Iđêan và sự phân tích nguyên sơ các iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vương Thị Thu Hà

IĐÊAN VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CÁC IĐÊAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vương Thị Thu Hà

IĐÊAN VÀ SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ CÁC IĐÊAN

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Tiến Sĩ: Nguyễn Thị Kiều Nga

Hà Nội - 2017

Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời nói đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Vành con và điều kiện tương đương . . . . . . . . . .

6

1.3

Một số định nghĩa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Miền nguyên và trường . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.5

Iđêan và vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.1

Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.2

Vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6

Đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Iđêan trên vành giao hoán
2.1

15

Các phép toán trên iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1

Tổng các iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2

Tích các iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3

Thương các iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . 17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.4
2.2

Vương Thị Thu Hà

Căn các iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Iđêan hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1

Tập sinh của iđêan . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2

Iđêan sinh bởi n phần tử . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Iđêan cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4

Iđêan nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5

Iđêan nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6

Mối quan hệ của iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và
iđêan nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7

Iđêan đối cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8

Iđêan bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9

Một số bài tập về iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Sự phân tích nguyên sơ các iđêan
3.1

3.2

45

Vành Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2

Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.3

Định lý Hilbert về cơ sở . . . . . . . . . . . . 47

Sự phân tích nguyên sơ của các iđêan . . . . . . . . . 48
3.2.1

Định nghĩa sự phân tích nguyên sơ . . . . . . 48

3.2.2

Định lý về sự phân tích nguyên sơ . . . . . . . 50

3.2.3

Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether . 51

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

53


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

Lời cảm ơn
Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với

sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến
nay, khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng
cảm ơn chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Đại số khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là cô giáo
Nguyễn Thị Kiều Nga, người đã trực tiếp tạo mọi điều kiện
giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu,
hoàn thành khóa luận này.
Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân
nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính
mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Vương Thị Thu Hà

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp "Iđêan và sự phân tích nguyên sơ
các iđêan" được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu và
nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô giáo Nguyễn Thị
Kiều Nga.
Trong quá trình thực hiện em đã tham khảo một số tài liệu như
đã viết trong phần tài liệu tham khảo. Vì vậy, em xin cam đoan kết
quả trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả

của tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Vương Thị Thu Hà

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

Lời nói đầu
Đại số là một bộ phận quan trọng của Toán học. Đại số được
xây dựng và phát triển trên cơ sở các cấu trúc của đại số là nhóm,
vành, trường, môđun,... Đại số cũng là cơ sở của nhiều ngành toán
học khác, có nhiều ứng dụng trong khoa học - kĩ thuật.
Ở bậc Đại học chúng em đã được học về đại số đại cương, đại số
hiện đại và một số nội dung quan trọng khác của Đại số. Trong đó
iđêan là phần kiến thức quan trọng của Đại số đại cương và Đại số
giao hoán. Xuất phát từ lòng yêu thích môn Đại số cũng như ham
mê nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài "Iđêan và sự phân
tích nguyên sơ các iđêan" để thực hiện khóa luận của mình.
Nội dung khóa luận gồm ba chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về vành, vành giao
hoán.
Chương 2: Iđêan trên vành giao hoán
Chương này trình bày các phép toán trên iđêan, một số lớp iđêan

đặc biệt trên vành giao hoán như iđêan nguyên tố, iđêan cực đại,
iđêan nguyên sơ và mối quan hệ giữa các iđêan này.
Chương 3: Sự phân tích nguyên sơ các iđêan
Trong chương này trình bày kiến thức về vành Noether, sự phân
tích nguyên sơ của các iđêan.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song do còn nhiều hạn chế về kiến
thức của bản thân cũng như thời gian nên khóa luận của em không
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được các
ý kiến đóng góp từ thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của
em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Vương Thị Thu Hà

4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Vành

a, Định nghĩa
Cho X là tập hợp khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai
ngôi gọi là phép cộng và phép nhân và kí hiệu lần lượt là (+), (.),
X được gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel.
(ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm.
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức ∀x, y, z ∈ X ta có
(x + y)z = xz + yz
z(x + y) = zx + zy
b, Chú ý
Vành X là vành có đơn vị nếu X là một vị nhóm nhân.
Vành X là một vành giao hoán nếu phép nhân có tính chất giao
hoán.
Vành X là giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán.
Phần tử đơn vị của phép cộng là phần tử không của vành và kí
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

hiệu là 0. Phần tử đơn vị (nếu có) của phép nhân thường kí hiệu là
1.
c, Ví dụ
1) Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân
thông thường là một vành đơn giao hoán có đơn vị gọi là vành các
số nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỉ, các số thực, các số phức

