Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

ĐẶNG VĂN HIẾU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI
BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

ĐẶNG VĂN HIẾU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI
BÀI TOÁN CHẤP NHẬN LỒI SUY RỘNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62460112

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án này, dưới sự hướng
dẫn của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, là trung thực và chưa từng được công bố trong
bất kỳ công trình của ai khác. Những kết quả viết chung với giáo sư hướng dẫn
và các cộng sự đã được đồng ý khi đưa vào luận án.

Hà nội, tháng 12 năm 2016
Nghiên cứu sinh

Đặng Văn Hiếu

2


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn,
GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tôi vô cùng biết ơn sự giúp đỡ tận tình, quý báu mà
Thầy đã dành cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án. Nhờ những ý tưởng
mà Thầy đã gợi ý, những góp ý, hướng dẫn của Thầy, những tài liệu bổ ích mà
Thầy đã cung cấp cũng như những cuộc trao đổi thú vị của Thầy về công việc
nghiên cứu, tôi đã hoàn thành đề tài của mình. Thầy đã dành cho tôi rất nhiều sự
quan tâm, chỉ dẫn và giúp đỡ quý báu không chỉ trong nghiên cứu khoa học mà
cả trong cuộc sống. Chính nhờ sự quan tâm của Thầy, tôi đã thấy mình được tin
tưởng ngay cả khi gặp khó khăn, vấp váp, thậm chí thất bại. Điều đó đã giúp tôi
vững tin thực hiện quá trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và anh chị em trong Trung tâm Tính toán
Hiệu năng cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn

sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn Hữu Điển. Thầy đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc
sử dụng các công cụ phần mềm trong toán học. Trong suốt thời gian làm nghiên
cứu sinh, Thầy đã tạo cho tôi môi trường làm việc hết sức thuận lợi, cũng như
cho phép tôi tiếp cận các phương tiện, máy móc để thực hiện đề tài của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và anh chị em trong Bộ môn Toán học tính
toán và Toán ứng dụng nói riêng và Khoa Toán Cơ Tin học, ĐHKHTN nói chung.
Những ý kiến quý báu của các thầy và các bạn ở các kỳ Xêmina bộ môn cũng
như sự tạo điều kiện của Khoa, của bộ môn đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn
thành luận án này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, các anh chị và các bạn trong nhóm
Xêmina liên cơ quan ĐHKHTN, ĐHBK, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. Nhóm
đã tạo cho tôi nhiều cảm hứng trong nghiên cứu khoa học và sự gắn bó với môi
trường nghiên cứu.
Tôi cũng rất biết ơn Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội. Công tác quản lý đào
tạo và môi trường nghiên cứu của Trường đã góp phần không nhỏ để cho luận
án này được hoàn thành đúng dự định.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô và các anh chị em trong Bộ Môn Toán
3


Tin nói riêng và Khoa Cơ Bản, Trường Sĩ Quan Không Quân nói chung. Đơn vị
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác.
Sự quan tâm và những lời động viên, khích lệ của các thầy cô, các anh chị em và
các bạn đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận án của mình.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TSKH Vũ Hoàng Linh. Thầy đã
dạy dỗ chỉ bảo tận tình cho tôi về cách học tập và nghiên cứu các chuyên đề cao
học và nghiên cứu sinh. Thầy có nhiều góp ý rất quan trọng trong các kỳ Xêmina,
giúp tôi có nhiều ý tưởng và động lực để phát triển và hoàn thành luận án của
mình.
Từ tận đáy lòng tôi xin gửi lời cảm ơn tới GS. TSKH Lê Dũng Mưu. Thầy đã

giúp đỡ tôi rất nhiều về chuyên môn, cách nghiên cứu, xây dựng ý tưởng và giải
quyết các vấn đề. Chính nhờ sự chỉ bảo tận tình của Thầy, tôi thấy mình tự tin
hơn, độc lập hơn trong nghiên cứu và đề xuất các ý tưởng. Thầy có ảnh hưởng
không nhỏ tới các nghiên cứu gần đây của tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn GS. TS. Đặng Quang Á, GS. TSKH. Phạm Thế
Long, TS. Nguyễn Thế Vinh, TS. Nguyễn Trung Hiếu và các thầy, các anh chị
khác, những người đã dành thời gian đọc và cho em nhiều ý kiến quý báu về nội
dung và hình thức trình bày luận án.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Vũ Tiến Dũng đã dành nhiều thời gian chia sẻ,
hướng dẫn và giúp tôi thực hiện các thử nghiệm số trên bó máy tính tại Trung
tâm Tính toán Hiệu năng cao, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội. Tôi cũng xin gửi lời cảm
ơn tới TS. Trần Đình Quốc - Department of Statistics and Operations Research,
University of North Carolina. Anh đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm lập trình và
cung cấp các gói phần mềm hỗ trợ cho tôi dễ dàng thực hiện các thử nghiệm số
trong luận án này.
Tôi xin cảm ơn bạn bè tôi, những người đã quan tâm và động viên tôi cả trong
cuộc sống lẫn công việc nghiên cứu khoa học.
Cuối cùng, luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự động
viên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình. Tôi không thể diễn đạt được bằng lời lòng
biết ơn đối với những gì gia đình dành cho tôi từ trước đến nay. Qua đây, tôi gửi
lời cảm ơn tới vợ, con tôi, những người luôn cho tôi động lực, tiếng cười và tạo
điều kiện thời gian cho tôi học tập và nghiên cứu. Luận án này, và những gì tôi
4


đang cố gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em và những người
thân trong gia đình, với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất.

5

MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan

2

Lời cảm ơn

3

Mục lục

6

Bảng kí hiệu

8

Bảng các chữ viết tắt

9

Mở đầu

.

