Một số khái niệm về giải tích không trơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÙY

MỘT SỐ KHÁI NIỆM
VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THÙY

MỘT SỐ KHÁI NIỆM
VỀ GIẢI TÍCH KHÔNG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS. Bùi Ngọc Mười

Hà Nội – 2017

Lời cảm ơn

Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Bùi Ngọc
Mười đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo là giảng viên khoa Toán
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho tôi
những kiến thức chuyên môn cần thiết trong quá trình học tập tại trường.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đã động
viên khuyến khích tôi hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu này.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi những sai sót. Vì
vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn
đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

i


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp " Một số khái niệm về giải tích không trơn "
được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân
cùng với sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy Bùi Ngọc Mười.
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả
của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

ii


Ký hiệu toán học

R

Tập tất cả các số thực.

Rn

Tập tất cả các vectơ có n chiều.

H

Không gian Hilbert thực.

B

Hình cầu đóng có tâm tại x bán kính r = 1.

bd S

Giới hạn của S .

cl S

Bao đóng S .

co S

Bao lồi của tập nón lồi S .

coS

Bao đóng S .

dom f

Miền hữu hiệu của f .

epi f

Trên đồ thị của f .

int S

Phần trong của S .

ProjS (u)

Phép chiếu của u trên S .

∂ conv f (x)

Dưới vi phân của f tại x.

∂ C f (x)

Gradient suy rộng của f tại x.

iii


Mục lục
1 Dưới vi phân
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . .
1.2 Từ đạo hàm đến dưới vi phân . . . . . . . . .
1.2.1 Bài toán cực tiểu không ràng buộc . . .
1.2.2 Bài toán cực tiểu ràng buộc . . . . . . .
1.3 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke)
1.3.2 Các khái niệm khác của dưới vi phân .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

3
3
5
7
10
11
11
19

2 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến
2.1 Nón tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Nón pháp tuyến Clarke . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Nón pháp tuyến xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Nón pháp tuyến Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Nón pháp tuyến cơ sở (nón pháp tuyến Mordukhovich)

30

21
21
24
24
24
29

Tài liệu tham khảo

36

iv


MỞ ĐẦU
Giải tích không trơn nghiên cứu những hàm không nhất thiết khả
vi theo nghĩa thông thường. Các cố gắng giảm nhẹ giả thiết về tính khả
vi liên tục của các hàm được bắt nguồn từ các nhu cầu trong kĩ thuật
sớm hơn trong toán học. Thực tiễn đòi hỏi một lý thuyết tối ưu mà các
phương pháp của nó có khả năng áp dụng cho các bài toán thường gặp,
ở đó các điều kiện về tính khả vi nói chung là bị phá vỡ. Giải tích không
trơn ra đời nhằm đáp ứng yêu cầu đó. Tương tự thuật ngữ "phi tuyến"
trong toán học có nghĩa là không nhất thiết tuyến tính, khái niệm "không
trơn" cũng ngụ ý rằng không nhất thiết khả vi liên tục. Có thể xem giả
thiết không trơn là sự mở rộng của giải tích lồi và giải tích cổ điển, bởi
vì khi áp dụng cho các hàm lồi hoặc khả vi ta luôn có được kết quả quen
biết. Những công trình đầu tiên nghiên cứu một cách hệ thống các hàm
không trơn (không lồi) thuộc về Clarke (xem [2]). Cho đến nay, lý thuyết

của Clarke được xem là hoàn chỉnh hơn cả. Ngoài những công trình cơ
bản của Clarke, lý thuyết này còn nhận được sự đóng góp của một loạt
các nhà toán học khác: Rockafellar, Aubin, Lebourg, Ioffe, Hiriart-Urruty,
Goldstein, Thibault,... Hai lớp hàm quan trọng được xét ở đây là lớp hàm
lồi và lớp hàm Lipschitz.

