Tập kì dị của toán tử của toán tử thế vị trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ LỆ XUÂN

TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ LỆ XUÂN

TẬP KÌ DỊ CỦA TOÁN TỬ THẾ VỊ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TH.S NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã nhận
được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô trong tổ giải
tích nói riêng và khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói
chung cùng với sự hỗ trợ, giúp đỡ của các bạn sinh viên.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp đỡ tôi trong
bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận
này.
Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sấu sắc đến thầy giáo
ThS. Nguyễn Quốc Tuấn đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này.
Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên những vấn đề trình
bày trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất
mong nhận được sự giúp đỡ và góp ý của thầy cô và các bạn sinh viên
để khóa luận của tôi có thể hoàn thiện hơn nữa.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

Trịnh Thị Lệ Xuân


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của tôi, được hình thành dưới sự hướng
dẫn của thầy giáo ThS. Nguyễn Quốc Tuấn cùng với đó là sự cố gắng

của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tham khảo và kế thừa những
thành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn.
Tôi xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của
các tác giả khác.
Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

Trịnh Thị Lệ Xuân


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Bảng kí hiệu
Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Nón lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.5

Khả vi Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Điểm tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Định nghĩa hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.3

Hàm nửa liên tục dưới yếu . . . . . . . . . . . .

11

Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Trịnh Thị Lệ Xuân

Hàm Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Tập kỳ dị của toán tử thế vị

12
13

2.1

Tập kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Tính chất của tập kì dị

14

2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Tính chất phi σ-compact của các tập SΦ và
Φ(SΦ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2

2.2.3

14

Tính chất phi σ-compact của các tập SˆΦ|(X\B) và
tập Φ(SˆΦ|(X\B) ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Tính chất của tập SˆΦλ∗ . . . . . . . . . . . . . .

22

3 Ứng dụng

24

Kết luận

37

Tài liệu tham khảo

38

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

DANH MỤC KÍ HIỆU
C1

tập tất cả các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục

C2

tập tất cả các hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục

span(A)

bao tuyến tính của tập A

dist(x0 , L)

khoảng cách từ điểm x0 đến tập L

ess sup |u(x)| cận dưới lớn nhất các hằng số k sao cho |u(x)| ≤ k
Ω

L1 (Ω)

không gian các hàm khả tích bậc 1 trong Ω

L∞ (Ω)

không gian các hàm bị chặn và đo được theo
Lebesgue với chuẩn y(x)

L∞ (Ω)

= ess sup |y(x)|
x∈Ω

meas(A)

độ đo của tập A

H10

không gian Sobolev thông thường

∇u(x)

Gradient của u tại x

L(X, Y )

không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Lời mở đầu
Toán học là một trong những ngành khoa học cơ bản cổ xưa nhất
của nhân loại. Nó có sức cuốn hút mãnh liệt, đã và đang là niềm đam
mê của rất nhiều thế hệ các nhà khoa học, chứa đựng trong nó là cả
một kho tàng vô tận những bí ẩn cũng như khả năng ứng dụng trong
rất nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống. Trong đó, Giải tích là
một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng và có ứng dụng mạnh mẽ trong
thực tiễn.
Vào năm 1978, R. A. Plastock đã nghiên cứu về các điểm kì dị của
ánh xạ phi tuyến Fredholm với chỉ số không. Đến năm 1980, ông cùng
với M. S. Berger cũng đã nghiên cứu bài toán trên với toán tử phi
tuyến Fredholm với chỉ số dương. Cùng với hướng nghiên cứu về các
điểm kì dị của ánh xạ phi tuyến, Biagio Ricceri lại nghiên cứu về tập
điểm kì dị của toán tử thế vị. Các kết quả mà Biagio Ricceri nghiên
cứu được trình bày trong hai bài báo [8] năm 2007 và [9] năm 2015.
Khóa luận này được hoàn thành chủ yếu dựa trên nội dung bài báo
[8] của Biagio Ricceri. Giả sử X là một không gian Hilbert và J là
một phiếm hàm C 1 (X) xác định như sau J : X −→ R. Với mỗi λ > 0
ta xác định toán tử Φλ : X −→ X, Φλ (x) = x + λJ (x) với mọi x ∈ X.

