Giai toan 12 tren may tinh cam tay

TS Trần Văn Vuông

Giải toán 12 trên máy tính

đồ sơn 2008 2008

1. Giải toán 12 trên máy tính cầm tay
1.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
Bài toán 1.1.1. Xét sự biến thiên của hàm số y = x4 - 8x3 + 22x2 - 24x + 1.
KQ: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2) và (3; +), nghịch biến trên các
khoảng (- ; 1) và (2; 3).
Bài toán 1.1.2. Tìm gần đúng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số
4
y = x -3x2 + 2x +1.
KQ: yCĐ 1,3481; yCT1 - 3,8481; yCT2 = 1.
Bài toán 1.1.3. Tìm gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhá nhÊt cđa hµm sè
y=

x  1  5  2x .
KQ: max y  2,1213; min y  1,2247.


Bài toán 1.1.4.

Tìm gần đúng toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

2
y = x2 + 7x - 5 vµ y = x  2 x  3 .
x 4
KQ: A(- 6,8715; - 5,8830), B(0,5760; - 0,6362), C(4,2955; 43,5198).
Bài toán 1.1.5. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y
3
2
= x 2x + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 ).
KQ: y = 8x - 9.
Bài toán 1.1.6. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3
y = x - 4x2 + x - 2 ®i qua ®iĨm A(1; - 4).

1  17 x
.
4

KQ: y = - 4x ; y =

1.2. Hµm sè luü thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài toán 1.2.1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức A =

82ln 5 4lg 7
.
5lg 8  9 ln 208

KQ: A  0,0136.
Bài toán 1.2.2. Giải phơng trình 32x + 5 = 3x + 2 + 2.
KQ: x = - 2.
Bài toán 1.2.3. Giải gần đúng phơng trình 9x - 5ì3x + 2 = 0.
KQ: x1 ≈ 1,3814; x2 ≈ - 0,7505.
Bµi toán 1.2.4. Giải phơng trình 32 log3 x 81x .
KQ: x =

1
.
3

Bài toán 1.2.5. Giải phơng trình
KQ: x1 = 4; x2 =

6
4

3 .
log 2 2 x log 2 x 2

1
.
2

3

Bµi toán 1.2.6. Giải gần đúng phơng trình 8log 22 x  5log 2 x  7 0 .
KQ: x1 ≈ 2,4601; x2 0,6269.
1.3. Tích phân và ứng dụng
Bài toán 1.3.1. Tính các tích phân:
1

2

a)

(4 x

3

2

2 x 3x  1)dx ;

3 x2

x e

b)

0

1

2

dx ;

c)


2

x sin xdx .
0

95
; b) 0,5; c) 1.
6
Bài toán 1.3.2. Tính gần đúng các tích phân:
KQ: a)


2

1

2 x 2 3x 1
dx ;
a) 
x3 1
0

b)



2
x cos 2 xdx ;

c)


6

x sin xdx

.
2
x

2  cos
0

KQ: a) 0,1771; b) - 0,8185; c) 1,3673.
Bài toán 1.3.3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hµm sè
2
y = 2x + 5x - 2 vµ y = x3 + 2x2 - 2x + 4.
KQ: S = 32,75.
1.4. Số phức
Bài toán 1.4.1. Tính
a)

3 2i 1 i
;

1  i 3  2i

b)

(1  i )(5  6i )
.
(2  i) 2

23  63i
29  47i
; b)

.
26
25
Bµi toán1.4.2. Giải phơng trình x2 - 6x + 58 = 0.
KQ: x1 = 3 + 7i ; x2 = 3 - 7i.
Bài toán 1.4.3. Giải gần đúng phơng trình x3 - x + 10 = 0.
KQ: a)

KQ: x1 ≈ - 2,3089; x2 ≈ 1,1545 + 1,7316i; x3 ≈ 1,1545 - 1,7316i.
Bài toán 1.4.4. Giải gần đúng phơng trình 2x3 + 3x2- 4x + 5 = 0.
KQ: x1 ≈ - 2,62448; x2 ≈ 0,5624 + 0,7976i; x3 ≈ 0,5624 - 0,797i.
1.5. Phơng pháp toạ độ trong không gian
Bài toán 1.5.1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2),
B(5; 6; 1), C(- 4; -7; 4).
KQ: 14x - 3y + 29z - 81 = 0.
Bài toán 1.5.2. Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3),
B(3;
5; 6), C(5; - 4; -7), D(9; 0; 1).
159
577
355
2142
x
y
z
0 .
13
13
13
13

