Tìm giới hạn bằng máy tính cầm tay nguyễn văn phép

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT)
ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN
Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính
đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học .Kiến thức vế giới hạn không những
khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy .Trong tình hình hiện nay để
cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm .Để giúp giăm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài
này.
Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số:
Quy ước : trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n .
• Gặp hằng số : C  1010 ,C  10 20 …. đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C
là hằng số ( chú ý có thể lớn hơn 10).
10
ví dụ -5  10 ( đọc là âm vô cực ghi   )
• Gặp hằng số C  10 12 đọc là 0 ( Chú ý số mũ có thể nhỏ hơn – 10 ).
ví dụ: 15  10 12 đọc là 0
A. Dãy có giới hạn là 0
• Ví dụ 1: lim

 1n máy ghi :  1x calc x ? nhập 1010  
n5

x5

11

Kq : 9.99999995 10 ta đọc là 0
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)RQ)+5

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 1


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

 Ta nhập tiếp: 10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:

Kq : 9.99999995 10 11 ta đọc là 0
Vậy lim

 1n

n5

0

(1) n cos n
(1) x cos x
• Ví dụ 2: lim
nếu nhập
calc như trên máy sẽ
n2 1

x2 1

Math ERROR
-

Vận dụng định lý 1 Nếu u n  v n với mọi n và lim vn  0 thì lim u n  0 .

-

Ta chỉ cần ghi

Vậy lim

1
calc x ? nhập 1010   kết quả 1 10 20 đọc là 0
x 1
2

(1) n cos n
0
n2 1

• Ví dụ 3: lim

 1n máy ghi
n

2 1

(1) x

calc x ? 100 kq: 3.84430 ...26 x10 31
2x 1

đọc là 0
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
a(z1)^Q)R2^$Q)+1

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 2


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp: 100=
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim

 1x
2x 1

0

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm các giới hạn

( 1) n
2. lim
2n  1

 (n  1)
1. lim
n2

B.Giới hạn hữu hạn :


 1n 

3. lim

sin n
n5

4. lim

cos 2n
n3  1

 1n

• Ví dụ 1: lim 2 
 máy ghi: 2 
n2
n2


calc x ? nhập 1010   kq là 2

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 3


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp: 10^10=
Màn hình sẽ xuất hiện:



 1n 

vậy lim 2 
 =2
n2

• Ví dụ 2: lim 

1

sin 3n 1
sin 3n 
 mà lim  0 khi đó lim (-1)=-1
 1  1 vì
n
4n
n
 4n

sin 3n 
nên lim 
 1  1
 4n


• Ví dụ 3 lim

n 2  3n  5
2 n 2 1

Cách bấm máy:
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 4


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
 Nhập vào máy tính:
aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:

vậy lim

n 2  3n  5
= 0.5
2 n 2 1

Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:
 2n 3  4n 2  3n  3
 2n 3  4n 2  3n  3
máy
ghi
n 3  5n  7
n 3  5n  7
calc x ? nhập 1015   Kq là – 2

• Ví dụ 4 : lim

 2n 3  4n 2  3n  3
 2
Vậy lim
n 3  5n  7

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 5


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
2 X 1  3 X  11
1
calc x=100 kq
X 2
X 3
9
3
2
4
n 1
n
2  3  11  1

Vậy : lim n  2 n 3
9
3 2 4

• Ví dụ 5: máy ghi lim

• Ví dụ 6: lim

13  3 X  15
13.3 n  15
máy
ghi

calc X ? nhập 100  
3  2 X  4.5 X
3 .2 n  4 . 5 n

3.19755 ...x10 17 đọc là 0 .
13.3 n  15
 0 ( chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm )
Vậy lim n
3.2  4.5 n

C. Giới hạn vô cực :
 n 3  3n  5
 n 3  3n  5
máy
ghi
2n 2 11
2n 2 11
calc x ? nhập 1015   kq  5 1014 đọc là âm vô cực

• Ví dụ 1: lim

vậy lim

 n 3  3n  5
 
2n 2 11

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 6


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
 Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:

vậy lim

 n 3  3n  5
 
2n 2 11

• Ví dụ 2 : lim 5n 2  3n  1 máy ghi : 5n 2  3n  1
calc x ? nhập 1015   kq là 5 10 30 (Đọc là dương vô cực )
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
5Q)dp3Q)+1
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp: 10^15=
Màn hình sẽ xuất hiện:

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 7


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Vậy lim

 n 3  3n  5
 
2n 2 11

• Ví dụ 3: lim 3n 4  5n 2  n  1
máy ghi : 3n 4  5n 2  n  1
calc x ? nhập 1015   kq : 1.73205 ...08  10 30 ( đọc là dương vô cực )
Vậy : lim 3n 4  5n 2  n  1  
(Nhập tương tự ví dụ 2)
*Nếu

f n 
với f(n) ,g(n) là các đa thức theo n .Ta chú ý đến số hạng
g n 

chứa mũ cao nhất của n trong từng biểu thức f(n) ,g(n)
 2n 3
 2n 3  3n  2

máy
ghi
calc x ? nhập 1015
2
2
3n
3n  5
14
 6.66666667  10 (đọc là âm vô cực )

• Ví dụ 1: lim

  kq:

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
az2Q)^3R3Q)d
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số
khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 8


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

 Ta nhập tiếp: 10^15=

Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim

 2n 3  3n  2
 
3n 2  5

Tương tự cho các ví dụ bên dưới
• Ví dụ 2: lim

n 6  7 n 3  5n  8
máy ghi
n  12

n6
n

calc x ? nhập 1015   kq 1 10 30

( đọc là dương vô cực )
Vậy lim

n 6  7 n 3  5n  8
 
n  12

• Ví dụ 3: lim

3n  1

2n  1

máy

3x  1
calc x ? 100   4065611 ..x1017 đọc là   .
2x 1

*CHÚ Ý : Gặp a n nhập n = 100
Vậy lim

3n  1
 
2n 1

n 2  4n  5
3n 3  n 2  7
n 2  4n  5
0
vậy lim 3 2
3n  n  7

• Ví dụ 4 : lim

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

máy ghi

n2
3n 3

calc x ? nhập 1015   kq :0

Trang 9


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
2n 4  3n  2
2n 4
máy
ghi
calc x ? nhập 1015
2n 2
2n 2  n  3

• Ví dụ 5: lim

  kq:

2
2

Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước
khi áp dụng dạng trên .





• Ví dụ 1: lim n 2  n  1  n ta có

2

n n
2





Vậy lim n 2  n  1  n 

n 1

2

 n 1  n



máy

1
2

1
2

1

• Ví dụ 2: lim

 n

 n 1  n 

calc x ? nhập 1015   kq:

n

ghi

n

n  2  n 1

ta có

1
n  2  n 1

 n  2  n 1  2 n

Mà lim n  
Vậy : lim

1
n  2  n 1

1

• Ví dụ 3: lim
kq: 0

 

máy ghi

1

calc x ? nhập 1015  

3n  2n
3n  2  2n  1
1
 0 ( các hệ số trước n lệch nhau không
vậy: lim
3n  2  2n  1

cần nhân lượng liên hợp.
• Ví dụ 4: lim

  kq:

n2 1  n 1
3n  2

n2  n
calc x ? nhập 1015
3n

máy ghi :

1
3

Bài tập rèn luyện :
Tìm các giới hạn sau:
4n 2  n  1
1. lim
(KQ :2)
3  2n 2

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

2. lim

3n 2  5  n
1  2n 2

(KQ: 0 )

Trang 10


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
3. lim  n 2 


2 

 (KQ:   )
n 1

2n  3n 3  1
5. lim
(KQ: -3)
n3  n2

7. lim

n 2  n  1  4n 2  2
(KQ: -1 )
n3





6. lim

2  3n 3 n  1
1  4n

5



2

(KQ:

• Ví dụ 1: lim x 3  5 x 2  10 x  máy viết :
𝑥→2

27
)
4

3n  4 n  1
8. lim
(KQ: -1)
2.4 n  2 n

B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1.GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM:
Lim 𝑓(𝑥)
Nếu f x  xác định tại x0 viết f x  calc ? x0  
𝑥→𝑥0

1
)
2

4. lim n 2  n  n 2  1 (KQ:

x

3

 5 x 2  10 x



f  x0 

calc X ? 2  

48
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
Q)^3$+5Q)d+10Q)
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp: 2=
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 11