Khóa luận gồm 2 chương.
Chương 1. "Dưới vi phân".
Chương 2."Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến".
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không
1


thể tránh khỏi có những sai sót. Ngoài ra, một số kết quả (mệnh đề,
định lí, hệ quả) được thừa nhận mà bỏ qua chứng minh. Tôi rất mong
nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để bản khóa luận được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

2


Chương 1
Dưới vi phân

1.1

Một số khái niệm cơ bản
Cho X là không gian vectơ tôpô thực hoặc không gian vectơ chuẩn

thực hoặc không gian Banach với chuẩn · và H là không gian Hilbert
thực. Trong đó tích giữa các phần tử của H được kí hiệu bởi ·, · , kí
hiệu tương tự cho tích giữa X và không gian đối ngẫu của nó X ∗ (không
gian của các hàm tuyến tính liên tục xác định trên X). Hình cầu đóng
trong X hoặc H có tâm tại x bán kính r > 0 được kí hiệu là B(x, r).
Cho x = 0 và r = 1 ta sẽ kí hiệu B thay cho B(0, 1). Kí hiệu B∗ là hình
cầu đóng đơn vị trong X ∗ tâm tại gốc tọa độ bán kính 1, kí hiệu N (x)
là tập tất cả các lân cận của x. Cho tập S ta kí hiệu int S, cl S, bd S lần
lượt là phần trong, bao đóng và giới hạn của S.
Định nghĩa 1.1. (xem [1]) Cho X là không gian vectơ thực.

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

(i) Tập S được gọi là lồi nếu với mọi cặp phần tử (x, y) của S ta có
[x, y] = {αy + (1 − α)x : α ∈ [0, 1]} ⊂ S.
(ii) Bao lồi của tập nón lồi S được định nghĩa là giao của tất cả các tập
chứa S . Kí hiệu: co S
n

n

αi xi : n ∈ N ,

co S =

i=1

αi = 1 , α i ≥ 0 , x i ∈ S

.

i=1

(iii) Bao đóng của co S được gọi là bao lồi đóng. Kí hiệu: coS.
Định nghĩa 1.2. (xem [1]) Cho f là một hàm giá trị thực mở rộng,
f : X → R ∪ {+∞} .
Ta gọi các tập
dom f = {x ∈ X : f (x) < +∞}
và
epi f = {(x, r) ∈ X × R : f (x) ≤ r} ,
tương ứng là miền hữu hiệu của f và trên đồ thị của f .
(i) f được gọi là hàm lồi trên tập lồi mở Ω ⊂ X nếu
f (αx + (1 − α)y) ≤ αf (x) + (1 − α)f (y) ∀x, y ∈ Ω , ∀α ∈ [0, 1] .
Khi Ω là không gian X ta nói f là hàm lồi.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

(ii) f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom f nếu
f (x) ≤ lim inf f (x).
x→x

Ta nói f là nửa liên tục dưới trên X nếu nó nửa liên tục dưới tại
mọi điểm thuộc X.

1.2

Từ đạo hàm đến dưới vi phân
Trong phần này, ta bắt đầu với một số khái niệm cổ điển của vi

phân và chúng ta sẽ cố gắng tối ưu hóa các bài toán để giải thích sự
phát triển của khái niệm vi phân từ đạo hàm Fréchet đến khái niệm
gradient suy rộng.
Cho X là không gian vectơ tôpô thực, f : X → R ∪ {+∞} là hàm giá
trị thực mở rộng và x ∈ X.
(i) Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v ∈ X được xác định
là
f (x; v) = lim δ −1 [f (x + δv) − f (x)]
δ↓0

(1.1)

nếu giới hạn tồn tại.
(ii) Ta nói f là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại f (x; v) với mọi v ∈ X
và f (x; ·) là tuyến tính liên tục. Khi đó tồn tại duy nhất một phần
tử fG (x) ∈ X ∗ (gọi là đạo hàm Gâteaux) thỏa mãn
fG (x), v = f (x; v), ∀v ∈ X.