Bài toán 1.5.3. Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; -7; 5).
a) Tính gần đúng độ dài các cạnh của tam giác.
b) Tính gần đúng các góc (độ, phút, giây) của tam giác.
c) Tính gần đúng diện tích tam giác.
KQ: a) AB  10,0499; BC  7,0711; CA  16,5831.
KQ: x 2  y 2  z 2 

3


 ≈ 120 1’ 38”; Ĉ ≈ 170 13’ 37”.
b) 1500 44 45; B
c) S 17,3638.
Bài toán 1.5.4. Cho hai đờng thẳng
2x 3y 6 0
4x  5y  10 0
d1 : 
d2 : 
5y  7z  3 0
x  y  z  4 0
a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(10; 2; 1) và vuông góc với đờng
thẳng d2.
c) Tìm toạ độ giao điểm M của đờng thẳng d1 và mặt phẳng (P).
672 726 459
;
;
.
139 139 139 

KQ: a) φ ≈ 620 23’ 0”; b) (P): 5x - 4y - 9z - 33 = 0; M

Bài toán 1.5.5. Cho hình tứ diện có các ®Ønh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5),
C(3; - 4; 7), D(5; 9; - 2).


a) TÝnh tÝch v« hớng của hai vectơ AB và AC .


b) Tìm tích vectơ của hai vectơ AB và AC .
c) Tính thể tÝch khèi tø diÖn ABCD.
 
 
KQ: a) AB . AC = - 50. b)  AB, AC  = (8; - 4; - 6). c) V = 3.


Bài toán 1.5.6. Cho hai đờng thẳng
x 3 4t

:  y  2  3t vµ d :
 z 5t


 x 1  2t

y 2  7t
 z  1 t.


a) Tính gần đúng góc (độ, phút, giây) giữa hai đờng thẳng đó.

b) Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đờng thẳng đó.
KQ: a) 690 43 56; b) 0,5334.

2. Giải toán 12 trên máy vi tính nhờ phần mềm Maple 8
Phần mềm Maple đợc sản xuất đầu tiên ở Canađa cách đây vài thập kỷ. Hiện nay
đà có phiên bản Maple 11. Chúng ta sử dụng phiên bản Maple 8 đợc sản xuất năm 2002 vì
nó có dung lợng thích hợp với việc giải toán phổ thông. Để sử dụng đợc phần mềm này
sau khi đà cài đặt nó vào máy tính, cần phải nhớ cách nhập các lệnh và các ký hiệu toán
học.
2.1. ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
2.1.1. Cho hàm số, tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc tập xác định của hàm số
đó, vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ
Cấu trúc lệnh cho hµm sè nh sau:

4


f : =x - > hàm số;
Chữ cái ký hiệu của hàm số có thể là chữ cái g, h, , ... chứ không nhất thiết là
chữ cái f. Đối số cũng không nhất thiết là x mà có thể là chữ cái bất kỳ khác. Tại vị trí của
hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số cần cho. Các dấu +, - đợc nhập bình thờng.
Dấu nhân đợc nhập bằng *. Dấu chia đợc nhập bằng /. Luỹ thừa đợc nhập bằng ^.
Nếu đà cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm
a thuộc tập xác định của nó là:
f(a);
Nếu đà cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh vẽ đồ thị của hàm số trên một hình chữ
nhật của mặt phẳng toạ độ với x từ a đến b và y từ c đến d nh sau:
plot(f(x),x =a .. b, y = c .. d);
Bài toán 2.1.1.1. Cho hµm sè y = x3 - 6x2 + 11x - 6. Tính giá trị hàm số tại x = 2,
m,

và vẽ đồ thị hàm số đó với x tõ - 5 ®Õn 5, y tõ - 5 ®Õn 5.
3

> f:=x->x^3-6*x^2+11*x-6;
f := xx 36 x 2
11 x6
> f(2);
> f(m);
> f(Pi/3);

