỉnh hình trong miền Ω và f (z) = 0 thì f (z)
là hàm hằng.
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

Chứng minh. Cố định điểm ω0 ∈ Ω. Bởi vì Ω liên thông nên với điểm
bất kì ω ∈ Ω, tồn tại đường cong γ nối ω với ω0 . Ta có
f (z)dz = f (ω) − f (ω0 ).
γ

Bởi vì f (z) = 0 nên

f (z)dz = 0. Do đó f (ω) = f (ω0 ).
γ

Từ các ví dụ 1.4.2 và 1.4.3, chúng ta thấy rằng các tích phân trên
không phụ thuộc vào hình dạng của đường cong và tích phân bằng 0
theo đường cong đóng bất kỳ. Kết quả quan trọng của tích phân dọc
theo đường cong đối với hàm chỉnh hình là
Định lý 1.3. (Cauchy-Goursat). Giả sử D là một miền n-liên trong

C với biên ∂D gồm các chu tuyến đóng trơn từng khúc và f (z) là hàm
chỉnh hình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
f (z)dz = 0.
∂D

Chứng minh. Chúng ta viết f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi đó
(udx − vdy) + i(vdx + udy).

f (z)dz =
∂D

∂D

Theo định lí Green, ta có

F =
∂D

dF .
D

Nếu F = udx − vdy, thì theo điều kiện Cauchuy - Riemann chúng ta

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

có
udx − vdy =

−

∂v ∂u
−
dxdy = 0.
∂x ∂y

D

∂D

Tương tự, tích phân của phần ảo trên cũng bằng 0 và định lí được
chứng minh.
Định lý 1.4. (Công thức tích phân Cauchy). Nếu f (z) là hàm chỉnh
hình trong một miền D và z0 ∈ D. Khi đó, với mọi chu tuyến đóng
bất kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z) =

1
f (ζ)
dζ; với mọi z0 ∈ Dγ
2πi γ ζ − z0

¯ với ∂D là một chu tuyến đóng thì
Hơn thế, nếu f (z) liên tục trên D

với mọi z ∈ D ta có
f (z0 ) =

1
f (ζ)
dζ.
2πi ∂D ζ − z

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0
sao cho Dγ ⊂ D. Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0 , ρ) tâm z0
bán kính ρ chứa trong Dγ . Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0 , ρ) và
Dγ, ρ = Dγ \S(z0 , ρ). Bởi vì f (ζ)/ζ − z0 là hàm chỉnh hình với mọi
z ∈ Dγ \S(z0 , ρ) nên chúng ta có

γ+Cρ−

f (ζ)
dζ = 0.
ζ − z0

Từ đó, chúng ta suy ra
f (ζ)
dζ =
ζ − z0
γ

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
Cρ

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

Thực hiện phép biến đổi với tích phân ở vế phải ζ − z0 = ρeit ; 0 ≤ t <
2π thì dζ = iρeit dt và chúng ta nhận được
2π

f (ζ)
dζ =
ζ − z0

f (z0 + ρeit ) it
iρe dt
ρeit

0

Cρ

2π

f (z0 + ρeit ) dt

=i
0
2π

f (z0 + ρeit ) − f (z0 ) dt−2πif (z0 ).

=i
0

Bởi vì f (z) liên tục, nên khi ρ → 0 thì
f (ζ)
dζ = 2πif (z0 ).
ζ − z0

lim

ρ→0
Cρ

Từ đó, chúng ta suy ra

f (z) =

1
2πi

f (ζ)
dζ.
ζ − z0
γ

¯ thì ta có thể thay ∂D cho γ trong
Trường hợp f (z) liên tục trên D
chứng minh trên và nhận được kết quả như mong muốn.
Định lý 1.5. (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm). Nếu
f (z) là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f (z) khả vi vô hạn lần
trong D. Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến đóng nằm trong D, thì

f (n) (z0 ) =

n!
f (z)
dz; với mọi z0 ∈ Dγ .
2πi γ (z − z0 )n+1

Chứng minh. Ta chứng minh công thức bằng phép quy nạp theo n.
Trường hợp n = 0, ta nhận được từ công thức tích phân Cauchy. Giả
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

sử công thức đúng cho trường hợp n − 1, tức là

f (n−1) (z0 ) =

(n − 1)!
2πi

f (z)
dz.
(z − z0 )n
γ

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0 + h ∈ Dγ , thương vi phân đối với hàm
f (n−1) (z) được cho bởi công thức
f (n−1) (z0 + h) − f (n−1) (z0 )
h
(n − 1)!
1
1
1
f (ζ)
−
dζ.
=
2πi
h (ζ − z0 − h)n (ζ − z0 )n
γ

Đặt A =

1
1
,B=
, chúng ta nhận được

ζ − z0 − h
ζ − z0
1
1
n −
(ζ − z0 − h)
(ζ − z0 )n

=

1
(An−1 + An−2 B + ... + AB n−2 + B n−1 ).
(ζ − z0 − h)(ζ − z0 )

Do đó, khi h → 0, thương vi phân hội tụ đến
(n − 1)!
2πi

f (ζ)
γ

1
n
n!
2.
n−1 dζ =
2πi
(ζ − z0 ) (ζ − z0 )

γ

f (z)
dz.
(z − z0 )n+1

Định lí được chứng minh.

