Bao đóng nguyên của vành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thu Hằng

BAO ĐÓNG NGUYÊN CỦA VÀNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thu Hằng

BAO ĐÓNG NGUYÊN CỦA VÀNH

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. ĐỖ VĂN KIÊN

Hà Nội – Năm 2017

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo ThS. Đỗ Văn Kiên đã chỉ bảo tận tình, hướng dẫn và giúp đỡ em
trong suốt thời gian thực hiện khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ Đại số - khoa
Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp
đỡ để em hoàn thành khoá luận này.
Em xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ, động
viên tinh thần để em hoàn thành khóa luận.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế, hơn nữa do lần
đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên cũng không tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong sẽ nhận được những ý kiến đóng
góp quý báu của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thu Hằng

1


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp "Bao đóng nguyên của vành" được hoàn
thành là do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu của bản thân cùng với sự
hướng dẫn tận tình của thầy giáo - ThS. Đỗ Văn Kiên.
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với bất
kì một khóa luận nào khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thu Hằng


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Vành, vành con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Vành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Vành con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Miền nguyên, trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Iđêan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại . . . . . . . . . .

8

1.4

Vành thương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Đồng cấu vành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6

Vành đa thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.1

Vành đa thức một ẩn. . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6.2

Vành đa thức nhiều ẩn. . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7

Trường các phân thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.8

Môđun. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.8.1

Môđun, môđun con và môđun thương. . . . . .

15

1.8.2

Môđun con sinh bởi một tập. . . . . . . . . . .

18

1.8.3

Môđun thương. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

i

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

1.8.4

Đồng cấu môđun. . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.8.5

Môđun hữu hạn sinh, môđun trung thành. . . .

23

1.8.6

Địa phương hóa vành và môđun. . . . . . . . .

24

2 Bao đóng nguyên của vành.
2.1

29

Phần tử nguyên, mở rộng nguyên. . . . . . . . . . . . .

29

2.1.1

Phần tử nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.2

Mở rộng nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2

Bao đóng nguyên của vành. . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3

Miền đóng nguyên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

KẾT LUẬN

1

Tài liệu tham khảo

1

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

LỜI MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài.
Đại số là một chuyên ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán
học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học học hiện đại.
Tuy nhiên để đi nghiên cứu sâu hơn về Đại số thì cần có sự hiểu biết
một cách sâu sắc về cấu trúc đại số.
Vì vậy với niềm say mê Toán học và mong muốn tìm hiểu sâu
hơn về bộ môn này, dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong
phạm vi của một khoá luận tốt nghiệp cùng với sự hướng dẫn tận tình
của Ths. Đỗ Văn Kiên em đã trình bày những hiểu biết của mình về
đề tài "Bao đóng nguyên của vành".

2. Mục đích nghiên cứu.
Quá trình nghiên cứ và thực hiện đề tài đã giúp em bước đầu làm
quen với việc nghiên cứu khoa học và có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về
Đại số, đặc biệt là về bao đóng nguyên của vành thông qua các khái
niệm và tính chất có liên quan đến bao đóng nguyên của vành.

1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu về các trường hợp khác nhau của bao đóng nguyên
trong một vành. Trong khuôn khổ đề tài của mình, em chỉ nghiên cứu
những vấn đề trong vành giao hoán, có đơn vị là 1.

4. Phương pháp, phương tiện.
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.

5. Cấu trúc khoá luận.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của khoá
luận được chia làm hai chương
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Chương 2 Bao đóng nguyên của vành

Hà Nội, ngày tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thu Hằng

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Nội dung chương này trình bày những kiến thức cơ sở về vành và
môđun. Đây là những kiến thức cơ bản trong đại số đại cương ([Sha],
[Si]). Các đối tượng trong chương này chủ yếu về iđêan, đồng cấu vành,
vành thương, môđun,...

1.1
1.1.1

Vành, vành con.
Vành.