0
m 36 m 2
11 m6

1 3 2 2 11
  6
27
3
3

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5);

Bài toán 2.1.1.2. Vẽ đồ thị của hai hµm sè y = sin 2x vµ y = x 4 - 3x2 + 2 trªn cïng
mét hƯ trơc toạ độ với x từ - 4 đến 4 và y tõ - 2 ®Õn 6.
> plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4..4,y=-2..6);

5

2.1.2. Tìm tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức
Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức thờng là tập nghiệm của bất phơng
trình hoặc hệ bất phơng trình nào đó.
Bài toán 2.1.2.1. Tìm tập xác định của hàm số y =

1
3 x2

.

> solve(3-x^2>0,{x});
{ 3
x, x 3 }

Vậy tập xác định đó là D = ( 3; 3).
Bài toán 2.1.2.2. Tìm tập xác định của hàm số y =

x 2 3x 2 

3x  5
.
2x  1

> solve({x^2-3*x+2>=0,2*x+1>0},{x});
-1
{ 
x, x
1 }, { 2
x}

2
1
Vậy tập xác định đó là D =   ;1   2;   .
 2
2.1.3. Tìm cực trị của hàm số
Để tìm cực trị của một hàm số, trớc hết ta phải tính đạo hàm của hàm số và tìm
nghiệm của đạo hàm. Cấu trúc lệnh của đạo hàm nh sau:
diff(hàm số, đối số);
Tại vị trí của hàm số ta phải nhập biểu thức của hàm số. Tại vị trí đối`số ta
phải nhập chữ cái chỉ đối số. Cấu trúc lệnh tìm nghiệm của đạo hàm (của đối số x) là:
solve(đạo hàm, {x});
Tại ví trí của đạo hàm ta phải nhập biểu thức của đạo hàm hoặc ký hiệu % nếu kết
quả tính đạo hàm vừa mới có ở dòng trên liền kề.
Sau đó, có thể tính đạo hàm cấp 2 và giá trị của đạo hàm cấp 2 tại nghiệm của đạo
hàm råi kÕt ln vỊ cùc trÞ. CÊu tróc lƯnh cđa đạo hàm cấp 2 nh sau:
diff(hàm số, đối số, đối sè);
6


hoặc

diff(hàm số, đối số$2);
Bài toán 2.1.3.1. Tìm các cực trị cđa hµm sè y = x4 -3x2 + 2x +1.

> f:=x->x^4-3*x^2+2*x+1;
f := xx 43 x 2
2 x
1
> diff(f(x),x);

4 x 36 x
2

> solve(%,{x});
1
3
1
3
{ x
1 } , { x
  }, { x
  }
2
2
2
2

> diff(f(x),x,x);

12 x 26

> g:=x->12*x^2-6;

g := x12 x 26

> g(1);

6

> g(-1/2+1/2*3^(1/2));

3
 1
12   
2
 2

2


 6


> simplify(%);
66 3

> g(-1/2-1/2*3^(1/2));

2

3
 1
12     6
2 
 2

> simplify(%);
6
6 3

> f(1);

1

> f(-1/2+1/2*3^(1/2));
3
 1
  
2
 2

4

3

 1
 3   
2

 2

> simplify(%);
5 3 3
 
4
2

> f(-1/2-1/2*3^(1/2));

7

2


  3



4

2

3
3
 1
 1
    3      3
2 
2 
 2
 2

> simplify(%);
5 3 3

4
2

Nh vậy hàm số đà cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại. Các giá trị cực
1
 1

3
5 3 3
3
5 3 3
tiĨu lµ f(1) = 1 và f
. Giá trị cực đại là f   
.
 2 2   4  2
 2 2   4  2




Cã thĨ yªu cầu vẽ đồ thị hàm số này để thấy các cực trị đó một cách trực quan.
> plot(x^4-3*x^2+2*x+1,x=-3..3,y=-4..2);

2.1.4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
maximize(f(x),x = a .. b);
Cấu trúc lệnh tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:
minimize(f(x),x = a .. b);
Tại vị trí f(x) ta phải nhập biểu thức của hàm số đó. a và b phải là các số cụ thể
chứ không phải chữ cái dùng thay số.
Bài toán 2.1.4.1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x + cos2x trên đoạn [0; 1].
> maximize(x+cos(2*x),x=0..1);

3

12

2
> minimize(x+cos(2*x),x=0..1);
1
cos( 2 )

8


Bài toán 2.1.4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=

x 1 5 2x .

