Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp Hàm số

Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ

KHẢO SÁT HÀM SỐ
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1

CHỦ ĐỀ 1: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1. Xét tính đơn điệu của hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số

 Tính y  f   x  và xét dấu y . Tìm các điểm xi  i  1, 2,, n mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác định.
 Lập bảng biến thiên (nếu cần thiết)
Chú ý:

 Hàm số y  f  x  gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng  a; b  nếu

x1 , x2   a; b  : x1  x2  f  x1   f  x2 
 Hàm số y  f  x  gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng  a; b  nếu

x1 , x2   a; b  : x1  x2  f  x1   f  x2 
Thông thường chúng ta không được dùng kí hiệu  (hợp) để kết luận các khoảng
đơn điệu của hàm số.
2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên K

 Nếu f   x   0 với mọi x  K và f   x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x  K thì

hàm số f đồng biến trên K .
 Nếu f   x   0 với mọi x  K và f   x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x  K thì
hàm số f nghịch biến trên K .

Chú ý: Đối với hàm phân thức hữu tỉ y 
hàm y không xảy ra. Vì y 

ad  bc

 cx  d 

2

ax  b 
d
x    thì dấu "  " khi xét dấu đạo

cx  d 
c

;  ad  bc  0  .

Sử dụng định lý dấu của tam thức bậc hai trong bài toán về điều kiện đơn điệu của hàm
bậc 3: Giả sử y  f  x   ax3  bx2  cx  d  f   x   3ax2  2bx  c.
Hàm số đồng biến trên

f   x   0; x 

khi và chỉ khi

a  0
a  0


hoặc b  0.
  0
c  0


Hàm số nghịch biến trên

f   x   0; x 

khi và chỉ khi

a  0
a  0


hoặc b  0.
  0
c  0


1

/>
 Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng có độ
dài L cho trước
Loại bài toán này thường xảy ra đối với hàm số bậc ba: y  ax3  bx2  cx  d
 Bước 1: Tính y  f   x; m  ax2  bx  c.
 Bước 2: Hàm số đơn điệu trên

x ; x 
1

2

  0
 y  0 có 2 nghiệm phân biệt  
a  0

* 

 Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng L

 x1  x2  L   x1  x2   4x1x2  L2  S2  4P  l 2
2

* * 

/>
 Bước 4: Giải  *  và giao với  * *  để suy ra giá trị m cần tìm.
3. Một số kết quả thƣờng dùng
 Kết quả 1: “Nếu hàm số f  x  liên tục và đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn
nghịch biến) trên miền K thì phương trình f  x   k có tối đa một nghiệm (k là

hằng số).

 Kết quả 2: “Nếu hai hàm số f  x  và g  x  đơn điệu ngược chiều trên miền K thì
phương trình f  x   g  x  có tối đa một nghiệm trên K”.
 Kết quả 3: “Nếu hàm số f  x  có đạo hàm đến cấp n trên miền K và phương
k 1
k
trình f    x   0 có m nghiệm khi đó phương trình f    x   0 có tối đa m  1

nghiệm trên K”.

 Kết quả 4: “Nếu hàm số f  x  xác định trên miền K và có f   x   0
hoặc f   x   0 trên miền K thì f   x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên K
nên f   x   0 có tối đa một nghiệm trên K do đó phương trình f  x   0 có tối
đa hai nghiệm trên K”.

 Kết quả 5: “Nếu hàm số f  x  liên tục và đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn
nghịch biến) trên miền K thì với u, v  K : f  u  f  v   u  v ”.
 Kết quả 6: “Nếu hàm số f  x  đồng biến và liên tục trên tập xác định K thì với





u, v  K : f  u  f  v   u  v ” u, v  K : f  u   f  v   u  v .

 Kết quả 8: “Nếu hàm số f  x  nghịch biến và liên tục trên tập xác định K thì





với u, v  K : f  u  f  v   u  v ” u, v  K : f  u  f  v   u  v .

2


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tìm cực trị của hàm số
Quy tắc I:
 Tìm tập xác định của hàm số.

 Tính f '  x  . Tìm các điểm tại đó f '  x  bằng 0 hoặc f '  x  không xác định.
 Lập bảng biến thiên.
 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.
Quy tắc II:
 Tìm tập xác định của hàm số.