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập tuỳ ý khác ∅. Trên X trang
bị hai phép toán hai ngôi kí hiệu là (+) và (.). Khi đó X được gọi là
vành nếu X cùng với hai phép toán cộng (+) và nhân (.) thoả mãn
ba điều kiện sau :
(i) X cùng phép cộng là một nhóm Abel.
(ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, tức là với mọi x, y, z ∈ X ta có
x(yz) = x(yz).
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng tức mọi x, y, z ∈ X ta có
x(y + z) = xz + yz, (x + y)z = xz + yz.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

Ta thường gọi tắt vành X thay cho vành (X, +, .).

Chú ý 1.1.2.

• Nếu phép nhân của X có tính chất giao hoán thì

X gọi là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì
phần tử đó gọi là phần tử đơn vị của vành X.
• Nói riêng, nếu phép nhân vừa giao hoán vừa có đơn vị thì X được
gọi là vành giao hoán, có đơn vị.
• Đơn vị của vành (nếu có) luôn được ký hiệu là 1.
Các tính chất của phép toán trên vành X được cho bởi mệnh đề
sau
Mệnh đề 1.1.3. Cho X là một vành. Khi đó ta có
1. x.0 = 0.x = 0 với mọi x ∈ X;
2. (−x)y = x(−y) = −xy với mọi x, y ∈ X;
3. (y − z)x = yx − zx, x(y − z) = xy − xz với mọi x, y, z ∈ X;
4. (x1 +x2 +...+xn )y = x1 y +x2 y +...+xn y với mọi x1 , ..., xn , y ∈ X;
x(y1 +y2 +...+yn ) = xy1 +xy2 +...+xyn với mọi x, y1 , y2 , ..., yn ∈ X;
5. (nx)y = x(ny) = nxy với mọi n ∈ Z, x, y, z ∈ X.
ở đó



x + x + · · · + x, n > 0




n


nx = 0, n = 0







 −x − x − · · · − x, n < 0
−n

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ví dụ 1.1.4.

nguyễn thu hằng

1. Mỗi tập hợp số Z, Q, R, C cùng với phép cộng và

phép nhân thông thường là một vành giao hoán, có đơn vị và lần
lượt gọi là vành các số nguyên, vành các số hữu tỉ, vành các số
thực, vành các số phức
2. Zn cùng với phép toán (+) và (·) xác định bởi x + y = x + y và
x.y = xy là một vành giao hoán, có đơn vị.
1.1.2

Vành con.

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là một vành. A là một bộ phận của X ổn

định đối với hai phép toán trong X nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A với
mọi x, y ∈ A. A là một vành con của vành X nếu A cùng với hai phép
toán cảm sinh trên A là một vành.
Mệnh đề 1.1.6. Cho X là một vành, tập A ⊆ X khi đó các điều sau
là tương đương
(i) A là vành con của X;
(i) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A;
(ii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A.
Ví dụ 1.1.7.

1. Bộ phận {0} chỉ gồm phần tử không và bộ phận

X là hai vành con của X.
2. Bộ phận mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho
trước là một vành con của vành các số nguyên Z.

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

nguyễn thu hằng

Miền nguyên, trường.

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là vành, a ∈ X, a = 0, a được gọi là ước
của 0 nếu tồn tại b ∈ X, b = 0 sao cho ab = 0.
Chú ý 1.2.2. Một vành X được gọi là vành không có ước của không

nếu với mọi a, b ∈ X, a = 0, b = 0 thì ab = 0.
Định nghĩa 1.2.3. X được gọi là miền nguyên nếu X là vành giao
hoán có đơn vị, có ít nhất 2 phần tử và không có ước của 0.
Định nghĩa 1.2.4. Trường là một miền nguyên trong đó mọi phần
tử khác 0 đều tồn tại phần tử nghịch đảo.
Ví dụ 1.2.5. Z, k[x1 , x2 , · · · , xn ] (k là một trường) là các miền nguyên
nhưng không phải là trường.

1.3

Iđêan.