> > maximize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2);
3 2
2
> minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1..5/2);
6
2

2.1.5. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số
3
2
4x 1 .
Bài toán 2.1.5.1. Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = x 2x
2
x x 2

>
(x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x-2)=convert((x^3-2*x^2+4*x-1)/(x^2+x

-2),parfrac,x);
x 32 x 2
4 x1
25
2

x3

2
3 ( x
2 ) 3 ( x1 )
x
x 2
Vậy đồ thị hàm số này có ba ®êng tiƯm cËn x = - 2, x = 1 và y = x 3.
2.1.6. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
Đây là việc giải hệ phơng trình.
Bài toán 2.1.6.1. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x2 + 7x - 5 vµ
2
y = 8 x  9 x  11 .
x 1

> solve({y=x^2+7*x-5,y=(8*x^2+9*x-11)/(x+1)});
{ y
3, x
1 }, { x
2, y
13 }, { x
-3, y
-17 }
Vậy toạ độ ba giao điểm của hai đồ thị đà cho là A(1; 3), B(2; 13), C(- 3; - 17).

Bài toán 2.1.6.2. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cosx vµ y = 2x.
> solve({y=cos(x),y=2*x});
{ x
RootOf( 2 _Zcos( _Z ) ), y
2 RootOf( 2 _Zcos( _Z ) ) }
> evalf(%);

{ x
0.4501836113 , y
0.9003672226 }

Vậy toạ độ gần đúng (với 4 chữ số thập phân) của giao điểm của hai đồ thị đà cho
là A(0,4502; 0,9004).
2.1.7. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đó hoặc đi
qua điểm nào đó khi biết toạ độ của điểm đó

9


Bài toán 2.1.7.1.
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hµm sè
2
y = x – 2x + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 ).
3

> diff(x^3-2*x^2+4*x-1,x);
> g:=x->3*x^2-4*x+4;

3 x 24 x
4

g := x3 x 24 x
4

> g(2);

8

> expand(y=8*(x-2)+7);

y
8 x9

Bài toán 2.1.7.2. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm sè
y = x - 4x2 + x - 2 ®i qua ®iĨm A(1; - 4).
3

> f:=x->k*(x-a)+b;

f := xk ( xa )
b

> solve(f(1)=-4,{b});

{ b
 k
k a4 }

> g:=k->k*(x-a)-k+k*a-4;
g := kk ( xa )k

k a4
> diff(x^3-4*x^2+x-2,x);

3 x 28 x
1

> solve({x^3-4*x^2+x-2=k*x-k-4,3*x^2-8*x+1=k});
3
-17
{ x, k } , { x
1, k
-4 } , { x
1, k
-4 }
2
4
> y=g(-17/4);
y


> y=g(-4);

17 x 1

4
4

y
4x

2.2. Hµm sè luü thõa, hµm số mũ và hàm số lôgarit
2.2.1. Tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức (số hoặc chữ)
Bài toán 2.2.1.1. Rót gän biĨu thøc A =

52 6  5 2 6 .

> A:=sqrt(5+2*sqrt(6))+sqrt(5-2*sqrt(6));
A := 2 3
Bài toán 2.2.1.2. Rút gän biÓu thøc B = 2 log4 8a  log8 3b .
> B:=2^(ln(8*a)/ln(4)-ln(3*b)/ln(8));
10


B := 2

 ln( 8 a ) ln( 3 b ) 


ln( 8 ) 
 ln( 4 )

> B:=simplify(%);
B :=

2 2

a3

3b

( 2/3 )

( 1/3 )

2.2.2. Giải phơng trình mũ
Bài toán 2.2.2.1. Giải phơng trình 32x + 5 = 3x + 2 + 2.
> solve(3^(2*x+5)=3^(x+2)+2,{x});
2

ln  
 I 


ln( 9 ) 
27

{ x

},  x  

ln( 3 ) 
ln( 3 )

