Định lý cơ bản thứ hai cho siêu mặt trên trường p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

HOÀNG KIM NGÂN

ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CHO SIÊU MẶT
TRÊN TRƯỜNG p-ADIC

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH SĨ ĐỨC QUANG

HÀ NỘI, 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi. Các số
liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu này
không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước đó.
Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình.
Hà Nội, 05 tháng 03 năm 2017
Tác giả luận văn

Hoàng Kim Ngân

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Sĩ Đức Quang. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô phản biện đã
dành thời gian đọc và góp những ý kiến quý báu cho bản luận văn.
Tôi xin gửi lời tri ân đến tất cả Thầy, Cô trong Khoa Toán - Tin Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các Thầy, Cô trong Bộ môn Hình học, đã tận tình dạy dỗ
chúng tôi trong suốt thời gian học Cao học.
Tôi cũng xin được phép gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, quý Thầy, Cô công tác
tại phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Ban Giám hiệu Trường Trung
cấp Sư phạm Mẫu giáo - Nhà trẻ Hà Nội, các đồng nghiệp cùng gia đình, bạn bè, những
người luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, 05 tháng 03 năm 2017
Tác giả luận văn

Hoàng Kim Ngân

2


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

1

LỜI CẢM ƠN

2

MỤC LỤC

3

MỞ ĐẦU

4

1 Trường các số p-adic

6

1.1

Trường các số hữu tỷ p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Trường số phức p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình trên trường p-adic

16

2.1

Hàm chỉnh hình và hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Định lý chuẩn bị Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Các hàm Nevanlinna và hai định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3 Định lý cơ bản thứ hai cho siêu mặt trên trường p-adic

26

3.1

Các siêu mặt p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Các hàm cơ bản cho ánh xạ giải tích vào Pn (Cp ) . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3

Định lý cơ bản thứ hai cho họ siêu mặt ở vị trí tổng quát . . . . . . . . .

29

3.4

Định lý cơ bản thứ hai cho họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát . . . . . .

34

KẾT LUẬN

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39
3


MỞ ĐẦU

Lý thuyết Nevanlinna cổ điển là công cụ quan trọng dùng trong việc nghiên cứu sự phân
bố các giá trị của hàm phân hình. Lý thuyết này cho chúng ta một sự tổng quát định
lượng cho Định lý Picard về việc một hàm nguyên khác hằng chỉ không nhận nhiều nhất

một giá trị phức. Mục tiêu trong Lý thuyết Nevanlinna là việc thiết lập hai định lý cơ
bản: Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai. Trong đó Định lý cơ bản thứ
nhất là hệ quả được suy ra từ công thức Jensen, và Định lý cơ bản thứ hai là mục tiêu
chính của lý thuyết này. Trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ nhiều biến phức, trong
khi Định lý cơ bản thứ nhất dễ dàng được mở rộng thì việc thiết lập Định lý cơ bản thứ
hai vẫn còn nhiều giả thuyết chưa được chứng minh.
Tương tự lý thuyết trên trường số phức, trên trường p-adic cũng có phiên bản tương
tự của Lý thuyết Nevanlinna được xây dựng cho những hàm phân hình p-adic trên Cp ,
làm đầy của bao đóng đại số của trường các số hữu tỷ p-adic Qp . Tổng quát hơn, lý
thuyết có thể được phát triển cho bất cứ trường đóng đại số K đầy đối với một giá trị
tuyệt đối phi Acsimet. Đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu về vấn đề
này, như Hà Huy Khoái, Tạ Thị Hoài An, Julie Wang, William Cherry, Min Ru và nhiều
tác giả khác.
Mục đích của chúng tôi trong luận văn này nhằm tìm hiểu về Lý thuyết Nevanlinna
trên trường p-adic. Đặc biệt, chúng tôi sẽ tìm hiểu kết quả của Levin về Định lý cơ bản
thứ hai đối với họ siêu mặt có xuyên ngang trên trường p-adic ở vị trí tổng quát trong
bài báo “On the p-adic second main theorem” của ông đăng trên tạp chí Procceding of
American Mathematical Society, số 143 năm 2015. Hơn nữa, chúng tôi mong muốn thiết
lập một định lý cơ bản thứ hai cho họ các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên trường
p-adic mà khi quay về trường hợp ở vị trí tổng quát thì sẽ nhận lại được các kết quả
trước đây của các tác giả khác.
4


Luận văn gồm có ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày sơ lược về trường
các số p-adic và xây dựng giá trị tuyệt đối trên các trường đó. Chương 2 dành để trình
bày về Lý thuyết Nevanlinna cho các hàm phân hình p-adic. Chương 3 gồm hai phần
và là chương chính của luận văn. Trong phần thứ nhất chúng tôi trình bày về kết quả
nghiên cứu gần đây của Levin về định lý cơ bản thứ hai cho siêu mặt ở vị trí tổng quát
trên trường p-adic. Phần cuối của Chương 3 nhằm trình bày kết quả của chúng tôi về

định lý cơ bản thứ hai cho các siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát.

5


Chương 1
Trường các số p-adic
1.1

Trường các số hữu tỷ p-adic

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày phương thức xây dựng trường các số hữu tỷ
p-adic. Như đã biết, ta có thể mở rộng trường số hữu tỷ Q theo hướng làm đầy đủ nó
đối với giá trị tuyệt đối Acsimet thông thường thành trường số thực. Tuy nhiên trên
trường các số hữu tỷ Q chúng ta còn có các giá trị tuyệt đối p-adic. Vậy nếu làm đầy
đủ Q tương ứng đối với các giá trị tuyệt đối này thì ta sẽ nhận được trường số mới, gọi
là trường các số hữu tỷ p-adic, được ký hiệu là Qp .
Trước tiên ta có khái niệm về giá trị tuyệt đối trên một trường như sau.
Định nghĩa 1.1.1 (Giá trị tuyệt đối). Cho K là một trường. Một giá trị tuyệt đối trên
trường K là một ánh xạ, kí hiệu

, từ K đến tập các số thực không âm sao cho với

mọi x, y ∈ K ta có:
(i) x = 0 ⇔ x = 0,
(ii) x.y = x . y ,
(iii) x + y ≤ x + y .
• Giá trị tuyệt đối . như trên được gọi là giá trị tuyệt đối không Acsimet trên K nếu
thay điều kiện (iii) bởi điều kiện (iii’) như sau:
x + y ≤ max( x , y ) với mọi x, y ∈ K.