5

(1.2)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

(iii) Nếu sự hội tụ trong (1.1) là không đổi đối với v thuộc tập con bị
chặn của X, ta nói f khả vi Fréchet tại x và ta viết f (x) thay cho
fG (x).
Nhận xét 1.1. (xem [1])
(1) Hàm f có thể có đạo hàm theo hướng f (x; v) tại x với mọi hướng
v ∈ X, nhưng không có đạo hàm Gâteaux fG (x) tại x. Chẳng hạn,
lấy X là một không gian Banach, f (x) = x và x = 0. Hàm f có
đạo hàm theo hướng f (x; v) với mọi hướng v ∈ X và f (x; v) = v .
Trong khi đạo hàm Gâteaux của hàm f tại x lại không tồn tại, vì
hàm v → f (x; v) = v không tuyến tính.
(2) Khái niệm khả vi Fréchet và khả vi Gâteaux là không tương đương
trong trường hợp vô hạn và hữu hạn chiều.Ta không chắc chắn kiểm
tra được khả vi Fréchet tại một điểm nghĩa là nó liên tục tại điểm
đó, nó không như trường hợp khả vi Gâteaux. Ví dụ: Hàm f ( có thể
không liên tục) có thể có đạo hàm Gâteax fG tại một điểm không
liên tục.
(3) Nếu X là không gian vectơ định chuẩn và f là hàm Lipschitz địa
phương, khi đó với mỗi điểm x ∈ X luôn tồn tại một lân cận V của
x và hằng số L > 0 sao cho
|f (x) − f (y)| ≤ L y − x
thì hai khái niệm ở trên là tương đương.

6

∀x, y ∈ V,


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.1

NGUYỄN THỊ THÙY

Bài toán cực tiểu không ràng buộc

Hầu hết trong các bài toán tối ưu, ta bắt đầu xét bài toán cực tiểu
như sau
min f (x) : x ∈ S,
ở đó f : S → R xác định trên S, với S là một tập con của không gian
vectơ thực X.
Ta định nghĩa hàm f như sau f (x) = +∞ với x ∈
/ S, khi đó cực tiểu
của hàm f trên S tương đương với cực tiểu của hàm f mới trên X. Do
đó, không mất tính tổng quát ta xét trường hợp S = X.
Cho hàm f : X → R và x là một điểm trong X. Ta xét bài toán cực
tiểu không ràng buộc sau

(U P )



min f (x)

x ∈ X.

Định nghĩa 1.3. (xem [1])
(i) f có cực tiểu địa phương tại x khi và chỉ khi tồn tại một lân cận V
của x sao cho
f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ V.
(ii) f có cực tiểu toàn cục tại x trên X khi và chỉ khi
f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ X.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Định lý 1.1. (xem [1]) Nếu f có cực tiểu địa phương tại x thì tồn tại
ε > 0 sao cho
fG (x), x − x ≥ 0 , ∀x ∈ x + εB.

(1.3)

Chứng minh.
Giả sử f có cực tiểu địa phương tại x, khi đó tồn tại α > 0 sao cho
f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ x + αB.

Chọn ε ∈ (0, α) và δ ∈ 0,

(1.4)

α

, với mỗi x ∈ x + αB. Ta có
ε

x + δ(x − x) ∈ x + δεB ⊂ x + αB,
thay vào (1.4) ta được
f (x + δ(x − x)) − f (x) ≥ 0,
với mọi δ ∈ 0,

α
ε

và với mọi x ∈ x + εB. Do đó, f khả vi Gâteaux tại

x, giới hạn
lim δ −1 [f (x + δ(x − x)) − f (x)]
δ↓0

tồn tại hay fG (x), x − x ≥ 0 ∀x ∈ x + εB.
Vậy định lí đã được chứng minh.
Định nghĩa 1.4. (xem [1]) Cho f là một hàm liên tục lồi trên X và lấy
x ∈ X. Ta định nghĩa dưới vi phân của f tại x như sau
∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : ζ, v ≤ f (x, v), ∀v ∈ X} .
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Cụ thể là

∂ conv f (x) = {ζ ∈ X ∗ : ζ, x − x ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ X} .