> expand(%);
{ x


> evalf(%);

ln( 9 )

}
ln( 3 )

{ x
-1.999999999 }

NÕu ta đặt ẩn phụ rồi mới yêu cầu máy giải phơng trình thì ta đợc nghiệm đúng:
> solve(3*t^2=t+2,{t});

> solve(3^(x+2)=1,{x});

-2
{ t
1 } , { t }
3
{ x
-2 }

Bài toán 2.2.2.2. Giải phơng trình 9x - 5ì3x + 2 = 0.
> solve(t^2-5*t+2,{t});
5
17
5
17
{ t
}, { t
}
2
2
2

2

> solve(3^x=5/2+1/2*17^(1/2),{x});
17

5

ln 

2
 x  2

ln( 3 )



 
 



> solve(3^x=5/2-1/2*17^(1/2),{x});
17

5

ln 

2
 x  2


ln( 3 )



 




2.2.3. Giải hệ phơng trình mũ

11


2 x 3y 7
Bài toán 2.2.3.1. Giải hệ phơng tr×nh  x
y
 4  9 25.
> solve({2^x+3^y=7,4^x+9^y=25});




  ln( 9 ) ln(  e _Z
 
7 ) 





 
 





ln
(
3
)

 RootOf _Z ln( 4 )ln( 2 ) ln  e



25  


ln  e

7 
 y
,

ln( 3 )


_Z

 
 
7 ) 

 
 
 
 
25  

7  




  ln( 9 ) ln(  e
 


 
 
ln( 3 )
 
 RootOf _Z ln( 4 )ln( 2 ) ln  e 


  ln( 9 ) ln  e
 
 
ln( 3 )

ln  e
x
ln( 4 )

> evalf(%);

{ y
1.261859507 , x
1.584962503 }

> s:=2^x;t:=3^y;

s := 2 x
t := 3 y

> solve({s+t=7,s^2+t^2=25});
ln( 4 )
ln( 4 )
ln( 3 )
{ y
1, x
}, { y
, x
}
ln( 2 )
ln( 3 )
ln( 2 )
2.2.4. Giải bất phơng trình mũ

Bài toán 2.2.4.1. Giải bất phơng tr×nh 4x - 32x + 2 > 0.

> solve(4^x-3*2^x+2>0,{x});
> t:=2^x;

t := 2 x

> solve(t^2-3*t+2>0,{x});
{ x
0 }, { 1
x}
2.2.5. Giải phơng trình lôgarit
Bài toán 2.2.5.1. Giải phơng trình log2x + log4(2x) = 3.

> solve(ln(x)/ln(2)+ln(2*x)/ln(4)=3,{x});
 ln( 2 ) ln( 32 ) 


ln( 8 )



{ x
e

> simplify(%);
{ x
22

( 2/3 )

}

}

Bài toán 2.2.5.2. Giải phơng trình log22 x + log2 (3x) = 5.

12








25  




> solve((ln(x)/ln(2))^2+ln(3*x)/ln(2)=5,{x});
>
(  1/2 ln( 2 )
1/2

{ x
e

> evalf(%);

2

21 ln( 2 ) 4 ln( 2 ) ln( 3 ) )

(  1/2 ln( 2 )1/2

}, { x
e

2
21 ln( 2 ) 4 ln( 2 ) ln( 3 ) )

}

{ x
2.665541725 } , { x
0.1875791309 }

2.2.6. Giải phơng trình hỗn hợp
Bài toán 2.2.6.1. Giải phơng trình 2x - log3 (2x) = 4.

> solve(2^x-ln(2*x)/ln(3)=4,{x});
{ x
RootOf( 2 _Z ln( 3 )ln( 2 _Z )4 ln( 3 ) ) }
> evalf(%);

{ x
2.444843682 }

> plot(2^x-ln(2*x)/ln(3)-4,x=-1..3,y=-3..1);