• Giá trị tuyệt đối . thỏa mãn (iii) mà không thỏa mãn (iii’) thì được gọi là giá trị
tuyệt đối Acsimet.
6


• Một mêtric d trên K gọi là mêtric phi Acsimet nếu d(x, y) ≤ max(d(x, z), d(z, y)), với
mọi x, y, z ∈ K.
• Giá trị tuyệt đối . được cho bởi x = 1 với x = 0 và x = 0 với x = 0 được gọi là
giá trị tuyệt đối tầm thường trên K. Ta thấy rằng mỗi giá trị tuyệt đối trên K sẽ sinh
ra một mêtric trên K. Khi đó K được xem như một không gian tôpô với tôpô được cảm
sinh từ mêtric đó. Ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.2 (Giá trị tuyệt đối tương đương). Hai giá trị tuyệt đối .

1

và .

2

được gọi là tương đương nếu tôpô của chúng sinh ra là trùng nhau.
Mệnh đề dưới đây sẽ đưa ra các tiêu chuẩn cho tính tương đương của hai trị tuyệt
đối.
Mệnh đề 1.1.3. Cho K là một trường và cho . 1 ,

2

là hai giá trị tuyệt đối trên K.

Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(a) Với mọi x ∈ K, x

1

< 1 khi và chỉ khi x

2

< 1.

(b) Với mọi x ∈ K, x

1

≤ 1 khi và chỉ khi x

2

≤ 1.

(c) Tồn tại hằng số c > 0, sao cho x
(d) .

1

và

2

1

c
2

= x

với mọi x ∈ K.

là tương đương.

Chứng minh. ((a) ⇒ (b)) Cho x ∈ K thỏa mãn x
1
x 2

1

≤ 1. Giả sử phản chứng rằng
1
x 1

x

2

> 1. Khi đó

x

1

> 1. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng điều giả sử không thể xẩy ra. Nói cách

khác ta phải có x

2

< 1. Từ khẳng định (a), ta suy ra rằng

≤ 1.

Tương tự nếu ta có x
((b) ⇒ (c)) Nếu .
x

1

=

1
x 1

< 1. Do vậy ta có

1

2

≤ 1 thì ta cũng sẽ có x

≤ 1. Vậy khẳng định (b) là đúng.

là giá trị tuyệt đối tầm thường thì với mọi x ∈ K \ {0} ta có

= 1. Điều này kéo theo x

2

≤ 1,

cũng là giá trị tuyệt đối tầm thường và .
Bây giờ ta giả sử .

2

1

1

1
x 2

≤ 1. Do đó ta có x

2

= 1. Vậy .

= . 2.

không tầm thường. Như vậy tồn tại x0 ∈ K \ {0} thỏa mãn

x0

1

= a = 1. Không mất tổng quát ta giả sử rằng a < 1. Như vậy x0

x0

2

= 1 thì

1
x0 2

= 1 và kéo theo

1
x0 1

điều mâu thuẫn. Do đó ta phải có x0

2

c = log
Khi đó x0

1

2

≤ 1. Điều này chứng tỏ x0

< 1. Ta đặt
x0

1

= x0 c2 .
7

x0

2

> 0.

1

2

≤ 1. Nếu

≥ 1, và đây là


Với x = 0 tùy ý thuộc trường K, ta sẽ chứng minh rằng x
nếu x

= 1 thì theo chứng minh trên x

1

rằng x

1

< 1 (trường hợp x

sao cho x
dương r =
vậy ta có
x

2

≥ x0

hay x

2

1

= x0

m
tuy
n
xm

0
2
xn
0 x1
α

α
1.

1

2

1

= x c2 . Dễ thấy

= 1. Vậy không mất tổng quát ta giả sử

> 1 thì ta xét x1 ). Như vậy tồn tại số thực dương α

Ta sẽ chứng minh rằng x

2

= x α2 . Thật vậy, lấy số hữu tỷ

ý với (m, n) = 1 và r > α. Khi đó ta có
≤ 1. Điều này kéo theo rằng x

2

. Tương tự ta cũng chứng minh được x

xm
0
1
xn
0 x1

= x0

r−α
1

< 1. Do

≥ x0 r . Lấy r −→ α ta thu được
2

α

≤ x0

. Vậy ta có x

2

= x0

α

= x α2 .

((c) ⇒ (d)) Khẳng định (c) hiển nhiên kéo theo khẳng định (d).
((d) ⇒ (a)) Ta lấy x = 0 thỏa mãn x

1

< 1. Ta chỉ cần chứng minh rằng x

2

<1

là đủ (chiều ngược lại là tương tự). Thật vậy ta dễ thấy rằng dãy {xn }∞
n=1 là dãy Cauchy
đối với . 1 , và do đó nó cũng là dãy Cauchy đối với . 2 . Như vậy x n2 (1 − x 2 ) −→ 0.
Do đó với n đủ lớn ta có x

n
2

< 1, và điều này kéo theo x

2

< 1.

Bây giờ ta xét trường hợp cụ thể khi trường K là trường số hữu tỷ. Với mỗi số nguyên

tố p, ta định nghĩa chỉ số p-adic trên trường các số hữu tỷ bởi hai định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.4 (Chỉ số p-adic của số nguyên). Cho a là một số nguyên khác 0 bất
kì, chỉ số p-adic của a kí hiệu là ordp a được định nghĩa là số tự nhiên m lớn nhất thỏa
mãn
a≡0

(mod pm ).