(1.5)

Ví dụ 1.2.1. Tính dưới vi phân của hàm f (x) = |x| tại x = 0
Ta có ∂ conv f (x) = {ζ ∈ R : ζ, x ≤ |x|, ∀x ∈ R} .
Hay ∂ conv f (x) = {ζ ∈ [−1, 1]} .
Mệnh đề 1.1. (xem [1, Proposition 1.2, p. 7]) Cho f là một hàm liên
tục lồi trên X và lấy x ∈ X. f có một cực tiểu địa phương trên X tại x
khi và chỉ khi
0 ∈ ∂ conv f (x).

(1.6)

Chứng minh.
Do f là hàm lồi nên cực tiểu địa phương là cực tiểu toàn cục. Do đó
x là một cực tiểu toàn cục của f ta có
f (x) ≤ f (x) ∀x ∈ X
⇔ 0 = 0, x − x ≤ f (x) − f (x)
⇔ 0 ∈ ∂ conv f (x).

Vậy mệnh đề đã được chứng minh.
Mệnh đề 1.2. (xem [1, Proposition 1.3, p. 7]) Nếu f là một hàm liên
tục lồi và khả vi Gâteaux tại x thì ∂ conv f (x) = {fG (x)}.
Chứng minh.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Lấy ζ là một phần tử của ∂ conv f (x).
Do đó, ζ, v ≤ f (x; v) ∀v ∈ X.
Mặt khác, từ vi phân Gâteaux của f tại x ta có
f (x; v) = fG (x), v ∀v ∈ X.
Do đó
ζ, v ≤ fG (x), v ∀v ∈ X.
Vậy ζ = fG (x) hay ∂ conv f (x) = {fG (x)}.
Vậy mệnh đề đã được chứng minh.

1.2.2

Bài toán cực tiểu ràng buộc

Ta xét bài toán cực tiểu ràng buộc sau

(CP )



min f (x)

x ∈ S,

ở đó f là hàm liên tục lồi và S là một tập lồi đóng trong X.
Ta định nghĩa nón tiếp xúc và nón pháp tuyến cho tập lồi đóng là
T conv (S; x) = cl [R+ (S − x)] = cl {λ(s − x) : λ ≥ 0, s ∈ S}
và N conv (S; x) là nón cực âm của T conv (S; x), nghĩa là
N conv (S; x) = {ζ ∈ X ∗ : ζ, v ≥ 0, ∀v ∈ T conv (S; x)}.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Ví dụ 1.2.2. Cho S1 = (x, y) ∈ R2 : y ≥ |x| là một nón lồi đóng và
x = (0, 0) ta có
T conv (S1 ; x) = cl [R+ (S1 − x)] = cl [R+ (S1 )] = cl [S1 ] = S1
và
N conv (S1 ; x) = −S1 = (x, y) ∈ R2 : y ≤ − |x| .

1.3

Dưới vi phân
Giả sử X là không gian vectơ định chuẩn và f : X → R là hàm

Lipschitz địa phương tại x ∈ X với hệ số k > 0.

1.3.1

Gradient suy rộng (dưới vi phân Clarke)

Ta thấy rằng hàm dưới vi phân liên tục lồi cũng được định nghĩa
thông qua đạo hàm theo hướng f (x, ·). Tương tự như vậy, ta định nghĩa
gradient suy rộng bằng cách sử dụng một khái niệm mới của đạo hàm
khả vi. Trong phần trước ta đã biết đạo hàm theo hướng f (x, ·) mất
hầu hết các đặc trưng của nó và nó không thích hợp để dùng xác định
gradient suy rộng. Khái niệm mới của đạo hàm theo hướng còn được gọi

là đạo hàm theo hướng suy rộng (xem [2]) và được định nghĩa như sau
f 0 (x; v) = lim sup t−1 [f (x + tv) − f (x)].
x→x
t↓0

11

(1.7)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Gradient suy rộng của f tại x được định nghĩa như sau
∂ C f (x) = {ζ ∈ X ∗ : ζ, v ≤ f 0 (x; v), ∀v ∈ X}.