(các phép toán vẫn là phép cộng và phép nhân thông thường).
2) Tập hợp Z/nZ các số nguyên mod n cùng với phép cộng và
phép nhân các số nguyên mod n là một vành giao hoán có đơn vị,
gọi là vành các số nguyên mod n.
3) Tập hợp M (n, R) các ma trận vuông cấp n, n > 1 (với các
phần tử là thực) cùng với phép cộng và nhân ma trận là một vành
có đơn vị. Vành này không giao hoán.
d, Tính chất
(1) 0.x = x.0 = 0, ∀x ∈ X.
(2) n(xy) = x(ny) = (nx)y, ∀x, y ∈ X, ∀n ∈ Z.
(3) x.(y − z) = xy − xz; (x − y).z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ X.
(4) Luật phân phối tổng quát
m

n

xi yj , ∀xi , yj ∈ X.

(x1 + x2 + ... + xm )(y1 + y2 + ... + yn ) =
i=1 j=1

(5) Nếu X là một vành giao hoán thì
(x + y)n =

n
i=0

1.2

n!

i n−i
, ∀x, y
i!(n−i)! x y

∈ X, n ∈ N.

Vành con và điều kiện tương đương

a, Định nghĩa
Cho X là một vành, A là bộ phận của X ổn định với hai phép
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

toán cộng và nhân trong X, tức x + y ∈ A, xy ∈ A với ∀x, y ∈ A.
Khi đó A là một vành con của vành X nếu A cùng hai phép toán
cảm sinh trên A là một vành.
b, Ví dụ
1) Vành số nguyên Z là vành con của vành số hữu tỉ Q.
2) Tập mZ các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước
là một vành con của vành số nguyên Z.
c, Điều kiện tương đương
Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X. Ta có
các điều kiện sau là tương đương
(i) A là một vành con của X.
(ii) ∀x, y ∈ A thì x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A.
(iii) ∀x, y ∈ A thì x − y ∈ A, xy ∈ A.

1.3

Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Cho X là một vành có đơn vị 1 ta nói đặc số của
X là n > 0 nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n.1 = 0.
Nếu không có số nguyên dương nào như thế thì ta có X có đặc số
bằng 0. Đặc số của X kí hiệu là CharX.
Ví dụ: 1) CharZ = CharQ = CharR = CharC = 0.
2) CharZm = m.
3) CharZ[X] = CharQ[X] = CharR[X] = CharC[X] = 0.
Định nghĩa 1.2. Cho X là một vành giao hoán có đơn vị 1. Tập
con A được gọi là tập con nhân đóng của X nếu:
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

(i) 1 ∈ A.
(ii) ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A.
Ví dụ: N là một tập con nhân đóng của Z, Z là một tập con nhân
đóng của Q.
Định nghĩa 1.3. Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị. Phần
tử a ∈ X được gọi là phần tử bất khả quy nếu a = 0, a không khả
nghịch và a không có ước thực sự.
Định nghĩa 1.4. Cho X là một vành giao hoán, có đơn vị. Phần
tử a = 0, a không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu

a|uv thì a|u hoặc a|v.

1.4

Miền nguyên và trường

Định nghĩa 1.5. Một vành giao hoán có đơn vị, có nhiều hơn một
phần tử và không có ước của không được gọi là một miền nguyên.
Ví dụ: Vành số nguyên Z, vành số hữu tỉ Q đều là những miền
nguyên.
Định nghĩa 1.6. Trường là một miền nguyên trong đó mọi phần
tử khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân.
Ví dụ: Các tập Q, R, C với phép cộng và nhân thông thường là
một trường.
Nhận xét: Nếu X là trường thì
+ (X, +) là một nhóm Abel có phần tử đơn vị 0.
+ (X ∗ , .) là một nhóm Abel có phần tử đơn vị 1.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

Định nghĩa 1.7. Giả sử X là một trường, A là một bộ phận của
X ổn định với hai phép toán trong X. A là một trường con của X
nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trường.