Định nghĩa 1.3.1. Cho vành X bất kỳ, I là vành con của vành X.
Khi đó
+ I được gọi là iđêan trái của vành X nếu với mọi x ∈ X, a ∈ I thì
xa ∈ I;
+ I được gọi là iđêan phải của vành X nếu với mọi x ∈ X, a ∈ I thì
ax ∈ I;
+ I được gọi là iđêan của vành X nếu I vừa là iđêan trái, vừa là iđêan
phải của vành X.
Mệnh đề 1.3.2. Một tập I được gọi là iđêan của vành X nếu thoả
mãn các điều kiện sau:
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

(i) I ⊆ X, I = ∅.

(ii) Với mọi a, b ∈ I thì a − b ∈ I.
(iii) Với mọi x ∈ X, a ∈ I thì xa ∈ I và ax ∈ I.
Ví dụ 1.3.3.

1. Cho X là vành, X và {0} là hai iđêan của X và

gọi là các iđêan tầm thường của X. Mỗi iđêan khác X và khác
{0} của vành X được gọi là iđêan thực sự của X.
2. Tập mZ với m ∈ Z là một iđêan của Z.
Mệnh đề 1.3.4. Các khẳng định sau là đúng
(a) Giao của một họ các iđêan của vành X là một iđêan của X.
(b) Nếu X là một vành có đơn vị, A là một iđêan của vành X chứa
đơn vị của X thì A = X.
(c) Cho A, B là hai iđêan của vành X, khi đó các tập hợp sau là các
iđêan của X
A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
n

AB := {

ai bi | ai ∈ A, bi ∈ B}.
i=1

(A : B) := {x ∈ R | xB ⊂ A}
r(A) := {x ∈ X | ∃n ∈ N∗ , xn ∈ A}.
trong đó xB = {xb | b ∈ B}.
Các iđêan A + B, AB, A : B lần lượt được gọi là tổng, tích, thương
của hai iđeean và r(A) gọi là căn (lũy linh) của A.

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.1

nguyễn thu hằng

Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại

Định nghĩa 1.3.5.

• Một iđêan thực sự I của vành X được gọi là

iđêan nguyên tố nếu với mọi x, y ∈ X sao cho xy ∈ I thì x ∈ I
hoặc y ∈ I.
• Một iđêan thực sự I của vành X được gọi là iđêan cực đại nếu
với mọi iđêan J của X sao cho J

I thì J = X.

Đặc trưng của iđêan nguyên tố và iđêan cực đại được cho bởi mệnh
đề sau mà việc chứng minh nó là sơ cấp
Mệnh đề 1.3.6. Cho X là một vành, I là iđêan của X. Khi đó
(i) I là iđêan nguyên tố của vành X khi và chỉ khi X/I là miền nguyên.
(ii) I là iđêan cực đại của vành X khi và chỉ khi X/I là trường.
Hệ quả là mọi iđêan cực đại đều là iđêan nguyên tố.
Sự tồn tại của iđêan nguyên tố và cực đại nhờ bổ đề Zorn sau
Bổ đề 1.3.7. (Bổ đề Zorn) Một tập sắp thứ tự X = ∅ nào đó có tính
chất mọi tập con sắp thứ tự toàn phần đều có cận trên thì tập X có ít

nhất một phần tử tối đại.
Định lý 1.3.8. Mọi vành A khác rỗng có ít nhất một iđêan cực đại.
Chứng minh. Gọi S là tập tất cả các iđêan khác 1 của A và trang
bị quan hệ thứ tự bằng quan hệ bao hàm quen thuộc. Ta có S = ∅
vì 0 ∈ S. Tập S được sắp thứ tự tốt. Thật vậy, gọi {ai }là một tập
các phần tử của I (nghĩa là các iđêan khác 1 ) sắp thứ tự toàn phần.
Đặt a =

i∈I

ai . Điều kiện I sắp thứ tự toàn phần đảm bảo a là một

iđêan khác 1 của A. Mặt khác ai ⊆ a theo định nghĩa, có nghĩa là
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

a ∈ I và là một chặn trên của I.
Theo bổ đề Zorn, S chứa một phần tử cực đại. Nhưng các phần tử
cực đại của S, theo định nghĩa chính là các iđêan cực đại của A.
Khái niệm iđêan cho ta một đối tượng quan trọng trong lý thuyết
vành là vành thương.