Khi đó, điểm x0 ∈ X được gọi là điểm kì dị của Φλ nếu Φ không là
phép đồng phôi địa phương tại điểm x0 . Tập các điểm kì dị của Φ ta kí
hiệu là SΦ . Ta dễ thấy SΦ là tập đóng. Dưới các giả thiết hàm J nửa
liên tục dưới yếu theo dãy, không tựa lồi, thuần nhất dương với bậc
α khác 2, không âm với bậc α > 2 và Φ đóng, Định lý 2.1 đã khẳng
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

định hai tập SΦ và Φ(SΦ ) phi σ-compact.
Phần cuối của khóa luận tôi đưa ra ứng dụng của tính chất trên
(Định lý 2.1) cùng với Định lý 2.3 cho bài toán Dirichlet


 −∆u = f (x, u)



u

= 0

trong Ω
(Pf )
trên ∂Ω

với Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên trơn, u = u(x1 , x2 , ..., xn )

thuộc H01 (Ω) (H01 (Ω) là không gian Sobolev thông thường), f là một
hàm cho trước. Một ứng dụng điển hình được đưa ra với các giả thiết
của Định lý 2.3 thì tồn tại λ∗ > 0 sao cho các hàm u ∈ H01 (Ω) là
nghiệm của bài toán Dirichlet


 −∆v = λ∗ β(x)ψ (u(x))v



v

trong Ω

= 0

trên ∂Ω.

có một nghiệm yếu khác không chứa một điểm tụ.
Do hạn chế về trình độ và thời gian thực hiện đề tài nên khóa luận
không tránh khỏi những sai sót. Tôi kính mong quý thầy cô và bạn
đọc góp ý để khóa luận này hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 8 tháng 5 năm 2017
Tác giả khóa luận

Trịnh Thị Lệ Xuân

2

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong phần này tôi sẽ liệt kê một số định nghĩa, định lý, tính chất cần
thiết.Ta luôn giả thiết X là một không gian Hilbert thực và A, B là
các tập con của X, x là một điểm thuộc X.

1.1
1.1.1

Không gian Hilbert
Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường R. Ta gọi
tích vô hướng trên không gian X là mọi ánh xạ từ X × X vào trường
R, ký hiệu ·, · thỏa mãn các tiên đề:
i. Với mọi x, y ∈ X, x, y = y, x ;
ii. Với mọi x, y, z ∈ X, x + y, z = x, z + y, z ;
iii. Với mọi x, y ∈ X, ∀α ∈ R, αx, y = α x, y ;
iv. Với mọi x ∈ X, x, x > 0 nếu x = 0 (với 0 là phần tử không),
x, x = 0 nếu x = 0.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Định nghĩa 1.2. Ta gọi một tập X = ∅ gồm những phần tử x, y, z, ...
nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập X thỏa mãn các điều kiện

i. X là không gian tuyến tính trên trường R;
ii. X được trang bị một tích vô hướng ·, · ,
iii. X là không gian Banach với chuẩn x =

x, x , ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.3. Một tập A trong không gian X được gọi là compact
nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc A đều chứa dãy con hội tụ tới
phần tử thuộc A. Tập A được gọi là compact địa phương nếu với mọi
điểm a ∈ A tồn tại lân cận U của a sao cho U ∩ A là tập compact.
Một tập là σ-compact nếu nó là hợp của một họ đếm được các tập
compact.
Định lý 1.1. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ liên tục và A ⊆ X. Khi
đó, nếu A compact thì f (A) compact.
Nếu f : X −→ Y là một song ánh liên tục giữa các không gian X
và Y thì ánh xạ ngược f −1 : Y −→ X được xác định nhưng có thể
không liên tục. Nếu f −1 cũng liên tục thì ta nói f là một phép đồng
phôi.
Định nghĩa 1.4. Cho A và B là hai tập con của X. Tập A được gọi
là trù mật trong B nếu B ⊂ A. Nếu A = X thì A được gọi là trù mật
khắp nơi trong X.
Định nghĩa 1.5. Không gian X gọi là không gian tách được nếu tập
X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không gian X.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Định nghĩa 1.6. Một phiếm hàm f : X −→ R xác định trên không
gian Hilbert X được gọi là bức (coercive) nếu thỏa mãn
lim f (x) = +∞.