10

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1 Hình học không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn đều . . . . . . .
1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu và một số tính chất . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Phép chiếu metric và phép chiếu tổng quát . . . . . . . . .
1.2 Phương trình toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . .
1.2.1 Các khái niệm liên tục của toán tử phi tuyến . . . . . . . .
1.2.2 Toán tử khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Phiếm hàm lồi và dưới vi phân của phiếm hàm lồi . . . . .
1.2.4 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . .
1.3 Phương trình với toán tử J - đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Toán tử J - đơn điệu (accretive) và toán tử đơn điệu . . . .
1.3.2 Phương trình với toán tử J - đơn điệu . . . . . . . . . . . .
1.4 Bài toán tìm điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Ánh xạ không giãn tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Mối liên hệ giữa các bài toán EP, VIP, FPP và giải phương trình
toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Một số bất đẳng thức sử dụng trong luận án . . . . . . . . . . . .
6

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

24
24
24
25
27
30
30
31
32
33
35
35
38
42
42
43
44
44

45

. 47
. 49


Chương 2. Một số phương pháp giải hệ phương trình toán tử
2.1 Hệ phương trình với các toán tử J - đơn điệu đều ngược
2.2 Điểm bất động chung của một họ các ánh xạ . . . . . .
2.2.1 Các phương pháp lai ghép song song . . . . . .
2.2.2 Các phương pháp lai ghép tuần tự . . . . . . . .
2.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

50
50
61
62
67

72

Chương 3. Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng,
bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động
76
3.1 Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1.1 Phương pháp lai ghép trong không gian Banach . . . . . . . 77
3.1.2 Phương pháp lai ghép trong không gian Hilbert . . . . . . . 88
3.2 Các phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.1 Phương pháp chiếu EGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.2 Phương pháp chiếu GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3 Phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.1 Thử nghiệm số cho phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . 114
3.4.2 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu EGM . . . . . . . . 116
3.4.3 Thử nghiệm số cho phương pháp chiếu GLM . . . . . . . . 117
Chương 4. Một số phương pháp giải bài toán cân bằng tách và ứng dụng
4.1 Các thuật toán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ứng dụng cho bài toán biến phân tách . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121
122
131
133

Kết luận

138

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

141

Tài liệu tham khảo

142

7


BẢNG KÍ HIỆU

Tích vô hướng (hoặc tích đối ngẫu)

., .
H

Không gian Hilbert

X

Không gian Banach

X∗

Không gian đối ngẫu của X

J

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

S( x0 , r ) ( B[ x0 , r ])

Mặt (hình) cầu tâm x0 , bán kính r

arg min f ( x )

Phần tử cực tiểu hàm f

arg max f ( x )

Phần tử cực đại hàm f

Tp (Ts )

Thời gian chạy song song (tuần tự)

S p = Ts /Tp (E p = S p /N)

Tỷ lệ tăng tốc độ (Hiệu suất trung bình mỗi CPU)

D ( A)( R( A))

Miền xác định (giá trị) của toán tử A

G ( A)

Đồ thị của toán tử A

Fix (S)
F˜ (S)

Tập điểm bất động của ánh xạ S
Tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ S

V I ( A, C )

Tập nghiệm của VIP cho toán tử A trên C

EP( f , C )

Tập nghiệm của EP cho song hàm f trên C

PC (ΠC )

Phép chiếu metric (tổng quát) trên tập C

φ(., .)

Phiếm hàm Lyapunov

(

+\

+)
∗

Tập hợp các số thực (không âm\ dương)

δX (ρ X )

Mô-đun lồi (trơn) của không gian X

∅

Tập rỗng

✷

Kết thúc chứng minh

8


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

IPIRM (EPIRM)

Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (hiện)

PPM

Phương pháp điểm gần kề

EGM

Phương pháp đạo hàm tăng cường

SEGM

Phương pháp dưới đạo hàm-đạo hàm tăng cường

GM

Phương pháp đạo hàm

GLM

Phương pháp kiểu đạo hàm

CFP (GCFP)

Bài toán chấp nhận lồi (suy rộng)

SFP

Bài toán chấp nhận tách

SOP

Bài toán tối ưu tách

SOE

Hệ phương trình toán tử

FPP (CFPP)

Bài toán điểm bất động (chung)

CSVIP

Nghiệm chung của các bất đẳng thức biến phân

CSEP

Nghiệm chung của các bài toán cân bằng

IP (SIP)

Bài toán ngược (tách)

VIP (SVIP)

Bài toán bất đẳng thức biến phân (tách)

EP (SEP)

Bài toán cân bằng (tách)

REP

Bài toán cân bằng hiệu chỉnh

GEP

Bài toán cân bằng suy rộng

9


MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán trong khoa học và kĩ thuật như bài toán khôi phục ảnh, bài
toán xử lý tín hiệu, bài toán tối ưu, bài toán cân bằng v.v. [19, 39, 40] dẫn tới giải
bài toán chấp nhận lồi sau đây.
Bài toán 0.1 (CFP - Convex Feasibility Problem). Cho Ci , i = 1, . . . , N là các tập
lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert H hoặc Banach X. Bài toán CFP được phát
biểu như sau:
∗

∗

N

Tìm điểm x sao cho x ∈ C :=

Ci .

(0.1)

i =1

Bài toán CFP được Cauchy đề cập từ giữa thế kỉ 19. Dạng đơn giản nhất của
bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi cho trước (dạng hiển), tuy nhiên
trong thực tế hầu hết các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức chúng là nghiệm của
các bài toán nào đó. Một ví dụ điển hình trong xử lý ảnh, chúng ta cần khôi phục
hình ảnh ban đầu x từ các quan sát f i (chẳng hạn, hình chiếu hoặc các đại lượng

vật lý khác liên quan tới ảnh x). Điều này có thể đưa về giải một hệ phương trình
toán tử có dạng Fi ( x ) = f i , i = 1, . . . , N, khi đó Ci được cho dưới dạng ẩn là
nghiệm của phương trình Fi ( x ) = f i .
Bài toán CFP là một trường hợp đặc biệt của bài toán chấp nhận tách (SFP
- Split Feasibility Problem), tức là tìm một điểm thuộc giao của một họ các tập
lồi đóng trong không gian nguồn sao cho ảnh của nó qua một ánh xạ tuyến tính
bị chặn thuộc giao của một họ các tập lồi đóng trong không gian ảnh. Bài toán
SFP được mô hình hóa từ lớp các bài toán ngược, ở đó các ràng buộc đặt lên
miền xác định của toán tử tuyến tính cũng như miền giá trị của nó trong không
gian ảnh. Một ứng dụng thực tế của bài toán SFP trong y học bức xạ - trị liệu
(Intensity-Modulated Radiation Therapy - IMRT) được trình bày trong [31].