(1.8)

Mệnh đề 1.3. (xem [1, Proposition 1.5, p.11])
(1) Hàm v → f 0 (x; v) là hữu hạn, thuần nhất dương, dưới cộng tính, và
thỏa mãn
f 0 (x; v) ≤ k v , ∀v ∈ X.

(1.9)

(2) Với mỗi α ∈ R ta có (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) và ∂ C (αf )(x) =
α∂ C f (x).
(3) Nếu f có cực tiểu hoặc cực đại địa phương tại x thì 0 ∈ ∂ C f (x).
(4) Gradient suy rộng ∂ C f (x) là tập lồi khác rỗng, w∗ -tập con compact

trong X ∗ thì ∂ C f (x) ⊂ kB∗ .
(5) Nếu xn và ζn tương ứng là hai dãy trong X và X ∗ sao cho ζn ∈
∂ C f (xn ) và xn hội tụ mạnh đến x và ζn hội tụ yếu đến ζ, khi đó ta
có ζ ∈ ∂ C f (x).
(6) Định lí giá trị trung bình: Nếu f là Lipschitz địa phương trên một
lân cận mở chứa đoạn [x, y], khi đó tồn tại z ∈ [x, y] và ξ ∈ ∂ C f (z)
thỏa mãn
f (y) − f (x) = ξ, y − x .
(7) Quy tắc hàm hợp: Cho F : H → Rn là Lipschitz địa phương tại x
và cho g : Rn → R là Lipschitz địa phương tại F (x). Khi đó hàm
g ◦ F là Lipschitz địa phương tại x và
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

∂ C (g ◦ F )(x) ⊂ co ∂ C ( ξ, F (·) )(x) : ξ ∈ ∂ C g(F (x)) .
Chứng minh.
(1) Do f Lipschitz địa phương tại x với hằng số k, cho nên tồn tại lân
cận V của x sao cho với mọi x, y ∈ V thì
|f (x) − f (y)| ≤ k x − y .
Từ đẳng thức trên ta có
|f 0 (x; v)| ≤ lim sup
x→x
t↓0

k tv
=k v ,

t

bởi vì với t đủ nhỏ thì x + tv ∈ V . Từ đó suy ra tính chất hữu hạn
của hàm f 0 (x; ·).
Với λ > 0 ta có
f 0 (x; λv) = lim sup
x→x
t↓0

f (x + tλv) − f (x)
t

= λ lim sup
x→x
t↓0

f (x + tλv) − f (x)
tλ

= λf 0 (x; v).
Suy ra hàm f 0 (x; ·) thuần nhất dương.

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính.

f 0 (x; v + ω) = lim sup
x→x
t↓0

≤ lim sup
x→x
t↓0

f (x + tv + tω) − f (x)
t
f (x + tv + tω) − f (x + tv)
t

+ lim sup
x→x
t↓0

f (x + tv) − f (x)
t

= f 0 (x; ω) + f 0 (x; v),
bởi vì x + tv → x khi x → x và t ↓ 0.
Do đó f 0 (x; ·) dưới cộng tính.
(2) Cho α ≥ 0, ta kiểm tra được (αf )0 (x; v) = αf 0 (x; v) do đó
∂ C (αf )(x) = α∂ C f (x) ∀α ≥ 0.
Khi α = −1 thì ∂ C (−f )(x) = −∂ C f (x). Do đó
(−f )0 (x; v) = f 0 (x; −v).
Thật vậy, từ định nghĩa của đạo hàm theo hướng suy rộng ta có
(−f )0 (x; v) = lim sup t−1 [−f (x + tv) − (−f )(x)]
x→x

t↓0

= lim sup t−1 [f (x − tv) − f (x )]
x →x
t↓0

= f 0 (x; −v).
Với mỗi ζ ∈ ∂ C (−f )(x), ∀v ∈ X ta có
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

ζ, v ≤ (−f )0 (x; v) = f 0 (x; −v),
điều đó tương đương với −ζ, w ≤ f 0 (x; w), ∀w ∈ X. Kết hợp định
nghĩa gradient suy rộng ta có ζ ∈ −∂ C f (x).
(3) Đạo hàm có hướng suy rộng thỏa mãn
lim inf t−1 [f (x + tv) − f (x)] ≤ f 0 (x; v), ∀v ∈ X.
t↓0