 Tính f   x  . Giải phương trình f   x   0 và kí hiệu xi  i  1, 2,... là các nghiệm
 Tính f   x  và f   xi  .
 Dựa vào dấu của f ''  xi  suy ra tính chất của điểm xi .
Chú ý: Nếu hàm số y  f  x  tồn tại đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f '  x0   0 .
Như vậy, hàm số f  x  vẫn có thể không đạt cực trị tại những điểm x0 dù x0 là nghiệm
của f   x   0 và f  x  có thể đạt cực trị tại những điểm mà f  x  không tồn tại đạo hàm.
2. Tìm điều kiện đề hàm số đạt cực trị tại một điểm
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y  f  x  đạt cực trị tại điểm x0 .
 Bước 1: Điều kiện cần

Giả sử hàm số đạt cực trị tại x0  f   x0   0  * 
Giải phương trình  *  tìm được các giá trị của tham số m.
 Bước 2: Điều kiện đủ
Với từng giá trị tham số m vừa tìm được ở bước 1 thử lại xem x0 có đúng là điểm
cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán không?
 Bước 3: Kết luận.
Chú ý: Có thể dụng các kết quả sau để thử lại (tức là dùng trong bước 2).
 f   x0   0
 hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
 
 f   x0   0
 f   x0   0
 hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
 
 f   x0   0
Ví dụ: Hàm số y  x4 đạt cực tiểu tại x  0 nhưng f   0   0 chứ không phải là f   0   0.
Do đó, khi chứng minh được rằng f   x0   0 thì ta mới sử dụng kết quả:

f   x0   0
 f   x0   0

 Hàm số f đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0  

 f   x0   0


f   x0   0 

.


  f   x0   0 



3

/>
của nó.


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
3. Tìm điều kiện đề hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trƣớc
Loại 1: Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx2  cx  d ,

 a  0

Bài toán 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước

Bài toán: Cho hàm số y  f  x; m  ax3  bx2  cx  d. Tìm tham số m để hàm số có cực đại,
cực tiểu tại x1 , x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước ?
Phƣơng pháp:
 Bước 1:
 Tập xác định: D  .
 Đạo hàm: y  3ax2  2bx  c  Ax2  Bx  C

/>
 Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và
cực tiểu)
 y  0 có hai nghiệm phân biệt và y đổi dấu qua 2 nghiệm đó

 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệ


 A  3a  0
a  0

 2
 m  D1 .
2
2


B

4
AC

4
b

12
ac

0
b

3
ac

0



y



 Bước 3: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y  0.


B
2b
 x1  x2   A   3a
.
Khi đó: 
 x .x  C  c
 1 2 A 3a
 Bước 4: iến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được
m  D2 .

 Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m  D1  D2 .
Chú ý: Hàm số bậc ba: y  ax3  bx2  cx  d  a  0  . Ta có: y '  3ax2  2bx  c.
Điều kiện

Kết luận

b2  3ac  0

Hàm số không có cực trị.

b2  3ac  0

Hàm số có hai điểm cực trị.

Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.
 Hàm số có 2 cực trị trái dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu

 A.C  3ac  0  ac  0.
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
 y  0


C
 P  x1 .x2   0

A

4


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan
 Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương

 phương trình y  0 có hai nghiệm dương phân biệt

  y  0

B


 S  x1  x2    0
A

C

P  x1 .x2   0


A

 Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

 phương trình y  0 có hai nghiệm âm phân biệt

/>

 y '  0

B

 S  x1  x2    0
A

C

P  x1 .x2   0


A

x1    x2
Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn:

x1  x2  

  x1  x2

 Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1    x2
  x1    x2     0  x1 .x2    x1  x2    2  0

 Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  

 x1 .x2    x1  x2    2  0

 x1    x2     0





 x1  x2  2
 x1  x2  2
 Hai cực trị x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2

 x1 .x2    x1  x2    2  0

 x1    x2     0




x

x

2



 1 2
 x1  x2  2
Bài toán 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía,
khác phía so với một đường thẳng
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị cùng dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

 hàm số có 2 cực trị trái dấu
 phương trình y  0 có hai nghiệm trái dấu
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ .yCT  0
(hay đồ thị cắt trục Ox tại 1 điểm).
5


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
Đặc biệt:
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

 y .y  0
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và  CĐ CT
 yCĐ  yCT  0
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox
 y .y  0
.
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và  CĐ CT
 yCĐ  yCT  0
 Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox
 phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt và yCĐ .yCT  0
(áp dụng khi kh ng nh m được nghiệm và viết được phương tr nh đư ng th ng đi

/>
qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số)
Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

 đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
 phương trình hoành độ giao điểm f  x   0 có 3 nghiệm phân biệt
(áp dụng khi nh m được nghiệm)
Bài toán 3: Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị
Bài toán: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y  ax3  bx2  cx  d.