1.5

Iđêan và vành thương

1.5.1

Iđêan

a, Định nghĩa
Cho A là một vành và I là một vành con của A. Khi đó:
(i) I được gọi là một iđêan trái của A nếu với mọi x ∈ A, mọi a ∈ I
thì xa ∈ I.
(ii) I được gọi là một iđêan phải của A nếu với mọi x ∈ A, mọi
a ∈ I thì ax ∈ I.
(iii) I được gọi là một iđêan của A nếu I vừa là một iđêan trái vừa
là một iđêan phải của A.
b, Nhận xét
(i) Trong một vành giao hoán thì mọi iđêan trái cũng là iđêan phải.
(ii) Nếu A là một vành có đơn vị, và I là một iđêan của A thì
IA = AI = I. Nếu A không có đơn vị thì đẳng thức trên không
đúng.
c, Điều kiện tương đương
Cho A là vành, I ⊂ A, I = ∅. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) I là iđêan của A.
(ii) Với mọi a, b ∈ I thì a − b ∈ I, và mọi x ∈ A thì ax ∈ I và
xa ∈ I.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

d, Ví dụ
+ Cho A là vành thì A luôn có các iđêan tầm thường là {0} và
A.
+ Tập mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho
trước là một iđêan củavànhcác số nguyên Z.
0 0
 a, b ∈ R là iđêan phải của vành
+ Tập hợp J = 
a b
các ma trận vuông cấp hai với các phần tử thực.

1.5.2

Vành thương

a, Xây dựng vành thương
Cho A là một vành và I là một iđêan của A. Khi đó I là nhóm
con của nhóm cộng Abel A. Ta có A/I = {x = x + I|x ∈ A} là một
nhóm Abel với phép toán cộng (x + I) + (y + I) = x + y + I.
Trên A/I trang bị phép toán nhân như sau: (x + I)(y + I) = xy + I.
Khi đó phép nhân là phép toán hai ngôi trên X/A.
Với hai phép toán (+) và (.) xác định ở trên, A/I là một vành và
gọi là vành thương của A theo iđêan I.
b, Nhận xét
+ Phần tử không của vành thương A/I là lớp 0 + I = I.
+ Nếu A là vành giao hoán thì A/I cũng là vành giao hoán.
+ Nếu A là vành có đơn vị thì A/I cũng là vành có đơn vị, với
đơn vị là 1 + I.

c, Iđêan của vành thương
Cho vành giao hoán A, I là iđêan của A.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

+ Nếu J là iđêan của A sao cho J ⊇ I thì J/I là iđêan của vành
thương A/I, với mỗi r ∈ A ta có r + I ∈ J/I nếu và chỉ nếu r ∈ J.
+ Mỗi iđêan B của R I đều có dạng K I, với K là iđêan của
A thỏa mãn điều kiện K ⊇ I.
Tồn tại duy nhất iđêan K = {a ∈ R a + I ∈ J} của A thỏa mãn
điều kiện trên.
+ Cho J1 , J2 là các iđêan của A sao cho J1 , J2 ⊃ I ta có J1 /I ⊃
J2 /I khi và chỉ khi J1 ⊃ J2 .
d, Ví dụ
Đối với iđêan mZ của vành số nguyên Z ta có
Zm = Z mZ = {a = a+mZ a ∈ Z} là vành thương của vành Z theo
iđêan mZ với phép cộng và phép nhân cho bởi a + b = a + b; ab = ab
với mọi a, b ∈ Zm .

1.6

Đồng cấu vành

a, Định nghĩa
Cho X, Y là hai vành, ánh xạ f : X → Y gọi là đồng cấu vành
nếu thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi x, y ∈ X thì

f (x + y) = f (x) + f (y);
f (xy) = f (x).f (y)
+ f là đơn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là đơn
ánh.
+f là toàn cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là toàn

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

ánh.
+f là đẳng cấu nếu và chỉ nếu f là đồng cấu vành và f là song
ánh.
+ Cho hai vành X, Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một
đẳng cấu vành f : X → Y . Nếu vành X đẳng cấu với vành Y ta kí
hiệu X ∼
= Y.
b, Tính chất cơ bản
Tính chất 1. Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành
Tính chất 2. Cho f : X → Y là một đồng cấu vành, trong đó X
là một trường thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu.
Tính chất 3. Cho f : X → Y là một đồng cấu vành
+ Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X → Y sao cho gf = 1X thì f là đơn cấu.
+ Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành
g : X → Y sao cho gf = 1Y thì f là toàn cấu.