x →+∞

1.1.2

Tập lồi

Định nghĩa 1.7. Một tập hợp C ⊆ X được gọi là lồi nếu với mọi
x, y ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C.
Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường
thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi. Trong khi
mặt cầu, đường cong nói chung không phải là tập lồi.
Mệnh đề 1.1. Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi.
Định nghĩa 1.8. Giả sử A ⊂ X. Giao của tất cả các tập lồi chứa A
được gọi là bao lồi của tập A và ký hiệu là co A.
Nhận xét 1.1. Tập bao lồi co A của A là một tập lồi và là tập lồi
nhỏ nhất chứa A.
Định nghĩa 1.9. Vectơ x được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1 , x2 , ..., xm
m

thuộc X nếu tồn tại λi ≥ 0 (i = 1, ..., m) thỏa mãn
i=1

m

cho x =

λi = 1, sao

λi xi .
i=1

Mệnh đề 1.2.
i. Một tập lồi thì chứa mọi tổ hợp lồi của các vectơ của nó,
ii. Tập co A = x | là tổ hợp lồi của các vectơ thuộc A ,
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

iii. Tập C là tập lồi khi và chỉ khi C = co C.
Mệnh đề 1.3.
i. Cho A, B ⊆ X là các tập lồi, α ∈ R. Khi đó, các tập A + B và
αA đều là các tập lồi,
ii. Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một ánh xạ tuyến tính là
tập lồi.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh i. Thật vậy, lấy các phần tử
a1 , a2 ∈ A, b1 , b2 ∈ B và λ ∈ (0, 1). Do A và B là các tập lồi nên
λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A và λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B. Ta có
λ(a1 +b1 )+(1−λ)(a2 +b2 ) = [λa1 +(1−λ)a2 ]+[λb1 +(1−λ)b2 ] ∈ A+B,
λ(αa1 ) + (1 − λ)(αa2 ) = α(λa1 + (1 − λ)a2 ) ∈ αA.
Vậy A + B và αA là các tập lồi.
Tiếp theo ta chứng minh ii. Giả sử F ∈ L(X, Y ) (L(X, Y ) là không
gian các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y ) và A ⊆ X, B ⊆ Y là các tập

lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ A và λ ∈ (0, 1) ta có
λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) = F (λx1 + (1 − λ)x2 ) ∈ F (A),
suy ra F (A) là tập lồi. Với mọi x1 , x2 ∈ F −1 (B) (tức F (x1 ), F (x2 ) ∈ B)
và λ ∈ (0, 1) thì
F (λx1 + (1 − λ)x2 ) = λF (x1 ) + (1 − λ)F (x2 ) ∈ B
suy ra λx1 + (1 − λ)x2 ∈ F −1 (B). Vậy F −1 (B) cũng lồi.
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

Trịnh Thị Lệ Xuân

Nón lồi

Một tập K ⊆ X được gọi là nón nếu với mọi điểm k ∈ K và λ > 0 ta
có λk ∈ K. Hơn nữa, nếu K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lồi.
Mệnh đề 1.4.
i. Giao của một họ bất kì các nón (nón lồi) là nón (nón lồi),
ii. Nếu K, L là các nón (nón lồi) thì K + L cũng là nón (nón lồi).
1.1.4

Toán tử Fredholm

Cho X và Y là hai không gian Hilbert trên trường R. Một toán tử
tuyến tính liên tục T : X −→ Y được gọi là toán tử Fredholm nếu
số chiều dim ker T của ker T và số đối chiều codim T của R(T ) là
hữu hạn. Trong đó R(T ) là ảnh của toán tử T hay R(T ) = T (X) =

{T x : x ∈ X}. Ta kí hiệu chỉ số của toán tử Fredholm T là index T và
được định nghĩa như sau
index T = dim ker T − codim T.
Khi index T = 0 ta gọi T là toán tử Fredholm với chỉ số 0.
1.1.5

Khả vi Gâteaux

Cho X là không gian Hilbert, hàm f : X −→ (−∞, +∞] và x0 thuộc
dom f . Với mỗi d ∈ X ta định nghĩa đạo hàm của f theo hướng d, kí
hiệu f (x0 ; d), là giới hạn sau (nếu nó tồn tại, hữu hạn hoặc vô hạn)
f (x0 + λd) − f (x0 )
.
λ→0+
λ

f (x0 ; d) := lim

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Hàm f gọi là khả vi Gâteaux tại x0 nếu tồn tại x∗ ∈ X ∗ (X ∗ là không
gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X) sao cho
f (x0 + λd) − f (x0 )
= d, x∗ , ∀d ∈ X.
λ→0

λ
lim

(1.1)

Phiếm hàm x∗ như trên, nếu có, là duy nhất và được gọi là đạo hàm
Gâteaux của f tại x0 , kí hiệu fG (x0 ). Nếu sự hội tụ trong (1.1) là đều
theo d trong một tập bị chặn bất kì của X thì x∗ được gọi là đạo hàm
Fréchet của f tại x0 và kí hiệu là f (x0 ).