10


Khi các tập Ci được cho dưới dạng hiển, kĩ thuật phổ biến giải bài toán CFP là
sử dụng phép chiếu lên các tập lồi. Một số phương pháp điển hình như phương
pháp chiếu lặp tuần tự (xoay vòng), phương pháp chiếu lặp đồng thời (song song)
hoặc phương pháp lặp khối. Sau đây, chúng tôi trình bày một số nét chính về lịch
sử giải bài toán CFP. Ý tưởng về phương pháp lặp xoay vòng đầu tiên được đề
xuất bởi Neumann năm 1933, khi tác giả tìm hình chiếu của một điểm lên giao
của hai nửa không gian. Năm 1937, Kaczmarz đề xuất phương pháp chiếu lặp
tuần tự giải hệ phương trình tuyến tính quá xác định Ax = b. Gọi ai , i = 1, . . . , m
là véc tơ chuyển vị dòng thứ i của ma trận A và b = (b1 , . . . , bm ) T . Khi đó, hệ
phương trình Ax = b được viết dưới dạng
ai , x = bi , i = 1, . . . , m,

(0.2)

trong đó x = ( x1 , . . . , xn ) T và dãy lặp tuần tự Kaczmarz giải hệ (0.2) cho bởi

x

k +1

k

=x +

b[ k ] − a [ k ] , x k

|| a[k] ||2

a[k] ,

(0.3)

trong đó [k ] = (k mod m) + 1 nhận giá trị trong tập {1, 2, . . . , m}. Rõ ràng,
các phương trình trong hệ (0.2) được lặp luân phiên xoay vòng qua các hàng
của ma trận A. Ý tưởng của phương pháp lặp Kaczmarz cũng được áp dụng
giải hệ phương trình toán tử. Trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã đề
xuất các phương pháp lặp như phương pháp Landweber-Kaczmarz, phương
pháp Newton-Kaczmarz, phương pháp đường dốc nhất Kaczmarz [26, 48] và
các phương pháp lai ghép xoay vòng tìm điểm bất động chung của một họ các
toán tử, tìm nghiệm chung của các bất đẳng thức biến phân và các bài toán cân
bằng [33, 70, 71, 75, 76].
Cùng thời gian phương pháp Kaczmarz ra đời, năm 1938, G. Cimmino đề xuất
phương pháp lặp đồng thời giải hệ phương trình quá xác định Ax = b. Phương
pháp được mô tả như sau.

b − a ,x k


 xik+1 = x k + λk i i 2 ai , i = 1, . . . , m,
|| a ||

 x k +1 =

1
m

m

∑

i =1

i

xik+1 .

(0.4)

Rõ ràng, các xấp xỉ thành phần xik+1 , i = 1, . . . , m được tìm đồng thời qua mỗi
hàng của ma trận A và xấp xỉ tiếp theo là trung bình cộng của các xấp xỉ thành
11


phần. Phương pháp lặp Cimmino đã được một số tác giả mở rộng cho phương
trình toán tử toán tử như Diniz-Ehrhardt và Martinez [43], Zilli và Bergamaschi
[86], Lu, Neittaanmaki và Tai [61], Censor, Gordon và Gordon [36].
Năm 1965, Bregman [28] mở rộng phương pháp tuần tự Kaczmarz cho các

tập lồi bất kì. Cùng thời gian này, Auslender [3] cũng khái quát phương pháp lặp
đồng thời kiểu Cimmino cho các tập lồi.
Bài toán CFP được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như khôi phục ảnh
(image reconstruction), xử lý tín hiệu (signal processing), kĩ thuật y sinh (biomedical engineering), lý thuyết xấp xỉ (approximation theory) và lý thuyết tối ưu (optimization theory), chẳng hạn xem [39] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Đây
cũng chính là lý do bài toán CFP được quan tâm và nghiên cứu rộng rãi trong hai
thập niên gần đây cả về lý thuyết và thuật toán. Một số tác giả tiêu biểu về hướng
nghiên cứu này là Bauschke và Borwein [19], Butnariu, Censor và Reich [27].
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán chấp nhận lồi suy rộng
(GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Bài toán GCFP được phát biểu
như sau:
Bài toán 0.2 (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Cho N bài toán

P1 , P2 , . . . , P N trong không gian Hilbert H hoặc Banach X với tập nghiệm Sol (Pi ) của
mỗi bài toán Pi là lồi đóng và khác rỗng (i = 1, . . . , N). Tập Ci trong Bài toán CFP (0.1)
cho dưới dạng ẩn là tập nghiệm của bài toán Pi (i = 1, . . . , N). Bài toán GCFP cho N
bài toán này là:
Tìm điểm x ∗ là nghiệm chung của các bài toán P1 , P2 , . . . , P N ,

(0.5)

hay tìm x ∗ ∈ ∩iN=1 Sol (Pi ).
Trong luận án này, chúng tôi giả thiết bài toán GCFP là tương thích, nghĩa là,
bài toán luôn có nghiệm. Sau đây, chúng tôi trình bày một số dạng cơ bản của bài
toán GCFP được nghiên cứu trong luận án này.
1. Giải hệ phương trình toán tử (SOE):
Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, x ∈ X, i = 1, 2 . . . , N,

(0.6)

trong đó Fi : X → Y là toán tử, f i ∈ Y và X, Y là các không gian Hilbert hoặc

Banach. Khi đó, Pi là bài toán giải phương trình toán tử Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0
12


và Ci là tập nghiệm tương ứng của nó.
2. Tìm điểm bất động chung của một họ toán tử (CFPP): Cho C là một tập lồi
đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H hoặc Banach X và Si : C →
C, i = 1, . . . , N là một họ hữu hạn các ánh xạ. Bài toán CFPP cho họ ánh xạ
Si , i = 1, . . . , N là tìm x ∗ ∈ C sao cho:
∗

N

x ∈ F :=

Fix (Si ).

(0.7)

i =1

Bài toán CFPP là trường hợp riêng của bài toán GCFP với Pi là bài toán tìm điểm
bất động của ánh xạ Si và Ci = Fix (Si ) là tập điểm bất động của Si .
3. Tìm nghiệm chung của các bất đẳng thức biến phân (CSVIP): Cho Ai : C →
X, i = 1, . . . , N là các toán tử. Bài toán CSVIP cho họ các toán tử Ai , i = 1, . . . , N
trên C là tìm x ∗ ∈ C sao cho:
Ai ( x ∗ ), x − x ∗ ≥ 0, ∀ x ∈ C, i = 1, . . . , N.