2.3. Nguyªn hàm, tích phân và ứng dụng

2.3.1. Tính nguyên hàm
Cấu trúc của lệnh tính nguyên hàm của một hàm số là:
int (hàm số, đối số);
Sau khi ghi đầy đủ lệnh trên, trong đó hàm số đợc ghi bằng một biểu thức cụ thể
và đối số đợc ghi bằng một chữ cái thích hợp, và ấn phím Enter thì kết quả sẽ hiện ra nhng không kèm theo hằng số tích phân.
Bài toán 2.3.1.1. Tính nguyên hàm của hàm số (x2 - 2x + 3)4.
> int((x^2-2*x+3)^4,x);
1
36
52
214
81 x x 9x 8 x 7 x 6 x 578 x 4
108 x 3108 x 2
9
7
3
5
NÕu mn kÕt qu¶ hiƯn ra cã c¶ ký hiƯu cđa nguyên hàm đó thì cần sửa lại cấu
trúc của lệnh mét chót:
> Int((x^2-2*x+3)^4,x)=int((x^2-2*x+3)^4,x);
13


4
1 9
36 7 52 6 214 5
 2
8
 ( x 2 x
3

)
d
x

81
x

x

x

x  x  x 78 x 4
108 x 3108 x 2

9
7
3
5

Bài toán 2.3.1.2. Tính nguyên hàm của hàm sè (x2 + 2x - 1)e2x - 3.

> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x3),x);
( 2 x 3 )
( 2 x 3 )
1 ( 2 x 3 )
9 ( 2 x 3 )
 ( x 2
2 x1 ) e
dxe
( 2 x3 ) 2

e
( 2 x3 ) e


8
8

> Int((x^2+2*x-1)*exp(2*x-3),x)=int((x^2+2*x-1)*exp(2*x3),x);
( 2 x 3 )
( 2 x 3 )
1 ( 2 x 3 )
9 ( 2 x 3 )
 ( x 2
2 x1 ) e
dxe
( 2 x3 ) 2
e
( 2 x3 ) e


8
8

2.3.2. Tính tích phân
2

Bài toán 2.3.2.1. Tính (4 x 3  2 x 2  3x  1)dx .
1

> Int(4*x^3-2*x^2+3*x+1,x=1..2)=int(4*x^32*x^2+3*x+1,x=1..2);

2
95
 4 x 32 x 2
3 x
1 dx

6

1

1

Bµi to¸n 2.3.2.2. TÝnh

3 x2

x e

dx .

0

> Int(x^3*exp(x^2),x=0..1)=int(x^3*exp(x^2),x=0..1);
1

1
 3 (x2 )
 x e
dx

2

0

Bài toán 2.3.2.3. Tính


2

x sin xdx .
0

> Int(x*sin(x),x=0..pi/2)=int(x*sin(x),x=0..pi/2);

2


1

x sin( x ) dx
sin    cos 

0
2 2
2
1

Bµi to¸n 2.3.2.4. TÝnh

2 x 2  3x 1
dx .

x3 1
0

>
Int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),x=0..1)=int((2*x^2-3*x+1)/(x^3+1),
x=0..1);

14


1

 2 x 23 x
1
2 3


dx


2 ln( 2 )
3

9
x 
1


0

2

Bµi to¸n 2.3.2.5. TÝnh

x


2

cos 2 xdx .

6

>Int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6..Pi/2)=int(x^2*cos(2*x),x=Pi/6..Pi/
2);

2

7
1
1
 x 2 cos( 2 x ) dx
2 3 3

24
144
8

6


Bài toán 2.3.2.6. TÝnh

x sin xdx
.
2
x

2  cos
0

>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi)=int(x*sin(x)/
(2+cos(x)^2),x=0..Pi);




 x sin( x )
 x sin( x )


d
x

dx


2



2

cos
(
x
)
cos( x ) 2

 2
0
0

> evalf(%);