Phƣơng pháp giải:
 Bước 1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị:

a  0
Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị   2
.

b

3
ac

0



 Bước 2: Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị:
 Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm
số là g  x   mx  n , với mx  n là dư thức của phép chia y cho y .

 Cách 2: Sử dụng kết quả
“Phương tr nh đư ng th ng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
 2c

y  ax3  bx2  cx  d là: g  x   

 3



2b 2 
bc
”
xd
9a 
9a

 Cách 3: Sử dụng kết quả (do thầy Hoàng Trọng Tấn phát triển):
“Phương tr nh đư ng th ng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số






y
.
y
y.y
1
y  ax3  bx2  cx  d là: g  x    9ay 
”
 y
9a 
2 
18a
M

N 


Ta sẽ tìm M và N bằng thuật toán truy hồi như sau:

6


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp

Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan

y.y
M  T 0
.
với T  x   9ay 

2
N

T
1

T
0







 Cách 4: Sử dụng kết quả (do thầy Phùng Quyết Thắng phát triển):
“Phương tr nh đư ng th ng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y  ax3  bx2  cx  d là: g  x   y 

y.y
”
3 y

Chú ý: Dựa trên cách 4 vừa trình bày ở trên, ta có thể sử dụng máy tỉnh bỏ túi để tìm
nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số như sau:
 Bước 1: ấm w 2 để chuyển chế độ máy tính sang môi trường số phức.

y

f   x , m  . f   x , m 
y.y
hoặc f  x , m  
(nếu hàm số có chứa tham số)
3 y
3 f   x , m 

 Bước 3: ấm = để lưu biểu thức.
 Bước 4: ấm r với x  i (đơn vị số phức, để làm xuất hiện i , ta bấm b)
 Bước 5: Nhận kết quả dạng Mi  N  phương trình cần tìm: y  Mx  N.
Nếu hàm số có chứa tham số m th ta phải tiến hành phiên dịch kết quả số thành biểu thức chứa m
(cụ thể bạn đọc có thể theo dõi các ví dụ được tr nh bày ngay sau đây).
Loại 2: Cực trị hàm trùng phƣơng y  ax4  bx2  c ,

 a  0

Bài toán 1: Tìm điều kiện về số cực trị của hàm số
Xét hàm số: y  ax4  bx2  c ,

 a  0

x  0
Ta có: y  4ax  2bx  2x  2ax  b  . Do đó: y  0   2

.
x   b * 

2a
3

2

Trường hợp 1: ab  0 . Khi đó  *  vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x  0  y '  0 có
nghiệm duy nhất x  0 và y đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0  hàm số chỉ có một
cực trị.
Trường hợp 2: ab  0 . Khi đó  *  có hai nghiệm phân biệt khác 0  y  0 có ba nghiệm
và y đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm này  hàm số có ba cực trị.
MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN NHỚ
 Hàm số có một cực trị  ab  0.
 Hàm số có ba cực trị  ab  0.

a  0
 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu  
.
b  0
7

/>
 Bước 2: Nhập vào máy tính biểu thức:


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275

a  0

 Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại  
.
b  0
a  0
 Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại  
.
b  0
a  0
 Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại  
.
b

0

Bài toán 2: Một số bài toán liên quan đến tính chất của các điểm cực trị đồ thị hàm trùng
phương.
Th ng thư ng chúng ta hay gặp dạng câu hỏi: T m m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo

/>
thành tam giác đều, tam giác vu ng cân...
 Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị .
 Bước 2: Toạ độ 3 điểm cực trị là:


b
b2  4ac  
b
b2  4ac 
A  0; c   Oy , B    ; 
,

C

;

 


2a
4a  
2a
4a 

2

b
b2  4ac
b4
b
b
 AB  AC    
c 
 , BC  2 
2
2a
4a
2a
16a 2a
Do hàm số bậc 4 trùng phương là hàm chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm
trục đối xứng  tam giác ABC cân tại A.
 Nếu tam giác ABC vuông cân (hoặc vuông ) thì chỉ có thể vuông cân tại A