1.2

Điểm tụ

Định nghĩa 1.10. Một hình cầu mở tâm a, bán kính r(r > 0) trong
một không gian Hilbert X là tập
B(a, r) = {x : x − a < r} .
Hình cầu mở B(a, r) được gọi là một r−lân cận của điểm a.
Định nghĩa 1.11. Một điểm x được gọi là điểm tụ của một tập A
khi mọi lân cận của x đều chứa vô số điểm của A (x có thể thuộc A
hoặc không thuộc A).
Mệnh đề 1.5. Một điểm x là điểm tụ của tập A khi và chỉ khi mỗi
lân cận của x có chứa ít nhất một điểm của A khác x.
Chứng minh. Thật vậy, nếu x là điểm tụ của A thì rõ ràng nó thỏa
mãn điều kiện trên. Ngược lại giả sử một điểm x thỏa mãn điều kiện
đó và cho B1 là một lân cận bất kỳ của x. Trong B1 có một điểm
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

x1 ∈ A, x1 = x. Ta có thể chọn một lân cận B2 của x đủ nhỏ để không
chứa x1 (chỉ cần lấy một r−lân cận của x có r bé hơn x − x1 ). Trong
B2 có một điểm x2 ∈ A, x2 = x (và x2 = x1 ). Ta lại chọn một lân cận
B3 của x đủ nhỏ để không chứa x1 và x2 . Trong B3 có một điểm
x3 ∈ A, x3 = x (và x3 = x2 , x3 = x1 ), v.v... Cứ tiếp tục như thế mãi,
ta sẽ thu được trong B1 vô số điểm của A khác với x là x1 , x2 , x3 , ....
Vậy x đúng là điểm tụ của A.

1.3
1.3.1

Hàm lồi
Định nghĩa hàm lồi

Định nghĩa 1.12. Cho X là một không gian Hilbert, A là một tập
con khác rỗng của X và phiếm hàm nhận giá trị thực mở rộng trên A
f : A −→ R := [−∞, ∞].
Các tập hợp dưới đây:
dom f := {x ∈ A | f (x) < ∞}
epi f := {(x, γ) ∈ A × R | f (x) ≤ γ}
lần lượt được gọi là miền hữu hiệu và tập trên đồ thị của f . Ngoài ra,
với mỗi α ∈ R, ta gọi tập mức dưới của hàm f (với mức α) là
C(f ; α) := {x ∈ A | f (x) ≤ α}
Ta dễ thấy tập C(f ; α) cũng bằng {x ∈ A | (x, α) ∈ epi f } .

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Hàm f được gọi là chính thường nếu tập dom f = ∅ và f (x) > −∞
với mọi x ∈ A, được gọi là hàm lồi trên A nếu tập epi f là tập lồi và
được gọi là hàm lõm nếu hàm −f là hàm lồi.
Hàm f được gọi là tựa lồi nếu tập C(f ; α) lồi với mọi α ∈ R.
Định nghĩa 1.13. Hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất
dương nếu với mọi x ∈ X, λ ∈ (0, +∞) ta có
f (λx) = λf (x).
1.3.2

Hàm nửa liên tục dưới

Một hàm f : X −→ R được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu
lim inf f (x) ≥ f (x0 ).
x→x0

Nói cách khác, với mọi > 0 tồn tại lân cận V của x0 sao cho
f (x0 ) − ≤ f (x), ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) < ∞),
f (x) ≥ , ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) = +∞)
thì hàm f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại
mọi x ∈ X.
Chú ý 1.1. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x0 nếu
f (x) ≤ f (x0 ) + , ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) < +∞),
f (x) ≤ − , ∀x ∈ V, (khi f (x0 ) = −∞).