1.367252148 
1.367252148




x sin xdx  sin xdx

NÕu ®ỉi biÕn sè t =  - x th× ta cã 
.
2  cos 2 x 2 
2  cos 2 x
0
0

>Int(x*sin(x)/(2+cos(x)^2),x=0..Pi)=int(Pi/2*sin(x)/
(2+cos(x)^2),x=0..Pi);


 x sin( x )
1
 2

  2
dxarctan 

2

2
cos( x )
 2 
 2
0

2.3.3. Tính diện tích hình phẳng nhờ tích phân
Bài toán 2.3.3.1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
y = 2x2 + 5x - 2 và y = x3 + 2x2 - 2x + 4.
> f:=x->2*x^2+5*x-2; g:=x->x^3+2*x^2-2*x+4;
f := x2 x 2
5 x2
g := xx 3
2 x 22 x
4

> solve(f(x)=g(x),{x});

15


{ x
1 }, { x
2 }, { x
-3 }

> S:=Int(abs(f(x)-g(x)),x=-3..2)=int(abs(f(x)-g(x)),x=3..2);
2
131
S := 
6 x 3 dx
  7 x
4
-3
2.3.4. TÝnh thÓ tích vật thể tròn xoay nhờ tích phân
Bài toán 2.3.4.1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 + 5x - 1 vµ y = x3 + 4x2 + 5x - 5 quanh trơc hoµnh.
> f:=x->x^2+5*x-1;g:=x->x^3+4*x^2+5*x-5;
f := xx 2
5 x1
g := xx 3
4 x 2
5 x5

> solve(f(x)=g(x),{x});
{ x
1 }, { x

-2 }, { x
-2 }
> V:=Int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=-2..1)=int(Pi*(f(x)-g(x))^2,x=2..1);
1

2
729 

2
V := 
4 x 3 ) dx
  (  3 x 
35
-2

2.4. Sè phøc
2.4.1. Rót gän c¸c biĨu thức có chứa số phức
Bài toán 2.4.1.1. Tính

3 2i 1  i
.

1  i 3  2i

> (3+2*I)/(1-I)+(1-I)/(3-2*I);
23 63
 I
26 26
(1  i )(5  6i )
.

(2  i) 2
> (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2;
29 47
I
25 25
Bài toán 2.4.1.2. Tính

2.4.2. Tìm môđun và acgumen của số phức
Bài toán 2.4.2.1. Tìm môđun và acgumen cña sè phøc z =
> abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);

16

(1  i )(5  6i )
.
(2  i) 2


122
5

> argument((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);
47
 arctan  
 29 
2.4.3. Chun ®ỉi sè phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác hoặc dạng mũ
Bài toán 2.4.3.1. Chuyển đổi số phức z = 1 + 3 i sang dạng lợng giác và dạng
mũ.
> 1+sqrt(3)*I=convert(1+sqrt(3)*I,polar);


1 3 I
polar 2, 
 3
Nh vËy, ta cã 1 +


i



3 i = 2  cos  i sin  2e 3 .
3
3


Bài toán 2.4.3.2. Chuyển đổi số phức z =

(1 i )(5 6i )
sang dạng lợng giác và
(2 i) 2

dạng mũ.
> convert( (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2, polar );
47
122
polar
,  arctan   
5

 29  

Nh vËy, ta cã
47
122 
47
47 
122  iarctan 29
z
cos arctan  i sin arctan
e
.
5
29
29
5

2.4.4. Giải phơng trình trên tập hợp số phức
Bài toán 2.4.4.1. Giải phơng trình x2 - 6x + 58 = 0.
> solve(x^2-6*x+58,{x});
{ x
3
7 I } , { x
37 I }
Bài toán 2.4.4.2. Giải phơng trình x3 - x2 - 2x + 8 = 0.
> solve(x^3-x^2-2*x+8,{x});
3 1
3 1
{ x
-2 }, { x I 7 }, { x I 7 }
2 2
2 2

Bài toán 2.4.4.3. Giải phơng tr×nh x3 - x + 10 = 0.
> solve(x^3-x+10,{x});

17


( 1/3 )


 
( 135
3 2022 )
1
( 135
3 2022 )
 x
,  x







( 1/3 )  
3
6

 
( 135

3 2022 )

 
1

( 1/3 )
2 ( 135
3 2022 )
 ( 135
1
3 2022 )
 I 3  

2
3

( 135
3 2022 )
6

( 1/3 )

( 1/3 )

 
1
 ,  x

  
( 1/3 )  

  
( 135
3 2022 )
 