Nếu a = 0 thì quy ước ordp 0 = ∞.
Nói cách khác, cho p là số nguyên tố, với mọi x ∈ Q, x = 0, ta có thể viết x dưới
dạng
x = ±pα1 1 pα2 2 ...pαnn ,
với pi là các số nguyên tố, αi là các số nguyên, i = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có định nghĩa:

αi , khi p = pi
ordp (x) =
(1.1)
0, khi p = p , i = 1, ..., n
i

Định nghĩa 1.1.5 (Chỉ số p-adic của số hữu tỉ). Cho x =
nghĩa chỉ số p-adic của x bởi
ordp x = ordp a − ordp b.
8

a
là số hữu tỉ bất kì. Ta định
b

Chú ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào biểu diễn x =

m
.
n

Mệnh đề dưới đây sẽ giúp chúng ta đưa ra khái niệm giá trị tuyệt đối p-adic trên Q.
Mệnh đề 1.1.6. Ánh xạ |.|p trên Q cho bởi

p−ordp x ,
|x|p =
0,

khi x = 0

(1.2)

khi x = 0

là một giá trị tuyệt đối trên Q.
Khi đó |.|p thỏa mãn 3 điều kiện của giá trị tuyệt đối phi Acsimet và được gọi là giá
trị tuyệt đối p-adic.
Định lí 1.1.7 (Định lý Ostrowski). Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q đều
tương đương với hoặc giá trị tuyệt đối thông thường |.| hoặc một giá trị tuyệt đối p- adic
|.|p với p là số nguyên tố nào đó.
Chứng minh. Giả sử . là một giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q. Ta xét hai
trường hợp sau.
Trường hợp 1. Giả sử tồn tại một số tự nhiên m > 1 sao m > 1. Không mất tổng
quát, ta giả sử m = 2. Lấy n là số tự nhiên bất kỳ. Khi đó đặt α = log2 2 > 0 và ta
có khai triển

n = a0 + a1 2 + a2 22 + · · · + as 2s , ai ∈ {0, 1}, 2s ≤ n < 2s+1 .
Như vậy ta có
s

n ≤

s

ai . 2

i

≤ 2αs

i=0

với C = 1 −

1
2α

i=0

1
2iα

≤ 2αs C ≤ nα C,

là hằng số cố định. Vậy với mọi số tự nhiên k ta có nk ≤ Cnkα , hay

n ≤ C 1/k n. Cho k −→ +∞, ta thu được n ≤ nα .
Đồng thời với số tự nhiên n ∈ [2s ; 2s+1 ) ta có
n ≥ 2s+1 − 2s+1 − n ≥ 2(s+1)α − (2s+1 − n)α
≥ 2(s+1)α 1 − 1 −
với C = 1 − 1 −

1 α
2

1
2

α

≥ nα C ,

. Lặp lại lập luận trên, chúng ta thu được n ≥ nα . Do vậy ta

phải có n = nα .
9


Từ định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta dễ dàng thấy rằng với mọi số hữu tỷ dương
x=

m
, m, n
n

∈ Z+ , ta có

x =

mα
= xα .
nα
− x = | − x|α . Như vậy

Hiển nhiên với số hữu tỷ âm x ∈ Q, ta cũng có x =

. = |.|α . Theo Mệnh đề 1.1.3 thì giá trị tuyệt đối . tương đương với giá trị tuyệt đối
thông thường |.|.
Trường hợp 2. Giả sử n ≤ 1 với mọi số tự nhiên dương n. Vì . không là giá trị
tuyệt đối tầm thường nên tồn tại số tự nhiên nhỏ nhất p ∈ N, p > 1 sao cho p < 1.
Nếu p là hợp số, tức là p = p1 .p2 với p1 , p2 là các số tự nhiên dương khác 1, thì hiển
nhiên p1 . p2 < 1. Do đó phải có hoặc p1 < 1 hoặc p2 < 1 và điều này mâu thuẫn
với tính nhỏ nhất của p. Vậy p phải là số nguyên tố.
Lấy q là số nguyên tố tùy ý khác p. Ta sẽ chứng minh rằng q = 1. Thật vậy giả sử
q < 1. Khi đó với k là số nguyên dương tùy ý thì tồn tại các số nguyên m và n sao
cho
mpk + nq k = 1.
Điều này kéo theo rằng
1= 1 ≤ m . p

k

+ n . q

k

≤ p

k

+ q k.

Cho k −→ +∞ ta được 1 ≤ 0. Đây là điều vô lý. Do vậy q = 1.
Vậy với mọi số tự nhiên n ∈ N, ta viết n = pα pα1 1 . . . pαt t , với p1 , ..., pt là các số nguyên
tố khác p. Khi đó ta có
t

n = p

α

pi

αi

= p

α

=

i=1

1
p

α

log 1 p

c

p

= p−α = |n|cp ,

với c = log 1 p > 0.
p

Với x =

m
n

là số hữu tỷ, m, n ∈ N, n > 0, ta có
|(|m|)|cp
(|m|)
|m|
x =
=
=
c
n
n
n

c

= |x|cp .
p

Như vậy . = |.|cp . Do đó . tương đương với giá trị tuyệt đối p-adic |.|p .
Nhận xét 1.1.8. • Chuẩn p-adic |.|p là một chuẩn không Acsimet trên Q.
• Giá trị tuyệt đối thông thường |.| là một chuẩn Acsimet trên Q.
10


Ta biết rằng, nếu làm đầy đủ trường số hữu tỷ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường
|.| ta được trường số thực R. Bây giờ ta làm đầy đủ trường Q theo giá trị tuyệt đối
p-adic |.|p để thu được một trường mới gọi là trường có số hữu tỷ p-adic Qp . Cách xây
dựng của chúng ta được mô tả như sau: Ta gọi S là tập tất cả các dãy Cauchy các số
hữu tỉ theo chuẩn |.|p . Trên S ta xác định một quan hệ tương đương “∼” được định
nghĩa như sau:
{xn } ∼ {yn } ⇔ lim |xn − yn |p = 0.
n→∞

Ta gọi Qp = S/ ∼ là tập tất cả các lớp tương đương theo quan hệ tương đương trên và
trang bị trên Qp hai phép toán cộng và nhân như sau:
{xn } + {yn } = {xn + yn }
{xn }.{yn } = {xn .yn }.
Với hai phép toán trên, có thể kiểm ta được rằng (Qp , +, .) là một trường và trường này
được gọi là trường các số hữu tỷ p-adic.
Định nghĩa 1.1.9 (Trường số hữu tỷ p-adic). Qp với phép toán cộng và nhân như trên
lập thành một trường gọi là trường số hữu tỷ p-adic Qp .
Nhận xét 1.1.10. 1) Có thể coi trường Q là trường con của Qp nhờ ánh xạ nhúng
j : Q → Qp
a → {a}.