10

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.3

Trịnh Thị Lệ Xuân

Hàm nửa liên tục dưới yếu

Phiếm hàm f : X → R được gọi là hàm nửa liên tục dưới yếu theo
dãy nếu f (x) ≤ lim inf f (xn ) với mọi dãy {xn } trong X hội tụ yếu đến
n→∞

x ∈ X.
Mệnh đề 1.6. Cho f : X −→ R, ba mệnh đề sau là tương đương
i. Hàm f nửa liên tục dưới,
ii. Tập C(f ; α) đóng với mọi α ∈ R,
iii. Tập epi f là tập đóng trong X × R.

1.4

Định lý giá trị trung bình

Định nghĩa 1.14. Cho phiếm hàm f trên không gian Hilbert X. Ta
nói x0 ∈ X là điểm cực tiểu địa phương của f trên X nếu tồn tại lân
cận gốc V sao cho
f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ x0 + V,

(1.2)

f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ X,

(1.3)

còn nếu ta có

thì ta nói x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f .
Rõ ràng, một điểm cực tiểu toàn cục cũng là cực tiểu địa phương.
Trong trường hợp hàm f lồi thì hai khái niệm này trùng nhau. Thật
vậy, giả sử (1.2) thỏa mãn. Với mọi x ∈ X ta chọn λ > 0 đủ nhỏ sao

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

cho λ(x − x0 ) ∈ V . Lúc đó
f (x0 ) ≤ f (x0 + λ(x − x0 )) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ),
suy ra f (x0 ) ≤ f (x). Vậy (1.3) cũng thỏa mãn.
Định lý 1.2. Cho f : X −→ R là phiếm hàm trên không gian lồi địa
phương X, khả vi Gâteaux trên tập mở A ⊆ X. Với mọi x, y ∈ X, x
khác y sao cho [x, y] ⊆ A tồn tại z ∈ (x, y) thỏa mãn
f (y) − f (x) = y − x, fG (z) .

1.5

Hàm Carathéodory

Cho M là một σ-đại số những tập con của một tập hợp X. Hàm
µ : M −→ [0, ∞] là một độ đo. Khi đó bộ ba (X, M, µ) là một
không gian đo được và A, B là hai không gian topo. Ta nói hàm
f : X × A −→ B là một hàm Carathéodory nếu:
i. Với mỗi x ∈ A, hàm f (·, x) : X −→ B là đo được,
ii. Với mỗi t ∈ X, hàm f (t, ·) : A −→ B là liên tục.
Trong các phần tiếp theo, ta kí hiệu A là họ tất cả các hàm Caratheodory
f : Ω × R −→ R sao cho
|f (x, ξ)|
< +∞.
(x,ξ)∈Ω×R 1 + |ξ|
sup

12


Chương 2
Tập kỳ dị của toán tử thế vị
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu với (X, · , · ) là một không
gian Hilbert thực và J : X −→ R là một hàm C 1 . Với mỗi λ > 0, ta
định nghĩa toán tử Φλ : X −→ X được xác định như sau
Φλ (x) = x + λJ (x), ∀x ∈ X.
Trong đó J (x) là đạo hàm Fréchet của hàm J tại x. Để đơn giản cho
việc kí hiệu chúng ta sẽ viết Φ thay cho Φ1 khi λ = 1.

2.1

Tập kỳ dị

Cho một toán tử T : X −→ X, ta nói T là một phép đồng phôi địa
phương tại điểm x0 ∈ X nếu có một lân cận U của x0 và một lân cận
V của T (x0 ) sao cho thu hẹp của T trên U là một phép đồng phôi
giữa U và V . Nếu T không là một đồng phôi địa phương tại x0 thì ta
nói x0 là một điểm kỳ dị của T . Tập tất cả các điểm kì dị của T được
gọi là tập kì dị của T và kí hiệu là ST . Ta thấy tập ST là đóng.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Khi sự thu hẹp của T trên một vài tập mở A ⊆ X thuộc họ C 1 , ta
cũng kí hiệu SˆT|A tập tất cả các x0 ∈ A sao cho toán tử T (x0 ) không là
toàn ánh. Từ đó, tập tất cả các toán tử toàn ánh là mở trong L(X, X)
theo tính liên tục của T tập SˆT|A cũng là đóng trong A. Vậy SˆΦ là tập
tất cả các điểm x0 ∈ X sao cho toán tử Φ (x0 ) không là toàn ánh.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về các tập
SΦ , SˆΦ và SˆΦλ với λ thích hợp.