1.4

Vành thương.

Cho X là một vành và A là một iđêan của X. Khi đó (A, +) là một
nhóm con chuẩn tắc của nhóm cộng X. Ta có nhóm thương của X
theo nhóm con A là X/A = {x + A | x ∈ X}. Trên nhóm thương này
ta định nghĩa phép nhân (·) như sau
(x + A)(y + A) = xy + A, với mọi x, y ∈ X.
Khi đó nhóm cộng X/A cùng với hai phép nhân (.) được xác định như
trên lập thành một vành và vành đó được gọi là vành thương của vành
X theo iđêan A.
Chú ý 1.4.1. Phần tử không của vành thương X/A là 0 + A.
Nếu X là một vành giao hoán, có đơn vị là 1 thì vành thương X/A
cũng là vành giao hoán và có đơn vị là 1 + A.
Ví dụ 1.4.2.
a) Cho X là vành, X và {0} là hai iđêan của X. Khi đó tồn tại các
vành thương X/X và X/{0} được xác định như sau
X/X = {x + X | x ∈ X} = ¯0.
X/{0} = {x + {0} | x ∈ X} = X.
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

b) Cho Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} là vành giao hoán có đơn vị, cho I là
một iđêan của Z[i]. Khi đó tồn tại vành thương Z[i]/I = {a + bi + I |
a, b ∈ Z}. Phép cộng và phép nhân được xác định như sau:
• Phép cộng: (a + bi + I) + (c + di + I) = (a + c) + (b + d)i + I với
mọi a, b, c, d ∈ Z.
• Phép nhân: (a + bi + I)(c + di + I) = (ac − bd) + (ad + bc)i + I
với mọi a, b, c, d ∈ Z.

Có thể nói mối quan hệ giữa các vành với nhau có thể được tìm
hiểu thông qua đồng cấu vành

1.5

Đồng cấu vành.

Định nghĩa 1.5.1. Cho X, Y là hai vành bất kì. Ánh xạ f : X → Y
được gọi là một đồng cấu vành nếu với mọi x, y ∈ X thì
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = f (x).f (y)
Hơn nữa,
• f được gọi là đơn cấu vành nếu f là đồng cấu vành và f đơn ánh.
• f được gọi là toàn cấu vành nếu f là đồng cấu vành và f toàn
ánh.
• f được gọi là đẳng cấu vành nếu f là đồng cấu vành và f song
ánh.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

Mệnh đề sau nêu lên các tính chất cơ bản và quan trọng của đồng
cấu vành, việc chứng minh chúng là sơ cấp
Mệnh đề 1.5.2.
a) Tích của các đồng cấu vành (nếu có) là một đồng cấu vành;
b) Cho f : X → Y là một đồng cấu vành, A là vành con của vành
X, B là iđêan của vành Y khi đó f (A) là vành con của vành Y và

f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} là một iđêan của X.
Đặc biệt Kerf = {x ∈ X | f (x) = 0} = f −1 (0) ( hạt nhân của f )
là iđêan của X và Imf = {f (x) | x ∈ X} (ảnh của f ) là vành con
của Y .
c) Cho f : X → Y là đồng cấu vành, khi đó:
(i) f (0) = 0;
(ii) f (−x) = −f (x) với mọi x ∈ X;
(iii) f là một đơn ánh khi và chỉ khi Kerf = {0};
(iv) f là một toàn cấu khi và chỉ khi Imf = Y .
Định lý 1.5.3. (Định lý cơ bản của đồng cấu vành)
Cho f : X → Y là đồng cấu vành, A và B lần lượt là iđêan của vành
X và Y sao cho f (A) ⊆ B. Gọi pA : X → X/A, pB : Y → Y /B
là các toàn cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành
f : X/A → Y /B sao cho f .pA = pB .f tức là biểu đồ sau giao hoán
X


p

f

−−→

f

Y


p

X/A −−→ Y /B
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6
1.6.1

nguyễn thu hằng

Vành đa thức.
Vành đa thức một ẩn.