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

15


Chương 2
Khai triển tiệm cận
2.1

Một số khái niệm bậc

Các kí hiệu O, o và ∼ được sử dụng đầu tiên bởi E. Landau và P. D.
B. Reymond và chúng được định nghĩa như sau
Định nghĩa 2.1. Giả sử f (z) và φ(z) là các hàm số liên tục của biến
phức z, xác định trên một miền D ⊂ C và có giới hạn khi z → z0
trong D. Ta định nghĩa và kí hiệu tương ứng các mối quan hệ giữa
hàm này khi z → z0 như sau
Cho O, o và ∼ là hai hàm số xác định trên một tập R trong mặt phẳng
phức và cho z0 là một điểm giới hạn của R, có thể là điểm vô cùng.
Ví dụ, R có thể là hình quạt
0 < |z| < ∞; α < phz < β
và z0 có thể là gốc tọa độ hoặc là điểm vô cùng. Cho một lân cận của
z0 (chính xác hơn là cho một lân cận cầu), nghĩa là một hình cầu mở

|z − z0 | < δ nếu z0 là một điểm hữu hạn, hoặc là miền |z| > δ nếu z0
là điểm vô hạn.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

Ta thường sử dụng kí hiệu f (z) = O (φ(z)) trên R, nếu tồn tại một
hằng số dương A sao cho |f (z)| ≤ A |φ(z)| với mọi z ∈ R. Đơn giản
hơn, nếu φ không triệt tiêu trên R, thì f (z) = O (φ(z)) nghĩa là tồn
tại hằng số dương A sao cho

f (z)
≤ A; với mọi z ∈ R.
φ(z)
Tiệm cận bị chặn. Chúng ta nói hàm f (z) là tiệm cận bị chặn (hoặc
"bậc O lớn") đối với hàm φ(z) khi z → z0 và viết là f (z) = O (φ(z))
khi z → z0 nếu tồn tại một hằng số A và một lân cận U của z0 sao
cho
|f (z)| ≤ A |φ(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ R.
Tiệm cận nhỏ hơn. Hàm f (z) được gọi là tiệm cận nhỏ (hoặc "bậc
o nhỏ") đối với hàm φ(z) khi z → z0 và viết là f (z) = o (φ(z)) khi
z → z0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận U của z0 sao cho
|f (z)| ≤ ε |φ(z)| ; với mọi z ∈ U ∩ R.
Cũng đơn giản hơn, nếu φ(z) không triệt tiêu trong lân cận của z0 có
thể trừ ra tại điểm này, thì f (z) = o (φ(z)) nghĩa là
f (z)
= 0.

z→z0 φ(z)
lim

Tiệm cận tương đương. Ta nói f (z) là tiệm cận tương đương với
φ(z) khi z → z0 , nếu
f (z) ∼ φ(z); với mọi z → z0 .
Điều đó có nghĩa là, nếu φ(z) khác không trong một lân cận của z0 có
thể trừ ra tại điểm đó, thì ta có
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

f (z)
= 1.
z→z0 φ(z)
lim

Điều này tương đương với, khi z → z0 thì
f (z) = φ(z) + o (φ(z)) .
Chú ý rằng O - bậc cho ta nhiều thông tin hơn o - bậc, về dáng điệu
của hàm liên quan khi z → z0 . Chẳng hạn, sin z = z+o(z 2 ) khi z → z0 ,
cho chúng ta sin z − z → 0 nhanh hơn z 2 , tuy nhiên sin z = z + O(z 3 )
cho ta biết rằng sin z − z → 0 tương tự z 3 .
Một số ví dụ
• f (t) = O(1); khi t → t0 , nghĩa là f (t) là bị chặn khi t tiến tới t0 .

• f (t) = o(1) ⇒ f (t) → 0; khi t → t0 .
• Nếu f (t) = 5t2 +t+3; khi f (t) = o(t3 ), f (t) = O(t2 ) và f (t) ∼ 5t2 ;
khi t → ∞. Thế nhưng f (t) ∼ 3; khi t → 0 và f (t) = o

1
t

; khi

t → ∞.
• Khi t → ∞, t1000 = o(et ), cos t = O(1).
1
• Khi t → 0+ , t2 = o(t), e t = o(1), tan t = O(t), sin t ∼ t.
−

1
• Khi t → 0, sin(1/t) = O(1), cos t ∼ 1 − t2 .
2
Nhận xét
(i) Trong các khai triển trên, hàm φ(z) thường được gọi là hàm cỡ bởi
vì hàm đó xác định dáng điệu của hàm f (z).
(ii) Điều đó, đương nhiên vẫn đúng với các hàm với các biến rời rạc.
Chẳng hạn như dãy số thực (nghĩa là hàm của các số nguyên dương
Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Dương Thị Thu Huyền

n).
Ví dụ, nếu xn = 3n2 − 7n + 8 thì xn = o(n3 ), xn = O(n2 ) và xn ∼ 3n2
thì n → ∞.
(iii) Ta thường sử dụng kí hiệu f (z)

φ(z) khi z → z0 thay thế cho

f (z) = o (φ(z)) khi z → z0 .

2.2

Dãy tiệm cận

Một dãy hàm {φn (z)} được gọi là dãy tiệm cận khi z → z0 nếu có một
lân cận của z0 sao cho trong lân cận này không một hàm nào triệt
tiêu (có thể trừ ra tại z0 ) và với mọi n
φn+1 = o(φn ); khi z → z0 .
Chẳng hạn, nếu z0 hữu hạn, {(z − z0 )n } là một dãy tiệm cận khi
z → z0 , còn (z)−n là một dãy tiệm cận khi z → ∞.

2.3

Định nghĩa của Poincaré về khai triển tiệm
cận

Một chuỗi có dạng
∞

an φn (z) = a0 φ0 (z) + a1 φ1 (z) + ... + an φn (z) + ...
n=0

không nhất thiết hội tụ, được gọi là một khai triển tiệm cận của hàm
f (z) theo nghĩa của Poincaré, tương ứng với dãy tiệm cận {φn (z)} nếu
với mọi m
m

f (z) −

an φn (z) = o (φm (z))
n=0

Đạo hàm của khai triển tiệm cận một số dạng tích phân

19