2.2
2.2.1

Tính chất của tập kì dị
Tính chất phi σ-compact của các tập SΦ và Φ(SΦ )

Định lý sau đây là kết quả đầu tiên cung cấp một họ phổ biến các
toán tử thế vị không khả vi trong không gian Hilbert mà tập kì dị của
nó phi σ-compact.

Định lý 2.1. Cho X là không gian vô hạn chiều. Giả sử J là nửa liên
tục dưới yếu theo dãy, không tựa lồi và thuần nhất dương với bậc α
khác 2. Nếu α > 2 giả sử J không âm. Giả thiết thêm Φ là đóng thì
khi đó cả tập SΦ và Φ(SΦ ) đều phi σ-compact.
Chứng minh của Định lý 2.1 cơ bản là dựa trên sự tổ hợp một vài
ý tưởng từ [7] với các kết quả chung bởi R. S. Sadyrkhanov ([10]) mà
thác triển đến các toán tử không khả vi được nghiên cứu trước đó bởi
R. A. Plastock ([5]).
Bổ đề 2.1 (Xem [10], Theorem 2.1). Nếu X vô hạn chiều, T : X −→
X là một toán tử đóng và nếu ST là σ-compact, thì sự thu hẹp của T
trên X\ST là một phép đồng phôi giữa X\ST và X\T (ST ).
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Chúng ta cũng áp dụng hai công cụ chính nữa là xấp xỉ tốt của I.
G. Tsar’kov [12] và định lý mini-max đã thiết lập trong [6].
Bổ đề 2.2 (Xem [12], Corollary 2). Cho A ⊂ X là một tập đóng yếu
theo dãy và không lồi thì với mỗi tập lồi V ⊆ X trù mật trong X, tồn
tại x0 ∈ V \A sao cho tập
{x ∈ A : x0 − x = dist(x0 , A)}
có ít nhất hai điểm.
Bổ đề 2.3 (Xem [6], Theorem 1). Cho I là một khoảng thực và f đi
từ X × I vào R là hàm thỏa mãn các điều kiện sau:
i. Với mọi x ∈ X, hàm f (x, ·) là tựa lồi và liên tục;
ii. Với mọi λ ∈ I, hàm f (·, λ) là nửa liên tục dưới yếu theo dãy và
mỗi cực tiểu địa phương của nó là một cực tiểu toàn cục;

iii. Tồn tại ρ > sup inf f (x, λ) và λ0 ∈ I sao cho tập
λ∈I x∈X

{x ∈ X : f (x, λ0 ) ≤ ρ}
là bị chặn. Khi đó, ta có
sup inf f (x, λ) = inf sup f (x, λ).
λ∈I x∈X

x∈X λ∈I

Mệnh đề 2.1 sau đây cung cấp cho ta bản chất mối liên hệ giữa các
kết quả trong [7] và [10].

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Mệnh đề 2.1. Cho X là vô hạn chiều và nếu U ⊂ X là một tập
σ-compact, thì tồn tại một nón lồi C ⊂ X trù mật trong X sao cho
U ∩ C = ∅.
Chứng minh. Chúng ta phân biệt hai trường hợp. Trường hợp thứ
nhất nếu X tách được. Cố định một cơ sở đếm được {An } những tập
mở của X. Ta cần chỉ ra tồn tại một dãy {xn } trong X sao cho với
mỗi n ∈ N, xn ∈ An và
U ∩ C(x1 ,x2 ...,xn ) = ∅,
với

∞

n

λi xi : λi ≥ 0,

C(x1 ,x2 ,...,xn ) =
i=1

λi > 0 .
i=1

Ta quy nạp theo n. Với n = 1 thì ∪λ>0 λU là σ-compact và vì X vô
hạn chiều nên nó không chứa A1 . Do đó, nếu lấy x1 ∈ A1 \ ∪λ>0 λU
thì ta có U ∩ C(x1 ) = ∅. Bây giờ, giả sử mệnh đề đúng với n tức
là có x1 , x2 , . . . , xn với những tính chất muốn có. Xét tập ∪µ>0 (U −
C(x1 ,x2 ,...,xn ) ) là tập σ-compact và không chứa An+1 . Chọn xn+1 ∈
An+1 \ ∪µ>0 (U − C(x1 ,x2 ,...,xn ) ), ta cần chứng minh mệnh đề đúng với
n + 1 tức
U ∩ C(x1 ,x2 ,...,xn+1 ) = ∅.
Giả sử U ∩ C(x1 ,x2 ,...,xn+1 ) = ∅, khi đó tồn tại xˆ ∈ U ∩ C(x1 ,x2 ,...,xn+1 ) . Do
đó, có xˆ ∈ U và xˆ ∈ C(x1 ,x2 ,...,xn+1 ) nên
n+1