 AB.AC  0
nên ta có:  2
2
2
 BC  AB  AC
 Nếu tam giác ABC đều chỉ cần AB = BC .
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH
Dữ kiện
Góc bất kì
Tam giác vuông cân
Tam giác đều

Công thức giải nhanh
 b 3
cot 2 
2 8a
3
b  8a
b3  24a
5

Diện tích tam giác

án kính đường tròn nội tiếp

án kính đường tròn ngoại tiếp


b 

S a  

2a 

b2
r

b3 
4 a 1 1 

8a 


3
b  8a
R
8ab

Chú ý: Các công thức trên đều không phụ thuộc vào c.
8

Khi a  1
 b 3
cot 2 
2
8
b  2
b3  2 3 3
5


b
S  

2 

b2
r

b3
41 1

8

b3  8
R
8b







Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan

CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phƣơng pháp khảo sát trực tiếp
Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D , ta làm như sau:

 Bước 1: Tính f   x  và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn  D mà tại đó f   x   0 hoặc hàm
số không có đạo hàm.
 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số.
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:
 Bước 1:
 Hàm số đã cho y  f  x  xác định và liên tục trên đoạn  a; b  .
 Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng  a; b  , tại đó f   x   0 hoặc f   x 
không xác định.
 Bước 2: Tính f  a  , f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  b  .
 Bước 3: Khi đó:











max f  x   max f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b  .



min f  x   min f  x1  , f  x2  ,..., f  xn  , f  a  , f  b  .

a ,b

a ,b

Chú ý:

min f  x   f  a 
 a ;b
 Nếu y  f  x  đồng biến trên  a; b  thì   
.
f  x  f b
max
 a ;b
min f ( x)  f  b 
 a ;b
.
 Nếu y  f  x  nghịch biến trên  a; b thì   
max
f
(
x
)

f
a


 a ;b
 
 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

trên khoảng đó. Ví dụ: Hàm số f  x  

1
không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
x

trên khoảng  0;1 .
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D.





 Bước 1: iến đổi hàm số đã cho về dạng y  F u  x  .
9

/>
đoạn đó.


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
 Bước 2: Đặt t  u  x  . Khi đó, ta tìm được t  E với x  D.
 Bước 3: Việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D quy
về việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số F  t  trên E.
4. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong bài toán phƣơng trình, bất phƣơng trình
chứa tham số
Bài toán 1: Tìm m để F  x; m   0 có nghiệm trên D?
 Bước 1: Cô lập tham số m và đưa về dạng f  x   A  m  .

 Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f  x  trên D.

/>
 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  sao cho đường
thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  .
 Bước 4: Kết luận giá trị của A  m  để phương trình f  x   A  m  có nghiệm trên D.
Chú ý:
 Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình

f  x   A  m  min f  x   A  m  max f  x  .
D

D

 Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ
cần dựa vào bảng biến thiên để xác định sao cho đường thẳng y  A  m  nằm
ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  tại k điểm phân biệt.
Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình

F  x; m   0; F  x; m   0
F  x; m   0; F  x; m   0

có nghiệm trên D?

 Bước 1: Cô lập tham số m và đưa về dạng A  m   f  x  hoặc A  m   f  x  hoặc
A  m   f  x  hoặc A  m  f  x  .

 Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số f  x  trên D.
 Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m .
Chú ý: Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D th



ất phương trình A  m   f  x  có nghiệm trên D  A  m  max f  x  .



ất phương trình A  m   f  x  nghiệm đúng x  D  A  m   min f  x  .



ất phương trình A  m   f  x  có nghiệm trên D  A  m  min f  x  .



ất phương trình A  m   f  x  nghiệm đúng x  D  A  m   max f  x  .

