Sổ tay giải toán 12 2017

Thy Nguyn c Thng

0969119789 –

Tr
ng PTLC Vinschool

S TAY GII TOÁN 12


Thy Nguyn c Thng

0969119789 –

Tr
ng PTLC Vinschool

MC LC

CH 

TRANG

A. KHO SÁT HÀM S


2

B. LU
THA - M - LÔGARIT

18

C. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ NG DNG

25

D. S
PHC

42

E. NÓN – TR-CU

47

F. PHNG PHÁP TO  TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

54

G. KH
I A DIN

64

H. GÓC VÀ KHONG CÁCH

67

I. B SUNG MT S
KIN THC

77

Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành

t – Tây M
, Nam T Liêm, Hà Ni

Page 1


Thy Nguyn c Thng
0969119789 –
Tr
ng PTLC Vinschool
A. KHO SÁT HÀM S

1. Tính n iu
1.1. Lí thuyt
a) nh ngha: Cho K là mt khong, on hoc na khong. Gi s f(x) là mt hàm s xác nh trên
K.
- Hàm s f(x) gi là ng bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
- Hàm s f(x) gi là nghch bin trên K nu  x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
b. iu kin c
n
Gi s f có o hàm trên khong K.
- Hàm s f(x) không i trên K  x  K : f '( x )  0
- Nu f ng bin trên khong K thì f '( x )  0, x  K
- Nu f nghch bin trên khong K thì f '( x )  0, x  K
c. iu kin 

Gi s f có o hàm trên khong K.
- Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f ng bin trên K.
- Nu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 ti mt s hu hn i!m) thì f nghch bin trên K.
- Nu f(x) = 0, x  I thì f không i trên K.
1. 2. M t s" v#n % khác
a) &nh lí v% d#u c(a tam th*c b-c hai: g(x )  ax 2  bx  c (a  0)
+ Nu  < 0 thì g( x ) luôn cùng d"u v#i a.
 b 
b
), g     0
2a
 2a 
+ Nu  > 0 thì g( x ) có hai nghi%m x1 , x2 và trong khong hai nghi%m thì g( x ) khác d"u
+ Nu  = 0 thì g( x ) luôn cùng d"u v#i a (tr$ x  

v#i a, ngoài khong hai nghi%m thì g( x ) cùng d"u v#i a.

a  0
a  0
+) y '  0, x  R  
Chú ý: - Nu y '  ax 2  bx  c (a  0) thì: +) y '  0, x  R  


0

  0
2

- Nu  = 0 hay g( x )  a  x    thì g(x) không i du khi qua  , du ca g(x) ph
thuc du ca a.

- Nu  > 0 thì g(x) i d"u khi qua x1 , x2 ( i t$+ sang – sang +, hoc i t$ - sang + sang -)
b) So sánh các nghim x1 , x2 c(a tam th*c b-c hai g( x )  ax 2  bx  c v#i s 0:
  0

+) x1  x2  0   P  0
 S  0

  0

+) 0  x1  x2   P  0
 S  0

+) x1  0  x2  P  0

c) Hàm s" b-c hai: y  ax 2  bx  c (a  0)
a>0
 th hàm s là mt parabol có &nh

a<0
 th hàm s là mt parabol có &nh

 b
 
 ; 
 2a 4a 

 b
 
 ; 
 2a 4a 

Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành

t – Tây M
, Nam T Liêm, Hà Ni

Page 2


Thy Nguyn c Thng

0969119789 –

Tr
ng PTLC Vinschool

 b

Hàm s ng bin trên   ;  
 2a


 b

Hàm s nghch bin trên   ;  
 2a



b 

Hàm s nghch bin trên  ;  
2a 



b 
Hàm s ng bin trên  ;  
2a 


b

ti x  
4a
2a
Bng bin thiên

b

ti x  
4a
2a
Bng bin thiên

Dng  th:

Dng  th:

ymin  

ymax  

d) ng d.ng trong gi/i toán
Cho hàm s y=g(x) xác nh trên (a;b) và liên t(c trên [a;b]:
+) g( x )  m, x  (a; b)  max g( x )  m ;
 a;b 

+) g( x )  m, x  (a; b)  min g( x )  m
 a;b 

e) n iu trên m t kho/ng, o0n
! hàm s y  f ( x ) ng bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)>0 cha t*p K.
! hàm s y  f ( x) nghch bin trên t*p K nào ó thì tn ti khong ! f’(x)<0 cha t*p K
B1 tr2:

- T*p (; a) là t*p con c+a t*p (; b) khi và ch& khi a  b
- T*p (a; ) là t*p con c+a t*p (b; ) khi và ch& khi b  a

c  a
- Tp (a; b) là tp con ca tp (c; d ) khi và ch khi 
b  d
1.3. Tính n iu ca hàm thng gp
a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :


a  0
“iu kin  hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin trên R là 
; nghch bin trên
  0
a  0