+ Nếu f vừa có nghịch đảo trái, vừa có nghịch đảo phải thì f là
đẳng cấu.
Tính chất 4. f : X → Y là đồng cấu vành, A là một vành con
của X, B là iđêan của Y thì f (A) là một vành con của Y và f −1 (B)
là một iđêan của X.
Đặc biệt
Cho f : X → Y là đồng cấu vành. Hạt nhân của f kí hiệu là
Kerf , được xác định bởi

Kerf = {x ∈ X|f (x) = 0}

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

Và ảnh của đồng cấu f kí hiệu là Imf , được xác định bởi
Imf = f (X) = {f (x) ∈ Y |x ∈ X}
Khi đó Kerf là iđêan của X và Imf là vành con của Y .
Tính chất 5. f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0X }, f là toàn
cấu khi và chỉ khi Imf = Y .
Tính chất 6. Định lí cơ bản của đồng cấu vành
Cho đồng cấu vành f : X → Y , A, B là các iđêan của X, Y sao
cho f (A) ⊂ B với pA : X → X/A, pB : Y → Y /B là toàn cấu chính
tắc.
Khi đó, tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X/A → Y /B sao cho
f pA = pB f , tức biểu đồ sau giao hoán:
f

X

Y

pA

pB

X A

Y

B

f

Đặc biệt nếu A = Kerf, B = {0Y } thì Y /B = Y /{0Y } = Y tức
biểu đồ sau giao hoán:

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

f
X

Y

p

f
X/Kerf

nghĩa là f .p = f với p : X → X/Kerf là toàn cấu chính tắc.
Hệ quả.
(1) Nếu f : X → Y là đồng cấu vành thì X Kerf ∼
= Imf ,
(2) Nếu f : X → Y là toàn cấu vành thì X Kerf ∼
= Y,
(3) Cho B, C là các iđêan của X thì B + C C ∼
= B B ∩ C.

14


Chương 2
Iđêan trên vành giao hoán
2.1
2.1.1

Các phép toán trên iđêan
Tổng các iđêan

a, Định nghĩa
Cho A là một vành, I, J là các iđêan của A thì tập
I + J = {a + b|a ∈ I, b ∈ J}
là một iđêan của A và được gọi là tổng của hai iđêan I và J.

b, Chứng minh
Ta có I + J = ∅ do 0 ∈ I + J, I + J ⊂ A
Lấy a = a1 + b1 ; b = a2 + b2 ∈ I + J và x ∈ A ta có:
a − b = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 ) ∈ I + J.
ax = a1 x + b1 x ∈ I + J.
xa = xa1 + xb1 ∈ I + J.
Hay I + J là một iđêan của A.

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

c, Ví dụ
Cho Z là vành giao hoán, I = 2Z, J = 4Z là hai iđêan của vành
Z, khi đó I + J = 2Z
Tổng quát: Cho I = mZ, J = nZ thì I + J = dZ với d = (n, m).
2.1.2

Tích các iđêan

a, Định nghĩa
Cho I, J là các iđêan của vành A thì tập
ai bi |ai ∈ I, bi ∈ J

IJ =

|I hữu hạn

i∈I

là một iđêan của A và được gọi là tích của hai iđêan I và J.
b, Chứng minh
+ IJ = ∅ vì 0 ∈ IJ, IJ ⊂ A.
+ Lấy x ∈ A, a, b ∈ IJ với
a = a1 b1 + ... + an bn và b = c1 d1 + ... + cm dm , ai , cj ∈ A; bi , dj ∈ J
với mọi i = 1, n, j = 1, m.
Khi đó: a − b = a1 b1 + ... + an bn + (−c1 )d1 + ... + (−cm )dm ∈ IJ
ax = a1 (b1 x) + ... + an (bn x) ∈ IJ.
xa = (xa1 )b1 + ... + (xan )bn ∈ IJ.
Suy ra IJ là một iđêan của A.
c, Ví dụ
Cho Z là vành giao hoán I = nZ, J = mZ, m, n ∈ Z là các iđêan
của Z, ta có IJ = mnZ. Thật vậy, với mọi x ∈ IJ ta có:
ai bi , ai ∈ mZ, bi ∈ nZ. Đặt ai = mti ; bi = nki .

x=
i∈I

mti nki hay x ∈ nmZ.

Suy ra x =
i∈I

Vậy IJ ⊂ nmZ.