1

( 1/3 )
2 ( 135
3 2022 )

 ( 135
1
3 2022 )
 I 3  

2
3


( 1/3 )


1



( 1/3 )  
 
( 135

3 2022 )


> evalf(%);
{ x
-2.308907320 }, { x
1.1544536601.731557033 I },
{ x
1.154453660
1.731557033 I }
Bài toán 2.4.4.4. Giải phơng trình x4 + 5x2- 36 = 0.
> solve(x^4+5*x^2-36,{x});
{ x
-2 } , { x
2 }, { x
3 I } , { x
-3 I }
Bµi toán 2.4.4.5. Giải phơng trình x4 + x3 - 5x2 - 4 = 0.
> solve(x^4+x^3-5*x^2-4,{x});
( 1/3 )

 
( 324
12 633 )
4

,  x
{ x
2 } ,  x




1
 
(
1
/
3
)

6
 
(
324

12
633
)

 
( 324
12 633 )
12

( 1/3 )

2

1
( 1/3 )

( 324
12 633 )

 ( 324
1
12 633 )
 I 3  

2
6


( 1/3 )

 
4
 ,  x

  
( 1/3 )  
  
( 324
12 633 )
 

18

( 1/3 )

( 324
12 633 )
12

( 1/3 )

2

1
( 1/3 )
( 324
12 633 )

 ( 324
1
12 633 )
 I 3  

2
6


( 1/3 )


4



( 1/3 )  

 
( 324
12 633 )


> evalf(%);
{ x
2. }, { x
-2.893289196 }, { x
-0.0533554020 0.8297035535 I },
{ x
-0.0533554020
0.8297035535 I }
2.5. Phơng pháp toạ độ trong không gian
2.5.1. Tính tích vô hớng, tích vectơ, góc giữa hai vectơ khi biết toạ độ của chúng


Bài toán 2.5.1.1. Cho hai vec tơ a (3;7; 5) và b (4; 2;9) .


a) Tính tích vô hớng của hai vectơ a và b .


b) Tìm tích vectơ của hai vectơ a và b .


c) Tính góc giữa hai vectơ a vµ b .
> a:=Vector([3,7,-5]);

> b:=Vector([4,-2,9]);

> a.b;

 3
 
a :=  7
 
 -5
 4
 
b :=  -2
 
 9
-47

> with(LinearAlgebra):c:=CrossProduct(a,b);
 53
 
c :=  -47
 
 -34
> VectorAngle(a,b);
 47 83 101
arccos 
8383


> evalf(%);

2.109858925

> evalf(%*180/Pi);

19






120.8860117

> (%-120)*60;

53.160702

> (%-53)*60;

9.642120

Vậy góc giữa hai vectơ này là 12005310.
2.5.2. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm khi biết toạ độ của chúng
Bài toán 2.5.2.1. Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2),
6; 1), C(- 4; - 7; 4).

B(5;

> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z+1;
f := ( x, y, z )a x
b y

c z
1
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
-29
1
-14
{ c , b , a }
81
27
81
> f:=(x,y,z)->a*x+b*y+c*z-81;
f := ( x, y, z )a x
b y
c z81
> solve({f(1,-3,2),f(5,6,1),f(-4,-7,4)});
{ c
29, b
-3, a
14 }
> 14*x-3*y+29*z-81=0;

14 x3 y
29 z81
0

2.5.3. Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng khi biết phơng trình của chúng
Bài toán 2.5.3.1. Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng có phơng trình
2x - 5y + 7z - 8 = 0, x +

13

y - 5z + 1 = 0, 12x - 51y - z - 3 = 0.
4

> solve({2*x-5*y+7*z-8,x+13/4*y-5*z+1,12*x-51*y-z-3});
6789
1455
670
{ x , z , y }
3406
1703
1703
2.5.4. Viết phơng trình đờng thẳng, tính góc giữa hai đờng thẳng khi biết phơng trình của
chúng
Bài toán 2.5.4.1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai ®iĨm A(2; - 5; 6) vµ B(4; 7; 8).
> AB:=Vector([-4-2,7+5,8-6]);

 -6
 
AB :=  12
 
 2

> 1/2*AB;

20