Định nghĩa 1.6.1. Cho A là một vành giao hoán.
Đặt A[x] = {f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 | ai ∈ A}.
m

Hai phần tử f (x) =

n

i

bj xj , m ≤ n gọi là bằng

ai x , g(x) =
i=0

j=0

nhau nếu m = n và ai = bi , với mọi i = 0, n. Kí hiệu f (x) = g(x).
Trên A[x] ta trang bị hai phép toán
m

n
i

bj xj

(ai + bi )x +

f (x) + g(x) =
i=0

j=m+1

m+n

ck xk , trong đó ck =

f (x)g(x) =
k=0

ai bj , k = 0, 1, . . . , n + m.
i+j=k

Khi đó A[x] cùng với hai phép toán ở trên lập thành một vành giao
hoán.
Mỗi phần tử của A[x] gọi là một đa thức ẩn x và vành A[x] được

gọi là vành đa thức một ẩn với hệ tử trên A.
n

Định nghĩa 1.6.2. Cho f (x) ∈ A[x], f (x) =

ai xi . Nếu an = 0 thì

i=0

an gọi là hệ tử cao nhất của f (x), a0 là hệ tử tự do và số tự nhiên n
được gọi là bậc của f (x), kí hiệu là degf (x).
Quy ước: đa thức 0 là không có bậc.
Mệnh đề 1.6.3. Cho hai đa thức khác không f (x), g(x) ∈ A[x]. Khi
đó

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

i) Nếu f (x) + g(x) khác không thì
deg(f (x) + g(x))

max{degf (x), degg(x)}

ii) Nếu f (x)g(x) khác không thì
deg(f (x)g(x)) ≤ degf (x) + degg(x).
Nói riêng nếu A là miền nguyên thì

deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x).
Định lý 1.6.4. Cho A là một trường f (x), g(x) ∈ A[x] trong đó
g(x) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) ∈ A[x]
sao cho
f (x) = g(x)q(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc degr(x) < degg(x).

Trong định lý trên, q(x) được gọi là thương và r(x) gọi là dư của
phép chia f (x) cho g(x). Nếu dư của phép chia f (x) cho g(x) là 0 thì
ta nói rằng f (x) chia hết cho g(x) hay g(x) là ước của f (x).
1.6.2

Vành đa thức nhiều ẩn.

Định nghĩa 1.6.5. Giả sử A là vành giao hoán. Ta đặt các vành đa
thức một ẩn
A1 = A[x1 ]
A2 = A1 [x2 ]

13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

A3 = A2 [x3 ]
...
An = An−1 [xn ]
vành An = An−1 [xn ] kí hiệu là A[x1 , x2 , . . . , xn ] gọi là vành đa thức của
n ẩn x1 , x2 , . . . , xn lấy hệ tử trong vành A. Một phần tử của An gọi là

một đa thức của n ẩn x1 , x2 , . . . , xn lấy hệ tử trong vành A, người ta
kí hiệu nó bằng f (x1 , x2 , . . . , xn ) hay g(x1 , x2 , . . . , xn ) . . . .
Đa thức f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , x2 , . . . , xn ] thì có dạng
α0 α0

0

α1 α1

1

f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a0 x1 1 x2 2 · · · xαnn + a1 x1 1 x2 2 · · · xαnn
αk αk

k

+ . . . + ak x1 1 x2 2 · · · xαnn .
αj αj

αj

Ta gọi mỗi số hạng aj x1 1 x2 2 · · · xnn là một đơn thức. Nếu aj = 0 thì
αj αj

αj

α1j + α2j + . . . + αnj được gọi là bậc của đơn thức đó và x1 1 x2 2 · · · xnn
được gọi là một từ của f . Số lớn nhất trong các bậc của đơn thức được
gọi là bậc của đa thức.