(1)
16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

Ngược lại, với mọi x ∈ nmZ thì x = nmt = (m1)(nt), t ∈ Z Suy
ra x ∈ IJ. Vậy nmZ ⊂ IJ.

(2)

Từ (1) và (2) ta có nmZ = IJ.
2.1.3

Thương các iđêan

a, Định nghĩa
Cho A là vành giao hoán, I, J là các iđêan của A. Khi đó tập
I : J = {a ∈ A| aJ ⊂ I}
= {a ∈ A| ax ∈ I, ∀x ∈ J}
là một iđêan của A và gọi là iđêan chia của iđêan I cho iđêan J.
b, Chứng minh
+ I : J = ∅ vì 0 ∈ I : J, I : J ⊂ A.
+ Lấy a, b ∈ I : J và x ∈ A ta có: ay, by ∈ I, ∀y ∈ J.
Khi đó: (a − b)y = ay − by ∈ I. Do đó a − b ∈ I : J.
Mà (ax)y = x(ay) ∈ I Suy ra ax ∈ I : J.
Vì A là một vành giao hoán nên xa = ax suy ra xa ∈ I : J.
Vậy I : J là iđêan của A.
c, Ví dụ
Cho I = 2Z, J = 3Z là các iđêan của Z. Khi đó I : J = 2Z.

2.1.4

Căn các iđêan

a, Định nghĩa
Cho A là một vành giao hoán, I là iđêan của A.
√
Khi đó tập I = {a ∈ A |∃n ∈ N để an ∈ I} là một iđêan của
vành A, gọi là căn của iđêan I.
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

b, Chứng minh
√
√
+ Ta có I = ∅, I ⊂ A.
√
+ Lấy a, b ∈ I, x ∈ A khi đó tồn tại n ∈ N sao cho an , bn ∈ I.
Ta có (ax)n = (xa)n = an xn ∈ I (I là một iđêan của A). Suy ra
2n
√
k
ax, xa ∈ I. Mặt khác (a − b)2n =
(−1)k .C2n
.ak b2n−k ∈ I.
k=0

√
Vì k ≥ n hoặc 2n − k ≥ n, ∀k = 0, 1, ..., 2n. Do đó a − b ∈ I.
√
Vậy I là một iđêan của A.
c, Căn lũy linh
Nếu I = {0} khi đó

{0} =

√

0 gọi là căn lũy linh của A.

Kí hiệu RadA tức là Rad(A) = {x ∈ A| ∃n ∈ N∗ , xn = 0}.
d, Tính chất
Cho {Ai }ni=1 là các iđêan của R ta có

n

n

Ai =
i=1

√

Ai .

(∗)

i=1

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n:
+ Với n = 1 thì (∗) hiển nhiên đúng.
√
√
√
+ Khi n = 2, ta chỉ ra A1 ∩ A2 = A1 ∩ A2 . Thật vậy:
√
Với mọi a ∈ A1 ∩ A2 luôn tồn tại m ∈ N để am ∈ A1 ∩ A2 .
Tứctồn tại m ∈ N để 
√


am ∈ A1
am ∈ A1
√
√
suy ra
. Vậy a ∈ A1 ∩ A2


am ∈ √A2
am ∈ A2
√
√
√
Do đó A1 ∩ A2 ⊆ A1 ∩ A2 .
(1)
√

√
√
√
Ngược lại, với mọi b ∈ A1 ∩ A2 thì b ∈ A1 và b ∈ A2 .
Khi đó tồn tại u, v ∈ N để bu ∈ A1 và bv ∈ A2 . Giả sử u ≤ v thì
v = u + r, r ∈ N. Khi đó bv = bu+r = bu br ∈ A1 . Lại có bv ∈ A2 .
√
Suy ra tồn tại v ∈ N để bv ∈ A1 ∩ A2 . Suy ra b ∈ A1 ∩ A2 .