(0.8)

Bài toán CSVIP là một dạng bài toán GCFP với Ci = V I ( Ai , C ) là tập nghiệm của
bất đẳng thức biến phân cho toán tử Ai trên tập C.
4. Tìm nghiệm chung của các bài toán cân bằng (CSEP): Cho f i : C × C →

,i=

1, . . . , N là các song hàm. Bài toán CSEP cho họ các song hàm f i , i = 1, . . . , N trên
C là tìm x ∗ ∈ C sao cho:
f i ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, i = 1, . . . , N.

(0.9)

Bài toán CSEP cũng là một dạng của bài toán GCFP với Ci = EP( f i , C ) là tập
nghiệm của bài toán cân bằng cho song hàm f i trên tập C.
Ngoài các bài toán tìm nghiệm chung nêu trên, trong thực tế còn có nhiều
bài toán dạng GCFP khác như: Bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp (tức là tìm
nghiệm chung của nhiều họ bài toán với nhau) hoặc các bài toán tổng quát hơn,
gọi là các bài toán tách, bao gồm bài toán chấp nhận tách, bài toán bất đẳng thức
biến phân tách và bài toán cân bằng tách.
Trong hai thập niên gần đây, các bài toán dạng GCFP (0.6) − (0.9) được quan
tâm và nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Phần lớn các thuật toán giải
chúng là tuần tự (xoay vòng). Ý tưởng chung là sử dụng một thuật toán đã biết
để xấp xỉ nghiệm tại mỗi bước cho một bài toán con và việc này được lặp một
13


cách luân phiên xoay vòng qua các bài toán thành phần của hệ ban đầu. Đối với
hệ phương trình toán tử SOE (0.6), nếu không đặt điều kiện gì thêm lên toán tử
Fi thì bài toán giải hệ phương trình Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, i = 1, . . . , N là đặt
không chỉnh theo nghĩa nó không có lời giải duy nhất với mọi vế phải f i ∈ X (X ∗ )

hoặc lời giải không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu ( Fi , f i ). Trong phần
đầu của luận án này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình SOE (0.6), ở đó các
toán tử Ai : D ( A) ⊂ X → X là J - đơn điệu, tức là
Ai ( x ) − Ai (y), J ( x − y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ D ( A),
trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trong không gian Banach X. Các bài toán
đặt không chỉnh liên quan chặt chẽ tới lý thuyết toán tử J - đơn điệu (accretive) và
toán tử J - đơn điệu cực đại. Một toán tử J - đơn điệu A được gọi là cực đại nếu đồ
thị G ( A) của nó không là tập con thực sự của đồ thị của một toán tử J - đơn điệu
nào khác. Ta cũng biết rằng, nếu A là J - đơn điệu và h-liên tục với D ( A) = X
thì A là J - đơn điệu cực đại. Trong không gian Hilbert, khái niệm toán tử J - đơn
điệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu (monotone). Do vậy, phương trình toán
tử J - đơn điệu trong không gian Banach cũng là một mở rộng từ phương trình
toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Nó liên quan mật thiết tới lý thuyết
điểm bất động trong không gian Banach. Nếu toán tử T là không giãn trong X
thì A = I − T là J - đơn điệu mạnh ngược (inverse strongly accretive), tức là tồn
tại số α > 0 sao cho
A( x ) − A(y), J ( x − y) ≥ α|| A( x ) − A( x )||2 , ∀ x, y ∈ X.
Ngược lại nếu A là J - đơn điệu mạnh ngược với hệ số α > 0, thì ánh xạ T =
I − λA là không giãn với λ ∈ (1, 2α). Nhiều vấn đề trong vật lý được mô hình
dưới dạng bài toán giá trị ban đầu
x (t) + Ax (t) = 0, x (0) = x0 ,

(0.10)

trong đó, A là toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach. Nếu x (t) độc lập
với biến t thì phương trình (0.10) trở thành phương trình
A(u) = 0,
và nghiệm của phương trình này là điểm cân bằng (equilibrium point) của hệ
phương trình (0.10). Browder [29] là nhà toán học đầu tiên nghiên cứu về toán tử
14

J - đơn điệu trong không gian Banach. Một trong các kết quả đầu tiên đáng chú
ý là, nếu A là toán tử Lipschitz địa phương (locally Lipschitz) và J - đơn điệu thì
A là m - J - đơn điệu, tức là R( A + αI ) = X với mọi α > 0, trong đó I là toán tử
đơn vị trong X. Năm 1970, Martinet [5] khái quát kết quả này cho lớp các toán tử
J - đơn điệu liên tục.
Một số phương pháp giải phương trình toán tử J - đơn điệu trong không gian
Banach có thể tìm trong [11] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Như đã đề cập ở
trên, do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên ta cần chiến lược
hiệu chỉnh bài toán. Ý tưởng của phương pháp hiệu chỉnh là thay bài toán ban
đầu bằng một họ các bài toán đặt chỉnh mà nghiệm của chúng hội tụ về nghiệm
của bài toán ban đầu khi tham số hiệu chỉnh dần tới 0. Sau đây, chúng tôi trình
bày hai phương pháp hiệu chỉnh phổ biến được sử dụng cho các bài toán đặt
không chỉnh.
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov: Đây là phương pháp hiệu chỉnh được
đề xuất bởi nhà toán học người Nga A. N. Tikhonov năm 1963, trong phương
pháp hiệu chỉnh này thay vì phương trình F ( x ) = f , ta giải một họ các bài toán
cực tiểu phiếm hàm
Rα(h,δ) ( x ) := || F h ( x ) − f δ ||2 + αΩ( x ) → min,
x

trong đó α = α(h, δ) là tham số hiệu chỉnh, Ω( x ) là phiếm hàm ổn định hóa và
F h , f δ lần lượt là các đại lượng xấp xỉ của F, f . Phiếm hàm ổn định hóa thường
được sử dụng trong tính toán là Ω( x ) = || x − x0 ||2 , trong đó x0 ∈ X là điểm được
gợi ý ban đầu.
Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev: Năm 1966, M. M. Lavrentiev [59] đề
xuất phương pháp hiệu chỉnh mang tên ông khi F là toán tử tuyến tính xác định
không âm trong không gian Hilbert. Ý tưởng này được sử dụng một cách tự
nhiên cho toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach, tức là, thay vì phương

trình F ( x ) = f chúng ta giải phương trình hiệu chỉnh
F h ( x ) + αx = f δ ,
trong đó α = α(h, δ) > 0 là tham số hiệu chỉnh và ( F h , f δ ) là các xấp xỉ của ( F, f ).
Bằng cách chọn tham số α một cách thích hợp thì nghiệm của phương trình này
hội tụ tới nghiệm của bài toán ban đầu khi α → 0. Cùng thời gian này, F. Browder
15