1.7

Trường các phân thức.

Định lý 1.7.1. Cho X là một miền nguyên, khi đó có một trường X
và có một đơn cấu vành f : X → X sao cho cặp (X, f ) thoả mãn hai
điều kiện
1) Các phần tử của X có dạng f (a)f (b)−1 với a ∈ X, b ∈ X{0}
2) Cặp (X, f ) là duy nhất sai khác đẳng cấu, tức là nếu có cặp
(Y, g) cũng thỏa mãn 1) thì có một đẳng cấu ϕ : X → Y sao cho biểu

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

đồ sao giao hoán
f

/
X
~
~
~
g ~~
~ ϕ
 ~~~

X
Y

Trường X trong định lý trên được gọi là trường các thương của
miền nguyên X. Một ví dụ dễ thấy là trường số hữu tỉ Q là trường
các thương của miền nguyên Z.

1.8
1.8.1

Môđun.
Môđun, môđun con và môđun thương.

Định nghĩa 1.8.1. Cho R là vành có đơn vị là 1 và M là một nhóm
Abel. Khi đó M được gọi là R-môđun trái (hay môđun trái) trên R
nếu tồn tại một ánh xạ f : R × M → M , (a, x) → ax (gọi là tích vô
hướng trên R) thoả mãn các điều kiện sau
(ab)x = a(bx);
(a + b)x = ax + bx;
a(x + y) = ax + ay;
1.x = x.
Với mọi a, b ∈ R, với mọi x, y ∈ M .
Tương tự, R-môđun phải (hay môđun phải) trên R là một nhóm Abel
cộng cùng với một ánh xạ f : M × R → M, (x, a) → xa thoả mãn các

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

điều kiện sau
x(ab) = (xa)b;
x(a + b) = xa + xb;
(x + y)a = xa + ya;
x.1 = x.
Với mọi a, b ∈ R, với mọi x, y ∈ M .
Nhận xét 1.8.2. Nếu R là vành giao hoán thì khái niệm môđun trái
trùng với khái niệm môđun phải.
Sau đây ta chỉ xét các R-môđun trái hay các môđun trái trên R và
gọi là R-môđun.
Ví dụ 1.8.3. Mỗi iđêan trái của vành R là một R-môđun .Đặc biệt mỗi
iđêan của R là một R-môđun và bản thân R cũng là một R-môđun.
Ví dụ 1.8.4. K là một trường thì các K-môđun chính là các không
gian vectơ trên K.
Ví dụ 1.8.5. Mỗi nhóm Abel cộng M đều được coi là Z-môđun với
phép nhân ngoài xác định như sau: với mỗi x ∈ M và n ∈ Z thì
nx = x + x + ... + x với n nguyên dương, 0x = 0M
Nhận xét 1.8.6. Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ khái niệm môđun là
một khái niệm tổng quát của các khái niệm: vành, iđêan, không gian
vectơ, nhóm Abel. Ngoài ra mỗi môđun tự nó là một Z-môđun.
Mệnh đề 1.8.7. Cho M là một R-môđun. Với mọi a, b ∈ R và x, y ∈
M ta có
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

a) 0R .x = 0M ; a.0M = 0M .
b) a(−x) = (−a)x = −ax với mọi x ∈ M , a ∈ R.
c) (a − b)x = ax − bx với mọi x ∈ M , a, b ∈ R.
d) a(x − y) = ax − ay với mọi x, y ∈ M , a ∈ R.
Định nghĩa 1.8.8. Cho M là một R-môđun, N = ∅, N ⊂ M , khi đó
N được gọi là R-môđun con của M nếu nó là một R-môđun đối với
các phép toán cảm sinh trên M .
Mệnh đề 1.8.9. Cho M là R-môđun, N = ∅, N ⊂ M . Khi đó N được
gọi là R-môđun con của M nếu thoả mãn một trong các điều kiện sau