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

√
A2 ⊆ A1 ∩ A2
√
√
√
Từ (1) và (2) ta có A1 ∩ A2 ⊆ A1 ∩ A2
Vậy

√

Vương Thị Thu Hà

A1 ∩

√

n−1

+ Giả sử (∗) đúng với n − 1, tức

Ai =
i=1

(2)
n−1 √

Ai .

i=1

+ Ta sẽ chứng minh (∗) đúng với n. Thật vậy:
n
n−1
n−1
√
Ai =
Ai ∩ An =
Ai ∩ An ( theo chứng minh trên)
i=1

i=1

=
=

n−1 √

i=1
n √

i=1

Ai ∩

√

An (theo giả thiết quy nạp)

Ai .

i=1
n

n

Ai =

Vậy
i=1

2.2
2.2.1

√

Ai .

i=1

Iđêan hữu hạn sinh
Tập sinh của iđêan

Định nghĩa: Cho vành X, tập S ⊂ X. Giao của tất cả các iđêan
của X chứa S là iđêan nhỏ nhất của X chứa S và gọi là iđêan của
X sinh bởi S. Kí hiệu S . Đặt B = S thì S là tập sinh của iđêan
B. Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì B là iđêan hữu hạn sinh.
Ví dụ: ∅, X ⊂ X thì ∅ = {0}, X = X
2.2.2

Iđêan sinh bởi n phần tử

a, Định lý
Cho X là vành giao hoán có, đơn vị 1 và a1 , ..., an ∈ X. Khi đó
iđêan sinh bởi n phần tử a1 , ..., an kí hiệu là

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

n

ai xi xi ∈ X, ∀i = 1, n

B =< a1 , ..., an >=

i=1

b, Chứng minh
Giả sử a = x1 a1 + ... + xn an và b = y1 a1 + ... + yn an là hai phần
tử tùy ý thuộc B và x là phần tử tùy ý thuộc X.
Khi đó a − b = (x1 a1 + ... + xn an ) − (y1 a1 + ... + yn an )
= (x1 a1 − y1 a1 ) + ... + (xn an − yn an )
= (x1 − y1 )a1 + ... + (xn − yn )an ∈ B
xa = ax = x(x1 a1 + ... + xn an ) = xx1 a1 + ... + xxn an ∈ B.
Vậy B là một iđêan của X, B chứa các ai với i = 1, n.
Mặt khác mọi iđêan chứa các ai , i = 1, n thì cũng chứa x1 a1 , ..., xn an ,
với x1 , .., xn ∈ X. Vậy B là giao của tất cả các iđêan chứa ai , i = 1, n.
Hay B là iđêan sinh bởi n phần tử ai , i = 1, n.
Đặc biệt, iđêan sinh bởi một phần tử của a ∈ X gọi là iđêan
chính. Xác định bởi < a >= {xa| với mọi x ∈ X} = Xa = aX.

2.3

Iđêan cực đại

a, Định nghĩa
Iđêan I của vành giao hoán A được gọi là iđêan cực đại nếu thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) I = A,
(ii) Nếu tồn tại iđêan J của A mà I ⊂ J, I = J thì J = A.

20


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vương Thị Thu Hà

b, Định lý 1
Iđêan I của vành A là một iđêan cực đại nếu và chỉ nếu vành
thương A = A I là một trường.
Chứng minh.
⇒] Giả sử I là iđêan cực đại của A. Ta chứng mimh A I là
trường. Thật vậy:
A là vành giao hoán có đơn vị 1 nên A I là vành giao hoán có
đơn vị 1 + A; A I có ít nhất hai phần tử là 0 + I và 1 + I.
Giả sử x+I ∈ A I mà x+I = I Suy ra x ∈
/ I. Đặt J = x +I =
{I + xx0 | x0 ∈ A} thì J là iđêan của A và I ⊂ J, I = J.
Do I là iđêan cực đại nên J = A. Do đó 1 ∈ J.
Vậy tồn tại x0 ∈ A, a ∈ I sao cho 1 = xx0 + a.
Suy ra 1 + A = xx0 + a + I = xx0 + I = (x + I)(x0 + I) hay nghịch
đảo của x + I là x0 + I. Vậy A I là một trường.
⇐] Giả sử A I là trường.
Khi đó A I = ∅ và có ít nhất hai phần tử là 0 + I, 1 + I. Suy ra
A = I.
Giả sử J là iđêan của A thỏa mãn I ⊂ J, I = J. Khi đó tồn tại
x ∈ J, x ∈
/ I. Suy ra x + I = I (vì x ∈
/ I).
Do A I là trường nên tồn tại x0 + I ∈ A\I sao cho (x + I)(x0 + I) =
1 + I.
Suy ra xx0 + I = 1 + I suy ra xx0 − 1 ∈ A.
Vậy tồn tại a ∈ I để a = xx0 − 1. Suy ra 1 = xx0 − a ∈ J.
Vậy J = A hay I là iđêan cực đại của A.

21