[30] cũng đề xuất phương pháp hiệu chỉnh cho toán tử F : X → X ∗ đơn điệu
trong không gian Banach, trong đó tác giả dùng toán tử hiệu chỉnh M : X → X ∗
là h-liên tục và d-đơn điệu. Bởi vậy phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev còn được
gọi là phương pháp Browder - Tikhonov.
Ngoài phương pháp hiệu chỉnh, các phương pháp chỉnh lặp cũng được sử
dụng để giải các bài toán đặt không chỉnh. Ý tưởng của các phương pháp chỉnh
lặp là kết hợp các phép lặp đã biết với kĩ thuật hiệu chỉnh. Một số phương pháp
chỉnh lặp bậc không và bậc một (phương pháp Newton-Kantorovich) được đề
xuất bởi A.B. Bakushinskii [18] trong không gian Hilbert. Phương pháp lặp bậc
không kết hợp phương pháp lặp hiện với kĩ thuật hiệu chỉnh Lavrentiev có dạng
x k +1 = x k − β k ( F ( x k ) − f + α k x k ) ,
trong đó αk là tham số hiệu chỉnh và β k là tham số lặp. Phương pháp lặp bậc một
áp dụng cho toán tử khả vi và được kết hợp bởi phương pháp lặp Newton và kĩ
thuật hiệu chỉnh, cụ thể tại bước thứ k, biết xk , xấp xỉ tiếp theo xk+1 thỏa mãn
phương trình
F ( x k ) + α k I ( x k +1 − x k ) = − ( F ( x k ) − f + α k x k ) .
Đây là phương pháp lặp ẩn và nếu F thỏa mãn điều kiện nguồn (source condition), chúng ta có thể đánh giá được tốc độ hội tụ của phương pháp.
Ngoài hai phương pháp chỉnh lặp trên, một số phương pháp chỉnh lặp khác
cũng được đề xuất trong [11] như phương pháp chiếu - lặp hiệu chỉnh (iterative
- projection regularization method), phương pháp hàm phạt (penalty method),
phương pháp giảm dư (residual method), phương pháp tựa nghiệm (quasi - solution method) cho các toán tử đơn điệu, J - đơn điệu trong cả hai trường hợp dữ
liệu chính xác và dữ liệu có nhiễu.

Hệ phương trình SOE (0.6) có thể được thiết lập một cách tương đương với bài
toán CFPP (0.7) cho họ hữu hạn các ánh xạ Ti , i = 1, . . . , N với Ti = x − Ai ( x ).
Hai phương pháp lặp phổ biến cho bài toán FPP (Fixed Point Problem) được
sử dụng trong luận án này là phương pháp lặp Mann [63] và phương pháp lặp
Halpern [47]. Dựa trên hai phương pháp cơ bản này, chúng ta có thể thiết kế các
thuật toán khác nhau cho bài toán CFPP (0.7), chẳng hạn, để giải bài toán CFPP
(0.7) cho một họ các ánh xạ không giãn tương đối Ti : C → C, i = 1, . . . , N
16


trong không gian Banach, Liu [60] sử dụng thuật toán lặp Halpern [47] và đề
xuất phương pháp lai ghép tuần tự như sau:


x0 ∈ C,





−1


 yn = J (αn Jx0 + (1 − αn ) JTn(mod) N xn ),

Cn = {v ∈ C : φ(v, yn ) ≤ αn φ(v, x0 ) + (1 − αn )φ(v, xn )} ,





Qn = {v ∈ C : Jx0 − Jxn , xn − v ≥ 0} ,




 x
n+1 = ΠCn ∩ Qn x0 , n ≥ 0,

(0.11)

trong đó J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và ΠC là phép chiếu tổng quát
lên tập C trong không gian Banach X. Một phương pháp lặp song song cho họ
này có thể được tìm trong [15].
Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP - Variational Inequality Problem) là
một trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng (EP - Equilibrium Problem). Do
có những khác biệt giữa toán tử và song hàm nên một số phương pháp giải bài
toán EP không là mở rộng trực tiếp của bài toán VIP. Hai phương pháp phổ biến
giải bài toán VIP và bài toán EP là phương pháp điểm gần kề (PPM - Proximal
Point Method) [57] và phương pháp chiếu [72]. Phương pháp chiếu đơn giản nhất
cho bài toán VIP là phương pháp chiếu đạo hàm (GM - Gradient Method), ở đó
chỉ cần tìm một phép chiếu lên tập ràng buộc. Tuy nhiên, sự hội tụ (hội tụ yếu)
của phương pháp này đòi hỏi toán tử là đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu mạnh
ngược). Để vượt qua khó khăn đó, Korpelevich [58] đã đề xuất phương pháp
chiếu đạo hàm tăng cường (EGM - Extragradient Method) khi nghiên cứu bài
toán điểm yên ngựa. Phương pháp EGM được thiết kế như sau:

 y = P ( x − λA( x )),
n
n
C n

 xn+1 = PC ( xn − λA(yn )),

(0.12)

trong đó A : H → H là một toán tử, PC là phép chiếu metric lên C và λ > 0 là
tham số. Sự hội tụ của phương pháp EGM chỉ đòi hỏi tính liên tục Lipschitz và
tính đơn điệu (hoặc giả đơn điệu) của toán tử A. Nếu tập ràng buộc C có cấu trúc
đơn giản (chẳng hạn như hình cầu, nửa không gian, hoặc siêu phẳng) thì phép
chiếu PC có thể thực hiện dễ dàng. Tuy nhiên, nếu C là tập lồi đóng bất kì thì phép
chiếu PC , nói chung, là khó thực hiện. Điều này có thể ảnh hưởng đến tính hiệu
quả của phương pháp EGM. Gần đây, nhóm các nhà toán học người Israel gồm
17