i) Với mọi x, y ∈ N , α ∈ R thì x + y ∈ N , αx ∈ N .
ii) Với mọi x, y ∈ N , α, β ∈ R thì αx + βy ∈ N .
Ví dụ 1.8.10. Mỗi R-môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường
là môđun con không 0 và bản thân M .
Ví dụ 1.8.11. Mọi nhóm con của một nhóm Abel M đều là một
Z-môđun.
Ví dụ 1.8.12. Mọi iđêan của một vành R có đơn vị 1 = 0 đều là một
môđun con của R.
Định nghĩa 1.8.13. Cho I = ∅ và {Ni }i∈I là một họ các môđun
con của R-môđun M . Khi đó kí hiệu {

Ni } là tập gồm tất cả các

i∈I

tổng hữu hạn các phần tử ∪ Ni , tức là {
i∈I

Ni }={xδ + ... + xγ |xδ ∈

i∈I

Nδ , ...xγ ∈ Nγ ; δ, ..., γ ∈ I}.
Tập {
i∈I

Ni } được gọi là tổng của họ {Ni }i∈I các môđun con của M .
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

nguyễn thu hằng

Định lý 1.8.14. Giả sử {Ni }i∈I là một họ tùy ý các môđun con của
R-môđun M . Khi đó ta có
i) ∩Ni và {
i∈I

Ni } là các R-môđun con của M ;

i∈I

ii) Nếu họ {Ni }i∈I lồng nhau (tức là với i, j ∈ I bất kì thì Ni ⊆ Nj
hoặc Nj ⊆ Ni ) thì ∪ Ni cũng là R-môđun con của M .
i∈I

1.8.2

Môđun con sinh bởi một tập.

Định nghĩa 1.8.15. Cho M là một R-môđun, S ⊂ M . Theo định lý
1.8.14 giao tất cả các môđun con của M chứa S là một môđun con
của M chứa S (đó là môđun con nhỏ nhất của M chứa tập hợp con S
đã cho). Môđun này được gọi là môđun con sinh bởi tập S và kí hiệu
S . Như vậy S =∩Mα (với Mα là các môđun con của M chứa S).
i)Nếu S =M thì S là tập sinh của M hay M được sinh bởi S.
ii)Nếu S =M và S hữu hạn thì M gọi là môđun hữu hạn sinh.
Đặc biệt:
• Nếu S = {a} và S = M thì M được gọi là môđun xyclic.
• Nếu S = ∅ thì ∅ = 0 .
• Nếu S = M thì S = M .
• Nếu S = ∅ thì S ={

αi xi |αi ∈ R, xi ∈ S}.

Định lý 1.8.16. Cho M là R-môđun, N ⊂ M , I là iđêan của R, khi
n

đó IN :=

ai xi |ai ∈ I, bi ∈ I, n ∈ N∗

i=1

18

là R-môđun con của M.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.8.3

nguyễn thu hằng

Môđun thương.

Cho M là một R-môđun và N là một môđun con của nó. Khi
đó ta có nhóm thương M/N ={x = x + N |x ∈ M } là một nhóm cộng
Abel với phép toán
(x + N ) + (y + N ) = x + y + N
Trên M/N xác định phép nhân vô hướng như sau
a (x + N ) = ax + N, a ∈ R, x ∈ M.
Khi đó M/N là một R-môđun .
Thật vậy mọi a, b ∈ R, mọi x + N, y + N ∈ M/N
a(x + N + y + N ) = a(x + y + N ) = a(x + y + N )
= ax + ay + N = ax + N + ay + N
= a(x + N ) + a(y + N ).
(a + b)(x + N ) = (a + b)x + N = ax + by + N
= ax + N + bx + N = a(x + N ) + b(y + N ).
ab(x + N ) = abx + N = a(bx) + N
= a(b(x + N )).
1(x + N ) = 1x + N = x + N.
Ta gọi M/N là môđun thương của môđun M theo môđun con N .
Nhận xét 1.8.17. ax + by=ax + by, với mọi a, b ∈ R; x, y ∈ M và
nếu P là một môđun con của M chứa N thì R-môđun thương P/N là
19