2) Với mọi α ∈ Q thì α = {a}.
3) Với mọi α = {an } ∈ Qp thì |α|p = limn→∞ |an |p .
4) Tập Zp = {x ∈ Qp : |x|p ≤ 1} là một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên
p-adic. Tập hợp pZp = {x ∈ Qp | |x|p < 1} là ideal tối đại của Zp , đo đó Zp /pZp là một
trường, gọi là trường thặng dư của Qp đối với |.|p theo modulo p.

1.2

Trường số phức p-adic

Ta thấy rằng Qp là trường không đóng đại số. Theo lý thuyết mở rộng trường, ta có thể
mở rộng Qp thành bao đóng đại số của nó, kí hiệu Qp . Khi đó Qp là trường đóng đại số
nhỏ nhất chứa Qp .
Chúng ta nhắc lại khái niệm về chuẩn trên không gian véc tơ như sau.
11


Định nghĩa 1.2.1. Cho . là một giá trị tuyệt đối trên trường F . Cho V là một không
gian vector hữu hạn chiều trên F . Một chuẩn trên V là một ánh xạ, kí hiệu .

V,

từ V

đến tập các số thực không âm thỏa mãn:
(1) x

V

(2) ax

= 0, với mọi x ∈ V .
V

(3) x + y

= a . x
V

≤ x

V

V

với mọi a ∈ F, x ∈ V .

+ y

V,

với mọi x, y ∈ V.

Cho K là một trường mở rộng của trường F , tức là K chứa F như một trường con.
Khi đó trường K được xem là một không gian véc tơ trên trường F . Chiều dimF K của
F -không gian véc tơ K được gọi “bậc” của K trên F và được kí hiệu bởi [K : F ].
Nếu [K : F ] < ∞ thì K được nói là mở rộng hữu hạn của F . Lấy phần tử α ∈ K.
Khi đó mở rộng của F sinh bởi α được ký hiệu là F (α) và đây là trường con nhỏ nhất
chứa F và α. Chúng ta cũng ký hiệu vành sinh bởi α trên trường F bởi F [α]. Vành F [α]
gồm tất cả các phần tử trong K có thể biểu diễn được dưới dạng một đa thức của α với

hệ số trong F :
an αn + · · · + a1 α + a0 , ai ∈ F.
Ta biết rằng trường F (α) đẳng cấu với trường các thương của F [α]. Phần tử α được gọi
là đại số trên trường F nếu nó là một nghiệm của một đa thức với hệ số trong F . Đa
thức bất khả quy trong F với hệ số cao nhất bằng một có bậc thấp nhất của đa thức,
thỏa mãn f (α) = 0 được gọi là đa thức tối tiểu của α trên F . Bậc của α trên F được
định nghĩa là bậc của đa thức tối tiểu của nó trên F và bậc này đúng bằng [F (α) : F ].
Hơn nữa, ta biết rằng nếu có dãy các trường F ⊂ G ⊂ K thì
[K : F ] = [K : G][G : F ].
Do vậy với α là phần tử tùy ý trong K thì ta có
[K : F ] = [K : F (α)][F (α) : F ].
Chú ý rằng [F (α) : F ] là bậc của α trên F nếu α là số đại số trên F , ngược lại thì
[F (α) : F ] = ∞. Do vậy nếu K là mở rộng hữu hạn của F thì mọi phần tử của K đều
là số đại số trên trường F .
Một mở rộng trường K của F được gọi là đại số trên F nếu mọi phần tử của K là
đại số trên F . Do vậy mọi mở rộng trường hữu hạn trên F đều là đại số trên F . Một
12


trường mở rộng K của F được gọi là một bao đóng đại số của F nếu K là đại số trên
F và K đóng đại số, tức là mọi đa thức với hệ số trong K có bậc dương đều có một
nghiệm trong K. Bằng cách sử dụng Bổ đề Zorn, chúng ta có thể chứng minh rằng mỗi
trường F đều có bao đóng đại số và nếu K1 , K2 là hai bao đóng đại số của F thì tồn tại
một đẳng cấu σ : K1 → K2 sao cho σ|F là ánh xạ đồng nhất. Do vậy bao đóng đại số
của một trường là duy nhất sai khác một đẳng cấu.
Một giá trị tuyệt đối |.|K của K được nói là mở rộng của giá trị tuyệt đối |.| của F
nếu
|x|K = |x|, x ∈ F.
Rõ ràng rằng nếu |.|K là một mở rộng của |.| thì |.|K cũng là một chuẩn của F -không
gian véc tơ F , hơn nữa nếu |.| không Acsimet thì |.|K sẽ là không Acsimet vì giá trị tuyệt

đối này chỉ phụ thuộc vào các phần tử của Z mà thuộc F .
Chú ý rằng, nếu K là trường mở rộng hữu hạn của F thì một giá trị tuyệt đối trên
trường K cũng là một chuẩn trên F -không gian véc tơ K. Nhưng ngược lại không đúng,
chuẩn trên F -không gian véc tơ K có thể không là giá trị tuyệt đối trên trường K.
Bây giờ, cho K là một mở rộng hữu hạn của trường F có đặc số không (sau này ta
sẽ kí hiệu là K/F ). Lấy α ∈ K. Khi đó α cảm sinh ra một ánh xạ F -tuyến tính
Aα : K → K
xác định bởi Aα = αx. Nếu Pα ∈ F [x] là đa thức tối tiểu của α trên F thì ta có
det(Aα ) = (−1)d Pα (0)