D

D

D

D

Khi đặt n số phụ để đổi biến, ta cần đặt điều kiện cho biến mới chính xác, nếu kh ng sẽ làm thay
đổi kết quả của bài toán do đổi miền giá trị của nó, dẫn đến kết quả sai lầm.
10


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp

Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan

CHỦ ĐỀ 4: ĐƢỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Cho hàm số y  f  x  xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng

 a;   ,  ; b hoặc  ;   ). Đường thẳng

y  y0 được gọi là đƣờng tiệm cận ngang

(gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều kiện
sau được thỏa mãn:

lim f  x   y0 ; lim f  x   y0

x 

x 

Chú ý:
 Nếu lim f  x   lim f  x   l , ta viết chung là lim f  x   l.
x

x 

 Hàm số có TXĐ không có dạng

 a;   ,  ; b hoặc  ;   th

đồ thị kh ng có tiệm

cận ngang.
Đường thẳng x  x0 được gọi là đƣờng tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của
đồ thị hàm số y  f  x  nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x   

x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

ax  b
cx  d
ax  b
a
d
Đồ thị hàm số y 
có tiệm cận đứng 1 : x   và tiệm cận ngang  2 : y  .
cx  d
c
c

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đồ thị hàm số y 

Gọi M  x0 ; y0  là điểm thuộc đồ thị hàm số y 


ax  b 

ax  b
. Khi đó: M  x0 ; y0  0
.
cx0  d 
cx  d



d cx0  d
d  M , 1   d1  x0  
c
c

Khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là: 
d M ,   d  y  a  ad  bc
2
2
0
 
c
c  cx0  d 

Khi đó, ta có kết quả sau:



cx0  d
ad  bc
ad  bc
ad  bc

.

 p  const. Ghi nhớ: p 
.
2
c
c
c2
c  cx0  d 



d1 .d2 



d1  d2  2 p  min d  2 p , xảy ra khi

2
cx0  d
ad  bc

  cx0  d   ad  bc .
c
c  cx0  d 

ax  b
những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến  1
cx  d
bằng k  0 lần khoảng cách từ M đến  2 .

T m trên đồ thị hàm số y 

cx  d
ad  bc
d
PP

 d1  kd2  0
k
 x0    kp .
c
c(cx0  d)
c
11

/>
x


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275



ax  b
những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến I là
cx  d
ngắn nhất, biết I là giao điểm hai đư ng tiệm cận.

T m trên đồ thị hàm số y 

 ax  b 
PP

 M  x0 ; 0
,
 cx0  d 



 d a
d
I   ;   min IM  2 p , xảy ra khi x0    p .
c
 c c

ax  b
những điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M
cx  d
vu ng góc với đư ng th ng IM, I là giao điểm hai đư ng tiệm cận.

T m trên đồ thị hàm số y 

Hệ số góc đường thẳng IM là: k 

y0  y I
ad  bc

.
2

x0  xI
 cx  d 

/>
0

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có hệ số góc: y  x0  

ad  bc

 cx

 d
0

2

.

Theo bài toán, ta phải có: y  x0  .k  1   cx0  d   ad  bc .
2



ax  b
; tiếp tuyến  của đồ thị hàm số tại M cắt
cx  d
hai đư ng tiệm cận tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi I là giao điểm hai đư ng tiệm cận.

Biết rằng M là điểm thuộc đồ thị hàm số y 

Khi đó:
 M luôn luôn là trung điểm của AB.

  d 2bc  ad  acx
0
A   ;

c
 ax0  b 
c
cx

d
 0 

 Nếu M  x0 ;
 thì  
 cx0  d 
  d  2acx0 a 
; 
B 
c
c
 







2  ad  bc 
 IA  
c  cx0  d 

ad  bc

 IA.IB  4
 4 p.
c2
2  cx0  d 

 IB 
c


 Diện tích AIB luôn là hằng số không đổi:

1
ad  bc
 2 p  const.
AIB vuông tại I nên SAIB  .IA.IB  2
2
c2

12


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp

Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan

CHỦ ĐỀ 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
1. Đồ thị của một số hàm số thƣờng gặp
Hàm số đa thức bậc ba: y  ax3  bx2  cx  d ,  a  0 
a0

a0

Trƣờng hợp

y

y
1

Phương tr nh y  0

1

Có 2 nghiệm phân biệt

O

1

x

1

O

x

y

1

Phương tr nh y  0

1

1

có nghiệm kép

O

x

1

O

x

y

y

Phương tr nh y  0

1

v nghiệm

O

1
x

1
1

O

x

Hàm số trùng phương: y  ax4  bx2  c ,  a  0 
a0

Trƣờng hợp

a0

y

Phương tr nh y  0

y

1

có 3 nghiệm phân biệt.

1

1

O

x

1

O

x

y

y

Phương tr nh y  0

1
1

có 1 nghiệm.