Censor, Gibali và Reich đã đề xuất phương pháp dưới đạo hàm - đạo hàm tăng
cường (SEGM - Subgradient Extragradient Method) giải các bài toán VIP trong
không gian Hilbert H. Ý tưởng của phương pháp này là thay phép chiếu thứ hai
của phương pháp EGM (0.12) bởi phép chiếu lên nửa không gian có cấu trúc đặc
biệt, cụ thể


 y = P ( x − λA( x )),
n
n
C n
 xn+1 = PT ( xn − λA(yn )),

(0.13)

n

trong đó Tn = {v ∈ H : ( xn − λA( xn )) − yn , v − yn ≤ 0} là nửa không gian
chứa tập C. Do phép chiếu lên nửa không gian được cho bởi công thức hiển
nên phương pháp SEGM được xem như một cải tiến của phương pháp EGM về
phương diện tính toán. Một vài phương pháp cải biên khác của phương pháp
EGM được trình bày trong [50, 62] và các tài liệu trích dẫn trong đó.
Phương pháp PPM cho bài toán EP bao gồm việc giải một bài toán cân bằng
hiệu chỉnh (REP - Regularized Equilibrium Problem) trên mỗi bước lặp, nghĩa là,
f

f

biết xn , xấp xỉ tiếp theo xn+1 = Tr ( xn ), trong đó r > 0 là tham số và Tr là giải
thức của song hàm f xác định bởi
f

Tr ( x ) =

u ∈ H : f (u, y) +

1
y − u, u − x ≥ 0,
r

∀y ∈ C , x ∈ H.

(0.14)

f

Nếu f đơn điệu thì giải thức Tr là đơn điệu mạnh, không giãn và đơn trị. Nếu f
f

là song hàm thuộc lớp đơn điệu tổng quát hơn, chẳng hạn, giả đơn điệu thì Tr ,
nói chung, là không đơn trị, không đơn điệu mạnh. Do đó, phương pháp PPM
không thể áp dụng trong trường hợp này. Năm 2008, Quoc [72] và các cộng sự đã
mở rộng phương pháp EGM [58] cho các bài toán EP. Phương pháp EGM cho bài
toán EP bao gồm việc giải hai bài toán tối ưu sau đây

 y = arg min{λ f ( x , y) + 1 || x − y||2 : y ∈ C },
n
n
n
2
 xn+1 = arg min{λ f (yn , y) + 1 || xn − y||2 : y ∈ C },

(0.15)

2

trong đó λ > 0 là tham số phù hợp. Ưu điểm của của phương pháp EGM là có thể
sử dụng cho lớp các song hàm giả đơn điệu và hai bài toán tối ưu trên mỗi bước
lặp có thể được giải dễ dàng hơn phương pháp PPM trong nhiều trường hợp.
Trong những năm gần đây, phương pháp này được nghiên cứu sâu rộng bởi các
nhà toán học trong và ngoài nước cả về lý thuyết và thuật toán, xem [17,51,52,68]
và các tài liệu trích dẫn trong đó.
18


Cùng với các bài toán tìm nghiệm chung, bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp

cũng được nghiên cứu sâu rộng trong những năm gần đây. Trong nhiều lĩnh vực
của toán học ứng dụng như bài toán tối ưu đa mục tiêu, bài toán cân bằng NashCournot trong kinh tế, hoặc bài toán tối ưu mà miền ràng buộc được biểu diễn
dưới dạng giao của một họ hữu hạn các tập điểm bất động dẫn tới bài toán tìm
nghiệm chung của hai hay nhiều hơn các bài toán EP, VIP hoặc FPP trong cùng
một không gian hoặc hai không gian khác nhau (qua một ánh xạ tuyến tính). Vì
lý do đó, bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp đã được nhiều nhà toán học quan
tâm nghiên cứu [12–16, 34, 35, 38, 49, 68, 70, 71, 75]. Dựa trên các phương pháp đã
biết cho từng bài toán thành phần, các tác giả đã thiết kế chúng theo một trật tự
nhất định và thu được thuật toán cho bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp. Chẳng
hạn, để tìm nghiệm chung của bài toán CSEP cho các song hàm f i , i = 1, . . . , M,
bài toán CSVIP cho các toán tử A j , j = 1, . . . , N và bài toán CFPP cho các ánh xạ
không giãn Sk , k = 1, 2, . . . trong không gian Hilbert H, Saeidi [75] đã sử dụng
phương pháp điểm gần kề (PPM), phép chiếu gradient, ánh xạ Wn và đề xuất
phương pháp lai ghép xoay vòng sau đây:

fM
f1


u
=
T
.
.
.
T
x , x1 ∈ H,
n

r

r
M,n
1,n n






vn = PC ( I − λ N,n A N ) . . . PC ( I − λ1,n A1 )un ,





yn = (1 − αn ) xn + αn Wn vn ,

(0.16)



Cn = {v ∈ H : v − yn ≤ v − xn } ,







Q n = { v ∈ H : x0 − x n , x n − v ≥ 0} ,






x
=P
x , n ≥ 1,
n +1

Cn ∩ Qn 0

trong đó Wn là ánh xạ không giãn được xây dựng một cách tuần tự qua các ánh
f

xạ Si , i = 1, 2, . . ., PC là phép chiếu metric lên tập C và Tr là giải thức của song
hàm f (ánh xạ Combettes). Phương pháp lai ghép (0.16) được chứng minh là hội
tụ tới hình chiếu của điểm xuất phát x0 lên tập nghiệm của bài toán ban đầu.
Một hướng khác để giải các bài toán dạng GCFP là chuyển bài toán ban đầu
sang bài toán mới trong không gian tích thích hợp và sử dụng các thuật toán đã
biết để giải bài toán mới. Chẳng hạn, để giải bài toán CSVIP (0.8) trong không
gian Euclid

n,

Y. Censor [34] và các cộng sự đã chuyển bài toán CSVIP về bài

19

toán VIP có ràng buộc, tức là tìm x∗ ∈ K ∩ ∆, sao cho
A(x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x = ( x1 , x2 , . . . , x N ) ∈ K,