Trong đó lim inf được gọi là đạo hàm theo hướng dưới Dini và kí
hiệu là f − (x; v), nghĩa là
f − (x; v) := lim inf t−1 [f (x + tv) − f (x)] .
t↓0

(1.10)

Giả sử rằng f có cực tiểu địa phương (trường hợp cực đại địa phương

tương tự) tại x, khi đó tồn tại ε > 0 sao cho
f (x) ≥ f (x), ∀x ∈ x + εB.
Lấy v là một phương trong X và δ > 0 sao cho δ v ≤ ε. Khi đó
từ bất đẳng thức trên với mỗi t ∈ (0, δ) ta được
t−1 [f (x + tv) − f (x)] ≥ 0.
Do đó f 0 (x; v) ≥ f − (x; v) ≥ 0 kết hợp định nghĩa gradient suy rộng
ta có 0 ∈ ∂ C f (x).
(4) Suy ra từ phần 1.
(5) Cho xn là một dãy trong X và lấy ζn là một dãy trong X ∗ sao cho
ζn ∈ ∂ C f (xn ) và xn hội tụ mạnh đến x, ζn hội tụ yếu đến ζ. Do đó,
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

ζn , v ≤ f 0 (xn ; v), ∀v ∈ X.
Rõ ràng, nửa liên tục trên của hàm: x → f 0 (x; v) hoàn toàn được
chứng minh trong phần này. Ta có
lim sup f 0 (xn ; v) ≤ f 0 (x; v).
n

Từ định nghĩa của giới hạn trên, tồn tại yn ∈ X và tn > 0 sao cho
yn − xn + tn <

1
1
và f 0 (xn ; v) ≤ tn −1 [f (yn + tn v) − f (yn )] +
n

n

cho n → ∞ ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
(6) Cho g : [0, 1] → R là hàm được định nghĩa như sau
g(t) = f (x + t(y − x)) + t(f (x) − f (y)) , ∀t ∈ [0, 1] .
Trong đó f là Lipschitz địa phương trên lân cận mở chứa đoạn [x, y].
Ta kiểm tra được g là Lipschitz địa phương trên [0, 1] và thỏa mãn
g(0) = g(1). Do đó, từ định lí giá trị trung bình cổ điển tồn tại ít
nhất một điểm t ∈ (0, 1), khi đó g đạt cực đại địa phương hoặc cực
tiểu địa phương.
Do đó, từ phần 3 của mệnh đề ta có 0 ∈ ∂ C g(t) và từ quy tắc tổng
trong phần 2 ta được
0 ∈ ∂ C h(t) + f (x) − f (y), nghĩa là f (y) − f (x) ∈ ∂ C h(t),
trong đó h(t) = f (x + t(y − x)).
Mặt khác, ta có thể xác định rằng mỗi phần tử ζ của ∂ C h(t) có thể
được viết dưới dạng ζ = ξ, y − x với ξ ∈ ∂ C f (x + t(y − x)).
Thật vậy, lấy ζ ∈ ∂ C h(t) thì
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

ζv ≤ h0 (t; v).
Cho tn → t và λn ↓ 0 là các dãy nhận giới hạn trên trong định nghĩa
của h0 (t; v), nghĩa là
h0 (t; v) = lim λn −1 [h(tn + λn v) − h(tn )].
n→∞

Cho zn = x + tn (y − x) → x + t(y − x) ta có
h0 (t; v) = lim λn −1 [f (zn + λn v(y − x)) − f (zn )]
n→+∞

≤ lim sup λn −1 [f (z + λv(y − x)) − f (z)]
λ↓0
z→x
0

= f (x + t(y − x); v(y − x)).
Chú ý
f 0 (x + t(y − x); y − x) =

max

ξ∈∂ C f (x+t(y−x))

{ ξ, y − x }

và
−f 0 (x + t(y − x); −(y − x)) =

min

ξ∈∂ C f (x+t(y−x))