O

1

x

1

O

x

13

/>
y


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
Hàm số hữu tỉ 1/1: y 

/>
D  ad  bc  0

Hàm số hữu tỉ 2/1: y 

ax  b
,  c  0, ad  bc  0 
cx  d
D  ad  bc  0

ax2  bx  c
,  d  0  (SGK Nâng cao)
dx  e

Phương tr nh y  0
có 2 nghiệm phân biệt

Phương tr nh y  0
v nghiệm.

Chú ý:

 Hàm số chẵn trên khoảng  a; b  th có đồ thị đối xứng qua trục tung trên khoảng  a; b  .
 Hàm số lẻ trên khoảng  a; b  th có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O trên khoảng  a; b  .
 Hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  th có đồ thị là đư ng đi lên (từ trái sang phải) trên
khoảng  a; b  .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng  a; b  th có đồ thị là đư ng đi xuống(từ trái sang phải)
trên khoảng  a; b  .
14


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan
MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

 

Bài toán 1: Từ đồ thị C  : y  f  x  suy ra đồ thị C  : y  f x .


 f  x  nÕu x  0
Ta có: y  f x  
và y  f x
f

x
nÕu
x

0





 

 

là hàm chẵn nên đồ thị  C   nhận Oy

làm trục đối xứng.

Cách vẽ  C   từ  C  :
 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C  : y  f  x  .
 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của  C  , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
Bài toán 2: Từ đồ thị C  : y  f  x  suy ra đồ thị C : y  f  x  .

/>


 f  x  nÕu f  x   0
.
Ta có: y  f  x   

 f  x  nÕu f  x   0
Cách vẽ  C   từ  C  :
 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị C  : y  f  x  .
 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của  C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ minh hoạ: Từ đồ thị (C) : y  f  x   x3  x2  x  1.

 C  : y  f  x   x
(C')

3

 C  : y  f  x   x

2

 x  x 1

y

(C')

3

 x2  x  1

y

1
1

O

(C)

1

O

x

1

x

(C)

Bài toán 3: Từ đồ thị C  : y  u  x  .v  x  suy ra đồ thị C : y  u  x  .v  x  .


u  x  .v  x   f  x  nÕu u  x   0
.
Ta có: y  u  x  .v  x   

u
x

.
v
x

f
x
nÕu
u
x

0










Cách vẽ  C   từ  C  :

15


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
 Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u  x   0 của đồ thị C  : y  f  x  .
 Bỏ phần đồ thị trên miền u  x   0 của  C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Ví dụ minh hoạ:

x 2  3x  3
suy ra
Từ đồ thị C  : y  f  x   2x  3x  1 suy Từ đồ thị  C  : y  f  x  
x2
ra đồ thị C  : y  x  1 2x2  x  1
x 2  3x  3
đồ thị  C  : y 
x2
3



2



x 2  3x  3 
 f  x  nÕu x  2
y

x2

 f  x  nÕu x  2


 f  x  nÕu x  1
y  x  1 2x  x  1  

 f  x  nÕu x  1





2

Đồ thị  C   :

/>
Đồ thị  C   :

 Giữ nguyên  C  với x  2 .

 Giữ nguyên  C  với x  1 .
ỏ  C  với x  1 . Lấy đối xứng phần



ỏ (C) với x  2 . Lấy đối xứng phần
đồ thị bị bỏ qua Ox.

đồ thị bị bỏ qua Ox.
(C')



y

y

(C')

1
1

O

1

O

x

1

2

x

(C)

(C)

Nhận xét:

Nhận xét:

Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối xứng
nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C) các đư ng tiệm cận để thực hiện phép suy đồ
như: giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

thị một cách tương đối chính xác.

CHỦ ĐỀ 6: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị  C  của hàm số tại điểm M  x0 , y0  .
Khi đó, phương trình tiếp tuyến của  C  tại điểm M  x0 , y0  là:

y  y  x0  x  x0   y0
Nguyên tắc chung để lập được phương tr nh tiếp tuyến là ta phải t m được hoành độ tiếp điểm x0 .

16


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan
1. Tiếp tuyến tại điểm
Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C  : y  f  x  tại điểm M  x0 , y0  .
Phƣơng pháp giải:
 Bước 1: Tính đạo hàm y  f   x   hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  .
 Bước 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M  x0 , y0  có dạng:
y  y  x0  x  x0   y0

Chú ý:
 Nếu đề cho (hoành độ tiếp điểm) x0 thì tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu,

 Nếu đề cho (tung độ tiếp điểm) y0 thì tìm x0 bằng cách giải phương trình
f  x0   y0 .