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim x2 x 3  5 x 2  10 x   48
Tương tự cho ví dụ 2
• Ví dụ 2: lim x1

x 2  5x  6

  2  f 1
x2

2. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:
2.1 Dạng

f x 
0
Khi tìm lim x x0
mà f x0   0 và g x0   0
g x 
0

• Ví dụ 3 : lim x2

x2  4
x 2  3x  2

máy ghi

x2  4
calc X ? nhập
x 2  3x  2

2,000001 ( lớn hơn 2 một tí ti ) máy hiện 3,999997 làm tròn đọc là 4
hay nhập x= 1,999999999 ( nhỏ hơn 2 một tí ti )   4
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
aQdp4RQ)dp3Q)+2
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy)

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 12


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

 Ta nhập tiếp: 2.000001=
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim x2

x2  4
4
x 2  3x  2

Tương tự cho các ví dụ tiếp theo
x 3  3x  2
x 3  3x  2
máy
ghi
calc X ?
x 4  4x  3
x 4  4x  3
x 3  3x  2 1
1


Nhập 0,9999999   Vậy lim x1 4
2
x  4x  3 2
x 4  x 2  72
x 4  x 2  72
• Ví dụ 5: lim x3 2
máy ghi
calc X ? nhập
x  2x  3
x 2  2x  3

• Ví dụ 4: lim x1

3,0000001 kq :25,50000069 đọc là 25,5 hoặc nhập 2,9999999
kq : 25,49999993 đọc là 25,5
x 4  x 2  72 51

Vậy lim x3 2
2
x  2x  3
1 
2
1 
 2
• Ví dụ 6: lim x1  2 

 calc X ? nhập
 máy ghi  2
 x 1 x 1

 x 1 x 1
1
1,000000001  
KQ :
2
1
3 
1
3 
• Ví dụ 7 : lim x1 
máy ghi 
calc X ? nhập


3 
3 
1 x 1 x 
1 x 1 x 
1,000000001   -1 KQ: -1

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 13


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
x4  a4
x4  a4
máy ghi
calc

xa
xa
chọn a = 0 khi đó x  0 kq: 0
chọn a =1 khi đó x  1 kq :4= 4  13
chọn a = 2 khi đó x  2 kq:32= 4  2 3
chọn a = 3 khi đó x  3 kq :108 = 4  33
x4  a4
 4a 3
Vậy lim xa
xa

• Ví dụ 8: lim xa

Nhận xét bài nầy thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn !
Bảng chia Hoc ne
Hệ số của 1
0
0
0
 a4
x
a 1
a
0
a2
a3
lim x a

x  a x 3  ax2  a 2 x  a 3   lim

2.2 DẠNG:

xa

xa

x

3



 ax2  a 2 x  a 3  4a 3

f x 

Thường gặp khi x   nếu dạng
không chứa căn bậc
g x 


chẳn thì tính như giới hạn dãy Chỉ khác n thay bằng x, khi x   nhập
 1010

3x 3  2 x  2
3
máy ghi
calc X ? 10 20 KQ:
3
2

2
 2x  2x  1

• Ví dụ 1: lim x

3x 3  2 x  2
 2x3  2x 2  1

• Ví dụ 2: lim x

x 4  3x 2  1
x 4  3x 2  1
máy
ghi:
calc X ?  1010 KQ:  
 x3  2x  2
 x3  2x  2
x 4  3x 2  1
x 4  3x 2  1
máy
ghi:
calc X ? 1010 KQ:
3
3
 x  2x  2
 x  2x  2

• Ví dụ 3: lim x

 1  10 20   (đọc là trừ vô cực )

• Ví dụ 4 : lim x

x 2  3x  2 x
máy ghi
3x  1

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

x 2  3x  2 x
1
calc X ?  10 20 KQ :
3x  1
3

Trang 14


TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
4x 2  2x  1  2  x

• Ví dụ 5: lim X 

TH1: lim X 
TH2: lim X 

9 x 2  3x  2 x

4x 2  2x  1  2  x
9 x 2  3x  2 x

4x 2  2x  1  2  x
9 x  3x  2 x
2

CALC X ? 10 20 (trong căn) KQ:

1
5

CALC X ?  10 20 KQ: 3

• Ví dụ 6: lim X  ( x 2  x  1  x) dạng    
Máy ghi

x 1
x2  x 1  x

CALC X? 10 20

KQ

1
2

• Ví dụ 7: lim X  ( x 2  x  1  x) Khi đó không phải dạng     . nên không
cần nhân lượng liên hợp
Máy ghi : ( x 2  x  1  x) CALC  10 20 KQ 2  10 20 đọc là   .

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép

Trang 15