[K:F (α)]

= (−1)d Pα (0)

[K:F ]
d

,

với d = deg(Pα ) = [F (α) : F ]. Chúng ta sẽ kí hiệu det(Aα ) bởi NK/F (α) và thu được
ánh xạ
NK/F : K → F.
Khi đó NK/F được gọi là chuẩn của K trên F . Chuẩn này thỏa mãn tính chất sau
NK/F (αβ) = NK/F (α)NK/F (β)
Định lí 1.2.2. Cho K là một mở rộng hữu hạn của Qp . Khi đó hàm |.|K được xác định
bởi
|x|K = |NK/Qp (x)|p1/[K:Qp ]
là một giá trị tuyệt đối không Acsimet trên K và là mở rộng của giá trị tuyệt đối p-adic
của Qp .
13

Chứng minh. Hiển nhiên với α ∈ Qp thì ta có |α|p = |α|K . Như vậy ta chỉ cần chứng
minh |.|K là một chuẩn là đủ.
1/[K:Qp ]

Thật vậy với α ∈ K, ta thấy hiển nhiên |α|p = |NK/Qp (α)|p

≥ 0. Hơn nữa

|α|p = 0 khi và chỉ khi |NK/Qp (α)|p = 0, điều này tương đương với α = 0 (do nếu α = 0
thì ánh xạ Aα sẽ là đẳng cấu tuyến tính).
Với α, β ∈ K, vì NK/Qp là ánh xạ nhân tính nên ta có
p]
|αβ|p = |NK/Qp (αβ)|p1/[K:Qp ] = |NK/Qp (α)NK/Qp (β)|1/[K:Q
p

1/n
= |NK/Qp (α)|1/n
= |α|p |β|p .
p |NK/Qp (β)|p

Bây giờ ta chứng minh tính chất còn lại: |α + β|p ≤ max(|α|p , |β|p ). Thật vậy, với
α
|β|p ≥ |α|p . Đặt γ = , ta có: |γ|p ≤ 1. Khi đó |α + β|p ≤ max(|α|p , |β|p ) = |β|p tương
β
đương với
|1 + γ|p ≤ 1.
Điều này hiển nhiên đúng. Vậy định lý được chứng minh.
Từ định lý trên đưa chúng ta đến định nghĩa chuẩn của các phần tử trong bao đóng

đại số Qp như sau.
Định nghĩa 1.2.3. Với α ∈ Qp , ta định nghĩa chuẩn |α|p của α trên Qp như sau
|α|p := |NQp (α)/Qp (α)|1/n
p , với n = [Qp (α) : Qp ].
Cụ thể, nếu α ∈ Qp có đa thức tối tiểu trên Qp là f (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an thì
|α|p = |an |1/n
p .
Ta định nghĩa ordp α với α ∈ Qp \ {0} bởi
ordp α = − log |α|p .
Ta nhận thấy rằng trường Qp là không đầy đủ. Ta sẽ làm đầy đủ Qp để nhận được
trường mới Cp mà ta gọi là trường các số phức p- adic. Tương tự quá trình từ Q đến
Qp , ta mở rộng giá trị tuyệt đối trên Qp thành giá trị tuyệt đối |.|p trên Cp như sau:
|x|p = lim |xi |p
i→∞

14


với {xi } là một dãy Cauchy trong Qp và x = {xi } ∈ Cp . Chuẩn trên là một chuẩn không
Acsimet. Trên Cp \ {0} ta mở rộng khái niệm ordp như sau:
ordp x = − logp |x|p .
Ta có một định lý quan trọng sau.
Định lí 1.2.4. Đầy đủ hóa Cp của Qp là trường đóng đại số.
Chứng minh. Lấy x ∈ Cp . Khi đó tồn tại d ∈ N và các phần tử ci ∈ Cp với i = 0, ..., d − 1
sao cho
xd + cd−1 xd−1 + ... + c1 x + c0 = 0.
Vì Qp là trù mật trong đầy đủ hóa Cp của nó nên với mỗi i = 0, ..., d − 1 tồn tại một
dãy
{λi,n }n≥1 ⊂ Qp sao cho λi,n → ci .
Vì Qp là đóng đại số nên tất cả các nghiệm của phương trình đa thức

Pn (t) = td + λd−1,n td−1 + ... + λ1,n t + λ0,n = 0

(1.3)

đều nằm trong Qp . Do đó ta có thể phân tích đa thức trên thành các nhân tử như sau:
Pn (t) := (t − β1,n )...(t − βd,n ),
với β1,n , ..., βd,n ∈ Qp . Bởi cách xây dựng, chúng ta có
d−1
d

Pn (x) = Pn (x) − x − cd−1 x

d−1

(λi,n − ci )xi .

− ... − c1 x − c0 =
i=0

Đặc biệt, ta thấy rằng
|Pn (x)|p ≤ max (|λi,n − ci |p .|x|ip ) → 0
0≤i≤d−1

khi n → ∞ (vì λi,n → ci trong Qp ). Nói cách khác,
d

|Pn (x)|p =

|x − βi,n |p ,
i=1

vì vậy ta thấy rằng với mỗi n ta có thể tìm được một nghiệm t = xn cho phương trình
(1.3) sao cho |x − xn |p → 0 khi n → ∞. Điều này chứng tỏ rằng x nằm trong trường mở
rộng đầy đủ hóa của Qp . Vì vậy Cp vừa đầy đủ và vừa đóng đại số.
15


Chương 2
Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân
hình trên trường p-adic
2.1

Hàm chỉnh hình và hàm phân hình

Trong chương này, chúng ta xét K là một trường có đặc số không, đóng đại số và đầy
đủ đối với một giá trị tuyệt đối không Acsimet |.| không tầm thường. Ta sử dụng các
ký hiệu sau:
K(a; r) = {z ∈ K : |z − a| < r},
K[a; r] = {z ∈ K : |z − a|p ≤ r}.
Định nghĩa 2.1.1. Cho U ⊂ K là một tập mở. Một hàm số f : U → K được nói là liên
tục tại điểm z0 ∈ U nếu với mọi