 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị

C  : y  f  x 

và đường thẳng d : y  ax  b . Khi đó các hoành độ tiếp điểm là

nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và  C  .
Đặc biệt: Trục hoành Ox : y  0 và trục tung Oy : x  0.
SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI:
Phương trình tiếp cần lập có dạng d : y  kx  m.
 Đầu tiên tìm hệ số góc tiếp tuyến k  y  x0  .
ấm q y và nhập



d
f X
dx

 x x

, sau đó bấm = ta được k.

0

 Tiếp theo: ấm phím ! để sửa lại thành



d
f X

dx

 xx x  X   f  X  , sau đó
0

bấm phím r với X  x0 và bấm phím = ta được m.
Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương tr nh tiếp tuyến tại điểm thực chất là rút gọn các
bước của cách 1. Sử dụng máy tính giúp ta nhanh chóng t m ra kết quả và hạn chế được sai sót
trong tính toán. Nếu học sinh nào tính nh m tốt có thể bỏ qua cách này.
2. Tiếp tuyến khi biết phƣơng

Bài toán: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C 
với hệ số góc k cho trước.
Phƣơng pháp giải:
 Bước 1: Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm và tính y  f   x  .

17

/>
tức là: y0  f  x0 


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
 Bước 2:

 Hệ số góc tiếp tuyến là k  f   x0  .
 Giải phương trình này tìm được x0 , thay vào hàm số được y0 .

 Bước 3: Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng:

d : y  y0  x  x0   y0
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
 Tiếp tuyến d //  : y  ax  b  k  a.
Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại xem tiếp tuyến có bị

/>
trùng với đường thẳng  hay không? Nếu trùng thì phải loại đi kết quả đó.

1
 Tiếp tuyến d   : y  ax  b  k.a  1  k   
a
 Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc  thì k   tan  .
Tổng quát: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : y  ax  b một góc  .
Khi đó:

ka
 tan  .
1  ka

SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Phương trình tiếp cần lập có dạng d : y  kx  m.
 Tìm hoành độ tiếp điểm x0 .
 Nhập k  X   f  X  (hoặc f  X   kX ) sau đó bấm r với X  x0 rồi bấm = ta
được kết quả là m.
3. Tiếp tuyến đi qua 1 điểm
Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  , biết tiếp tuyến đi qua điểm
A  xA ; y A  .

Phƣơng pháp giải:
Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xức của hai đồ thị

 Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A  xA ; y A  hệ số góc k có dạng:
d : y  k  x  xA   y A



* 
 f  x   k  x  x   y
Bước 2: d là tiếp tuyến của  C  khi và chỉ khi hệ 
 f   x   k
A

 Bước 3: Giải hệ trên tìm được x  k và thế vào phương trình
phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2:
 Bước 1:





 Gọi M x0 ; f  x0  là tiếp điểm.
 Tính hệ số góc tiếp tuyến k  f   x0  theo x0 .
18

A

có nghiệm.

*  ,

thu được


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan
 Bước 2: Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y  f   x0  x  x0   f  x0 

* * 

Vì điểm A  xA ; y A   d nên yA  f   x0  xA  x0   f  x0  . Giải phương trình này sẽ
tìm được x0 .
Bước 3: Thay x0 vừa tìm được vào  * *  ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƢƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Giao điểm của hai đồ thị
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C1  và hàm số y  g  x  có đồ thị  C2 

 y  f  x 
phương trình 
.
 y  g  x 
 Hoành độ giao điểm của

C 

và

1

C 
2

là nghiệm của phương trình

f  x  g  x *  .