(0.17)

trong đó
N

K :=

∏ Ci ,

i =1

∆ :=





x∈

nN

: x = ( a, a, . . . , a), a ∈




N lần

n





,




và
A ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) = A1 ( x 1 ), . . . , A N ( x N ) ,
với xi ∈

n

và i = 1, . . . , N. Một thuật toán chiếu lặp để giải bài toán (0.17) đã

được đề xuất trong tài liệu [34, Thuật toán 4.4]. Tuy nhiên, việc thực hiện các tính
toán trong không gian tích, chẳng hạn tìm hình chiếu, là một nhiệm vụ không dễ
dàng. Bên cạnh đó, số chiều của bài toán tăng có thể ảnh hưởng đến tính hiệu
quả của phương pháp được sử dụng.
Các nhà toán học trong nước như Lê Dũng Mưu, Nguyễn Đông Yên, Đinh
Nho Hào, Phan Quốc Khánh, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường và Phạm Ngọc Anh
cũng thu được nhiều kết quả đáng kể về lý thuyết, thuật giải cũng như khả năng
ứng dụng của các bài toán dạng GCFP trong thực tế. Đặc biệt, GS. TSKH Lê Dũng
Mưu là một trong những người đầu tiên nghiên cứu về bài toán EP từ những năm
80 của thế kỉ trước. Trong bài báo [72] công bố năm 2008, GS. Lê Dũng Mưu và

các cộng sự đã mở rộng phương pháp EGM [58] và phương pháp tìm kiếm theo
tia Armijo (Linesearch Method) cho bài toán EP. Trong [53], các tác giả cũng mở
rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán EP giả đơn điệu và thu
được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán và ứng dụng cho các bài
toán VIP. Trong các bài báo [23, 25], GS. Nguyễn Bường và các cộng sự đã chuyển
bài toán giải hệ phương trình về giải hiệu chỉnh một phương trình tổng cho các
toán tử Fi là đơn điệu mạnh ngược trong không gian Hilbert. Ngoài ra, các tác giả
cũng đề xuất nguyên lý tựa giảm dư (quasi-residual principle) cho phương pháp
hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach.
Hầu hết các phương pháp đề xuất được thực hiện một cách tuần tự.
Cùng với các phương pháp tuần tự, các phương pháp song song cũng được
nhóm các nhà khoa học của giáo sư Phạm Kỳ Anh nghiên cứu và đề xuất trong
20


không gian Hilbert. Trong [12, 16], GS. Phạm Kỳ Anh và các cộng sự đề xuất
phương pháp chỉnh lặp song song ẩn và hiện giải hệ phương trình toán tử đơn
điệu và hệ tuyến tính quá xác định với kích thước lớn. Ý tưởng của phương pháp
là kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev và kĩ thuật phân rã song song với
các tham số hiệu chỉnh và tham số phân rã song song phụ thuộc lẫn nhau trong
một quá trình lặp thống nhất và các tác giả đã chứng minh sự hội tụ mạnh của
thuật toán thu được. Trong các công bố [13, 14], các tác giả đề xuất các phương
pháp chỉnh lặp Newton và Gauss-Newton giải hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh. Ngoài chứng minh sự hội tụ, các tác giả cũng đánh giá được tốc độ hội tụ
với các điều kiện nguồn thành phần đặt lên từng toán tử. Rất gần đây, C. V. Chung
và P. K. Anh [15] đã đề xuất phương pháp lai ghép song song bằng cách kết hợp
kĩ thuật lặp Mann và phương pháp CQ giải bài toán CFPP cho một họ các ánh xạ
không giãn tương đối trong không gian Banach.
Luận án này nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp kết hợp giải các bài
toán dạng GCFP trong không gian Hilbert và Banach. Ngoài phần mở đầu, kết

luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia thành bốn chương. Kết quả chính
tập chung trong các Chương 2, 3 và 4.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ
trợ được sử dụng trong luận án. Cụ thể, chương này nhắc lại các tính chất hình
học của không gian Hilbert và Banach, phương trình toán tử J - đơn điệu trong
không gian Banach và các kĩ thuật hiệu chỉnh bài toán đặt không chỉnh. Sau đó,
một số kết quả quan trọng về bài toán FPP, bài toán VIP và bài toán EP được trình
bày lại một cách hệ thống. Cuối chương, chúng tôi đề cập tới mối liên hệ giữa các
bài toán đã nêu và một số bất đẳng thức sơ cấp sử dụng trong chứng minh sự hội
tụ của các thuật toán đề xuất trong luận án.
Phần đầu tiên của Chương 2, chúng tôi mở rộng các kết quả trong [12, 13] cho
hệ phương trình toán tử J - đơn điệu trong không gian Banach. Về hình thức, sự
mở rộng này rất tự nhiên, tuy nhiên chứng minh sự hội tụ của các phương pháp
đề xuất là khá phức tạp trong không gian Banach. Trong chứng minh sự hội tụ
của các phương pháp đề xuất, ngoài các tính chất của toán tử J - đơn điệu và ánh
xạ đối ngẫu chuẩn tắc (phi tuyến) J : X → X ∗ , ta còn sử dụng nhiều tính chất
hình học của không gian Banach mà vốn dĩ các đánh giá của chúng là rất phức

21


tạp. So sánh với công bố [12], chúng tôi xét thêm trường hợp dữ liệu có nhiễu
và đề xuất phương pháp chứng minh sự hội tụ đơn giản hơn. Cụ thể, chúng tôi
trình bày và chứng minh sự hội tụ của các phương pháp:
• Phương pháp chỉnh lặp song song ẩn (IPIRM).
• Phương pháp chỉnh lặp song song hiện (EPIRM).
Phần cuối Chương 2, chúng tôi đề xuất một số phương pháp lai ghép tuần tự và
song song giải bài toán CFPP cho một họ hữu hạn các ánh xạ tựa φ - không giãn
(tiệm cận). Ý tưởng của phương pháp là sử dụng kĩ thuật lặp Mann [63] hoặc
Halpern [47], kĩ thuật phân rã song song [15] và phương pháp lai ghép đơn điệu