> 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z ∈ K(z0 ; δ) ta

có |f (z) − f (z0 )| < . Hàm f được nói là khả vi nếu tồn tại giới hạn
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f (z0 ) = lim

Hàm f được nói là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm trên U .
Chúng ta có thể dễ kiểm tra rằng hàm khả vi thì sẽ liên tục. Trong phần tiếp theo
chúng ta sẽ xem xét các hàm được cho bởi các chuỗi lũy thừa hội tụ. Trước hết, ta có
bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.2. Dãy {an } trong K là dãy Cauchy (và do đó nó hội tụ) khi và chỉ khi
lim |an+1 − an | = 0.

n→∞

16


Chứng minh. Với m = n + k > n, ta chú ý rằng
|am − an | = |(an+k − an+k−1 ) + · · · + (an+1 − an )|
≤ max{|an+k − an+k−1 |, ..., |an+1 − an |}.
Bất đẳng thức chứng tỏ rằng |am − an | hội tụ về 0 khi m, n → +∞ tương đương với
|an+1 − an | hội tụ về 0 khi n → +∞.
Từ bổ đề trên, ta có được hệ quả sau.
∞
n=0

Hệ quả 2.1.3. Một chuỗi vô hạn

an với an ∈ K là hội tụ khi và chỉ khi

lim an = 0.

n→∞

Hơn nữa, trong trường hợp này, ta có
∞

an | ≤ max |an |.

|

n

n=0

Chứng minh. Đặt Sn =

n
k=0

ak . Chúng ta biết rằng chuỗi

∞
n=0

an hội tụ khi và chỉ

khi {Sn } hội tụ, tức là {Sn } là dãy Cauchy. Theo bổ đề trên thì điều này tương đương
với {an = Sn+1 − Sn } hội tụ về 0. Mặt khác từ bất đẳng thức không Acsimet chúng ta
có
|Sk | ≤ max |an |.
0≤n≤k

Điều này kéo theo

∞

an | ≤ max |an |.

|

n

n=0

Ta xét chuỗi lũy thừa có dạng
∞

an z n (an ∈ K).

f (z) =
n=0

Bán kính hội tụ ρ của chuỗi được định nghĩa bởi
1
1
= lim sup |an | n .
ρ n→∞

Nếu ρ = 0 chuỗi chỉ hội tụ tại z = 0. Nếu ρ = ∞ thì chuỗi hội tụ trên toàn bộ K. Nếu
0 < ρ < ∞, chuỗi hội tụ khi |z| < ρ và phân kì khi |z| > ρ.
17

Định nghĩa 2.1.4 (Hàm chỉnh hình p-adic). Một chuỗi lũy thừa hội tụ trên một tập
mở U ⊂ K được gọi là một hàm chỉnh hình trên U . Nếu U = K thì ta gọi chuỗi lũy
thừa hội tụ trên K là hàm nguyên trên K.
• Nếu K = Cp thì ta gọi chuỗi lũy thừa hội tụ trên U ⊂ K là hàm chỉnh hình p-adic
trên U và chuỗi lũy thừa hội tụ trên K là hàm nguyên p-adic trên K.
• Ta kí hiệu
∞

an z n |an ∈ K, lim |an |rn = 0},

Ar (K) = {f (z) = {
n=0
∞

an z n |an ∈ K, bán kính hội tụ ρ ≥ r},

A(r (K) = {f (z) = {
n=0

A(K) = A(∞ (K) : là vành các hàm nguyên trên K.
Với chuỗi lũy thừa f ∈ Aρ (K) như trên, với mỗi r < ρ ta định nghĩa
µ(r, f ) = max |an |rn ,
n≥0

và υ(r, f ) = max{n | |an |rn = µ(r, f )}.
n≥0

Định nghĩa 2.1.5. Cho D là tập vô hạn trong K và cho R(D) là tập các hàm hữu tỷ
h(z) ∈ K(z) không có cực điểm trong D. Với mỗi h ∈ R(D), ta đặt

h

D

= sup |h(z)|.
z∈D

Ta kí hiệu H (D) là làm đầy của R(D) theo tôpô sinh bởi hội tụ đều trên D. Các phần
tử của H (D) được gọi là các hàm giải tích toàn cục trên D.
Chúng ta có thể nhận xét rằng với mọi số thực dương r > 0 thì H (K[0; r]) = Ar (K)
(xem [3, trang 28]).
Định nghĩa 2.1.6 (Hàm giải tích địa phương). Cho D là tập con không có điểm cô lập
của K. Một hàm f : D → K được gọi là giải tích địa phương nếu với mỗi a ∈ D, tồn
tại r ∈ R+ và {an } ⊂ K sao cho
∞

an (z − a)n , ∀z ∈ D ∩ K[a; r].

f (z) =
n=0

18


Ta kí hiệu Hol(D) là tập các hàm giải tích địa phương trên D. Ta có thể chỉ ra rằng
H (D) ⊂ Hol(D).
Giả sử rằng f là hàm giải tích địa phương trên D. Cho z0 ∈ D và r ∈ R+ là số thực
dương thỏa mãn K[z0 ; r] ⊂ D. Khi đó f được viết dưới dạng chuỗi lũy thừa
∞

an (z − z0 )n , z ∈ K[z0 ; r].