n+1

λi xi với λi ≥ 0,

xˆ =
i=1

λi > 0.
i=1

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Đặc biệt, vì U ∩ C(x1 ,x2 ,...,xn ) = ∅ nên λn+1 > 0. Do đó, ta sẽ có
xn+1 =

1
λn+1

n

xˆ −

λi xi ,
i=1

vì vậy xn+1 ∈ ∪µ>0 [µ(U − C(x1 ,x2 ,...,xn ) )], trái với điều giả sử. Do đó
U ∩ C(x1 ,x2 ,...,xn+1 ) = ∅. Vậy tồn tại dãy {xn } cần tìm. Một tập C
được xác định như sau C = ∪∞
n=1 C(x1 ,x2 ,...,xn ) . Dễ thấy, C là nón lồi,
C ∩ U = ∅ và C trù mật trong X vì nó giao với mỗi tập An .
Trường hợp thứ hai với X không tách được. Ta kí hiệu V là phần

bù trực giao của span(U ). Ta thấy, V không tách được. Lấy {eγ }γ∈Γ
là cơ sở trực giao của V với Γ là tập sắp thứ tự ≤ không có phần tử
lớn nhất và tập
D = x ∈ V : ∃β ∈ Γ : x, eβ > 0 và x, eγ = 0, ∀γ > β .
Rõ ràng, D là một nón lồi. Lấy x ∈ span({eγ : γ ∈ Γ}) nên ta sẽ có
x, eγ eγ với I ⊂ Γ. Lấy β ∈ Γ sao cho β > γ với mọi γ ∈ I.

x=
γ∈I

Khi đó, với mỗi n ∈ N điểm yn = x + n1 eβ ∈ D ta thấy dãy {yn } hội
tụ về x khi n → ∞. Điều này có nghĩa là D trù mật trong V . Cuối
cùng, ta thấy tập
C = span(U ) + D.
Vì vậy, C là một nón lồi, trù mật trong X và không giao U.
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.1.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phủ định. Giả sử SΦ là σ-compact.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trịnh Thị Lệ Xuân

Vì Φ liên tục nên Φ(SΦ ) là σ-compact và theo Bổ đề 2.1 phương trình
Φ(x) = y
có một nghiệm duy nhất với mỗi y ∈ X\Φ(SΦ ). Theo Mệnh đề 2.1, có
một nón lồi C ⊂ X trù mật trong X sao cho
C ∩ Φ(SΦ ) = ∅.

(2.1)

Theo giả thiết, ta có r > inf J sao cho J −1 ((−∞, r]) là đóng yếu theo
X

dãy và không lồi. Do đó, theo Bổ đề 2.2, tồn tại y0 ∈ C\J −1 ((−∞, r])
và hai điểm phân biệt y1 , y2 trong J −1 ((−∞, r]) thỏa mãn
y0 − y1 = y0 − y2 = dist(y0 , J −1 ((−∞, r])).

(2.2)

Ta xác định hàm f : X × [0, +∞) −→ R như sau
f (x, λ) =

1
x − y0
2

2

+ λ(J(x) − r)

với mọi (x, λ) ∈ X × [0, +∞). Ta sẽ kiểm tra f có thỏa mãn các điều
kiện của Bổ đề 2.3.
Điều kiện i. và iii. là thỏa mãn (với λ0 = 0). Vì vậy, lấy λ ∈ (0, +∞),
ta có hàm f (·, λ) là nửa liên tục dưới yếu theo dãy. Lấy > 0 sao cho
1
2

− λ > 0. Chúng ta cần chỉ ra rằng có δ > 0 sao cho
J(x)
≥− .
>δ x 2

inf
xn

(2.3)

Với α > 2 ta dễ dàng chỉ ra được J không âm theo giả thiết. Giả sử
α < 2, vì J thuộc C 1 nên suy ra α ≥ 1. Nếu (2.3) không đúng, khi đó
18