{ ξ, y − x },

ta nói rằng đạo hàm theo hướng suy rộng là thuần nhất dương với
hướng. Bởi vậy, phép toán điểm tới hạn là

ζ ≤ f 0 (x + t(y − x); y − x) =

max

ξ∈∂ C f (x+t(y−x))

{ ξ, y − x }

và
ζ ≤ −f 0 (x + t(y − x); −(y − x)) =

17

min

ξ∈∂ C f (x+t(y−x))

{ ξ, y − x }.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Đó là hai bất đẳng thức và tính lồi của ∂ C f (x + t(y − x)), y − x
trong đó ζ ∈ ∂ C f (x + t(y − x)), y − x . Cuối cùng, ta được một
phần tử z = x + t(y − x) ∈ [x, y] và một phần tử ξ ∈ ∂ C f (z) sao
cho
f (y) − f (x) = ξ, y − x ,
điều phải chứng minh.

(7) Đầu tiên, ta tính đạo hàm theo hướng suy rộng của f . Cho xn → x
và tn ↓ 0 là dãy nhận giới hạn trên trong định nghĩa của f 0 (t; v),
nghĩa là
f 0 (x, v) = lim t−1 [f (xn + tn v) − f (xn )].
n→∞

Từ định lí giá trị trung bình đã chứng minh trong phần 6, do đó
tồn tại một dãy zn trong khoảng (F (xn ), F (xn + tn v)) từ tính lồi
của F (x) và ξn ∈ ∂ C g(zn ) sao cho
g(F (xn + tn v)) − g(F (xn )) = ξn , F (xn + tn v) − F (xn ) .
Chú ý rằng dãy ξn bị chặn trong Rn và ta có thể trích ra một dãy
con hội tụ đến giới hạn ξ. Từ phần 5 của mệnh đề thì giới hạn
phải nằm trong ∂ C g(F (x)). Ta áp dụng định lí giá trị trung bình
với hàm ξ, F (·) trên đoạn [xn , xn + tn v] và ta được một dãy yn
trong khoảng (xn , xn + tn v) là một dãy hội tụ đến x và một dãy
ζn ∈ ∂ C [ ξ, F (·) ] (yn ) sao cho
ξ, F (xn + tn v) − ξ, F (xn ) = ζn , tn v .
18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THÙY

Chú ý rằng dãy ζn bị chặn trong X ∗ và ta có thể trích ra một dãy
con hội tụ yếu đến ζ. Từ phần 5 ta suy ra ζ ∈ ∂ C [ ξ, F (·) ] (x). Do
đó, ta có
tn −1 [f (xn + tn v) − f (xn )] = tn −1 [g(F (xn + tn v)) − g(F (xn ))]
= tn −1 [ ξn , F (xn + tn v) − F (xn ) ]
= tn −1 [ ξ − ξn , F (xn + tn v) − F (xn ) ]

+ ζn , v .
Vậy tn −1 [F (xn + tn v) − F (xn )] là bị chặn vì F Lipschitz và ξn → ξ
ta có tn −1 [ ξ − ξn , F (xn + tn v) − F (xn ) ] → 0 khi n → ∞ và cho
n → ∞ trong bất đẳng thức cuối cùng ta được
f 0 (x; v) = ζ, v .
Lấy mỗi phần tử w ∈ ∂ C f (x) thì w, v ≤ f 0 (x; v) = ζ, v ∀v ∈
X và w = ζ, trong đó ζ là giới hạn hội tụ yếu của dãy ζn ∈
∂ C [ ξ, F (·) ] (yn ) với yn → x và ξ ∈ ∂ C g(F (x)).

1.3.2

Các khái niệm khác của dưới vi phân

Một số khái niệm khác của dưới vi phân về hàm nón lồi đã được
giới thiệu trong gradient suy rộng. Trong phần này ta sẽ nêu một số
đặc điểm về chúng. Ta bắt đầu với dưới vi phân Dini đã được xác định
trong điều kiện của đạo hàm theo hướng dưới Dini f − (x; .). Nó được
định nghĩa như sau
19