Phương trình  *  được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của

C 
1

và

C  . Số nghiệm của phương trình  *  bằng số giao điểm của C  và C 
2

1

2

2. Sự tiếp xúc của hai đƣờng cong
Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  có đồ thị lần lượt là  C1  và  C2  và có đạo hàm tại
điểm x0 .
 Hai đồ thị  C1  và  C2  tiếp xúc với nhau tại một điểm chung M  x0 ; y0  nếu tại
điểm đó chúng có chung cùng một tiếp tuyến. Khi đó điểm M được gọi là tiếp
điểm.
 Hai đồ thị  C1  và  C2  tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau

 f  x   g  x 

có nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ của tiếp

 f   x   g  x 
điểm.
y

(C1 )

M1

y
y2

M2

y1

x
O

y

(C1 )
(C 2 )

M0

x

x1 O

x

x2

O

(C 2 )

(C 2 )

C  và C  không có
1

2

điểm chung

(C1 )

C 
1

và  C2 

cắt nhau

C 
1

và  C2 

tiếp xúc nhau
19

/>
 Hai đồ thị  C1  và  C2  cắt nhau tại điểm M  x0 ; y0    x0 ; y0  là nghiệm của hệ


Sưu tầm & biên soạn: Cao Văn Tuấn – 0975306275
3. Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số



T m điều kiện để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành cấp số cộng.
Điều kiện cần:
Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax3  bx2  cx  d  0.
Khi đó: ax3  bx2  cx  d  a  x  x1  x  x2  x  x3  , đồng nhất hệ số ta được x2  

b
.
3a

b
vào phương trình ax3  bx2  cx  d  0 ta được điều kiện ràng buộc về
3a
tham số hoặc giá trị của tham số.

Thế x2  

/>
Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình
ax3  bx2  cx  d  0 có 3 nghiệm phân biệt.



T m điều kiện để đồ thị hàm số y  ax3  bx2  cx  d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành cấp số nhân.
Điều kiện cần:
Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình ax3  bx2  cx  d  0.

d
Khi đó: ax3  bx2  cx  d  a  x  x1  x  x2  x  x3  , đồng nhất hệ số ta được x2  3  .
a
Thế x2  3 

d
vào phương trình ax3  bx2  cx  d  0 ta được điều kiện ràng buộc về
a

tham số hoặc giá trị của tham số.
Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình

ax3  bx2  cx  d  0 có 3 nghiệm phân biệt.



T m điều kiện để đồ thị hàm số y  ax4  bx2  c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ lập thành cấp số cộng.
t  x2  0
Ta có: ax4  bx2  c  0 1  at 2  bt  c  0  2 

  0
1 có 4 nghiệm phân biệt   2  có hai nghiệm phân biệt dương  t1  t2  0.
t .t  0
1 2

Khi đó  1 có 4 nghiệm phân biệt lần là  t2 ;  t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng





 t2  t1  t1   t1  t2  3 t1  t2  9t1
c
t1 .t2 
b
9b
b
a
; t 

 9ab2  100a2 c.
Theo định lí Vi-et: t1  t2   . Suy ra: t1  
10a 2
10a
a

20


Tra cứu nhanh phương pháp giải một số dạng toán thường gặp
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số & các bài toán liên quan
Kết luận: Hàm số y  ax4  bx2  c cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập

b2  4 ac  0

 b  0

thành cấp số cộng, thì điều kiện cần và đủ là:  a
.
c
 0
a
9 ab2  100 a 2 c

4. Một số công thức tính nhanh “ thƣờng gặp “ liên quan đến tƣơng giao giữa đƣờng
ax  b
.
cx  d
ax  b
Giả sử d : y  kx  p cắt đồ thị hàm số y 
tại 2 điểm phân biệt M , N.
cx  d
ax  b
Với kx  p 
cho ta phương trình có dạng: Ax2  Bx  C  0 thỏa điều kiện cx  d  0 ,
cx  d

có   B2  4 AC . Khi đó:



 M  x1 ; kx1  p 
 MN  x2  x1 ; k  x2  x1   MN 

N
x
;
kx

p



2
2




OM 2  ON 2   k 2  1 x12  x22    x1  x2  2kp  2 p2 .



OM.ON   x1 .x2  1  k 2    x1  x2  kp  p2 .



OM  ON   x1  x2  1  k 2   2kp  0.





k

5. Bài toán đặc sắc về sự tƣơng giao của tiếp tuyến đồ thị

C  : y  ax

3

2

 1

 bx2  cx  d ,  a  0  với  C 

Cho đồ thị C  : y  ax  bx  cx  d  0,  a  0  có tiếp tuyến là
3


.
A2

y

2

đường thẳng  : y  mx  n ( M là tiếp điểm) cắt đồ thị  C  tại

C
N

M

điểm (khác M ) là N .

b
Khi đó: 2 xM  xN   .
a

x

O
xM

xN

21

/>
thẳng y  kx  p và đồ thị hàm số y 