(phương pháp chiếu co). Sử dụng phương pháp lai ghép đơn điệu ta dễ dàng
chứng minh sự hội tụ của phương pháp đề xuất mà không cần tính bán đóng của
toán tử, điều kiện Opial và tính chất Kadec-Klee của không gian Banach. Hơn
nữa, phương pháp này có thể sử dụng giải hệ phương trình toán tử đơn điệu
trong không Banach.
Chương 3 đề cập tới các bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp, tức là tìm
nghiệm chung của ít nhất hai họ bài toán dạng GCFP trong không gian Hilbert
và Banach. Trong chương này, chúng ta tập trung vào ba bài toán: Bài toán CFPP,
bài toán CSVIP và bài toán CSEP. Đối với bài toán VIP, kĩ thuật chính được sử
dụng là phép chiếu gradient. Đối với bài toán FPP, ngoài hai kĩ thuật lặp Mann
và Halpern chúng tôi đưa thêm phương pháp lặp song song tìm tổ hợp lồi của các
xấp xỉ thành phần. Trong khi đó, bốn phương pháp PPM, EGM, GLM (GradientLike Method) và phương pháp tìm kiếm theo tia Armijo được sử dụng cho bài
toán EP. Các kĩ thuật cho từng bài toán trên được kết hợp lại theo một trình tự
nhất định để thu được thuật toán. Khi đó, dãy lặp sinh bởi thuật toán đề xuất hội
tụ mạnh tới nghiệm chung gần điểm xuất phát x0 nhất.
Chương 4 đề cập tới bài toán tìm nghiệm chung của các bài toán EP tổng quát
hơn, được gọi là bài toán cân bằng tách (SEP - Split Equilibrium Problem). Bài
toán SEP là tìm một nghiệm của bài toán EP trong không gian này, có ảnh qua
một ánh xạ tuyến tính bị chặn, là nghiệm của bài toán EP trong không gian khác.
Sử dụng các kĩ thuật trong Chương 3, chúng tôi thiết kế hai thuật toán hội tụ yếu
và mạnh tới nghiệm của bài toán SEP. Một ứng dụng cho bài toán bất đẳng thức
22


biến phân tách (SVIP - Split Variational Inequality Problem) cũng được trình bày
trong chương này.
Cuối mỗi chương, chúng tôi minh họa một số kết quả thử nghiệm cho các
phương pháp đề xuất và so sánh với các phương pháp đã biết khác. Chú ý rằng,
các phương pháp lai ghép, nói chung, là không có đánh giá tốc độ hội tụ. Do
đó, chúng ta không có tiêu chuẩn dừng hiệu quả. Để minh họa ưu điểm của

các thuật toán, chúng tôi thường lấy các bài toán biết trước nghiệm. Tuy nhiên,
chúng tôi cũng khảo sát một vài ví dụ số trong cuối Chương 3 khi bài toán chưa
biết nghiệm.
Các kết quả của luận án này đã được công bố trong 10 bài báo [1-10] trong
danh mục công trình khoa học trang 140-141, trong đó 9 bài đã được đăng và 1
bài đã được nhận đăng trong các tạp chí chuyên ngành có uy tín, và cũng được
báo cáo tại:
1. Xêmina của bộ môn Toán học tính toán và Toán ứng dụng - Khoa Toán Cơ
Tin học - Trường ĐH KHTN. Xêmina liên cơ quan ĐHKHTN, ĐHBK và
Viện nghiện cứu cao cấp về Toán.
2. Đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 10-14/8/2013.
3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12, Ba Vì, 23-25/4/2014 và
lần thứ 13, Ba Vì, 23-25/4/2015.
4. International Conference for Applications of Mathematics, Saigon University, Ho Chi Minh City, December 19-20, 2013.
5. Workshop on Equilibrium and Fixed Point Problems: Theory and Algorithms, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics (VIASM),
Hanoi, Vietnam, August 25-29, 2014.
6. 6th International Conference on High Performance Scientific Computing.
Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Hanoi, Vietnam, March 16-20, 2015.
7. International Conference on Mathematical Education Vietnam 2015 (ICME
Vietnam 2015), Hanoi, Vietnam, December 19-20, 2015.
23


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản và kết quả bổ trợ
được sử dụng trong ba chương tiếp theo. Phần đầu chương trình bày các tính chất
hình học của không gian Banach và Hilbert có sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc, phép chiếu metric và phép chiếu suy rộng. Các mục tiếp theo liên quan tới lý

thuyết phương trình toán tử trong không gian Banach và các kĩ thuật hiệu chỉnh
bài toán đặt không chỉnh. Phần cuối chương giới thiệu về bài toán FPP, bài toán
VIP, bài toán EP và mối liên hệ giữa chúng. Các khái niệm và kết quả được trình
bày trong chương này chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 11, 41].

1.1
1.1.1

Hình học không gian Banach
Không gian Banach lồi, trơn, lồi đều, trơn đều

Cho X là không gian Banach và X ∗ là không gian đối ngẫu của X. Trong luận án
này, để đơn giản, ta dùng chung một kí hiệu ||.|| cho chuẩn trong cả hai không
gian X và X ∗ . Với mỗi x ∗ ∈ X ∗ và x ∈ X, ta viết x ∗ ( x ) bởi x ∗ , x hoặc x, x ∗ (tích
đối ngẫu). Nếu X = H là không gian Hilbert thì tích đối ngẫu chính là tích vô
hướng ., . và cảm sinh chuẩn tương ứng ||.||. Cho { xn } là một dãy trong X, khi
đó dãy { xn } được gọi là hội tụ (hội tụ mạnh hoặc hội tụ theo chuẩn) đến x ∈ X
nếu || xn − x || → 0 khi n → ∞ và được viết là xn → x. Dãy { xn } được gọi là hội tụ
yếu tới x, kí hiệu xn

x nếu x ∗ , xn − x → 0 khi n → ∞ với mọi x ∗ ∈ X ∗ . Mọi

dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, điều ngược lại nói chung không đúng. Mọi dãy
hội tụ yếu đều bị chặn. Không gian Banach X được gọi là phản xạ nếu X ∗∗ = X.
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là
24