f (z) =
n=0

Nếu f (z0 ) = 0 và nếu f không đồng nhất bằng không trên K[z0 ; r] thì tồn tại duy nhất
số nguyên q thỏa mãn an = 0 với mọi n < q và aq = 0. Số q sẽ được gọi là bội không
điểm của f tại z0 và z0 được gọi là không điểm bội q của f . Khi đó f có thể được viết
dưới dạng
f (z) = (z − z0 )q g(z) (g(z0 ) = 0),
với g là chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ lớn hơn hoặc bằng r. Chú ý rằng g liên tục
trên K[z0 ; r]. Vì g(z0 ) = 0 nên từ tính liên tục của g ta thấy rằng z0 là không điểm cô
lập của f .
Định nghĩa 2.1.7 (Hàm phân hình toàn cục). Cho D là tập con không có điểm cô lập
K. Hàm f : D → K ∪ {∞} được gọi là hàm phân hình toàn cục trên D nếu tồn tại một
tập đếm được S ⊂ D sao cho S không có điểm giới hạn trong D và f là hàm giải tích
địa phương trên D \ S.
Ta kí hiệu M (D) là tập hợp các hàm phân hình toàn cục trên D.
Định nghĩa 2.1.8 (Hàm phân hình địa phương). Cho D là tập con không có điểm cô
lập K. Hàm f : D → K ∪ {∞} được gọi là hàm phân hình địa phương trên D nếu với
mọi a ∈ D, tồn tại r ∈ R+ , q ∈ Z+ , {an } ⊂ K sao cho
∞

an (z − a)n , ∀z ∈ D ∩ K[a; r]

f (z) =
n=−q

Ta kí hiệu M er(D) là tập các hàm phân hình địa phương trên D.
Trong định nghĩa trên, nếu a−q = 0 với q > 0 thì ta nói f có cực điểm tại a với bội

ít nhất là q. Hiển nhiên, tất cả các cực điểm của f đều cô lập.

19


Định nghĩa 2.1.9 (Hàm giải tích trên D). Cho D là tập con không có điểm cô lập
K. Hàm f : D → K ∪ {∞} được gọi là giải tích tại một điểm a ∈ D nếu tồn tại
ρ ∈ R+ ∩ {∞} và an ∈ K sao cho K(a; ρ) ⊂ D nhưng K[a; ρ ] \ D = ∅ với mọi ρ > ρ
và thỏa mãn

∞

an (z − a)n , z ∈ K(a, ρ).

f (z) =
n=0

Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì ta nói f giải tích trên D. Kí hiệu H(D) là
tập các hàm giải tích trên D. Bởi định nghĩa ta dễ dàng có rằng
H (D) ⊂ H(D) ⊂ Hol(D).
Trường thương của H(D) được ký hiệu là M(D). Mỗi phần tử f ∈ M(D) được gọi là
một hàm phân hình trên D. Nếu f không có cực điểm trong D thì f được gọi là hàm
chỉnh hình trên D.

2.2

Định lý chuẩn bị Weierstrass

Trong phần này, chúng ta xét K là một trường có đặc số không, đầy đủ đối với một giá
trị tuyệt đối không Acsimet |.|. Chúng ta sẽ xây dựng khái niệm đa thức Weierstrass

tương tự như cho hàm phân hình trên trường số phức. Từ định nghĩa ta có thể chứng
minh được mệnh đề sau.
Định lí 2.2.1. Với r > 0, hàm số µ(r, .) : Ar (K) → R+ thỏa mãn các tính chất sau:
1. µ(r, f ) = 0 nếu và chỉ nếu f = 0;
2. µ(r, f + g) ≤ max{µ(r, f ), µ(r, g)}; và
3. µ(r, f g) = µ(r, f )µ(r, g).
Chứng minh. Khẳng định 1) và 2) được kéo theo từ tính chất của giá trị tuyệt đối không
Acsimet. Để chứng minh khẳng định cuối, ta viết
∞

∞
n

f (z) =

bn z n .

an z , g(z) =
n=0

Khi đó chúng ta có

n=0

∞

cn z n , c n =

f (z)g(z) =
n=0

ai b j .
i+j=n

20


Do vậy
µ(r, f g) = max |cn |rn ≤ max{ max |ai ||bj |rn }
n

n

i+j=n

= max{ max (|ai |ri )(|bj |rj )} ≤ (max |ai |rn )(max |bj |rn )
n

i+j=n

i

j

= µ(r, f )µ(r, g).
Để có được bất đẳng thức ngược lại, chúng ta chọn các chỉ số I và J sao cho
|ai |ri < µ(r, f ) (i < I), |aI |rI = µ(r, f ),
|bj |rj < µ(r, g) (j < J), |bJ |rJ = µ(r, g).
Ta có được
|aI bJ | < r−I−J µ(r, f )µ(r, g),

|ai bj | < r−I−J µ(r, f )µ(r, g),
với i < I hoặc j < J nhưng i + j = I + J. Điều này có nghĩa rằng trong tổng cI+J có
chứa một số hạng lớn nhất, và do đó
|cI+J | = |aI bJ | = r−I−J µ(r, f )µ(r, g), hay |cI+J |rI+J = µ(r, f )µ(r, g).
Do vậy, ta thu được bất đẳng thức ngược lại
µ(r, f g) = max |cn |rn ≥ |cI+J |rI+J = µ(r, f )µ(r, g).
n

Định lý được chứng minh.
Từ định lý trên, chúng ta thấy rằng với mỗi f ∈ M(ρ (K) với M(ρ (K) là trường các
hàm phân hình trên K(0, ρ) , tồn tại g, h ∈ Aρ (K) sao cho f =
µ(r, f ) =
Đặc biệt ta có µ(r, f1 ) =

g
h

và

µ(r, g)
, 0 ≤ r < ρ.
µ(r, h)

1
.
µ(r,f )

Ta có định lý quan trọng sau đây.
Định lí 2.2.2 (Định lý chuẩn bị Weierstrass). Cho f ∈ Ar (K) \ {0} với r > 0. Khi đó
tồn tại đa thức

g(z) = b0 + b1 z + · · · + bν z ν ∈ K[z]
có bậc ν = ν(r, f ) và chuỗi lũy thừa h = 1 +
chất
21

∞
n
n=1 cn z

với hệ số trong K thỏa mãn tính


1. f (z) = g(z)h(z);
2. µ(r, g) = |bν |rν ;
3. h ∈ Ar (K);
4. µ(r, h − 1) < 1; và
5. µ(r, f − g) < µ(r, f ).
Nói riêng, h không có không điểm trong K[0; r] và f chỉ có ν không điểm trong K[0; r].
Chứng minh. Ta viết
ν
2

ai z i .