R là 
”
  0



Hàm s f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d ng bin ( nghch bin) trên K thì kho!ng mà f '( x )  0 (

f '( x )  0 ) ca hàm s ph!i cha K.
b) Hàm s phân thc d
ng f ( x ) 

ax  b
(c  0, ad  bc  0)
cx  d


Thy Nguyn c Thng
( ad  bc  0)




0969119789 –

Tr
ng PTLC Vinschool


iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;   là

ad  bc  0


d
  
c


 ad  bc  0 

ad  bc  0


d
  
c


 ad  bc  0 


iu kin  hàm s ng bin (nghch bin) trên trên  ;  là

+)
i v"i hàm hp y  f (g( x)) , trong ó hàm u  g( x ) xác nh và có 
o hàm trên  a; b  , ly giá
tr trên kho!ng  c; d  ; hàm y  f (u) xác nh  c; d  và có 
o hàm trên  c; d  , ly giá tr trên R.


 g '( x )  0  x   a; b 
 g '( x )  0  x   a; b 
ho#c 
thì hàm s y  f (g( x)) ng bin
Nu 
 f '(u)  0 u   c; d 
 f '(u)  0 u   c; d 
trên  a; b  .



 g '( x )  0  x   a; b 
 g '( x )  0  x   a; b 
Nu 
ho#c 
thì hàm s y  f (g( x)) nghch bin
 f '(u)  0 u   c; d 
 f '(u)  0 u   c; d 

trên  a; b  .

2. C3C TR4 CA HÀM S

2.1. Lí thuyt
a) nh ngha: Gi s hàm s f ( x) xác nh trên D, x0  D .

-
im x0 g%i là im c&c tiu ca hàm s f(x) nu tn t
i s th&c dng h sao cho  x0  h; x0  h 

cha trong D và f (x)  f ( xo ), x   x0  h; x0  h  \  x0 
Khi ó:
+ Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c ti!u c+a hàm s.

+ i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c ti!u c+a  th hàm s y=f(x).

+ Hàm s t c,c ti!u ti i!m x0

-
im x0 g%i là im c&c 
i ca hàm s f(x) nu tn t
i s th&c dng h sao cho  x0  h; x0  h 
cha trong D và f ( x )  f ( xo ), x   x0  h; x0  h  \  x0 
Khi ó: Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s. i!m  x0 ; f ( x0 ) gi là i!m c,c i c+a  th
hàm s y=f(x).
+ Giá tr f ( x0 ) gi là giá tr c,c i c+a hàm s.

+ i!m  x0 ; f ( x0 )  gi là i!m c,c i c+a  th hàm s y=f(x).

+ Hàm s t c,c i ti i!m x0
Chú ý: C,c i, c,c ti!u gi chung là c,c tr
b) &nh lí:
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành

t – Tây M
, Nam T Liêm, Hà Ni

Page 4

Thy Nguyn c Thng
0969119789 –
Tr
ng PTLC Vinschool
i-u ki%n cn: Nu hàm s f(x) t c,c tr ti i!m x0 thì hoc không tn ti f '(x 0 ) hoc
f '( x0 )  0

iu kin  1: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm
trên m.i khong  a; x0  ,  x0 ; b 


 f '( x )  0 x   a; x0 
Nu 
thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)
 f '( x )  0 x   x 0 ; b 



 f '( x )  0 x   a; x0 
Nu 
thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)
 f '( x )  0 x   x 0 ; b 

iu kin  2: Gi s tn ti  a; b   D ch x0 , hàm s y=f(x) liên t(c trên (a,b) và có o hàm
c"p 1 trên (a;b) và có o hàm c"p hai ti x0 . Khi ó:


 f '( x0 )  0
Nu 

thì x0 là mt i!m c,c ti!u c+a hàm s f(x)
 f ''( x0 )  0

 f '( x0 )  0
Nu 
thì x0 là mt i!m c,c i c+a hàm s f(x)
 f ''( x0 )  0
2.2. M t s" v#n % khác



a) Hàm s a thc bc ba f ( x )  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) :




a  0
a  0


Hàm s t c,c i ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0
 c
 f ''( x )  0
0

 x0

 2b




a  0
a  0


Hàm s t c,c ti!u ti x0 khi:   f '(x)  0 hoc b  0
 c
 f ''( x )  0
0

 x0

 2b



a  0
a  0
Hàm s không có c,c tr  
hoc 

0

b  0
 f '(x)




a  0
Hàm s có c,c i, c,c ti!u  
  f '(x)  0
Ph
ng trình 
ng th/ng i qua hai i!m c,c tr c+a  th hàm s

y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  . V#i i-u ki%n b2  3ac  0 , th,c hi%n phép chia y cho y’ ta
0c y = y’(x).g(x) + Ax + B. Khi ó, 
ng th/ng i qua hai i!m c,c tr là y = Ax + B
b) Hàm s a thc trùng phng: f ( x )  ax 4  bx 2  c (a  0)
TH1: a  0
*) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c ti!u
*) Nu b  0 Hàm s ch& có 1 c,c i
*) Nu b  0 Hàm s không có c,c tr
Trung tâm luyn thi cht lng cao Thành

t – Tây M
, Nam T Liêm, Hà Ni

Page 5