f (z) = a0 + a1 z + a2 z + · · · , g1 (z) =
i=0

Khi đó ta có thể chọn δ ∈ R+ thỏa mãn
0≤

µ(r, f − g1 )
< δ < 1.
µ(r, f )

Lấy h1 (z) = 1. Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh rằng tồn tại các đa thức gi (z) =
ν
ν
j=0 bj r

và hi thỏa mãn

(i) µ(r, gi ) = |biν |rν ;
(ii) µ(r, f − gi ) ≤ δµ(r, f ), µ(r, hi − 1) ≤ δ; và
(iii) µ(r, f − gi hi ) ≤ δ i µ(r, f ).
Như vậy trường hợp i = 1 được chứng minh. Nếu ta có (i), (ii) và (iii) đều đúng với i,
thì tồn tại chuỗi lũy thừa Qi ∈ Ar (K) và một đa thức Ri ∈ K[z] sao cho
f (z) − gi (z)hi (z) = gi (z)Qi (z) + Ri (z), deg(Ri ) < ν,
và thỏa mãn
µ(r, f − gi hi ) = max{µ(r, gi )µ(r, Qi ), µ(r, Ri )}.
Ta đặt

ν

bi+1,j z j , hi+1 = hi + Qi .

gi+1 = gi (z) + Ri (z) =
j=0

22

Chú ý rằng (ii) kéo theo µ(r, f ) = µ(r, gi ). Do vậy ta có
µ(r, Qi ) ≤

µ(r, f − gi hi )
µ(r, f − gi hi )
=
≤ δi
µ(r, gi )
µ(r, f )

và
µ(r, Ri ) ≤ µ(r, f − gi hi ) ≤ δ i µ(r, f ).
Vậy ta thu được
µ(r, gi+1 ) = g(r, gi ),
và do vậy (i) đúng với i + 1 vì deg(Ri ) < deg(gi ) = ν. Điều kiện (ii) cũng đúng cho i + 1
vì
µ(r, f − gi+1 ) ≤ max{µ(r, f − gi ), µ(r, Ri )} ≤ δµ (r, f )
và
µ(r, hi+1 − 1) ≤ max{µ(r, hi − 1), µ(r, Qi )} ≤ δ.
Chú ý rằng ta có
f − gi+1 hi+1 = Ri (1 − hi − Qi ).
Do đó ta được
µ(r, f − gi+1 hi+1 ) ≤ µ(r, Ri ) max{µ(r, hi − 1), µ(r, Qi )} ≤ δ i+1 µ(r, f ),
và vậy nên (iii) đúng với i + 1.
Chú ý rằng ta cũng có
µ(r, gi+1 − gi ) = µ(r, Ri ) ≤ δ i µ(r, f )
và µ(r, hi+1 − hi ) = µ(r, Qi ) ≤ δ i . Vì δ < 1 nên cả {gi } và {hi } đều là các dãy Cauchy
tương ứng với chuẩn µ(r, .). Vậy ta có
|bi+1,j − bij |rj ≤ µ(r, gi+1 − gi ) ≤ δ i µ(r, f ), 0 ≤ j ≤ ν, i ≥ 1,

tức là {bij }i≥1 là một dãy Cauchy với mỗi j và do đó nó hội tụ. Ta đặt
ν

bj z j ,

bj = lim bij , g(z) =
i→∞

j=0

và hiển nhiên có rằng gi → g và µ(r, g) = |bν |rν . Vì Ar (K) đầy nên {hi } hội tụ và do
vậy tồn tại h ∈ Ar (K) sao cho hi → h. Ta dễ dàng chứng minh được rằng g và h thỏa
mãn điều kiện trong định lý.
23


Chú ý rằng hàm µ(., h − 1) tăng. Điều kiện (4) sẽ kéo theo rằng µ(t, h − 1) < 1 với
0 ≤ t ≤ r và do đó |h(z)| = 1 với z ∈ K[0; r]. Do vậy h không có không điểm trong
K[0; r]. Gọi z1 , ..., zν là các không điểm của g. Khi đó ta có
g(z) = bν (z − z1 ) · · · (z − zν ).
Điều kiện (2) kéo theo rằng µ(r, g/bν ) = rν , và do đó
(max{r, |z1 |}) · · · (max{r, |zν |}) = rν .
Từ đó ta suy ra
|zj | ≤ r, j = 1, ..., ν.
Do vậy, g có đúng ν không điểm trong K[0; r], vậy nên f cũng có đúng ν không điểm
trong K[0; r].

2.3

Các hàm Nevanlinna và hai định lý cơ bản

Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình trên
K[0; ρ].
(a) Trước tiên, ta xét hàm chỉnh hình f ∈ A(ρ (K) (0 < ρ ≤ ∞) và đặt
∞

an z n (am = 0, m ≥ 0).

f (z) =
n=m

Ta sẽ ký hiệu hệ số am bởi f ∗ (0).
1
Với mỗi a ∈ K, ta gọi n(r, f −a
) là số các không điểm tính cả bội của hàm f − a mà

giá trị tuyệt đối của nó không vượt quá r. Ta định nghĩa hàm đếm của hàm f tương
ứng với giá trị a như sau.
Định nghĩa 2.3.1 (Hàm đếm của hàm chỉnh hình). Cho số thực ρ0 với 0 < ρ0 < ρ.
Với mỗi số thực r ∈ (ρ0 ; ρ), ta định nghĩa hàm đếm của f tương ứng với giá trị a bởi
r

N

1
r,
f −a

=

1
n t, f −a

t

dt.

ρ0

(b) Tiếp theo, ta xét hàm phân hình f ∈ M(ρ (K). Khi đó, với mỗi 0 < ρ0 < r < ρ
tồn tại các hàm f0 , f1 ∈ Ar (K) sao cho f =
24

f0
f1

và f0 , f1 không có nhân tử chung trong